x แทนตัวแปร119.46.166.126/self_all/selfaccess12/m6/713/image/tutor17.pdf-...

ในการสรางความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลสวนมากนยมใช x แทนตวแปรอสระ y แทนตวแปรตาม

ขอมลทน ามาสรางความสมพนธจะตองประกอบดวยคาจากการสงเกตเปนจ านวนมากพอควร ซงควรจะมตงแต 8 คาขนไป เพราะหากคาการสงเกตมจ านวนนอยแลว สมการทแสดงความสมพนธระหวางขอมลของ 2 ตวแปรอาจจะไมใกลเคยงกบความเปนจรง กลาวคออาจท าใหผลจากการท านายคาตวแปรจากสมการคลาดเคลอนจากความเปนจรงไปมาก

ชนดของความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล โดยทวไปความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทประกอบดวยตวแปร 2 ตว แบงออกเปน 2 ชนด คอ 1) ความสมพนธเชงฟงกชนทเปนเสนตรง 2) ความสมพนธเชงฟงกชนทไมเปนเสนตรง (เสนโคง)

1) ความสมพนธเชงฟงกชนทเปนเสนตรง ความสมพนธชนดน มรปสมการโดยทวไปดงน โดยท x เปนตวแปรอสระ y เปนตวแปรตาม m เปนความชนของเสนตรง c เปนคาคงตว และเปนระยะตดแกน y

Y = mx + c

1) ความสมพนธเชงฟงกชนทเปนเสนตรง

Y = mx + c

2) ความสมพนธเชงฟงกชนทไมเปนเสนตรง (เสนโคง) แบงออกเปน 2 ชนด คอ ความสมพนธเชงฟงกชนทเปนพาราโบลา กบความสมพนธเชงฟงกชนทเปนเอกซโพเนนเชยล - ความสมพนธเชงฟงกชนทเปนพาราโบลา เมอ x เปนตวแปรอสระ y เปนตวแปรตาม a, b, c เปนคาคงตวโดย a ≠ 0

𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

2) ความสมพนธเชงฟงกชนทไมเปนเสนตรง (เสนโคง)

𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

2) ความสมพนธเชงฟงกชนทเปนเอกซโพเนนเชยล มรปสมการทวไปเปนดงน

𝒚 = 𝒂𝒃𝒙

แผนภาพการกระจาย ในการสรางความสมพนธเชงฟงกชน สงทเราจะตองรเปนอนดบแรกกคอ ขอมลทโจทยก าหนดมาใหนน มความสมพนธกนเปนสมการชนดใด (เสนตรง หรอพาราโบลา หรอเอกซโพเนนเชยล) และวธทจะทราบนน กตองน าขอมลทโจทยก าหนด มาเขยนเปนกราฟ โดยขนแรกจะตองเขยนเปนจดกอน (ใหคา x อยบนแกนนอน คา y อยบนแกนตง) แลวขนตอไปกพจารณาวาจดเหลานน เรยงตวกนแลวมแนวโนมเปนสมการชนดใด ลกษณะการเขยนกราฟเชนน เรยกวา "แผนภาพการกระจาย" เชน

แผนภาพการกระจาย

แผนภาพการกระจาย แตในบางครงการพจารณาแผนภาพการกระจาย ไมสามารถบอกไดแนนอนวา ความสมพนธนนเปนแบบใดเพราะลกษณะการกระจายนนไมเขาลกษณะใดใน 3 ลกษณะเลย หรอลกษณะการกระจายนนอาจจะใกลเคยงกบรปแบบ 2 รปแบบ หากเกดกรณเชนนการสรางความสมพนธใหเปนแบบใดนนกจะขนอยกบความช านาญของผสราง แตในระดบมธยมศกษาตอนปลาย แลวสวนมากโจทยจะสงมาเลยวาใหเราสรางความสมพนธเชงฟงกชนแบบใด

สมการปกต เมอทราบถงรปแบบความสมพนธของฟงกชน จากการสรางแผนภาพการกระจายแลว ขนตอไปกตองหาสมการของความสมพนธดงกลาว ซงการหานนตองหาจากรปทวไปของแตละสมการ เชน ถารวาความสมพนธของขอมลเปนแบบเสนตรง กตองหาสมการจากรป y = mx + c เปนตน และตามหลกของการแกสมการ

ถามตวไมทราบคา k ตว เราตองสรางสมการขนมาใหได k สมการจงจะสามารถแกสมการหาคาตวไมทราบคาไดครบถวน

