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ALTIMETRIA

P ’ (x ; y)P ’ (x ; y)

P (x ; y ; z)P (x ; y ; z)

zzpp = Q= Qpp = quota= quota

xxpp

yypp

oo

xx

zz

yy

ππ

P ’ (x ; y)P ’ (x ; y)

P (x ; y ; z)P (x ; y ; z)

zzpp = Q= Qpp = quota= quota

xxpp

yypp

oo

xx

zz

yy

P ’ (x ; y)P ’ (x ; y)

P (x ; y ; z)P (x ; y ; z)

zzpp = Q= Qpp = quota= quota

xxpp

yypp

oo

xx

zz

yy

ππ

Introduzione

Dislivello

Pendenza

Sfericità e rifrazione atmosferica

Rilievi plano - altimetrici

Indice

Cenni di rappresentazione plano – altimetrica del terreno

Definizioni

Quota

Livellazioni

Livellazioni geometriche

Livellazione tacheometrica

Livellazione di alta precisione I.G.M.I.

Livelli

DEM Digital Elevation Model

La Topografia permette di determinare,

mediante rilievo, la posizione dei punti

appartenenti alla superficie fisica. In

particolare i metodi di rilievo planimetrico

individuano la posizione del punto proiezione

P’ sulla superficie di riferimento, mentre i

metodi di rilievo altimetrico determinano la

quota del punto P

P ’ (x ; y)

P (x ; y ; z)

zp = Qp = quota

xp

yp

o

x

z

y

π

Introduzione

Quota (Q)

π = 0.000 m

A

B

C

A’ B’ C’

QA QC

Si definisce quota del punto A, QA, la distanza verticale condotta dal punto alla

superficie di riferimento adottata (campo topografico) assunta di quota zero

metri

QB

Quota (Q)

π

A

B

A’ (xA;yA)

B’ (xB;yB)

Distanza orizzontale

AB = √ [(XB - XA)2 + (YB – YA)2]

QA

QB

distanza reale

Quota relativa di un punto

π = 0.000 m

π’ = 30.000 m

A

B

Qr(A) = 28.500 m Q A = 58.500 m

Si definisce quota relativa di un punto, la distanza verticale del punto da una

superficie di riferimento avente quota diversa da zero metri.

Dislivello (Δ) tra due punti

Dati due punti A e B di quota nota si definisce dislivello ΔAB la differenza di

quota tra il punto B e il punto A (osservatore in A)

ΔAB = QB – QA

La differenza di quota tra il punto A e il punto B è invece definita dislivello

ΔBA (osservatore in B)

ΔBA = QA – QB

I due dislivelli hanno ovviamente stesso valore ma segno diverso

Dislivello (Δ) tra due punti

A

B

A’ B’ D

D x

QA = 25 m QB = 32 m

ΔAB = QB – QA = + 7 m

π = 0.000 m

ΔBA = QA – QB = - 7 m

Pendenza (p) tra due punti

Si definisce pendenza pAB il rapporto tra il dislivello ΔAB e la distanza orizzontale D

D

Δ=p AB

AB

La pendenza esprime la tangente dell’angolo α e moltiplicata per cento, la pendenza in

percentuale (%). La pendenza è un numero puro. Si definisce pendenza pBA il rapporto

tra dislivello ΔBA e la distanza orizzontale D.

D

Δ=p AB

AB

Il segno della pendenza (+/-) dipende da quello del dislivello

Pendenza (p) tra due punti

A

A’ B’ D = 132 m

x

QA = 25 m QB = 32 m

ΔAB = QB – QA = + 7 m

π = 0.000 m

D = 132 m

Se QA = 25 m, QB = 32 m e la distanza orizzontale D = 132 m si ottiene:

pAB = ΔAB/D = (QB – QA)/D = (32 – 25)/132 = 0.053030 = tang α.

Moltiplicando per 100 tang α si ottiene la pendenza percentuale (p %)

0.053030 x 100 = 5.30 %

α = ang. di elevazione

α = ang. di depressione

Pendenza (p) tra due punti.

