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calor electrico
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ran
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Tema 4 — p. 1
TEMA 4
Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
Distribución de temperatura en sólidos y en flujo laminar.Conducción de calor con un manantial calorífico de origen eléctricoConvección Libre y ForzadaConvección forzada: flujo en un tubo refrigerado por la paredConvección natural: paredes planas verticales
Ecuación de energíaLa ecuación de energía en función de la temperaturaCasos particularesLa ecuación de energía en los distintos sistemas coordenadosEcuaciones adaptadas para procesos de convección naturalResumen de ecuacionesFlujo tangencial con generación de calor de origen viscosoEnfriamiento por transpiración
Análisis dimensionalTransmisión de calor por convección forzada en un tanque agitadoEcuaciones adimensionales: Convección libre o naturalTemperatura de la superficie de una espiral de calentamiento eléctricoInterpretación de los números adimensionales
Fen
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Tema 4 — p. 2
Ley deNewton
Perfil develocidad
IntegraciónBalancede C.D.M.
Volumen de control
Integración
Densidad de flujo de
C.D.M.
Estudio del transporte de C.D.M.
Ley deFourier
Perfil detemperatura
IntegraciónBalancede Energía
Volumen de control
Integración
Densidad de flujo de
Calor
Estudio del transporte de Calor
Fen
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Tema 4 — p. 3
Balances de energía
Restricciones: • Régimen estacionario.• No se considera energía cinética, potencial o trabajo.
Mecanismos de transporte: • Conducción de calor (Ley de Fourier).• Transporte convectivo.
Generación de calor: eléctrica, viscosa, nuclear, reacción, ...
velocidad de velocidad de velocidad de
entrada de energía - salida de energía + producción de energía =0
calorífica calorífica calorífica
Balance:
Condiciones límite mas frecuentes:• Temperatura conocida en la superficie: T = To
• Densidad de flujo de calor conocida en la superficie: q = qo
• Condiciones de transporte en la interfase sólido-fluido ("Ley de enfriamiento de Newton"): fluidoq h T T
Fen
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Tema 4 — p. 4
r
Distribución de temperatura en sólidos y en flujo laminar
Conducción de calor con un manantial calorífico de origen eléctrico
Balance de energía:
Velocidad de entrada Velocidad de salida Generación de
de calor por de calor por calor por= -
conducción por la conducción por la disipación
superficie interior superficie exterior elé
ctrica
Evaluación de los términos:
2
2 2 2 ,r r e er r re
IrLq r r Lq r r LS S
k
Integrando (r=0 qr=0):2e
rS r
q
L
R
r ed
rq S rdr
Por unidad de volumen (volumen 0):
Fen
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ran
spo
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Tema 4 — p. 5
Ley de Fourier:2e
rS rdT dT
q k kdr dr
Condición límite: exr R T T
Integrando: 22
14e
exS R r
T Tk R
Magnitudes derivadas
(a) ΔT máximo:2
4e
máx exS R
T Tk
(b) Flujo de calor en la superficie:
22 eR RQ RLq R LS
Fen
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Tema 4 — p. 6
Convección Libre y Forzada
Fen
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Tema 4 — p. 7
Δz
Δr
Convección forzada: flujo en un tubo refrigerado por la pared
•Régimen estacionario.•Propiedades físicas constantes.•Régimen laminar.•Densidad de flujo de calor en la pared (q1) constante.