สมการปกต ดงนนหากสมการรปทวไปมคาคงตว 2 ตว (เชน m และ c จากสมการเสนตรง) เรากตองสรางสมการรองรบ 2 สมการ และวธการสรางสมการรองรบนจะสรางโดยอาศย "ระเบยบวธก าลงสองนอยทสด" (รายละเอยดของวธก าลงสองนอยทสด ตองใชความรคณตศาสตรชนสง ในระดบชนนใหน าผลไปใชโดยไมจ าเปนตองทราบทมา) และสมการรองรบทถกสรางขนมาน เรยกวา "สมการปกต" ฉะนนจงสรปไดวา

สมการปกต คอ สมการทถกสรางขนมา เพอใหสามารถแกสมการหาคาคงตว จากสมการรปทวไปของความสมพนธเชงฟงกชนในรปแบบตาง ๆ ได

1. ถา "คาคงตวทตองการหา" ม k ตว ตองสรางสมการปกตขน k สมการดวย 2. และโดยปกตแลว สมการเสนตรง จะมสมการปกต 2 สมการ สมการพาราโบลา จะมสมการปกต 3 สมการ สมการเอกซโพเนนเชยล จะมสมการปกต 2 สมการ

สมการปกตของสมการเสนตรง สมการพาราโบลา สมการเอกซโพเนน-เชยล ซงสมการปกตของสมการใหญจะไมเหมอนกนเลย เพราะรปทวไปของแตละสมการไมเหมอนกนนนเอง และในตอนทายของกลมสมการปกตกจะอธบายเทคนคงาย ๆ

**ในการสรางปกตจรง ๆ แลว ตองใชระเบยบวธก าลงสองนอยทสด ซงจะคอนขางยงยากและสลบซบซอนส าหรบนกเรยนระดบชนมธยมศกษาตอนปลาย และเทคนคทเสนอใหเพอหาสมการปกตนนไมใชกระบวนการของระเบยบวธก าลงสองนอยทสด

สมการปกตส าหรบสมการเสนตรง รปทวไป : 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 สมการปกต : 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑛𝑐

𝑥𝑦 = 𝑚 𝑥2 + 𝑐 𝑥 1. 𝑦 , 𝑥 , … ในสมการปกตนน ถาเขยนเตมรปแบบจะเปน 𝑦𝑖 , 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛𝑖=1 , … ทเขยนแบบยอ ๆ กเพอสะดวกแกการทองจ า

2. n คอ จ านวนคของตวแปรอสระและตวแปรตาม

*** 3. ทมาของสมการปกต ดงน ชนท 1 นกเรยนตองทราบสมการรปทวไป และตองทราบวามสมการปกตกสมการ (สงเกตจ านวนคาคงตว) และตองทราบวาตวแปรใดเปนตวแปรอสระ ชนท 2 สมการปกต สมการ (1) ไดจากการน า " " ไป take สมการรปทวไปดงน 𝑦 = 𝑚𝑥 = 𝑐 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑛𝑐 ............... (1)

ชนท 3 สมการปกต สมการท (2) ใหท าดงน ก. น าตวแปรอสระ (ในทนคอ x) คณตลอดสมการทวไปใหเปน 𝑥𝑦 = 𝑚𝑥2 + 𝑐𝑥 ข. น า " " ไป take สมการใน (ขอ ก.) 𝑥𝑦 = 𝑚𝑥2 + 𝑐𝑥 𝑥𝑦 = 𝑚 𝑥2 + 𝑐 𝑥............... (2) ซงจะไดสมการปกตดเหมอนขางบน

สมการปกตส าหรบสมการพาราโบลา รปทวไป : 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 สมการปกต : 𝑦 = 𝑎 𝑥2 + 𝑏 𝑥 + 𝑛𝑐 𝑥𝑦 = 𝑎 𝑥3 + 𝑏 𝑥2 + 𝑐 𝑥 𝑥2𝑦 = 𝑎 𝑥4 + 𝑏 𝑥3 + 𝑥2

สมการปกตส าหรบสมการพาราโบลา ขอสงเกต ขนตอนการหาสมการปกต 1. สมการปกต สมการท 1 ไดจากการ take " " สมการรปทวไปดงน 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏 𝑥 + 𝑛𝑐............... (1) 2. สมการปกตสมการท 2 ใหท าดงน ก. น าตวแปรอสระ (ตว x ) คณตลอดสมการรปทวไปกอน

𝑥𝑦 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥

สมการปกตส าหรบสมการพาราโบลา ข. น า " " take สมการใน (ขอ ก.) 𝑥𝑦 = 𝑎𝑥3 + 𝑏 𝑥2 + 𝑐𝑥 𝑥𝑦 = 𝑎 𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 𝑥............... (2) 3. สมการปกตสมการท 3 ใหท าดงน ก. น า "(ตวแปรอสระ)2" (ในทนคอ x2 ) คณตลอดสมการรปทวไปกอน 𝑥2𝑦 = 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 ข. น า " " take สมการใน (ขอ ก.)

