View
5
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
Wykład drugi
2
Metody rozwiązywania układów równań liniowych
Poszukujemy rozwiązania układu równań liniowych A·x = b, det A ≠ 0
Rozwiązaniem jest wektor x*
Metody dokładne:eliminacji Gaussa, dekompozycji LU
Otrzymujemy rozwiązanie po określonej liczbie działań arytmetycznych,która zależy od liczby równań w układzie równań - n
Metody iteracyjne (przybliżone):Jacobiego, Gaussa-Seidla
Nie potrafimy określić ile kolejnych iteracji k należy wykonać, żeby oszacować wektor zbliżony do wektora x*
Metody rozwiązywania układów równań liniowych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3
Metody iteracji prostej:- metoda Jacobiego,- metoda Gaussa-Seidla.
2. Wzór rekurencyjny -
3. Warunki początkowe - )(ox
4. Warunki zakończenia obliczeń - )()1( kk xx
5. Rozwiązanie - *)1( xx k
1. Warunki zbieżności algorytmu
....,2,1,0)( )()1( kxfx kk
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4
Metody iteracji prostej
Dane jest równanie liniowe nR xbxA , (1)
A – macierz nieosobliwa n x n wymiarowa, b – wektor wyrazów wolnych,x – jest wektorem niewiadomych.
Równanie (1) przekształcamy do postaci: cxGx (2)
G – macierz n x n wymiarowa, c – wyrazy wolne
,2,1,0dla,,
1
0
kkk
n
cxGxx R
(3)
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5
,2,1,0dla,,
1
0
kkk
n
cxGxx R
(3)
Ciąg zdefiniowany formułą rekurencyjną algorytmu iteracji prostej.
Jeżeli ciąg
jest zbieżny, to jego granicą jest wektor będący
rozwiązaniem równania
*)1( xx k
...,2,1,0)1( kx k
...,2,1,0)1( kx k
cxGx
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6
AlgorytmAlgorytm to przepis postępowania, zbiór pewnych reguł,
- wszystkie czynności,
- kolejność ich wykonywania.
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
w matematyce oraz informatyce to:
skończony, uporządkowany zbiór jasno zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania pewnego zadania.
Zadanie:Algorytm ma przeprowadzić system z pewnego stanu początkowego do pożądanego stanu końcowego.
Realizacja:Algorytm może zostać zaimplementowany w postaci programu komputerowego lub innego urządzenia.
7
Zapis algorytmu – karta następstw, sieć działańSymbole i przykłady:
początek, koniec
operator, operacja do wykonania
operator wejścia, wyjścia, np. wprowadzanie danychdo pamięci, wyprowadzanie danych z pamięci
element decyzyjny
łącznikpołączenia poszczególnychsymboli
kierunek działania
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
START/STOP
k = k + 1
CZYTAJ a, b, c
A > B
8
Sieć działań Karta następstw
START
Dane wejściowe: M, x0, A, b, ε
Obliczenia: xk+1 = f (xk)
TAK
Drukuj xk+1
STOP
NIE
k = k + 1
k = 0
k = M
NIE
TAK
Ax + b = 0
M - liczba
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9
nR xbxA , cxGx
,2,1,0dla,,
1
0
kkk
n
cxGxx R
nnnnnn
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
2
1
2
1
21
22221
11211
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Metoda Jacobiego
10
Macierz G
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0
0
0
=
321
22
2
22
23
22
21
11
1
11
13
11
12
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
a
a
a
a
G
---
---
---
A·x = b A = A – AD+ AD
(A – AD + AD)·x = b
nn
D
a
aa
A
.00....0.00.0
22
11
x = G·x + c
AD·x = – (A – AD )·x + b
...,1,0)( 1)(
1)1(
kbAxAAAx DkDDk
(A – AD )·x + AD·x = b
x = – AD · (A – AD )·x + AD ·b-1 -1
11
bxA
cxGx
nnnnnn
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
2
1
2
1
21
22221
11211
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
macierz G
+•
0
0
0
= 2
1
2
1
321
22
2
22
23
22
21
11
1
11
13
11
12
2
1
nn
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
n c
c
c
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
a
a
a
a
x
x
x
---
---
---
12
nn
nknnnknkn
nnkn
knnkkk
knnkkk
i
abxaxaxa
ax
abxaxaxa
ax
abxaxaxa
ax
nix
,11,,22,111,
22
2,2,323,121
221,2
11
1,1,313,212
111,1
0,
1..................................................................