Perfil de velocidad:2
, 1z z máxr
v vR
20
,( )
,4
Lz máx
Rv
L
Balance de energía:
Conducción en r:
q1
z
r
T0
Conducción en z:
Convección en z:
Entrada:
Salida:
2
2
r r
r r r
q r z
q r r z
Entrada:
Salida:
2
2
z z
z z z
q r r
q r r
z
z
Entrada:
Salida:
0
0
2
2
p z
p z z
v r r C T T
v r r C T T
Fen
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Tema 4 — p. 8
Dividiendo por 2πr Δr Δz y tomando el límite Δr 0, Δz 0:
1ˆ r zp z
rq qTC v
z r r z
Con el perfil de velocidad y la ley de Fourier:2 2
, 2
1ˆ 1p z máxr T T T
C v k rR z r r r z
Conducción axial despreciable:2
,1ˆ 1p z máx
r T TC v k r
R z r r r
Condiciones límite:
r = 0 T es finito
r = R (constante)1T
k qr
z = 0 T = T0
Integrando numéricamente T(z,r)
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Tema 4 — p. 9
Convección natural: paredes planas verticales
•Régimen estacionario.•Propiedades físicas constantes.•Régimen laminar.•Temperatura de las paredes constante (T1 y T2).•Paredes muy largas (en z): T(y)
Balance de energía:
y yy y yq q
Integrando:
1
2my
T T Tb
2 1
1 2
2m
T T T
T TT
vz(y)
y
z
b
Lám
ina
calie
nte
Lám
ina
fría
T2
T1
T(y)
0ydq
dy
2
20
d Tk
dy
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Tema 4 — p. 10
Balance de c.d.m.:2
2zd v dp
gdzdy
Desarrollo en serie de Taylor (2 términos):
TT
T T T TT
Admitiendo 2
2zd vdp
g g T Tdz dy
Integrando: 2
3 ,12zgb T y
vb
En forma adimensional: 31
12Gr velocidad adimensional
distancia adimensional
Número de Grashof2 3
2
zbv
y
b
gb TGr
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Tema 4 — p. 11
z
xy
x xv x x x
v
z zv
z z zv
y y
v
y y yv
Ecuación de energía
Velocidad de Velocidad de Velocidad de
acumulación entrada de energía salida de energía= -
de energía cinética e interna cinética e interna
cinética e interna por convección por convec
ción
Velocidad neta Velocidad neta
de adición de de trabajo comunicado + -
calor por por el sistema
conducción a los alrededores
Balance de energía:
Fen
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Tema 4 — p. 12
Velocidad de acumulación de energía cinética e interna:
21ˆ2
x y z U vt
Velocidad neta de entrada de energía cinética e interna por convección:
2 2
2 2
2 2
1 1ˆ ˆ2 2
1 1ˆ ˆ2 2
1 1ˆ ˆ2 2
x xx x x
y yy y y
z zz z z
y z v U v v U v
x z v U v v U v
x y v U v v U v
Velocidad neta de adición de calor por conducción:
x x y y z zx x x z z zy y yy z q q y z q q x y q q
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Tema 4 — p. 13
Velocidad neta de trabajo comunicado por el sistema a los alrededores:
a. Fuerzas gravitacionales:
b. Fuerzas de presión:
c. Fuerzas viscosas:
x x y y z zx y z v g v g v g
x xx x x
y yy y y
z zz z z
y z pv pv
x z pv pv
x y pv pv
xx x xy y xz z xx x xy y xz zx x x
yx x yy y yz z yx x yy y yz zy y y
zx x zy y zz z zx x zy y zz zz z z
y z v v v v v v
x z v v v v v v
x y v v v v v v
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Tema 4 — p. 14
SISTEMA
Compresión/Expansión
.p v
Disipación viscosa
: v
EnergíaInterna
U
EnergíaMecánica
212
v
ALREDEDORES
TrabajoCalor
(conducción) . .
. .
v g pv
v
.q
E. Interna
. vU
E. Mecánica
212
. v v
[1] [2] [3] [4] [5] [6]
2 21 12 2
ˆ ˆ. . . . . .U v v U v q v g pv vt
1. Velocidad de ganancia de energía por unidad de volumen,
2. entrada de energía por convección,
3. entrada de energía por conducción,
4. velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen debido a las fuerzas de gravitación,
5. fuerzas de presión,
6. fuerzas viscosas.
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Tema 4 — p. 15
Transformación a un sistema de coordenadas móvil:
212
ˆ . . . . .D
U v q v g pv vDt
Restando la ecuación de energía mecánica se obtiene la Ecuación de energía calorífica:
1. Velocidad de ganancia de energía interna por unidad de volumen,2. entrada de energía interna por conducción,3. aumento reversible de energía interna debido a la compresión4. aumento irreversible de energía interna debido a la disipación viscosa.
[1] [2] [3] [4]
ˆ. . :
DUq p v v
Dt
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Tema 4 — p. 16
Simplificando para el caso de fluido newtoniano y conductividad calorífica constante:
ˆˆ
ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ
ˆ VVT V
U U pdU dV dT p T dV C dT
T TV
ˆ
ˆ . . :VV
DT pC q T v v
Dt T
2ˆ .V vDT p
C k T T vDt T
La ecuación de energía en función de la temperatura
Generación
de energía
Fen
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Tema 4 — p. 17
Casos particulares
(a) Gas ideal.
2
ˆ
ˆ .VV
p p DTC k T p v
T T Dt
(b) Proceso a presión constante.
2ˆtan pDT
p cons te C k TDt
(c) Fluido incompresible.