สมการปกตส าหรบสมการพาราโบลา

𝑥2𝑦 = 𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2

𝑥2𝑦 = 𝑎 𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐 𝑥2 ............... (3)

สมการปกตส าหรบสมการเอกซโพเนนเชยล รปทวไป (1) : 𝑦 = 𝑎𝑏𝑥 รปทวไป (2) : log 𝑦 = log 𝑏 𝑥 + log 𝑎 สมการปกต : log 𝑦 = log 𝑏 𝑥 + 𝑛. log 𝑎 𝑥 log 𝑦 = log 𝑏 𝑥2 + log 𝑎 𝑥 จากรปทวไป 𝑦 = 𝑎𝑏𝑥 ตองเปลยนใหอยในรปของ log มฉะนนจะมปญหาเมอเวลา take " "

สมการปกตส าหรบสมการเอกซโพเนนเชยล ขนตอนการหาสมการปกต 1. เปลยน 𝑦 = 𝑎𝑏𝑥 ใหอยในรปของ log โดยการน าใสสองขาง log y = log 𝑎𝑏𝑥 = log 𝑏𝑥 = log 𝑎 + 𝑥 log 𝑏 หรอ log 𝑦 = log 𝑏 𝑥 + log 𝑎 2. สมการปกต สมการท 1 ไดจากการ take " " สมการรปทวไปในขอ 1 log 𝑦 = log 𝑏 𝑥 + log 𝑎 log 𝑦 = log 𝑏 𝑥 + 𝑛 log 𝑎............... (1)

สมการปกตส าหรบสมการเอกซโพเนนเชยล ขนตอนการหาสมการปกต 3. สมการปกต สมการท 2 ใหท าดงน ก. น าตวแปรอสระ (ตว x ) คณตลอดสมการรปทวไปกอน x log y = log 𝑏 𝑥2 + log 𝑎 𝑥 ข. น า " " take สมการใน (ขอ ก.) 𝑥 log 𝑦 = log 𝑏 𝑥2 + log 𝑎 𝑥 𝑥 log 𝑦 = log 𝑏 𝑥2 + log 𝑎 𝑥 ............... (2)

สรป ถาความสมพนธเชงฟงกชนอยใน 𝑦 = 𝑓 𝑥 แลว 1. ความสมพนธเชงฟงกชนน ม x เปนตวแปรอสระและ y เปนตวแปรตาม 2. ตองก าหนดคา x ให จงจะสามารถท านายคาของ y ได [นนคอตวแปรทจะท านายคา (หาคา)ตองเปนตวแปรตามเทานน] 3. ถาก าหนดคา y ให จงจะสามารถหาคาหรอท านายคา x ไมได เนองจาก x เปนตวแปรอสระ หากตองการท านายคา x ตองสรางความสมพนธใหมเปน 𝑥 = 𝑓 𝑦 ซงความสมพนธนม y เปนตวแปรอสระ และ x เปนตวแปรตาม

สรป(ตอ) ถาความสมพนธเชงฟงกชนอยใน 𝑦 = 𝑓 𝑥 แลว 4. จากสมการรปทวไปถามคาคงตว (เชน m , c , a , b , c) k ตวตองสรางสมการปกต k สมการดวย 5. สมการความสมพนธเชงฟงกชนทถกสรางจากขอมลกลมหนง ๆ จะใชท านายความเปนไปไดของขอมลกลมนน ๆ เทานน แตจะน าไปใชท านายความเปนไปไดของขอมลกลมอน ๆ ไมได

ตวอยางท 1 ตารางตอไปนเปนความสมพนธระหวาง x กบ y 1. จงเขยนแผนภาพการกระจายของขอมล และเขยนกราฟทใชแสดงความสมพนธ 2. จงหาสมการทแสดงความสมพนธระหวาง x กบ y โดยให x เปนตวแปรอสระ 3. จากสมการในขอ 2 จงท านายคาของ y เมอก าหนดให x = 10 4. จงท านายคาของ x เมอก าหนดให y = 11

x 1 2 3 4 5

y 2 3 5 6 9

1. จงเขยนแผนภาพการกระจายของขอมล และเขยนกราฟทใชแสดงความสมพนธ

x 1 2 3 4 5

y 2 3 5 6 9

2. จงหาสมการทแสดงความสมพนธระหวาง x กบ y โดยให x เปนตวแปรอสระ วธท า รปทวไป : 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 สมการปกต : 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑛𝑐 ...................(1)

𝑥𝑦 = 𝑚 𝑥2 + 𝑐 𝑥 ...................(2)