Formule inverse

Dalla formula che esprime la pendenza tra due punti di quota nota:

pAB = ΔAB/D

è possibile ricavare, noto il dislivello e la pendenza, la distanza orizzontale tra i

due punti

D = ΔAB/ pAB

e, nota la distanza e la pendenza, il dislivello tra i due punti

ΔAB = pAB x D

Ricordando inoltre che: ΔAB = QB – QA possiamo scrivere:

QB – QA = pAB x D

e quindi ottenere:

QB = QA + pAB x D

Nota quindi la quota di un punto A, la distanza orizzontale D e la pendenza p è

possibile calcolare la quota del punto B

Pendenza (p) tra due punti.

Formule inverse

ESEMPIO 1

Noti D = 87 m QA = 82.420 m e QB = 69.170 m, determinare la

pendenza pAB

pAB = (QB – QA)/D = (69.170 – 82.420)/87 = - 0.1522 = - 15.22 %

ESEMPIO 2

Noti pAB = - 3%, QA = 85.350 m e QB = 81.400 m, determinare la

distanza orizzontale D

D = ΔAB/pAB = (QB – QA)/pAB = (81.400 – 85.350)/-0.03 = 131.666 m

ESEMPIO 3

Noti QA = 80.450 m, D = 150.850 m e pAB = + 2.5 %, determinare la

quota del punto B

QB = QA + pAB x D = 80.450 + 0.025 x 150.850 = 84.221 m

Calcolo della quota di un punto posto su un segmento a

pendenza costante

A’ B’ D = 132 m

QA = 25 m QB = 37 m

π = 0.000 m

α A

B

C

d = 50 m

C’

QC = 29.545 m

ΔAB = QB - QA

La pendenza pAB = (QB – QA)/D = 0.0909 coincide con la pendenza pAC. Possiamo quindi

scrivere:

pAC = (QC – QA)/d

(QC – QA) = pAC x d -----> QC = QA + pAC x d = 25 + 0.0909 x 50 = 29.545 m

Sfericità e rifrazione

atmosferica

Nei rilievi topografici la superficie di riferimento è rappresentata dal campo

topografico, piano tangente alla sfera locale in un punto. Ciò significa che tutte le

misure eseguite non sono riferite ai punti della superficie fisica ma alla loro

proiezione sul piano. L’errore che si commette nelle misure passando dalla sfera

locale al piano topografico, risulta trascurabile nella misura della distanza, ma non

nella misura della quota. Per quest’ultima, l’adozione di una superficie di

riferimento piana, comporta errori non trascurabili, dovuti principalmente a due

fattori:

Sfericità della terra

Rifrazione atmosferica

Errore di sfericità

(es)

L’errore di sfericità è quello che si commette nella determinazione della quota tra

due punti, quando si trascura la sfericità della terra. L’errore è di pochi millimetri

per distanze intorno ai 100 metri; dopo i 300 metri è già superiore al centimetro,

per arrivare a più di 1 metro per distanze di circa 4000 metri

L’errore può essere calcolato con la

seguente formula:

es = d2/2R

in cui: - d è distanza tra i due punti;

- R = 6377 km = 6377000 m è il

raggio terrestre. Tale errore dovrà

essere sempre sommato alla quota

calcolata

A’

A

B

B’

R

piano tangente d

QB

QA

es

Errore di rifrazione

(er)

L’errore di rifrazione è dovuto alla diversa densità degli strati

dell’atmosfera terrestre. Il valore, che deve essere sottratto alla quota

misurata, si ottiene dalla formula:

er = K x d2/(2 x R)

con K = 0.14 è il coefficiente di rifrazione atmosferica, d è la distanza

tra i punti considerati e R = 6377 km = 6377000 m è raggio terrestre.

L’espressione dell’errore totale di sfericità e rifrazione et = es + er, si

ottiene dalla formula:

et = d2/(2 x R) x (1 – K)

Livellazioni

Nella tecnica topografica, per determinare le quote dei punti, non si

misurano direttamente le quote stesse, ma i dislivelli. L’operazione di

determinazione del dislivello tra due punti si chiama livellazione. Le

livellazioni possono essere divise in

Livellazioni a visuale orizzontale (geometriche)

Livellazioni a visuale inclinata (tacheometriche e trigonometriche)

Livellazioni senza visuale (GPS)

Livellazioni geometriche

Le livellazioni a visuale orizzontale, note come livellazioni geometriche,

vengono effettuate utilizzando livelli, strumenti medianti i quali è possibile

realizzare linee di mira orizzontali. Si tratta di strumenti dotati di solo

cerchio orizzontale in grado di ruotare attorno all’asse verticale e adatti ad

operare su terreni pianeggianti.

