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GUIA DE CÁLCULO III
LCDO. ALEXANDER ÁLVAREZ, Msc
Facultad de IngenieríaFacultad de Facultad de IngenierIngenierííaaFacultad de IngenieríaFacultad de Facultad de IngenierIngenierííaa
ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y RECTANGULARES DE ALGUNAS CURVAS PLANAS
EJERCICIOS RESPUESTAS
1.- Considera las ecuaciones x = e y = 1 – t a) Complete la tabla
t 0 1 2 3 4
x
y
b) Dibujar los puntos (x,y) generados por la tabla
y esbozar la gráfica de las ecuaciones paramétricas.
c) Hallar la ecuación rectangular eliminando el
parámetro y restringir su dominio.
,
2.- Considere las ecuaciones x = 4cos2 θ e y = 2 sen θ
a) Complete la tabla
θ -π/2 -π/4 0 π/2 π/4
x
y
b) Dibujar los puntos (x,y) generados por la tabla y
esbozar la gráfica de las ecuacioynes paramétricas.
c) Hallar la ecuación rectangular eliminando el
parámetro y restringir su dominio. ,
3.- Dibujar la curva definida por las ecuaciones y
hallar sus ecuaciones rectangulares.
a) x = 3 cos t , y = 3 sen t
b) x = 2 cos t , y = 3 sen t
c) ) x = 1 + 2 cos t , y = -2 + 2 sen t
d) ) y = 3 cos t , x = 2 sen t
e) x = -1 + 2t , y = 3t o
f) x = 4 + 3t , y = 2 – 4t
g) x = 1 + t , y = t2 + 2
h) x = 2 – t , y = t2 + 1
i) x = t2 – 1 , y = 2t
j) x = 1 + , y = t – 1
k) x = tan2 θ , y = sec2 θ
TANGNTES A CURVAS PARAMETRIZADAS, LONGITUD DE CURVAS Y ÁEAS DE SUPERFICIES EJERCICIOS RESPUESTAS
1.- Encuentre una ecuación para la recta tangente a la curva en el punto definido por el valor de t.a) x = 2 cos t , y = 2 sen t en t = π/4b) x = sen 2πt , y = cos 2πt en t = -1/6c) x = 4 sen t , y = 2 cos t en t = π/4
d) x = cos t , y = cos t = 2π/3
e) x = t , y = en t = ¼
f) x = sec2 t – 1 , y = tan t en t = - π/4
g) x = sen t , y = tan t en t = π/6h) x = - , y = en t = 3
i) x = 2t2 +3 , y = t2 en t = -1
j) x = t – sen t , y = 1 – cos t en t = π/3
k ) x = 1/t , y = -2 + ln t en t = 12.- Encuentre la longitud de curva en el intervalo indicado.a) x = cos t , y = t + sen t en 0≤ t ≤ π L = 4u
b) x = t3 , y = 3t2/2 en 0≤ t ≤ L = 7u
c) x = t2 , y = , en 0≤ t ≤ 4 L = 9,24u
d) x = , y = t + t2/2 en 0≤ t ≤ 3 L =
e) x = 8 cos t + 8t sen t , y = 8 sen t – 8t cos t en 0≤ t ≤ π/2
L =
f) x = ln ( sec t + tan t ) – sen t , y = cos t en 0≤ t ≤
π/3
L = 0,69u
g) Hipocicloide : x = a cos3 θ , y = a sen3 θ L = 6ah ) Arco de cicloide x = a (θ – sen θ ) , y = a ( 1 – cos θ )
L =
i) Involuta de circunferencia : x = cos θ + θ sen θ , y = sen θ – θ cos θ
L =
3.- Encuentre el área de las superficies generadas al girar las curvas respecto a los ejes indicados.a) x = cos t , y = 2 + sen t en 0≤ t ≤ 2π en eje x A = 8 u2
b) x = , y = 2 en 0≤ t ≤ en eje y A = u2
c) x = t + , y = en - ≤ t ≤ en eje x
e y
A = 17,85u2 y A = 9,37u2
d) x = ln ( sec t + tan t ) – sen t , y = cos t en 0≤ t ≤ π/3 en eje x
A = u2
e) x = t , y = 2t en 0≤ t ≤ 4 en eje x y en eje y A = 224,68u2 A = 112,34u2
f) x = a cos θ , y = b sen θ en 0≤ t ≤ 2π en eje x y en eje y.