2ˆtan . 0 pDT
cons te v C k TDt
(d) Sólido.2ˆ0 . 0 p
DTv v C k T
Dt
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Tema 4 — p. 18
La ecuación de energía en coordenadas rectangulares(en función de las densidades de flujo)
La ecuación de energía en coordenadas cilíndricas(en función de las densidades de flujo)
ˆ yx zv x y z
y yx z x zxx yy zz
y yx x z zxy xz yz
qq qT T T TC v v v
t x y z x y z
v vv v v vpT
T x y z x y z
v vv v v v
y x z x z y
1 1ˆ ( )
1 1 1( )
1
zv r z r
z r zr rr r zz
r z rr rz
v q qT T T TC v v rq
t r r z r r r z
v vv v vpT rv v
T r r r z r r z
v v v vr
r r r r
1 zz
vv
z r z
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Tema 4 — p. 19
La ecuación de energía en coordenadas esféricas(en función de las densidades de flujo)
22
22
ˆsen
1 1 1( ) sen
sen sen
1 1 1( ) sen
sen sen
1 1
sen
v r
r
r
r r rrr
vvT T T TC v
t r r r
qr q q
r r rr
vpT r v v
T r r rr
vv vv v v
r r r r r
cot
1 1
sen
1 1 cot
sen
r rr r
r
v vv vv v
r r r r r r
v vv
r r r
Fen
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Tema 4 — p. 20
La ecuación de energía en coordenadas rectangulares(en función de las propiedades de transporte, para ρ, μ y k constantes)
La ecuación de energía en coordenadas cilíndricas(en función de las propiedades de transporte, para ρ, μ y k constantes)
2 2 2
2 2 2
2 22 2
22
ˆ
2
v x y z
y yx z x
yx z z
T T T T T T TC v v v k
t x y z x y z
v vv v v
x y z y x
vv v v
z x z y
2 2
2 2 2
2 22 2
2
1 1ˆ
1 12
1
v r z
r z zr
z r r
vT T T T T T TC v v k r
t r r z r r r r z
v vv v vv
r r z z r
vv v vr
r z r r
2
r
Fen
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Tema 4 — p. 21
La ecuación de energía en coordenadas esféricas(en función de las propiedades de transporte, para ρ, μ y k constantes)
22
22
2 2 2 2
22
1ˆsen
1 1sen 2
sen sen
cot1 1
sen
1
v r
r
r r
vvT T T T TC v k r
t r r r r rr
vT T
rr r
vv vv v
r r r r r
vr
r r r
22
2
1
sen
sen 1
sen sen
r rvv v
rr r r
v v
r r
Fen
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Tema 4 — p. 22
1r z
T T Tq k q k q k
r r z
Componentes de la densidad de flujo de energía q (Ley de Fourier)
Coordenadas rectangulares:
Coordenadas cilíndricas:
Coordenadas esféricas:
x y zT T T
q k q k q kx y z
1 1
senr zT T T
q k q k q kr r r
Fen
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Tema 4 — p. 23
Limitaciones a la transformación de la ecuación de movimiento:• Bajas velocidades de fluido• Pequeñas variaciones de temperatura.
Ecuaciones adaptadas para procesos de convección natural
Fluido en reposo (ley de la hidrostática):
p ρg
Desarrollo en serie de la densidad:
g T T
Ec. de movimiento:
.Dv
p gDt
.Dv
g T TDt
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Tema 4 — p. 24
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Tema 4 — p. 25
Fen
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Tema 4 — p. 26
Fen
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Tema 4 — p. 27
κRR
r
oEl perfil de velocidad se obtiene integrando la ecuación de movimiento:
1
0
o
r z
r R
R rv R
v v
Ecuación de energía:2
10
vd dT dr r
r dr dr dr r
Substituyendo el perfil de velocidad...
2 4 4
2 42
41 10
1
o Rd dTr
r dr dr r
Flujo tangencial en tubos concéntricos con generación de calor de origen viscoso
T1
Tκ
T(r)
vθ(r)
Fen
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Tema 4 — p. 28
En coordenadas adimensionales:
4
1 14
d dN
d d
Brinkman
1
4
22
2 2
1
,
1
o
T Tr
R T T
N Br
RBr
T T
Integrando: 1 22
1lnN C C
Condiciones límite: 0
1 1
2 2
ln1 1
ln
N NN N
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1000
100
N
N
3000
2000
N
N
1
0.98
Fen
óm
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s d
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Tema 4 — p. 29
Enfriamiento por transpiración
Ecuación de continuidad:
22
10r
dr v
drr
Ecuación de energía:
22
1ˆp r
dT d dTC v k r
dr dr drr
Condiciones límite:
1
r R T T
r R T T
Tκ
T1
T(r)
CONDUCCIONkR R
CONVECCION
/ /1
/ /1
ˆ,
4
o o
o o
R r R Rr p
oR R R R
w CT T e eR
T T ke e
Integrando:
κR
R
constante2
4r
rw
r v
Fen
óm
eno
s d
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ran
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rte
Tema 4 — p. 30
Cálculo de la refrigeración mediante un balance macroscópico de energía:
1ˆ
r p refigerante conducción r Rw C T T Q Q
(a) A la corteza exterior:
(b) A la corteza interior:
0 1/ 1
ˆ4,
41o
r prefigerante oR R
w CkR T TQ R
ke
10 4
1
T TQ k R
Para un flujo de aire igual a cero:
0
11
1
o
o
Q Q
Q e
R
R
Eficacia de transpiración:
2 24refigerante conducción r Rr R
dTQ Q k R
dr
Fen
óm
eno
s d
e T
ran
spo
rte
Tema 4 — p. 31
Restricción: Propiedades físicas constantes (ρ, μ, k).
