View
19
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Yer Degistirmeyen Ayar Teorileri veSeiberg–Witten Haritası
Kayhan ULKER
Abbasaga Mah.
Ankara YEF Gunleri, 27 Aralık 2011
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 1 / 52
Yer degistirmeyen alan teorileri Giris
Jargon :
Ingilizce : Non–commutative
Yarı Turkce : Komut etmeyen
Turkce : Yer degistirmeyen (?)
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 2 / 52
Yer degistirmeyen alan teorileri Giris
Uzay-zamanın yer degistirmemesi kavramı
Klasik mekanik faz uzayının, geometrik bir teorisi olarak dusunulebilir.Faz uzayında bir olayın durumu koordinatları (x , p) olan bir noktadır !
Kuantum mekaniginde ise Heisenberg belirsizlik iliskisinden dolayı
∆x∆p >~2
faz uzayında bir nokta kavramından bahsedilemez !
Kuantum mekaniginde x ve p artık
[x , p] = i~
yer degistirme bagıntısını saglayan yani ”komut-etmeyen”operatorlerdir
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 3 / 52
Yer degistirmeyen alan teorileri Giris
Uzay-zaman icin bir komut etmeme bagıntısı olsa nasıl olur?
Ornegin, en basit yer degistirmeyen D–boyutlu Minkowski veyaEuclidean uzay RD icin
[xµ , xν ] = iθµν
yazılabilir. Burada θ reel sabit antisimetrik bir parametredir.
Heisenberg belirsizlik ilkesine benziyor : bir parcacıgın konumunubirden fazla koordinat icin aynı anda olcmek mumkun degil !
Dolayısıyla bu fikir cok da yeni ve cılgınca bir fikir degil !
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 4 / 52
Yer degistirmeyen alan teorileri Giris
Koordinatların komut etmemesi fikri ilk olarak Heisenberg tarafındanortaya atıldı. Amac kuantum alan teorisindeki cesitli modellerirenormalize ederken ortaya cıkan ıraksaklıklardan kurtulmak.
Ilk makale 1947 Snyder.
1980’lerde matematikciler (ozellikle Alain Connes) yer degistirmeyengeometriyi kurdular.
1995 Doplicher, Fredenhagen, Roberts: Genel gorelilik kuramına goreeger bir bolgede enerji yogunlugu yeteri kadar yuksekse bir kara delikolusturulabilir. Diger taraftan Heisenberg belirsizlik ilkesine goreuzay-zamanda iki nokta arasındaki mesafenin olcumu, bu mesafenintersiyle orantılı olarak momentumda belirsizlige yol acar.
1999 Seiberg ve Witten sicim teorisinin bir alt limitinin komutatifolmayan uzaylarla ilgili oldugunu gosterdiler. Bu calısmadan sonrakonu oldukca populer hale geldi !
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 5 / 52
Yer degistirmeyen alan teorileri Giris
Yeni (tuhaf) ozellikler
Henuz deneysel bir bulgu yok. Hala bir parcacıgın pozisyonunu nekadar kesinlikle olcebilecegimizi bilmiyoruz.
UV/IR karısımı : Dusuk momentumlu ıraksaklıklar yuksekmomentumlu ıraksaklıklarla karısıyor.
θ0i = 0 secilerek teorilerde uniterlik korunsa bile, diger komut etmemebagıntıları nedeniyle Lorentz degismezligi bozuluyor.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 6 / 52
Yer degistirmeyen alan teorileri Giris
Ne ise yarar/yarayabilir ?
Katı hal fiziginde uygulamaları var (Kuantum Hall Etkisi, KesirliKuantum Hall Etkisi, Grafen vs.)
Standard Modelin genellestirilmesi.