Resp. En términos de a y b
COORDENADAS POLARES Y CARTESIANAS.
1.- Grafica los conjuntos de puntos cuyas coordenadas satisfacen las ecuaciones y desigualdades siguientes.
a) r = 2 b) r ≥ 1c) 0 ≤ r ≤ 2d) 1 ≤ r ≤ 2e) o ≤ θ ≤ π/6 , r ≥ 0
f) θ = 2π/32.- Sustituya las ecuaciones polares por sus respectivas ecuaciones cartesianas equivalentes.a) r cos θ = 2b) r sen θ = 0c) r = 4 csc θd) r sen θ = -1e) r cos θ = 0f) r = -3 sec θg) r2 = 1h) r2 = 4r sen θ
i) r =
j) r2 sen 2θ = 22.- Reemplace las ecuaciones cartesianas por ecuaciones polares equivalentes.a) x = 7b) x – y = 3c) x = yd) x2 + y2 = 4
e)
f) x2 + xy + y2 = 1LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DE SUPERFICIE EN COORDENADAS POLARES.1.- Determinar la longitud de la gráfica sobre el intervalo indicado. a) r = 2a cos θ en -π/2 ≤ t ≤ π/2 L = b) r = 1 + sen θ en 0≤ θ ≤ 2π L = 8u c) r = 5( 1 + cos θ ) en 0≤ θ ≤ 2π L = 40u d) r = θ2 en 0≤ θ ≤
L =
e) r = a sen2 en 0≤ θ ≤ π , a >0L =
f) r = en π/2 ≤ θ ≤ πL =
2.- Hallar el área de la superficie generada por revolución de la curva alrededor de la recta dada. a) r = 2 cos θ en 0≤ θ ≤ 2π , alrededor del eje polar
A = 8 u2
b) r = 2a cos θ en 0≤ θ ≤ 2π , alrededor del θ = π/2
A = 8 u2
c) r = a( 1 + cos θ ) en 0≤ θ ≤ π , alrededor del eje polar. A = u2
d) r = en 0≤ θ ≤ π/2, alrededor del eje x A = u2
DERIVADAS PARCIALES Y RECTAS TANGNTES, REGLA DE LA CADENA, DERIVADAS PARCIALES IMPLICITAS Y DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.
1.- Halla en cada una de las funciones que se dan a continuación.
a) f(x,y) = 2x – 3y + 5 ;
b) z = x ;
c) z = x2
;
d) f(x,y) = ln (x2 + y2 );
e) f(x,y) = x2 – 3y2 + 7 ;
f) f(x,y) = x ;
g) z = tg ( 2x – y )
h) f(x,y) = ;
i) z = cos 3y sen 3x ;
j) z = ln ;
k) f(x,y) = ;
l) z = sen xy;
m) f(x,y) = ;
n) f(x,y) = ;
ñ) f(x,y) = sen2 (x – 3y) ;
o) z = tg-1(y/x) ;
2.- Calcular la pendiente de la superficie en las direcciones de x e y en el punto indicado. a) g(x,y) = 4 – x2 – y2 , (1,1,2) figura 29 ; b) f(x,y) = x2 – y2 , (-2,1,3) ; c) z = cos y , (0,0,1) ; d) z = ½ sen ( 2x –y ) , (π/4, π/3,1/2)
;
e) z = , (2,3,6) ;
3.- Verificar que las derivadas parciales cruzadas fxyy, fyxy y fyyx son iguales.a) f(x,y,z) = xyz fxyy = 0
b) f(x,y,z) = x2 – 3xy + 4yz + z3 fxyy = 0
c) f(x,y,z) = sen yz fxyy =
d) f(x,y,z) =
4.- En cada uno de los siguientes ejercicios halla dw/dt.a) w = x2 + y2 , si x = e y =
b) w = , si x = sen t e y =
c) w = x sec y , si x = e y = π – t
d) w = ln , si x = cos t e y = sen t
e) w = x2 + y2 + z2 , si x = cos t , y = sen t , z =
f) w = xy +xz +yz , si x = t – 1, y = t2 – 1, z = t
g) w = xy , si x = 2 sen t , y = cos t
5.- Utilizando la regla de la cadena halla o , según sea el caso y luego
evaluarlas en los valores de s y t que se indican.