เขยนตาราง

แทนคาใน (1) และ (2) จะได 25 = 15𝑚 + 5𝑐 ............................(1) 92 = 55𝑚 + 15𝑐 ............................(2) (1) x 3 75 = 45𝑚 + 15𝑐 ............................(3) (2) - (3) 17 = 10𝑚

𝑚 =17

10= 1.7

แทน m = 1.7 ใน (1)

25 = 15(1.7) + 5𝑐 25 = 25.5 + 5𝑐

𝑐 =25−25.5

5

𝑐 = −0.1 น า m = 1.7 และ c = -0.1 แทนในสมการทวไป จะได 𝑦 = 1.7𝑥 − 0.1

3. จากสมการในขอ 2 จงท านายคาของ y เมอก าหนดให x = 10 จาก 𝑦 = 1.7𝑥 − 0.1 𝑦 = 1.7 10 − 0.1 𝑦 = 17 − 0.1 𝑦 = 16.9 ดงนน 𝑥, 𝑦 = (10 , 16.9)

4. จงท านายคาของ x เมอก าหนดให y = 11 รปทวไป : 𝑥 = 𝑚𝑦 + 𝑐 เมอ y เปนตวแปรตาม สมการปกต : 𝑥 = 𝑚 𝑦 + 𝑛𝑐 ...................(1) 𝑥𝑦 = 𝑚 𝑦2 + 𝑐 𝑦.................(2)

เขยนตาราง

แทนคาใน (1) และ (2) จะได 15 = 25𝑚 + 5𝑐 ............................(1) 92 = 155𝑚 + 25𝑐 ............................(2) (1) x 5 75 = 125𝑚 + 25𝑐 ............................(3) (2) - (3) 17 = 30𝑚

𝑚 =17

30= 0.57

แทน m = 0.57 ใน (1) 15 = 25(0.57) + 5𝑐 15 = 14.25 + 5𝑐

𝑐 =15−14.25

5

𝑐 = 0.15 น า m = 0.57 และ c = 0.15 แทนในสมการทวไป จะได 𝑥 = 0.57𝑦 + 0.15 ให y = 11 จงท านายคาของ x 𝑥 = 0.57𝑦 + 0.15 𝑥 = 6.27 + 0.15 𝑥 = 6.42 ดงนน 𝑦, 𝑥 = (11 , 6.42)

ตวอยางท 2 ก าหนดขอมลดงน ถาความสมพนธระหวาง x กบ y เปนสมการพาราโบลา แลวจงหาสมการแสดงความสมพนธ และจงท านายคา y เมอ x = 5

x 1 2 3 4 y 5 2 3 10

วธท า รปทวไป : 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 สมการปกต : 𝑦 = 𝑎 𝑥2 + 𝑏 𝑥 + 𝑛𝑐 ...................(1)

𝑥𝑦 = 𝑎 𝑥3 + 𝑏 𝑥2 + 𝑐 𝑥 ....................(2) 𝑥2𝑦 = 𝑎 𝑥4 + 𝑏 𝑥3 + 𝑥2 ....................(3)

เขยนตาราง

แทนคาใน (1) ,(2) และ (3) จะได 20 = 30𝑎 + 10𝑏 + 4𝑐 ............................(1) 58 = 100𝑎 + 30𝑏 + 10𝑐 ............................(2) 200 = 354𝑎 + 100𝑏 + 30𝑐............................(3)

แกสมการ จะไดคา 𝑎 = 2.5 , 𝑏 = −10.9 , 𝑐 = 13.5 รปทวไป : 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑦 = 2.5𝑥2 − 10.9𝑥 + 13.5 แทนคา 𝑦 = 2.5(25) − 10.9(5) + 13.5 𝑦 = 62.5 − 54.5 + 13.5 𝑦 = 21.5

ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา 1. ขอมลทอยในรปอนกรมเวลา คอ ขอมลทแสดงความเปลยนแปลงตามล าดบกอนหลงของชวงเวลาทขอมลนน ๆ เกดขน (หรอกลาวงาย ๆ ขอมลทอยในรปอนกรม คอ ขอมลทมหนวยมาเกยวของ) โดยปกตขอมลลกษณะน จะเกดขนในชวงเวลาทเทา ๆ กน เชน เปนชวงเวลาละ 1 ป หรอ 1 เดอน หรอ 1 วน เปนตน

ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา 1. ขอมลทอยในรปอนกรมเวลา ตวอยางของขอมลทอยในรปของอนกรมเวลา เชน ปรมาณขาวสารทไทยสงออกตงแตป พ.ศ. 2534 – 2539 ปรมาณน าฝนทตกในภาคกลาง ตงแตเดอนสงหาคม - ตลาคม พ.ศ. 2539 รายไดประจ าแตละเดอนของบรษทแหงหนง ในป พ.ศ. 2540