Le livellazioni geometriche possono essere:

semplici, quando il dislivello tra due punti si ottiene con un’unica misura

composte, quando un dislivello si ottiene dalla somma di dislivelli parziali

e possono eseguirsi da

un estremo

dal mezzo

Livellazione geometrica

semplice da un estremo

hA = lB + ΔAB ΔAB = hA - lB

La misura del dislivello può essere affetta dall’errore ε (non

perfetta orizzontalità della linea di mira), commessa durante la

rettifica e la messa in stazione dello strumento

x

x

x

x

A

B

ΔAB

hA

lB

B’

ε

Prof. Dagore Ristorini

Livellazione geometrica semplice dal

mezzo Con questo tipo di livellazione, il livello è posto in una posizione intermedia, possibilmente alla

stessa distanza, tra i due punti estremi A e B. Si collima per primo il segnale in A effettuando la

lettura lA e successivamente, ruotando il cannocchiale si collima B effettuando la lettura lB. Il

dislivello si ottiene dalla

ΔAB = lA – lB

Con questo metodo l’errore di non perfetta orizzontalità dell’asse di collimazione viene eliminato

ΔAB = lA + ε – (lB + ε) = lA – lB

e inoltre: - viene eliminato l’errore dovuto alla necessità di determinare l’altezza strumentale; -

aumenta il dislivello che è possibile misurare; - raddoppia la distanza tra i due punti

x

x

x

A

B

ΔAB

lA

S

lB

B’

Livellazione geometrica

composta da un estremo

Il dislivello totale ΔAB si ottiene sommando i due dislivelli parziali ΔAM e ΔMB

ΔAB = ΔAM + ΔMB = hA – lM + hM – lB = (hA + hM) – (lM + lB) = ∑h - ∑l

in cui: - h = altezze strumentali; - l = altezze mira

x

x

x

x

A

M

ΔAM

hA

lM

x

x

x

x

B

ΔMB

hM

lB

x

ΔAB

x

Livellazione geometrica

composta dal mezzo

x

A

ΔAM = lA - lM

lA

S1

x x

B

ΔMB = lM’ - lB

lM

lB

S2

x

lM’

ΔAB = ΔAM + ΔMB

Il dislivello totale ΔAB si ottiene sommando i due dislivelli parziali ΔAM e ΔMB

ΔAB = ΔAM + ΔMB = lA – lM + lM’ – lB = (lA + lM’) – (lM + lB) = ∑c - ∑b

in cui: - c = controbattute; - b = battute

Livellazione tacheometrica

x x A

B

ΔAB

hA

lB

B’

x

x X φ

Nella livellazione tacheometrica il cannocchiale dello strumento può essere inclinato. Per

determinare il dislivello è necessario misurare la distanza D tra strumento e mira, l’altezza

strumentale hA, l’altezza della mira da terra lB e l’angolo verticale φ. Dalla figura risulta:

ha + X = ΔAB + lB

ΔAB = ha + X - lB

X può essere calcolata con la funzione coseno nel triangolo rettangolo di cui sono noti D e φ.

X = D x cos φ

La formula che permette di calcolare il dislivello diviene

ΔAB = D x cos φ + hA - lB

Livellazione tacheometrica

Attenzione

x x A

B

ΔAB

hA

lB

B’

x

x X φ

Nel caso in cui il cannocchiale è posto in posizione orizzontale (angolo verticale φ = 100c) risulta

cos φ = 0 e quindi D x cos φ = 0, la formula che permette di calcolare il dislivello diviene

ΔAB = ha – lB

che equivale ad una livellazione geometrica semplice da un estremo

Nel caso in cui la distanza D tra i due punti supera i 400 – 500 m, è necessario aggiungere al

dislivello una correzione equivalente all’errore di sfericità e rifrazione. La formula diviene

quindi

ΔAB = (D x cos φ + ha – lB) + d2/(2 x R) x (1 – K)