Ecuaciones con dimensiones
Ec. Continuidad: . 0v
Ec. Movimiento: o
(convección forzada)
- g T-T (convección libre)2 p gDvv
Dt
Ec. Energía: 2ˆp
DTC k T
Dt
Variables características: 1 0, , , ,oV D P T T
* * * * * * *2
1
, , , , , ,o o
o
p p T Tv tV x y zv p t T x y z
V D T T D D DV
Ec. Continuidad: * *. 0v
Ec. Movimiento:*
*2 * * **
1 1Dv gv p
Re Fr gDt
Ec. Energía:*
*2 * **
1
RePr RePr
DT BrT
Dt
2 2
1
ˆRe , , Pr ,p
o
CDV V VFr Br
gD k k T T
Análisis dimensional de las ecuaciones de variación
Ecuaciones adimensionales: Convección forzada
Fen
óm
eno
s d
e T
ran
spo
rte
Tema 4 — p. 32
Cambio de escala: Influencia del tamaño (D) sobre el calor retirado por el refrigerante (Q)
Calor retirado en el refrigerante:0nA
TQ k dA
n
Variables adimensionales: * * *2
1
, , o
o
T TA nA n T
D T TD
Transmisión de calor por convección forzada en un tanque agitado
Se mantiene:T1 (Disolución)T0 (Superficie refrigerante)ReSemejanza geométrica
Q cte D
**
**
1 *0
o
nA
TQ k T T D dA
n
*
*
*0
(Re,Pr, )n
Tf condiciones límite
n
Fen
óm
eno
s d
e T
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spo
rte
Tema 4 — p. 33
Ecuaciones adimensionales: Convección libre o natural
Variables características: 1, , oD T T
** ** *2
1
* * *
, ,
, ,
o
o
T TvD tv t T
T TD
x y zx y z
D D D
Ec. Continuidad: * **. 0v
Ec. Movimiento:**
*2 ** ***
Dv gv T Gr
gDt
Ec. Energía:*
*2 ***
1
Pr
DTT
Dt
Grashof
2 31
2
ˆPr ,
p oC g T T DGr
k
Fen
óm
eno
s d
e T
ran
spo
rte
Tema 4 — p. 34
Calor cedido por la resistencia:r RA
TQ k dA
r
Variables adimensionales: * * *2
1
, , o
o
T TA rA r T
D T TD
* **
**
*1 o r RA
Q TdA
k T T D r
Multiplicando ambos miembros por: 2 3
12
oT T gDGr
2 2
2( ) (Gr)
Q gDGr Gr
k
2 2 21
1 2 3 2oQ gD
T TgD k
La función se obtiene experimentando con el modelo.
Si además se utiliza el mismo fluido:
2 2
modelo prototipoQD QD 3 3
1 1modo oelo prototipoT T D T T D
Temperatura de la superficie de una espiral de calentamiento eléctrico
* *
*
*(Pr, , )
r R
Tf Gr condiciones límite
r
1
( )o
QGr
k T T D
Fen
óm
eno
s d
e T
ran
spo
rte
Tema 4 — p. 35
fuerzas de inercia
fuerzas viscosas
fuerzas de inercia
fuerzas de gravedad
fuerzas de flotación
fuerzas de inercia
transporte de calor
2
2
2
12 2
12
1
/Re
/
/
Re /
ˆ /PrRe
/
o
p o
o
V D
V D
V DFr
g
g T TGr
V D
C V T T D
k T T D
por convección
transporte de calor por conducción
producción de calor por disipación viscosa
transporte de calor por conducción
2
21
/
/o
V DBr
k T T D
Interpretación de los números adimensionales
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