Isıktan hızlı notrinoların (!?) anlasılması
Belki de en ilginci ”Kuantumlanmıs” uzay-zaman fikri ile kuantum yercekimi teorisinin insası
bir kac olası uygulama alanı olarak yazılabilir.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 7 / 52
Yer degistirmeyen alan teorileri Giris
Yer degistirmeyen alan teorileri
Fiziksel olarak kabul edilebilir en basit yer degistirmeme ozelligine sahip biruzay, Minkowski uzayını anti-simetrik, sabit bir θ parametresi ile deformeederek bulunur :
[xµ, xν ] = θµν
Bu yer degistirmeme bagıntısını elde etmek icin Groenewold–MoyalCarpımı (∗–carpımı) kullanılır:
f (x) ∗ g(x) ≡ exp
(i
2θµν
∂
∂xµ∂
∂yν
)f (x)g(y)|y→x
= f (x) · g(x) +i
2θµν∂µf (x)∂νg(x) + · · ·
Boylelikle yer degistirmeyen koordinatlar artık sıradan koordinatların∗–komutatoru olarak yazılabilir :
[xµ , xν ]∗ ≡ xµ ∗ xν − xν ∗ xµ = iθµν .
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 8 / 52
Yer degistirmeyen alan teorileri Giris
Kolayca gorulebilecegi gibi artık iki fonksiyonun ∗–carpımı yerdegistirmez :
f (x) ∗ g(x) 6= g(x) ∗ f (x)
Ancak eger bu fonksiyonlar sonsuzda yeteri kadar hızlı sıfıra giderlerseintegral altında ∫
f ∗ g =
∫f .g =
∫g ∗ f
yer degistirme ozelligine sahiptir.
∗–carpımı asosiyatiftir :
f (x) ∗ g(x) ∗ h(x) =(f ∗ g
)∗ h = f ∗
(g ∗ h
)Benzer sekilde integral altında bir ∗–carpımından kurtulunabilir :∫
f ∗ g ∗ h =
∫ (f ∗ g
).h(x) =
∫f .(g ∗ h
)Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 9 / 52
Yer degistirmeyen alan teorileri Giris
Bilinen alan teorilerindeki carpımlar yukarıda tanımlanan ∗-carpımı iledegistirilerek yer degistirmeyen alan teorisi modelleri elde edilebilir.
Ornegin yer degistirmeyen φ4 teorisi,
S =
∫d4x
(1
2∂µφ ∗ ∂µφ+
1
2m2φ ∗ φ+
g
4!φ ∗ φ ∗ φ ∗ φ
)Ya da yer degistirmeyen Yang-Mills teorisi
S = −1
4Tr
∫d4xFµν ∗ Fµν = −1
4Tr
∫d4xFµν Fµν
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ − i [Aµ, Aν ]∗
seklinde yazılabilir.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 10 / 52
Yer degistirmeyen alan teorileri Giris
Esasında yer degistirmeyen koordinatlarla ilgili tamamen fiziksel vegozlemlenebilen bir ornek katı hal fiziginden verilebilir.
Bir duzlemde (x1, x2) hareket eden elektronlara dik yonde (x3) sabitbir manyetik alan ugulandıgını dusunelim.
Bu elektronlar icin Lagrangian
L =m
2~x2 − e~x · ~A
seklinde yazılır.
Ai = −12 Bijx
j , Bij ≡ εijB oldugundan (ε12 = −ε21 = 1)
L =m
2x i x i − e
2Bijx
i x j
yukarıdaki Lagrangian seklinde de yazılabilir.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 11 / 52
Yer degistirmeyen alan teorileri Giris
Eger |mx i | << |Bijxj | ise kinetik terim ihmal edilebilir:
L ≈ −e
2Bijx
i x j
Bu eylemden kanonik momentum
πj =dL
dx j= −eBjkxk
olarak elde edilir.
Kanonik kuantizasyon yapıldıgında
[πj , xl ] = −eBjk [xk , x l ] = −i~δlj
olacagından
[xk , x l ] = i(~/eB)kl ≡ iθkl
bulunur !