Livellazione di alta precisione

IGMI

Per il calcolo delle quote dei punti, ci si può riferire a punti di quota nota,

costituenti la livellazione di alta precisione dell’IGMI – Istituto Geografico

Militare Italiano, la cui costruzione è iniziata nel 1950 ed è in continuo

aggiornamento. Al momento della sua realizzazione la rete era costituita da

circa 13000 punti (allo stato attuale sono più di 20000) detti capisaldi,

materializzati lungo le più importanti linee di comunicazione. Di ogni caposaldo

è stata redatta una apposita monografia.

I capisaldi sono divisi in:

Prima categoria o nodali posti sulle intersezioni di più linee di livellazione

Seconda categoria o fondamentali posti ogni 25 km

Terza categoria o principali posti ogni 2 km

Quarta categoria o di linea posti ad 1 km

Livellazione di alta precisione

IGMI

Livelli

Livello laser GEOMAX

Livello ottico meccanico TOPCON Livello ottico meccanico LEICA

Livello GEOMAX con GPS integrato

Rilievo planoaltimetrico per coordinate

polari

L’appezzamento ABCD viene rilevato dal punto di stazione A, da cui risultano visibili gli

altri punti. Orientato lo zero del cerchio orizzontale si misurano distanze, azimut e

dislivelli. Fissato l’orientamento del sistema cartesiano è possibile calcolare le coordinate

planoaltimetriche dei vertici

Libretto delle Misure

Staz. Punti Angoli Distanze Dislivelli

A

(20)

B 0c.0000 32.150 + 3.250

C 30c.1580 48.160 - 1.820

D 108c.6250 52.130 +1.510

A

B

C

D

0c

(AC)

(AD)

(20)

Libretto delle Misure

Staz. Punti Angoli Distanze Dislivelli

A

(20)

B 0c.0000 32.150 + 3.250

C 30c.1580 48.160 - 1.820

D 108c.6250 52.130 +1.510

Rilievo planoaltimetrico per coordinate

polari

Esempio di calcolo

O = A

B

C

D

Y

X

(20)

XA = 0 m

YA = 0 m

QA = 20 m

XB = 0 m

YB = AB = 39.780 m

ΔAB = QB – QA ----> QB = QA + ΔAB = 20 + 3.250 = 23.250 m

XC = AC x sen (AC) = 45.160 x sen 32c.1610 = 21.970 m

YC = AC x cos (AC) = 45.160 x cos 32c.1610 = 42.856 m

ΔAC = QC – QA ----> QC = QA + ΔAC = 20 – 1.820 = 18.180 m

XD = AD x sen (AD) = 52.130x sen 103c.6250 = 52.045 m

YD = AD x cos (AD) = 52.130 x cos 103c.6250 = - 2.966 m

ΔAD = QD – QA ----> QD = QA + ΔAD = 20 – 1.510 = 18.490 m

--- --- ---

Rilievo planoaltimetrico per poligonazione

Le poligonali aperte sono costituite da

una spezzata di cui si misurano tutte

le distanze e gli angoli nei vertici. Se

il rilievo è planoaltimetrico dai punti di

stazione dovranno essere misurati i

dislivelli sul punto precedente e quello

successivo

STAZ. PUNTI C.O. DISTANZE DISLIVELLI

B

(25)

A 0c.0000 59.620 + 3.250

C 122c.3650 42.130 +1.810

C B 0c.0000 ------ -----

D 239c.1830 40.900 - 2.840

D C 0c.0000 ------ -----

E 67c.1550 51.250 +3.790

A B (25)