2. เทคนคการสมมตตวเลขมาแทนชวงเวลาทเทา ๆ กน โดยปกตชวงเวลาทเทา ๆ กน ในอนกรมเวลามกจะเปนชวงเวลาเปน "ป" เชน มลคาการสงเครองหนงเปนสนคาออก ในชวงป พ.ศ. 2537 - 2539 เปนดงน

พ.ศ. 2537 2538 2539 มลคาสนคา (หนวยเปน

รอยลานบาน) 2 3 6

หากจะสรางความสมพนธระหวางป พ.ศ. (x) กบจ านวนมลคาสนคา (y) กจะยงยากมาก เพราะ x มคาเปนจ านวนพน ดงนนในทางปฏบตจรงแลว กจะปรบคา x เปนตวเลขต า ๆ เชน อาจจะให พ.ศ. 2537 ตรงกบ 1 พ.ศ. 2538 ตรงกบ 2 เปนตน **แตทนยมปรบคา x ทเปนป พ.ศ. ใหเปนตวเลขจะท ากนดงน

กรณท 1 จ านวนป พ.ศ. เปนจ านวนค ใหสมมตปทอยตรงกลางเปน 0 สวนปกอนหนาทอยตรงกลางใหก าหนดเปน -1 , -2 , -3 , ... ตามล าดบ และปทอยหลงปทอยตรงกลางก าหนดเปน 1 , 2 , 3 , ... ตามล าดบ ดงตวอยาง

กรณท 2 จ านวนป พ.ศ. จ านวนค ใหก าหนด 2 ป ตรงกลาง -1 กบ 1 และปกอนหนานเปน " -3 , -5 , -7 , ... " ตามล าดบ และปทอยหลงปตรงกลางเปน " 3 , 5 ,7 , ... " ตามล าดบ เชน

หมายเหต 1. การก าหนด x ดงในกรณท 1 และท 2 ขอดกคอ ท าใหคา 𝑥 = 0 ซงจะท าใหการค านวณคาคงตว (m , c , ...) สะดวกและรวดเรวขนมาก 2. ในชวงการท านายคาตวแปรตาม จะตองเปลยนป พ.ศ. ใหอยในรปของคา x และตองสอดคลองกบตารางทก าหนดดวย

ตวอยางท 1 ขอมลตอไปนแสดงจ านวนรถยนตทบรษทแหงหนงขายได (หนวยรอยคน) ในชวงป พ.ศ. 2536 ถงป พ.ศ. 2540 ถาความสมพนธระหวาง พ.ศ. กบจ านวนรถยนตทขายได มความสมพนธเชงฟงกชนแบบสมการเสนตรงแลว จงท านายจ านวนรถยนตทจะขายไดในป พ.ศ. 2543

พ.ศ. 2536 2537 2538 2539 2540 จ านวนรถยนต (รอยคน) 5 8 12 15 20

ตารางปรบป พ.ศ. ไดดงน จะเขยนไดตารางแสดงความสมพนธระหวาง พ.ศ. กบจ านวนรถยนตทขายได ดงน

x -2 -1 0 1 2

พ.ศ. 2536 2537 2538 2539 2540

พ.ศ. (X) -2 -1 0 1 2 จ านวนรถยนต (รอยคน) (Y) 5 8 12 15 20

รปทวไป : 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 สมการปกต : 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑛𝑐 ...................(1) 𝑥𝑦 = 𝑚 𝑥2 + 𝑐 𝑥 ...................(2)

เขยนตาราง

หา c แทนคาใน (1) จะได 60 = 0 + 5𝑐 ............................(1)

𝑐 =60

5= 12

หา m แทนคาใน (2) จะได 37 = 10𝑚 + 0 ............................(2)

𝑚 =37

10= 3.7

จะไดสมการทวไป 𝑦 = 3.7𝑥 + 12

ท านายจ านวนรถยนตทจะขายไดในป พ.ศ. 2543 ปรบป พ.ศ. ตามตารางดานบน จะได ป พ.ศ. 2543 (x = 5) แทน x = 5 ลงในสมการทวไป 𝑦 = 3.7(5) + 12 𝑦 = 18.5 + 12 = 30.5 ดงนน จ านวนรถยนตทจะขายไดในป พ.ศ. 2543 เทากบ 3,050 คน

ตวอยางท 2 ขอมลตอไปนแสดงประชากรของประเทศ ประเทศหนงตงแตป พ.ศ. 2525 ถง พ.ศ. 2530 จงท านายจ านวนประชากรในป พ.ศ. 2535