1
1
,,,2,1dla,
R
,2,1,0k
nn
nn a
bc
abc
abc
22
22
11
11
macierz G
Formuła rekurencyjna algorytmu w metodzie Jacobiego
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
13
cx )0(
Kończymy obliczenia, gdy )()1( kk xx
Rozwiązanie *)1( xx k
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sprawdzamy warunek zbieżności:
Jeśli warunek zbieżności jest spełniony to zaczynamy obliczenia
od przyjęcia, że
nnnn
n
n
ggg
gggggg
G
21
22221
11211
nig
njg
n
jij
n
iij
,...,2,11
...,,2,11
1
1
14
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Krok 1
+•
0
0
0
= 2
1
)(,
)(,2
)(,1
321
22
2
22
23
22
21
11
1
11
13
11
12
)1+(,
)1+(,2
)1+(,1
nkn
k
k
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
kn
k
k
c
c
c
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
a
a
a
a
x
x
x
---
---
---
15
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Krok 1
Krok 2
…
+•
0
0
0
= 2
1
)(,
)(,2
)(,1
321
22
2
22
23
22
21
11
1
11
13
11
12
)1+(,
)1+(,2
)1+(,1
nkn
k
k
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
kn
k
k
c
c
c
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
a
a
a
a
x
x
x
---
---
---
+•
0
0
0
= 2
1
)1+(,
)1+(,2
)1+(,1
321
22
2
22
23
22
21
11
1
11
13
11
12
)2+(,
)2+(,2
)2+(,1
nkn
k
k
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
kn
k
k
c
c
c
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
a
a
a
a
x
x
x
---
---
---
16
521161215112
321
321
321
xxxxxxxxx
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 1:
17
521161215112
321
321
321
xxxxxxxxx
ε = 0,2
cx )0(
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 1:
( ) ( ) εkk <1+ xx -
18
521161215112
321
321
321
xxxxxxxxx
ε = 0,2
cx )0(
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 1:
Przekształcamy układ równań do postaci dogodnej do rozwiązania metodę Jacobiego:
( ) ( ) εkk <1+ xx -
...,2,1,0
25
21
21
26
21
21
25
21
21
,2,11,3
,3,11,2
,3,21,1
k
xxx
xxx
xxx
kkk
kkk
kkk
19
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 1: Warunek zbieżności
...,2,1,0
25
21
21
26
21
21
25
21
21
,2,11,3
,3,11,2
,3,21,1
k
xxx
xxx
xxx
kkk
kkk
kkk
nig
njg
n
jij
n
iij
,...,2,11
...,,2,11
1
1
20
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 1: Warunek zbieżności
...,2,1,0
25
21
21
26
21
21
25
21
21
,2,11,3
,3,11,2
,3,21,1
k
xxx
xxx
xxx
kkk
kkk
kkk
nig
njg
n
jij
n
iij
,...,2,11
...,,2,11
1
1
21
21
2
1
2
121
21
0
=
0--
- 0 -
--
G
21
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 1: Warunek zbieżności
...,2,1,0
25
21
21
26
21
21
25
21
21
,2,11,3
,3,11,2
,3,21,1
k
xxx
xxx
xxx
kkk
kkk
kkk
nig
njg
n
jij
n
iij
,...,2,11
...,,2,11
1
1
21
21
2
1
2
121
21
0
=
0--
- 0 -
--
G
121
21
121
21
121
21
22
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 1: Warunek zbieżności
...,2,1,0
25
21
21
26
21
21
25
21
21
,2,11,3
,3,11,2
,3,21,1
k
xxx
xxx
xxx
kkk
kkk
kkk
nig
njg
n
jij
n
iij
,...,2,11
...,,2,11
1
1
21
21
2
1
2
121
21
0
=
0--
- 0 -
--
G
121
21
121
21
121
21
Warunki zbieżności „po wierszach”nie są spełnione!