Goruldugu gibi manyetik alan uzayın kendisine yer degistirmeyen bir yapıatıyor ! (Landau, 1930)
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 12 / 52
Yer degistirmeyen alan teorileri Giris
Benzer bir iliski, Euclidean uzayda bozonik sicim sabit bir Neveu–Schwarziki-form B-alanı (manyetik alan gibi) altında hareket ediyorsa eldeedilebilir. (Seiberg-Witten JHEP’99 )
Ancak bu iliskinin cok ilginc bir sonucu var : yer degistirmeyen ayarteorileri bildigimiz ayar teorilerinin bir deformasyonu olarak yazılabilir!.
Aµ −→ Aµ(Aµ, θ)
SNC−YM [A] −→ SYM [A] + Sθ[A, θ]
Bu gonderim Seiberg–Witten (SW) gonderimi olarak adlandırılmakta.
Yer degistirmeyen teoriler SW–gonderimi ile elde edilen ”etkin”teoriler olarak dusunulmekte !
SW gonderiminin yer degistirmeme parametresi θ cinsinden cozumubilinmeli.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 13 / 52
Yer degistirmeyen alan teorileri Giris
Ozet
Yer degistirmeyen Yang–Mills (A , Λ)
Seiberg – Witten Gonderimi (A→ A(A, θ) , Λ→ Λ(A, α, θ))
Seiberg Witten Gonderiminin Cozumu.
Homojen olmayan denklemin tum mertebe cozumuHomojen denklemin tum mertebeden cozumleriIkinci mertebeye kadar homojen cozumlerin katkıları.
Sonuc
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 14 / 52
Yer degistirmeyen alan teorileri NC-YM teorisi
Yer degistirmeyen Yang–Mills (NCYM) Teorisi
NCYM teorisinin eylemi ∗–carpımı yardımıyla
S = −1
4Tr
∫d4xFµν ∗ Fµν = −1
4Tr
∫d4xFµν Fµν
seklinde yazılır. Burada,
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ − i [Aµ, Aν ]∗
yer degistirmeyen ayar alanı A’nın siddetidir. Eylem yer degistirmeyen ayardonusumleri altında degismezdir :
δΛAµ = ∂µΛ− i [Aµ, Λ]∗ ≡ DµΛ
δΛFµν = i [Λ, Fµν ]∗.
Burada, Λ yer degistirmeyen ayar parametresidir.Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 15 / 52
SW–gonderimi
Seiberg–Witten gonderimi
Farklı regularizasyon teknikleri kullanarak sicim teorisinin bir alt limitiolarak hem normal hem de yer degistirmeyen ayar teorileri elde etmekmumkun (SW’99).
Dolayısıyla Aµ ve α, yer degistirmeyen Aµ ayar alanının ve yerdegistirmeyen Λ parametresinin, komut eden karsılıkları olsun.
⇒ A ve A arasında ayar degismezligini koruyacak sekilde tanımlananbir gonderim olmalı !
Ilk bakısta basitce alanları yeniden tanımlamak, orneginA = A(A, ∂A, · · · ; θ) ve Λ = Λ(Λ, ∂Λ, · · · ; θ) problemi cozecekmisgibi gorunuyor.
Ama dogru degil !Λ 6= Λ(Λ, ∂Λ, · · · ; θ)
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 16 / 52
SW–gonderimi
Seiberg–Witten gonderimi
Farklı regularizasyon teknikleri kullanarak sicim teorisinin bir alt limitiolarak hem normal hem de yer degistirmeyen ayar teorileri elde etmekmumkun (SW’99).
Dolayısıyla Aµ ve α, yer degistirmeyen Aµ ayar alanının ve yerdegistirmeyen Λ parametresinin, komut eden karsılıkları olsun.
⇒ A ve A arasında ayar degismezligini koruyacak sekilde tanımlananbir gonderim olmalı !
Ilk bakısta basitce alanları yeniden tanımlamak, orneginA = A(A, ∂A, · · · ; θ) ve Λ = Λ(Λ, ∂Λ, · · · ; θ) problemi cozecekmisgibi gorunuyor.