พ.ศ. 2525 2526 2527 2528 2529 2530 ประชากร (ลานคน) 2.0 2.5 4.0 7.0 11.0 15.0

วธท า จากตารางเปนกราฟเอกซโพเนนเชยล เมอ y เปนตวแปรตาม รปทวไป : 𝑦 = 𝑎𝑏𝑥 หรอ log 𝑦 = log 𝑎 + log 𝑏 𝑥 สมการปกต : log 𝑦 = 𝑛 log 𝑎 + log 𝑏 𝑥 𝑥 log 𝑦 = log 𝑎 𝑥 + log 𝑏 𝑥2

สรางตาราง

จาก (1) 4.3636 = 6 log 𝑎 + log 𝑏 0 ; log 𝑎 = 0.7273 จาก (2) 6.5490 = log 𝑎 0 + log 𝑏 70 ; log 𝑏 = 0.0936 ดงนน สมการใชท านาย คอ log y = 0.7273 + 0.0936x ท านายจ านวนประชากรป 2535 คอ x = 15 log y = 0.7273 + 0.0936(15) = 2.1313 y = antilog 2.1313 = 135.0 ดงนน จ านวนประชากรป พ.ศ. 2535 คอ 135 ลานคน

แบบฝกหด 1. จงหาสมการเสนตรงทเหมาะสมส าหรบทก าหนดใหตอไปน เมอก าหนด X เปนตวแปรอสระ

X 3 5 7 9

Y 5 9 12 8

แบบฝกหด 2. จงหาคาสมการพาราโบลาทเหมาะสมส าหรบขอมลทก าหนดใหตอไปน

X 0 1 2 3 4 Y 1 5 10 22 38

แบบฝกหด 3. จงหาสมการเสนตรงทเหมาะสมส าหรบขอมลขางลางน จงหาวาป พ.ศ. 2517 จะมคนวางงานกเปอรเซนต

ป พ.ศ. 2511 2512 2513 2514 2515 จ านวนคนวางงาน (%)

11.3 13.0 9.7 10.6 10.7

แบบฝกหด 4. จากสมการรวบรวมขอมลจากสนคาทผลต (X) และตนทนของการผลต (Y) พบวา

Xi = 77 , Yi = 471 , XiYi = 931 , Xi2

10

i=1

10

i=1

10

i=1

10

i=1

= 2493

ถาถอวา X กบ Y มความสมพนธกนเปนเสนตรง จงหาคาของ Y เมอ X = 7

แบบฝกหด 5. ให Xi เปนราคาน าตาลปบตอกโลกรม Yi เปนราคาน าตาลทรายตอกโลกรม

ความสมพนธระหวางน าตาลปบ และน าตาลทรายมกราฟเปนเสนตรง และ

Xi = 34.1 , Yi = 57.5 , XiYi = 221.8 , Xi2

9

i=1

9

i=1

9

i=1

9

i=1

= 132.25

จงหาวาถาน าตาลปบมกโลกรมละ 3.50 บาท แลวน าตาลทรายจะมกโลกรมละกบาท

จงเลอกค าตอบทถกตอง โดยการกากบาททบตวเลอกทตองการ 1. ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล x และ y แสดงขอมลดงตาราง

แผนภาพการกระจายมแนวโนมเปนรปตามขอใด 1. เสนตรง 2. วงกลม 3. พาราโบลา 4. เอกซโพเนนเชยล

2. จงพจารณาขอความตอไปน ก. ความสมพนธระหวางตวแปร x , y ของขอมลชดหนง สามารถน าไปท านายขอมลอกชดหนงได ข. ถาขอมลประกอบดวยตวแปรสองตวแลว ตวแปรทงสองนนตองมความสมพนธเชงฟงกชนเสมอ ค. การท านายคาของตวแปรหนงจากสมการแสดงความสมพนธระหวางตวแปรสองตว เมอทราบคาของตวแปรอกตวหนง คาทไดจากการท านายของตวแปรนนจะตองเทากบคาทควรจะเปนจรงเสมอ ง. สมการปกตทใชในการประมาณคาคงตวจากความสมพนธเชงฟงกชนระหวางตวแปรทอยในรปสมการแบบตาง ๆ จะตองมจ านวนเทากบจ านวนคาคงตว จากขอความดงกลาวขางตน มขอความทเปนจรงกขอ 1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. 4 ขอ

3. จากการศกษาความสมพนธระหวางปรมาณปยทใชตอทดน 1 ไร และก าไรสทธจากผลผลตตอไร มกราฟของความสมพนธเปนพาราโบลา และมสมการเปน y = - 0.01x2 + 0.19x + 4.03 เมอ x แทนปรมาณปยเปนกโลกรมตอไร และ y เปนก าไรสทธจากผลผลตตอไร (หนวยเปนพนบาท) ถาใชปย 5 และ 12 กโลกรมตอไร ก าไรสทธจากผลผลตตางกนประมาณเทาไร 1. 140 บาท 2. 280 บาท 3. 473 บาท 4. 487 บาท