Nie liczymy dalej.
23
ε = 0,2
cx )0(
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2:
( ) ( ) εkk <1+ xx -
531161415113
321
321
321
xxxxxxxxx
24
ε = 0,2
cx )0(
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2:
Przekształcamy układ równań do postaci:
( ) ( ) εkk <1+ xx -
531161415113
321
321
321
xxxxxxxxx
,...2,1,0
35
31
31
46
41
41
35
31
31
,2,11,3
,3,11,2
,3,21,1
k
xxx
xxx
xxx
kkk
kkk
kkk
,...2,1,0
35
31
31
46
41
41
35
31
31
,2,11,3
,3,11,2
,3,21,1
k
xxx
xxx
xxx
kkk
kkk
kkk
25
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2: Warunek zbieżności
nig
njg
n
jij
n
iij
,...,2,11
...,,2,11
1
1
,...2,1,0
35
31
31
46
41
41
35
31
31
,2,11,3
,3,11,2
,3,21,1
k
xxx
xxx
xxx
kkk
kkk
kkk
26
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2: Warunek zbieżności
nig
njg
n
jij
n
iij
,...,2,11
...,,2,11
1
1
31
31
4
1
4
131
31
0
=
0--
- 0 -
--
G
,...2,1,0
35
31
31
46
41
41
35
31
31
,2,11,3
,3,11,2
,3,21,1
k
xxx
xxx
xxx
kkk
kkk
kkk
27
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2: Warunek zbieżności
nig
njg
n
jij
n
iij
,...,2,11
...,,2,11
1
1
31
31
4
1
4
131
31
0
=
0--
- 0 -
--
G
1<32
=31
+31
1<21
=41
+41
1<32
=31
+31
--
--
--
,...2,1,0
35
31
31
46
41
41
35
31
31
,2,11,3
,3,11,2
,3,21,1
k
xxx
xxx
xxx
kkk
kkk
kkk
28
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2: Warunek zbieżności
nig
njg
n
jij
n
iij
,...,2,11
...,,2,11
1
1
31
31
4
1
4
131
31
0
=
0--
- 0 -
--
G
Warunki zbieżności „po wierszach”są spełnione!
Liczymy dalej.1<
32
=31
+31
1<21
=41
+41
1<32
=31
+31
--
--
--
2966,135
5,146
66,135
)0(
cx
...,2,1,0
35
31
31
46
41
41
35
31
31
,2,11,3
,3,11,2
,3,21,1
k
xxx
xxx
xxx
kkk
kkk
kkk
66,15,166,1 )0(3)0(2)0(1 xxx
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2:
30
606,066,15,13166,1
31
67,05,166,14166,1
41
606,066,166,1315,1
31
)1(3
)1(2
)1(1
x
x
x
66,15,166,1 )0(3)0(2)0(1 xxx
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 1:
66,1=5,1=66,1= 321 ccc
31
606,066,15,13166,1
31
67,05,166,14166,1
41
606,066,166,1315,1
31
)1(3
)1(2
)1(1
x
x
x
66,15,166,1 )0(3)0(2)0(1 xxx
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 1:
Zapis macierzowy:
606,0
67,0
606,0
=
66,1
5,1
66,1
+
66,1
5,1
66,1
•
31
31
41
41
31
31
0
=
)1(,3
)1(,2
)1(,1
0--
- 0 -
--
x
x
x
66,1=5,1=66,1= 321 ccc
32
Sprawdzamy warunek zakończenia obliczeń
2,066,1606,02,05,167,02,066,1606,0
)0(3)1(3
)0(2)1(2
)0(1)1(1
xxxxxx
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 1:
33
Sprawdzamy warunek zakończenia obliczeń
2,066,1606,02,05,167,02,066,1606,0
)0(3)1(3
)0(2)1(2
)0(1)1(1
xxxxxx
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 1:
Warunek nie został spełniony, liczymy dalej.