Ama dogru degil !Λ 6= Λ(Λ, ∂Λ, · · · ; θ)
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 16 / 52
SW–gonderimi
Ayar grubunun U(1) oldugu duruma bakalım.
komut eden durumda ayar donusumleri
δαAµ = ∂µα
seklinde verilir.
yer degistirmeyen durumda ise
δΛAµ = ∂µΛ− i [Aµ, Λ]∗
dir.
Goruldugu gibi bir durumda donusumler Abelyenken diger durumdaAbelyen degildir. Abelyen bir grup Abelyen olmayan bir grubaisomorfik olamaz.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 17 / 52
SW–gonderimi
Iki ayar alanı A ve A′’nun nasıl birbirleriyle ayar-ozdes (gauge equivalent)olabilecegini anlamamız gerekli
U = e(iα) olacak sekilde eger A = UA′U−1 ise bu alana karsılık gelen
yer degistirmeyen alan icin A = UA′U−1 , U = e(i Λ) elde etmeliyiz.
Dolayısıyla iki ayar grubu arasında bir gonderim yerine,
A(A) + δΛA(A) = A(A + δαA)
seklinde iki ayar ozdesligi arasında bir iliski yazılabilir. Burada δαasina oldugumuz ayar donusumudur :
δαAµ = ∂µα− i [Aµ, α] ≡ Dµα.
Boylelikle, Λ’nın aynı zamanda ayar alanına baglı baglı oldugu gorulur.
Λ = Λ(α,A, θ)
Yani SW–gonderimi basit bir yeniden alan tarifi (field redefinition) degil.Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 18 / 52
SW–gonderimi
Bu gonderim
δΛAµ(A; θ) = Aµ(A + δαA; θ)− Aµ(A; θ) = δαAµ(A; θ)
seklinde de yazılabilir. yer degistirmeyen alan ve parametrenin fonksiyonelbagımlılıgı
Aµ = Aµ(A; θ) , Λ = Λα(α,A; θ).
oldugundan
δΛAµ(A; θ) = δαAµ(A; θ)
gonderimi Aµ ve Λα icin es zamanlı cozulmelidir.
⇒ Bu yontem ile cozmek cok zor !
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 19 / 52
SW–gonderimi
Diger taraftan ayar tutarlılık (gauge consistency) sartını yazalım
δαδβ − δβδα = δ−i [α,β].
Λ Lie cebri degerli bir ayar parametresi olsun : Λ = ΛaT a.
Yer degistirmeyen durum icin
(δΛαδΛβ−δΛβδΛα)Ψ =1
2[T a,T b]{Λα,a,Λβ,b}∗∗Ψ+
1
2{T a,T b}[Λα,a,Λβ,b]∗∗Ψ
elde edilir.
Sadece U(N) ayar grubu icin {T a,T b} anti-komutatoru tekrar T a’larile yazılabilir.
Dolayısıyla SW yaklasımında U(N) harici baska bir ayar grubukullanılamaz.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 20 / 52
SW–gonderimi
Ancak yer degistirmeyen ayar teorileri her hangi bir ayar grubu icingenellestirmek mumkundur (J. Wess et.al. EPJ’01). Bunun icin
Ayar parametreleri Lie cebrinin zarf (enveloping) cebrinde alınmalıdır :
Λ = αaT a + Λ1ab : T aT b : + · · ·Λn−1
a1···an : T a1 · · ·T an : + · · ·
Butun alanlar ve parametreler Lie cebrinde deger alan alanlaraA, ψ, · · · ve parametreye α baglı olmalıdır:
Aµ ≡ Aµ(A) , Ψ ≡ Ψ(A, ψ) , Λ = Λ(A, α)
yer degistirmeyen ayar tutarlılık sartı saglanmalıdır :
iδαΛβ − iδβΛα − [Λα, Λβ]∗ = i Λ−i [α,β].