C

D

E

C

D

B

ΔBA

ΔBC

ΔCD

ΔDE

Rilievo planoaltimetrico per poligonazione

Esempio di calcolo

azimut

(AB) = 100c

(BC) = (AB) + B ± 200c = 22c.3650

(CD) = (BC) + C ± 200c = 61c.5480

(DE) = (CD) + D ± 200c = 328c.7030

coordinate dei punti

XA = 0 m

YA = 0 m

XB = AB = 59.620 m

YB = 0 m

XC = XB + BC x sen (BC) = 74.118 m

YC = YB + BC x cos (BC) = 39.556 m

XD = XC + CD x sen (CD) = 107.781 m

YD = YC + CD x cos (CD) = 62.784 m

XE = XD + DE x sen (DE) = 61.652 m

YE = YD + DE x cos (DE) = 85.115 m

Quote

QA =QB + ΔBA = 25 + 3.250 = 28.250 m

QC = QB + ΔBC = 25 + 1.810 = 26.810 m

QD = QC +ΔCD = 26.810 – 2.840 = 23.970 m

QE = QD + ΔDE = 23.970 – 1.790 = 22.180 m

Pendenza segmento AE

AE = √ (XE2 + YE

2) = 105.097 m

ΔAE = (QE – QA) = 22.180 – 28.250 = - 6.070 m

pAE = ΔAE/AE = - 0.057 x 100 = - 5.77%

St. Punti C.O. Dist. Disliv.

B

(25)

A 0c.0000 59.620 + 3.250

C 122c.3650 42.130 +1.810

C B 0c.0000 ------ -----

D 239c.1830 40.900 - 2.840

D C 0c.0000 ------ -----

E 67c.1550 51.250 - 1.790

(DE)

O = A B

C

D

E

Y

X (AB) = 100c

Ye

(BC)

(CD)

Xe

(25) ΔBA

ΔBC

ΔDE

Cenni di rappresentazione plano-altimetrica

del terreno

La rappresentazione plano - altimetrica del terreno può

essere effettuata utilizzando le proiezioni quotate,

proiettando ortogonalmente i punti della superficie fisica

sul piano orizzontale. Le proiezioni quotate utilizzate

sono:

piani quotati

piani a curve di livello

Piani quotati

Un piano quotato è una planimetria sulla quale vengono riportati i punti

caratteristici del terreno rilevati planoaltimetricamente, la cui quota viene

indicata tra parentesi accanto al punto stesso.

I punti sono collegati tra loro in modo tale da formare una rete di triangoli

piani ognuno dei quali si sovrappone il più possibile alla parte di terreno che

rappresenta. Ogni lato del piano quotato costituisce un tratto a pendenza

costante.

I piani quotati non permettono una immediata comprensione dell’andamento del

terreno se non dopo un’attenta lettura delle quote; per questo motivo si

utilizzano per zone di limitata estensione

Piani quotati

A (37.15)

B (39.12)

C (38.76)

D (44.02)

E (41.22)

F (42.34)

G (41.88)

H (35.11)

I (29.27)

L (22.81)

Curve di livello

Tagliando la superficie del terreno mediante un piano orizzontale si ottiene una

superficie piana in cui contorno è rappresentato da una linea curva detta curva di

livello.

Una curva di livello o isoipsa è una linea chiusa o aperta generalmente ad andamento

curvilineo che unisce punti di stessa quota

La proiezione su di un piano orizzontale di tutte le curve di livello che possono essere

generate dall’intersezione di piani orizzontali posti a distanza costante origina una

rappresentazione a curve di livello.

La differenza di quota costante, dislivello, tra due isoipse adiacenti è definita

equidistanza (e). L’equidistanza si assume pari alla millesima parte del denominatore

della scala planimetrica

Curve di livello scala 1:2000 distanza 1 cm = 20 m e = 2 m direttrici ogni 10 m

scala 1:5000 distanza 1 cm = 50 m e = 5 m direttrici ogni 25 m

20

18 16

22

50

45

40

55 60

56,120

66,310

23,720

26,880

Rappresentazione a curve di livello in scala 1:1000

Profilo longitudinale

Il profilo longitudinale rappresenta su di un piano verticale

l’andamento altimetrico del terreno lungo una direzione

assegnata.