34
606,0=67,0=606,0= )1(3)1(2)1(1 xxx
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 2:
234,166,167,031606,0
31
197,15,1606,041606,0
41
23,166,1606,03167,0
31
)2(3
)2(2
)2(1
x
x
x 66,1=5,1=66,1= 321 ccc
35
606,0=67,0=606,0= )1(3)1(2)1(1 xxx
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 2:
Zapis macierzowy:
234,166,167,031606,0
31
197,15,1606,041606,0
41
23,166,1606,03167,0
31
)2(3
)2(2
)2(1
x
x
x
234,1
197,1
23,1
=
66,1
5,1
66,1
+
606,0
67,0
606,0
•
31
31
4
1
4
131
31
0
=
)2(,3
)2(,2
)2(,1
0--
- 0 -
--
x
x
x
66,1=5,1=66,1= 321 ccc
36
Sprawdzamy warunek zakończenia obliczeń
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 2:
2,0606,0234,12,067,0197,12,0606,023,1
)1(3)2(3
)1(2)2(2
)1(1)2(1
xxxxxx
37
Sprawdzamy warunek zakończenia obliczeń
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 2:
2,0606,0234,12,067,0197,12,0606,023,1
)1(3)2(3
)1(2)2(2
)1(1)2(1
xxxxxx
Warunek nie został spełniony, liczymy dalej.
38
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 3:
851,066,1197,13123,1
31
884,05,1234,14123,1
41
849,066,1234,131197,1
31
)3(3
)3(2
)3(1
x
x
x
234,1197,123,1 )2(3)2(2)2(1 xxx
66,1=5,1=66,1= 321 ccc
39
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 3:
Zapis macierzowy:
851,066,1197,13123,1
31
884,05,1234,14123,1
41
849,066,1234,131197,1
31
)3(3
)3(2
)3(1
x
x
x
234,1197,123,1 )2(3)2(2)2(1 xxx
851,0
884,0
849,0
=
66,1
5,1
66,1
+
234,1
197,1
23,1
•
31
31
4
1
4
131
31
0
=
)3(,3
)3(,2
)3(,1
0--
- 0 -
--
x
x
x
66,1=5,1=66,1= 321 ccc
40
Sprawdzamy warunek zakończenia obliczeń
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 3:
2,0234,1851,02,0197,1884,0
2,023,1849,0
)2(3)3(3
)2(2)3(2
)2(1)3(1
xxxxxx
41
Sprawdzamy warunek zakończenia obliczeń
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 3:
2,0234,1851,02,0197,1884,0
2,023,1849,0
)2(3)3(3
)2(2)3(2
)2(1)3(1
xxxxxx
Warunek nie został spełniony, liczymy dalej.