Burada onemli olan nokta Wess ve arkadaslarının insa yontemi tamamen
sicim teorisinden bagımsız olmasıdır !Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 21 / 52
SW–gonderimi
Boylelikle SW yaklasımından farklı olarak SW gonderiminin cozumu icinfazladan bir denklem elde edilir.
iδαΛβ − iδβΛα − [Λα, Λβ]∗ = i Λ−i [α,β].
Dikkat edilirse bu denklem sadece Λ icermektedir.
Bu denklem cozuldugunde
δΛAµ(A; θ) = δαAµ(A; θ)
denkleminde yerine koyulursa bu sefer sadece Aµ iceren bir denklem eldeedilir.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 22 / 52
SW–gonderimi
SW gonderiminin birinci ve ikinci mertebeden cozumleri asagıdaki stratejiile elde edilebilir.
Denklemlerin boyut analizi ve indeks yapısı incelenir.
Alanlar ve alanların turevleri cinsinden bu sartları saglayan en genelifade yazılır.
Bu ifadeler denklemlerde yerlerine konularak ifadelerdeki terimlerinkatsayıları belirlenir.
Ancak,
Bu strateji yuksek mertebeli cozumleri bulmak icin faydalı degil !!!
Literaturde verilen cozumler sadece ikinci mertebeye kadar(dı) veayrıca tum ikinci mertebe cozumler birbirlerinden farklı.
2.mertebedeki cozumler cok uzun ifadeler ve hesaplamalardakullanılması cok da mumkun degil.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 23 / 52
SW–gonderimi
Yuksek mertebeden cozumleri bilmek
Teorilerin tutarlılıgını test etmek icin onemli
NC gravite icin 1.mertebe cozumler katkı vermiyor, ilk katkı 2.mertebeden geliyor.
Ayar tutarlılık ve ayar esdegerliligi denklemleri dusuk ve yuksek mertebelicozumler arasında tekrarlanan (recursive) bir yapıya sahip.
⇒ Dolayısıyla tum mertebe cozumler de tekrarlanan bir yapıya sahipolup olmayacagı sorulabilir.
Gercekten de tum mertebe cozumleri bu sekilde bulmak mumkun (B.Yapıskan, K.U PRD’08) !
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 24 / 52
SW–gonderimi NC–BRST donusumleri
Yerdegistirmeyen BRST donusumleri
BRST formalizması SW–gonderiminin cozumlerinin anlasılmasında dafaydalı.
ayar parametresi α → c FP hayalet alanı.ayar donusumu δ → s BRST donusumu :
sAµ = Dµc , sc = ic · c , s2 = 0
Benzer sekilde yerdegistirmeyen BRST icin
Λ → C FP hayalet alanı.NC ayar donusumu δ → s NC BRST donusumu :
sAµ = DµC , s C = i C ∗ C , s2 = 0
Ayar ozdesligi BRST donusumleri cinsinden
sAµ(A; θ) = sAµ(A; θ).
seklinde yazılabilir.Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 25 / 52
SW–gonderimi NC–BRST donusumleri
SW– gonderimini her θ mertebesinde elde etmek icin A ve Λ θ parametresicinsinden kuvvet serisine acılabilir:
Aµ = Aµ + A(1)µ + · · ·+ A(n)
µ + · · ·
C = c + C (1) + · · ·+ C (n) + · · ·
Boylelikle n.nci mertebeye etki eden BRST donusumleri
sC (n) = i∑
p+q+r=n
C (p) ∗r C (q)
sA(n)µ = ∂µC (n)
α − i∑
p+q+r=n
[A(p)µ , C (q)
α ]∗r
seklinde yazılabilir. Burada
f (x) ∗r g(x) ≡ 1
r !