4. สมการแทนความสมพนธเชงฟงกชนระหวางตนทน (y : หนวยเปนพนบาท)กบจ านวนสนคาทผลต (x : หนวยเปนรอยชน) คอ y = 2x + 5 จงพจารณาขอความตอไปน ก. ถาตนทน 7,000 บาท คาดวาจะผลตสนคาได 100 ชน ข. ถาผลตสนคาเพม 300 ชน คาดวาตนทนจะเพม 6,000 บาท ขอสรปใดถกตอง 1. ถกทงขอ ก. และขอ ข. 2. ถกเฉพาะขอ ก. 3. ถกเฉพาะขอ ข. 4. ผดทงขอ ก. และขอ ข

5. ขอมลอนกรมเวลาดงแสดงในตารางขางลางน ถาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางจ านวนผลผลตทผลตไดกบเวลาเปนแบบเสนตรงแลว จ านวนผลผลตทผลตไดของป 2556 จะมคากกโลกรม 1. 8,500 กโลกรม 2. 9,000 กโลกรม 3. 9,400 กโลกรม 4. 11,280 กโลกรม

6. ในการเขยนความสมพนธของคาซอมบานตอป (y หนวยเปนพนบาท) กบจ านวนป (x) เปนแบบเสนตรง น าตวเลขทบนทกได มาสรางสมการปกต ดงน 28 = 10m + 5c -------------------- (1) 67 = 30m +10c -------------------- (2) แลวสมการแสดงความสมพนธของคาซอมบานตอป (y หนวยเปนพนบาท) กบจ านวนป (x) ตรงกบขอใด 1. y = x + 3.4 2. y = 1.1x + 3.4 3. y = 1.2x + 4.3 4. y = 2x + 4

7.จากขอ 6. ถาบานมอาย 5 ป จะเสยคาซอมบานประมาณเทาใด 1. 8,900 บาท 2. 9,800 บาท 3. 89,000 บาท 4. 98,000 บาท

ขอมลตอไปนใชตอบค าถาม ขอ 8 - 9 8. ตารางตอไปน แสดงความสมพนธระหวางอายของรถ และคาซอมบ ารงรกษาในปทผานมา เปนแบบเสนตรง สมการเสนตรงแสดงความสมพนธระหวางอายรถและคาซอมบ ารง เมออายรถเปนตวแปรอสระ ตรงกบขอใด 1. 𝑦 =

1

2𝑥 +17

2 2. 𝑦 =

1

2𝑥 + 5 3. 𝑦 =

3

4𝑥 +15

4 4. 𝑦 =

3

4𝑥 +9

4

9.ท านายคาซอมบ ารงรกษาของรถเมออายรถเปน 8 ป ตรงกบขอใด 1. 8,500 บาท 2. 8,750 บาท 3. 9,000 บาท 4. 9,750 บาท

10. ถาความสมพนธระหวางรายได (x) และรายจาย (y) โดยเฉลยตอเดอนของครอบครวในหมบานแหงหนงเปน y = 2 + 0.85x เมอ x , y มหนวยเปนพนบาท ขอใดตอไปนถกตอง 1. ถาครอบครว 2 ครอบครว มรายไดตางกน 1,000 บาท จะมรายจายตางกนประมาณ 850 บาท 2. แตละครอบครวมรายจาย โดยเฉลยประมาณ 1,900 บาท เมอมรายได 2,000 บาท 3. ครอบครวหนงซงมรายไดเดอนละ 2,000 บาท จะมรายจายเฉลยประมาณ 1,900 บาท 4. แตละครอบครวจะมรายไดมากกวารายจายเสมอ

11. ตารางแสดงการขายสนคาของรานคาแหงหนง เปนดงน ถาความสมพนธอยในรปเชงเสน คาดวาในป พ.ศ. 2560 จะขายสนคาไดกชน 1. 11,900 ชน 2. 12,500 ชน 3. 14,200 ชน 4. 15,900 ชน