42
851,0=884,0=849,0= )3(3)3(2)3(1 xxx
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 4:
08,166,1884,031849,0
31
075,15,1851,041849,0
41
08,166,1851,031884,0
31
)4(3
)4(2
)4(1
x
x
x66,1=5,1=66,1= 321 ccc
43
851,0=884,0=849,0= )3(3)3(2)3(1 xxx
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 4:
Zapis macierzowy:
08,166,1884,031849,0
31
075,15,1851,041849,0
41
08,166,1851,031884,0
31
)4(3
)4(2
)4(1
x
x
x
08,1
075,1
08,1
=
66,1
5,1
66,1
+
851,0
884,0
849,0
•
31
31
4
1
4
131
31
0
=
)4(,3
)4(,2
)4(,1
0--
- 0 -
--
x
x
x
66,1=5,1=66,1= 321 ccc
44
Sprawdzamy warunek zakończenia obliczeń
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 4:
2,0229,0851,008,12,0191,0884,0075,1
2,0231,0849,008,1
)3(3)4(3
)3(2)4(2
)3(1)4(1
xxxxxx
45
Sprawdzamy warunek zakończenia obliczeń
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 4:
2,0229,0851,008,12,0191,0884,0075,1
2,0231,0849,008,1
)3(3)4(3
)3(2)4(2
)3(1)4(1
xxxxxx
Warunek nie został spełniony, liczymy dalej.
46
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 5:
941,066,1075,13108,1
31
96,05,108,14108,1
41
941,066,108,131075,1
31
)5(3
)5(2
)5(1
x
x
x
08,1=075,1=08,1= )4(3)4(2)4(1 xxx
66,1=5,1=66,1= 321 ccc
47
08,1=075,1=08,1= )4(3)4(2)4(1 xxx
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 5:
Zapis macierzowy:
941,066,1075,13108,1
31
96,05,108,14108,1
41
941,066,108,131075,1
31
)5(3
)5(2
)5(1
x
x
x
941,0
96,0
941,0
=
66,1
5,1
66,1
+
851,0
884,0
849,0
•
31
31
4
1
4
131
31
0
=
)5(,3
)5(,2
)5(,1
0--
- 0 -
--
x
x
x
66,1=5,1=66,1= 321 ccc
48
Sprawdzamy warunek zakończenia obliczeń
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 5:
2,0139,008,1941,02,0115,0075,196,02,0139,008,1941,0
)4(3)5(3
)4(2)5(2
)4(1)5(1
xxxxxx
49
Sprawdzamy warunek zakończenia obliczeń
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Jacobiego---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 2, iteracja nr 5:
2,0139,008,1941,02,0115,0075,196,02,0139,008,1941,0
)4(3)5(3
)4(2)5(2
)4(1)5(1
xxxxxx
warunek spełniony
Rozwiązanie 94,096,0,94,0 *3
*2
*1 xxx
Rozwiązanie dokładne 1321 xxx
50
nR xbxA , cxGx
nnnnnn
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
2
1
2
1
21
22221
11211
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Metoda Gaussa-Seidla
51
bxA
cxGx
nnnnnn
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
2
1
2
1
21
22221
11211
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
macierz G
+•
0
0
0
= 2
1
2
1
321
22
2
22
23
22
21
11
1
11
13
11
12
2
1
nn
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
n c
c
c
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
a
a
a
a
x
x
x
---
---
---
52
bxA
cxGx
nnnnnn
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
2
1
2
1
21
22221
11211
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
macierz G
+•
0
0
0
= 2
1
2
1
321
22
2
22
23
22
21
11
1
11
13
11
12
2
1
nn
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
n c
c
c
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
a
a
a
a
x
x
x
---
---
---
Wektor inny niż metodzie Jacobiego
53
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A = AL + AD + AU
0.....0.00.00
21
21
nn
L
aa
aA
nn
D
a
aa
A
.00....0.00.0
22
11
0.00....
.00
.0
2
112
n
n
U
aaa
A
(AL + AD + AU)·x = b
(AL + AD)·x = - AU ·x + b
...,1,01)(
1)1(
1)1(
kbAxAAxAAx DkUDkLDk
(AL + AD)·x(k+1) = - AU ·x(k) + b k = 0, 1, …
AD·x(k+1) = - AL·x(k+1) - AU ·x(k) + b k = 0, 1, …
54
,2,1,0k
nn
nn a
bc
abc
abc
22
22
11
11
macierz G
Formuła rekurencyjna algorytmu w metodzie Gaussa-Seidla
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
nn
nknnnknnnknkn
nnkn
knnkkkk
knnkkk
knnkkk
abxaxaxaxa
ax
abxaxaxaxa
ax
abxaxaxa
ax
abxaxaxa
ax
,1,11,1,221,111,
33
3,3,4341,2321,131
331,3
22
2,2,3231,121
221,2
11
1,1,313,212
111,1
1...................................................................................