a) w = x2 + y2 , x = s + t , y = s – t en s = 2 y t = -1 ;
b) w = -3yx2 + y3 , x = , y = en s = 0 y t = 1 ;
c) w = x2 - y2 , x = s cos t , y = s sen t en s = 3 y t = π/4 ;
d) w = sen (2x + 3y ) , x = s + t , y = s – t en s = 0 y t = π/2 ;
e) w = xy + yz + xz , x = u + v, y = u – v , z = uv ;
INTEGRALES MÚLTIPLES: Iteradas, dobles y triples.1.- Calcula las siguientes integrales iteradas.
a) = 3
b) =
c) =
d) =
e) = -80
f) = 4
g) = 0,073
h) =
i) = 4,42
j) =
2.- Dibuja un esbozo de la región R cuyas áreas vienen dadas por las integrales que sen dan a continuación, y luego cambia el orden de integración y prueba que ambos ordenes dan el mismo valor.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3.- Calcula el área de la región entre las dos curvas usando una integral iterada.
a) y = 4 – x2 e y = x + 2.
b) y = 4 – x2 en 0≤ y ≤ 3 y 0≤ x ≤ 2
c) y = ; x = 2 y x = 5
d) x2 + y2 = 4 en 0≤ y ≤ 2 y 0≤ x ≤ 2e) La parábola x = -y2 y la recta y = x + 2f) Las parábolas x = y2 y x = 2y – y2
g) Las curva y = y las rectas y = 0, x = 0 y x = ln24.- Escribe una integral para cada orden de integración y utiliza el más conveniente para evaluar la integral sobre la región R.
a) ; R : rectángulo de vértices (0,0), (0,5),
(3,5), (3,0)
b) ; R: región acotada por y = x, y =
2x, x = 2
c) ; R: sector circular en el primer
cuadrante acotado por y = , 3x – 4y = 0, y = 05.- Usar una integral doble para calcular el volumen de los sólidos que se te dan a continuación.
Resp. = 4 u3 Resp. = 32 u3
Resp. = 4 u3
Resp. = 12 u3
Resp. = 3/8 u3 Resp. = 12 u3
Resp. = 4 u3
Resp. = 12 u3
INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES.1.- Calcula el área de la región sombreada utilizando una integral doble.
Resp. = 1 u3
2.- Calcula las siguientes integrales dobles pasando a coordenadas polares.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
MASA Y CENTRO DE MASA.1.- Hallar la masa y el centro de masa de la lámina limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas.a) , y = 0 , ρ = kb) , y = 0, x = 4 y ρ = kxyc) , x = 0 y ρ = kxd) , y = 0 y ρ = kINTEGRALES TRIPLES, VOLUMEN Y MOMENTOS DE INERCIA.1.- Calcula las siguientes integrales triples.
a)
b)
c)
d)
e)
2.- Haga un esbozo de la región sólida cuyo volumen representa la integral triple que se te da a continuación y reescribe la integral en el nuevo orden de integración que se especifica.
a) ; usar el orden
dydxdz
b)
c)
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