12. ถาจากการศกษาความสมพนธระหวางจ านวนชวโมงตอสปดาหทใชในการทบทวนวชาตาง ๆ (X) และผลการเรยนเฉลยหรอ GPA (Y) ไดสมการทใชในการประมาณผลการเรยนเฉลยจากจ านวนชวโมงตอสปดาหทใชในการทบทวนวชาตาง ๆ เปนสมการเสนตรงทมความชนเทากบ 0.02 และระยะตดแกน Y เทากบ 2.7 จงพจารณาขอความตอไปน ก. ถาจ านวนชวโมงทใชในการทบทวนวชาตาง ๆ เพมขน 10 ชวโมงตอสปดาห แลวผลการเรยนเฉลยเพมขน 0.2 ข. ถาผลการเรยนเฉลยเทากบ 3 ท านายวาจ านวนชวโมงทใชในการทบทวนเทากบ 15 ชวโมงตอสปดาห ขอสรปใดถกตอง 1. ถกทงขอ ก. และขอ ข. 2. ถกเฉพาะขอ ก. 3. ถกเฉพาะขอ ข. 4. ผดทงขอ ก. และขอ ข.

13. ขอมลชดหนงม 10 จ านวน มความสมพนธเชงฟงกชนเปน y = ax + b โดยทม 𝑥 = 10 , 𝑦 = 20, 𝑥𝑖𝑦𝑖 = 3,000

10𝑖=1 และ 𝑥𝑖

2 = 2,00010𝑖=1 แลว a

+ b มคาตรงกบขอใด 1. 0 2. 1 3. 10 4. 11

14. จากขอ 13 ถา x = -1. 5 แลว y มคาตรงกบขอใด 1. 5.5 2. 6.5 3. 7.5 4. 8.5

15.ในการวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนโดยมความสมพนธระหวาง x และ y เปนแบบเสนตรง โดยท x เปนตวแปรอสระ y เปนตวแปรตาม และมรายละเอยดของขอมล ดงน

𝑥𝑖 = 120

25

𝑖=1

𝑦𝑖 = 118

25

𝑖=1

𝑥𝑖2 = 400

25

𝑖=1

𝑦𝑖2 = 501

25

𝑖=1

𝑥𝑖𝑦𝑖 = 218

25

𝑖=1

ตอมาพบวาอานขอมลผดไป 2 คา คอ ถา x = 30 แลว y มคาประมาณเทาใด 1. 25 2. 35 3. 45 4. 55

16. จากขอมลอนกรมเวลา (Y) มคาแสดงในตารางขางลางน ถา Y มความสมพนธเชงฟงกชนกบเวลา (X) ในลกษณะเสนตรง แลวสามารถท านายคาของ Y ในป 2535 ไดเทากบขอใดตอไปน 1. 97 2. 106 3. 110 4. 120

พ.ศ. 2526 2527 2528 2529 2530 Y 20 30 20 40 60

17. ขอใดถกตอง 1. รายจายขนอยกบรายได มตวแปรทแสดงรายจายเปนตวแปรอสระ และตวแปรทแสดงรายไดเปน ตวแปรตาม 2. ก าไรขนอยกบยอดขาย มตวแปรทแสดงก าไรเปนตวแปรอสระ และตวแปรทแสดงยอดขายเปนตวแปรตาม 3. สวนสงขนอยกบอาย มตวแปรทแสดงอายเปนตวแปรอสระ และตวแปรทแสดงสวนสงเปนตวแปรตาม 4. ดอกเบยขนอยกบเงนตน มตวแปรทแสดงดอกเบยเปนตวแปรอสระ และตวแปรทแสดงเงนตนเปนตวแปรตาม

18. ก าหนดให ความสมพนธระหวางรายได ( x ) และรายจาย ( y ) ตอเดอนของครอบครวทอาศยในอ าเภอหนงมสมการเปน y = 3x + 1.5 เมอ x , y มหนวยเปนพนบาท ถาครอบครวสองครอบครวในอ าเภอนซงมรายไดตางกน 1,000 บาท จะมรายจายโดยประมาณตางกนเทาใด 1. 1,000 2. 1,500 3. 2,000 4. 3,000

19.ก าหนดใหความสมพนธระหวางรายได (x) และรายจาย (y) ตอเดอนของครอบครวทอาศยในอ าเภอหนงเปน y = 2 + 0.85x ถาครอบครวหนงมรายได 3,000 บาท จะมรายจายโดยประมาณเทาใด 1. 4,550 บาท 2. 5,500 บาท 3. 6,550 บาท 4. 7,000 บาท

20. ถาใหสมการทใชแทนความสมพนธเชงฟงกชนทใชส าหรบประมาณจ านวนหองพกทมแขกมาพก (แทนดวย y) จากจ านวนหองพกทมการขอจองลวงหนา (x) คอ y = a + 0.75x โดยท X = 40 , Y = 60 ถามวาถา x = 60 แลว จ านวนหองพกทมแขกมาพกจรงโดยประมาณเทากบเทาใด 1. 70 2. 75 3. 80 4. 85

Mentoring FB : P’AOB CUTUTOR