1
1
1
55
,2,1,0k
nn
nn a
bc
abc
abc
22
22
11
11
macierz G
Formuła rekurencyjna algorytmu w metodzie Gaussa-Seidla
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
nn
nknnnknnnknkn
nnkn
knnkkkk
knnkkk
knnkkk
abxaxaxaxa
ax
abxaxaxaxa
ax
abxaxaxa
ax
abxaxaxa
ax
,1,11,1,221,111,
33
3,3,4341,2321,131
331,3
22
2,2,3231,121
221,2
11
1,1,313,212
111,1
1...................................................................................
1
1
1
56
cx )0(
Kończymy obliczenia, gdy )()1( kk xx
Rozwiązanie *)1( xx k
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sprawdzamy warunek zbieżności:
Jeśli warunek zbieżności jest spełniony to zaczynamy obliczenia
od przyjęcia, że
nnnn
n
n
ggg
gggggg
G
21
22221
11211
nig
njg
n
jij
n
iij
,...,2,11
...,,2,11
1
1
57
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Krok 1, obliczenia dla x1
Krok 1, obliczenia dla x2
Krok 1, obliczenia dla x3
…
1+•...=
)(,
)(,2
)(,1
11
1
11
12
11
12)1+(,1 c
x
x
x
a
a
a
a
a
ax
kn
k
k
nk
---0
2+•...0=
)(,
)(,2
)1+(,1
22
2
22
23
22
21)1+(,2 c
x
x
x
a
a
a
a
a
ax
kn
k
k
nk
---
3+•...0=
)(,
)1+(,2
)1+(,1
33
3
33
32
33
31)1+(,3 c
x
x
x
a
a
a
a
a
ax
kn
k
k
nk
---
Pierwszy wiersz macierzy G
Trzeci wiersz macierzy G
Drugi wiersz macierzy G
58
5=3+1+1
6=1+4+1
5=1+1+3
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład:
59
ε = 0,2
cx )0(
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład:
( ) ( ) εkk <1+ xx -
5=3+1+1
6=1+4+1
5=1+1+3
321
321
321
xxx
xxx
xxx
,...2,1,0
35
31
31
46
41
41
35
31
31
1,21,113
,31,11,2
,3,21,1
k
xxx
xxx
xxx
kkk
kkk
kkk
60
ε = 0,2
cx )0(
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład:
Przekształcamy układ równań do postaci:
( ) ( ) εkk <1+ xx -
5=3+1+1
6=1+4+1
5=1+1+3
321
321
321
xxx
xxx
xxx
,...2,1,0
35
31
31
46
41
41
35
31
31
1,21,113
,31,11,2
,3,21,1
k
xxx
xxx
xxx
kkk
kkk
kkk
61
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład: Warunek zbieżności
nig
njg
n
jij
n
iij
,...,2,11
...,,2,11
1
1
,...2,1,0
35
31
31
46
41
41
35
31
31
1,21,113
,31,11,2
,3,21,1
k
xxx
xxx
xxx
kkk
kkk
kkk
62
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład: Warunek zbieżności
nig
njg
n
jij
n
iij
,...,2,11
...,,2,11
1
1
31
31
4
1
4
131
31
0
=
0--
- 0 -
--
G
,...2,1,0
35
31
31
46
41
41
35
31
31
1,21,113
,31,11,2
,3,21,1
k
xxx
xxx
xxx
kkk
kkk
kkk
63
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład: Warunek zbieżności
nig
njg
n
jij
n
iij
,...,2,11
...,,2,11
1
1
31
31
4
1
4
131
31
0
=
0--
- 0 -
--
G
1<32
=31
+31
1<21
=41
+41
1<32
=31
+31
--
--
--
,...2,1,0
35
31
31
46
41
41
35
31
31
1,21,113
,31,11,2
,3,21,1
k
xxx
xxx
xxx
kkk
kkk
kkk
64
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład: Warunek zbieżności
nig
njg
n
jij
n
iij
,...,2,11
...,,2,11
1
1
31
31
4
1
4
131
31
0
=
0--
- 0 -
--
G
1<32
=31
+31
1<21
=41
+41
1<32
=31
+31
--
--
--Warunki zbieżności „po wierszach”są spełnione!