Per il suo disegno è necessario riportare sull’asse delle X

(ascissa fondamentale) le distanze tra i punti evidenziati sulla

rappresentazione a curve di livello e sull’asse delle Y le quote

dei punti stessi. Le scale di rappresentazione grafica

coincidono con quelle della carta. Si ricorda che la scala delle

quote (e) è pari ad 1/1000 di quella delle distanze

Profilo longitudinale

A B 1 2 3

1 2 3 A

d1 d2 d3

B

D

Q

DEM

Accanto ai tradizionali metodi di rappresentazione bidimensionale (carte topografiche,

tematiche, geologiche) si vanno diffondendo sempre più metodologie di rappresentazione

tridimensionale. Un modello tridimensionale (modello 3D) è infatti più facile da capire di

una rappresentazione codificata secondo le regole della cartografia tradizionale. Grazie

alla nascita ed allo sviluppo dei personal computer, si possono realizzare modelli digitali

tridimensionali sempre più complessi e realistici. Un rappresentazione della Terra

attraverso un modello matematico tridimensionale non è solamente utile per la

presentazione dei dati ma anche per tutte le operazioni di derivazione ed analisi che con

questa si possono realizzare.

DEM e DTM

Un Modello Digitale di Elevazione, anche noto come DEM, dall'inglese Digital

Elevation Model, è la rappresentazione tridimensionale di una superficie,

partendo dalle coordinate X, Y, Q di punti disposti sul terreno in maniera

irregolare. Occorre specificare quale sia la superficie rappresentata: ad

esempio DEM della superficie della vegetazione, DEM della superficie delle

acque ….

Nella gran parte delle applicazioni pratiche la superficie che interessa

modellare è la superficie del suolo terrestre. In questo caso si parla più

precisamente di Modello Digitale del Terreno o brevemente DTM, dall'inglese

Digital Terrain Model. Un DTM quindi è un tipo particolare di DEM.

Fonte dati DTM

Ad oggi, ci sono cinque fonti principali di dati che vengono utilizzate per

realizzare un DTM:

Digitalizzazione cartografia esistente (a curve di livello)

Rilievi topografici tradizionali o con GPS

Restituzione fotogrammetrica da foto aeree

Scansione laser aerotrasportato

Scansione con radar aerotrasportato o da satellite

La creazione del modello DTM

Un DEM può essere modellato e visualizzato, partendo da una apposita

banca dati contenente le coordinate planoaltimetriche dei punti,

utilizzando una delle seguenti strutture:

Griglia a maglie quadrate (GRID)

Rete di maglie triangolari irregolari (TIN)

GRID

L'insieme dei punti originali, irregolarmente distribuiti, viene trasformato in una griglia

regolare (a maglie quadrate uguali). Nel DEM risultante ciascuna tripletta (x, y, z)

rappresenta un quadrato della griglia chiamato anche cella. Un file DEM di questo tipo

si presta ad essere visualizzato in due dimensioni mediante un'immagine (ad es. bmp,

tif) assegnando a ciascun pixel dell'immagine un colore corrispondente all'elevazione

della corrispondente cella del DEM.

TIN (Triangulated Irregular Network)

È anche possibile produrre modelli costituiti da un insieme di punti quotati collegati da

segmenti a formare una rete continua di triangoli. La scelta dei punti può basarsi su

vari metodi, così come il collegamento dei punti può avvenire secondo vari criteri che

assicurino la continuità della superficie da rappresentare. La superficie di ogni

triangolo è definita dall’elevazione dei suoi tre vertici ed è piana.

GRIN e TIN

TIN

GRIN e TIN

GRID o TIN ?

Il modello TIN consente di rappresentare la superficie vera con meno

punti rispetto al modello GRID. Infatti la densità dei punti può essere

adattata al livello di complessità locale della superficie: più punti per i

terreni accidentati, meno punti per i terreni con pendenze che variano

dolcemente. Il formato GRID non è adattabile, tende a semplificare

troppo le superfici montuose e a rappresentare con sovrabbondante

numero di punti quelle pianeggianti. I triangoli irregolari si prestano molto

meglio delle maglie quadrate uguali a rappresentare aree ove le pendenze

variano bruscamente (picchi, rotture nella pendenza come creste, strette

valli, salti, ...) o risultano particolarmente elevate (si pensi ad es. ad una

rupe rocciosa pressoché verticale o addirittura in contropendenza). In

aree come queste i lati del TIN possono allinearsi esattamente con le linee

che segnano discontinuità di pendenza.

DEM

DEM ottenuto da una cartografia a curve di livello in scala 1:5000 (e = 5 m) attraverso

modello TIN _ da SIT Ambiente Regione Campania