(i
2
)r
θµ1ν1 · · · θµrνr∂µ1 · · · ∂µr f (x)∂ν1 · · · ∂νr g(x)
ifadesini temsil etmektedir.Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 26 / 52
SW– gonderiminin cozumleri
SW– gonderiminin cozumleri
Ilgili alanın n.nci mertebedeki terimi sag tarafa atarak BRSTdonusumlerinden yeni bir operator ∆ elde edilebilir
∆C (n)≡ sC (n) − i{c ,C (n)} = i∑
p+q+r=n,p,q 6=n
C (p) ∗r C (q)
∆A(n)µ ≡ sA(n)
µ − i [c ,A(n)µ ] = ∂µC (n)
α − i∑
p+q+r=n,p 6=n
[A(p)µ , C (q)
α ]∗r
∆’nin de nilpotent oldugu gosterilebilir
∆2 = 0
Dolayısıyla ∆ icin de bir kohomoloji problemi tanımlabilir.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 27 / 52
SW– gonderiminin cozumleri
Goruldugu gibi ∆ yardımıyla her bir θ mertebesi icin bir inhomojendenklem sistemi elde edilebilir
∆C (n) = G(n)(θn; c ,A)⇒ ∆G(n) = 0
∆A(n)µ = H(n)(θn; A)⇒ ∆H(n) = 0
Bu denklemlerin cozumu her bir θ mertebesindeki SW–gonderimini verir.
Ancak yukarıdaki tanımdan da gorulebilecegi gibi bu cozumler kesindegildir. Her bir θ mertebesine homojen denklemlerin cozumleri deeklenebilir :
∆C (n) = 0 , ∆A(n)µ = 0
Bu ise SW–gonderimindeki keyfilikle ilgilidir.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 28 / 52
SW– gonderiminin cozumleri Birinci mertebe cozumleri
SW (JHEP’99) makalesinde birinci mertebe cozumler
C (1) = −1
4θκλ{Aκ, ∂λα}
A(1)γ = −1
4θκλ{Aκ, ∂λAγ + Fλγ}.
seklinde verilmistir. Tanım yardımıyla alan siddeti
F (1)γρ = −1
4θκλ({Aκ, ∂λFγρ + DλFγρ} − 2{Fγκ,Fρλ}
).
olarak elde edilir.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 29 / 52
SW– gonderiminin cozumleri SW Diferansiyel denklemi
Seiberg-Witten diferansiyel denklemi
Deformasyon parametresini sonsuz kucuk degistirelim.
θ → θ + δθ
Fizigin degismemesi icin, θ degistiginde aynı zamanda A(θ) ve Λ(θ) dedegismelidir. Boylelikle 1. mertebe cozumlerden asagıdaki diferansiyeldenklemler elde edilir :
δAγ(θ) = Aγ(θ + δθ)− Aγ(θ)
= δθµν∂Aγ∂θµν
= −1
4δθκλ{Aκ, ∂λAγ + Fλγ}∗
δC (θ) = C (θ + δθ)− C (θ)
= δθµν∂C
∂θµν= −1
4θκλ{Aκ, ∂λC}∗
Bu denklemler genellikle SW diferansiyel denklemleri olarak adlandırılır.Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 30 / 52
SW– gonderiminin cozumleri SW Diferansiyel denklemi
Diferansiyel denklemlerin cozumunu bulmak icin
yer degistirmeyen ayar parametresini ve ayar alanını Taylor serisineacalım,
C (n) = c + C (1) + · · ·+ C (n),
A(n)µ = Aµ + A(1)
µ + · · ·+ A(n)µ .