Liczymy dalej.
6566,135
5,146
66,135
)0(
cx
...,2,1,0
35
31
31
46
41
41
35
31
31
,2,11,3
,3,11,2
,3,21,1
k
xxx
xxx
xxx
kkk
kkk
kkk
66,15,166,1 )0(3)0(2)0(1 xxx
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład:
66
66,15,166,1 )0(3)0(2)0(1 xxx
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład, iteracja nr 1:
147,166,1932,031606,0
31
932,05,166,141606,0
41
606,066,166,1315,1
31
)1(3
)1(2
)1(1
x
x
x
147,1932,0606,0 )1(3)1(2)1(1 xxx
Sprawdzamy warunek zakończenia obliczeń:
2,066,1147,12,05,1932,02,066,1606,0
)0(3)1(3
)0(2)1(2
)0(1)1(1
xxxxxx Warunek
nie został spełniony, liczymy dalej.
66,1=5,1=66,1= 321 ccc
67
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład, iteracja nr 2: 147,1=932,0=606,0= )1(3)1(2)1(1 xxx
013,166,19715,031967,0
31
9715,05,1147,141967,0
41
967,066,1147,131932,0
31
)2(3
)2(2
)2(1
x
x
x
013,19715,0967,0 )2(3)2(2)2(1 xxx
sprawdzamy warunek zakończenia obliczeń:
2,0101,01147,1013,12,00395,0932,09715,0
2,0606,0967,0
)1(3)2(3
)1(2)2(2
)1(1)2(1
xxxx
xxWarunek nie został spełniony, liczymy dalej.
66,1=5,1=66,1= 321 ccc
9948,066,19971,0319985,0
31
9971,05,1013,1419985,0
41
9985,066,1013,1319715,0
31
)3(3
)3(2
)3(1
x
x
x
68
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, metoda Gaussa-Seidla---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład, iteracja nr 3: 013,1=9715,0=967,0= )2(3)2(2)2(1 xxx
9948,09971,09985,0 )3(3)3(2)3(1 xxx
sprawdzamy warunek zakończenia obliczeń:
2,00182,0013,19948,02,00256,09715,09971,0
2,00315,0967,09985,0
)2(3)3(3
)2(2)3(2
)2(1)3(1
xxxxxx
9948,09971,0,9985,0 *3
*2
*1 xxxRozwiązanie
Warunek spełniony, koniec obliczeń.
66,1=5,1=66,1= 321 ccc
69
Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody iteracyjne, podsumowanie---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
metoda Gaussa-Seidla
wynik uzyskany po trzeciej iteracji:
metoda Jacobiego
wynik uzyskany po piątej iteracji:
9948,09971,0,9985,0 *3
*2
*1 xxx
94,0=96,0=94,0= *3
*2
*1 xxx
wynik dokładny:
1321 xxx
Pytania na kolokwium z wykładu:
1. Co to jest algorytm? Narysuj sieć działań obrazującą algorytm obliczeń w metodzie Jacobiego.
2. Opisać metodę Jacobiego rozwiązywania układu równań liniowych.
3. Opisać metodę Gaussa-Seidla rozwiązywania układu równań liniowych.
Wykład 2 – pytania ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
72
Recommended