Boylelikle bu denklemlerden
C (n+1)α = α− 1
4
n+1∑k=1
1
k!θµ1ν1θµ2ν2 · · · θµkνk
(∂k−1
∂θµ2ν2 · · · ∂θµkνk{A(k)
µ1, ∂ν1 C (k)
α }∗)
θ=0
A(n+1)γ = Aγ−
1
4
n+1∑k=1
1
k!θµ1ν1θµ2ν2 · · · θµkνk
(∂k−1
∂θµ2ν2 · · · ∂θµkνk{A(k)
µ1, ∂ν1 A(k)
γ + F (k)ν1γ}∗
)θ=0
.
elde edilir.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 31 / 52
SW– gonderiminin cozumleri SW Diferansiyel denklemi
Bu toplamdan n + 1.nci terim C(n+1)α
Cn+1α = − 1
4(n + 1)!θµνθµ1ν1 · · · θµnνn
(∂n
∂θµ1ν1 · · · ∂θµnνn{A(n)
µ1, ∂ν1C (n)
α }∗)θ=0
.
olarak elde edilir. Turevler alındıktan sonra θ 0 a goturuldugundenparantez icindeki ifade n.nci mertebeye kadar bir toplam olarak yazılabilir :
C n+1α = − 1
4(n + 1)!θµνθµ1ν1 · · · θµnνn
(∂n
∂θµ1ν1 · · · ∂θµnνn
∑p+q+r=n
{A(p)µ , ∂νC (q)
α }∗r
).
Bu esitlikten ise
C (n+1)α = − 1
4(n + 1)θµν
∑p+q+r=n
{A(p)µ , ∂νC (q)
α }∗r .
cozumu elde edilir !
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 32 / 52
SW– gonderiminin cozumleri SW Diferansiyel denklemi
Benzer cebirsel islemler kullanılarak
A(n+1)γ = − 1
4(n + 1)!θµνθµ1ν1 · · · θµnνn ×
×(
∂n
∂θµ1ν1 · · · ∂θµnνn{A(n)
µ1, ∂ν1A(n)
γ + F (n)ν1γ}∗
)θ=0
ifadesinden yer degistirmeyen ayar alanı icin
A(n+1)γ = − 1
4(n + 1)θµν
∑p+q+r=n
{A(p)µ , ∂νA(q)
γ + F (q)νγ }∗r .
cozumu elde edilir.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 33 / 52
SW– gonderiminin cozumleri Diger alanlar icin SW gonderimi
Diger alanlar icin Seiberg–Witten gonderimi
Ayar degismez bir teoride yer degistirmeyen bir Ψ alanı icin SW gonderimi
sΨ(ψ,A; θ) = sΨ(ψ,A; θ).
iliskisi yardımıyla elde edilebilir (J. Wess et.al. EPJ’01).
Benzer sekilde bu ayar esdegerliligi iliskisinden cozumleri bulmak icin Ψkuvvet serisine acılmalıdır.
Ψ = ψ + Ψ(1) + · · ·+ Ψ(n) + · · ·
Bu ayar esdegerlilik iliskisi hem bozonik hem de fermiyonik alanlar icingecerlidir.
Aynı zamanda bu iliski ψ alanın deger aldıgı her hangi bir ayargrubunun hem fundamental hem de adjoint gosterimi icin gecerlidir.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 34 / 52
SW– gonderiminin cozumleri Diger alanlar icin SW gonderimi
Fundamental gosterim :Madde, ψ icin, BRST donusumu
sψ = ic · ψ
ile verilir. Yer degistirmeyen BRST donusumleri ∗–carpımı icerir :
sΨ = i C ∗ Ψ.
Daha once anlatılan yontem kullanılarak tum mertebeler icin ayaresdegerlilik iliskisi
∆Ψ(n) ≡ sΨ(n) − ic ·Ψ(n) = i∑
p+q+r=n,q 6=n
C (p)∗rΨ(q),
seklinde yazılabilir.Buradan elde edilecek Ψ(n) cozumlerine homojen cozum Ψ(p) eklenebilir.
∆αΨ(n) = 0.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 35 / 52
SW– gonderiminin cozumleri Diger alanlar icin SW gonderimi
Birinci mertebe icin bir cozum Wess ve arkadasları tarafından bulunmustur:
Ψ(1) = −1
4θκλAκ(∂λ + Dλ)ψ
BuradaDµψ = ∂µψ − iAµψ
kovaryant turevdir.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 36 / 52
SW– gonderiminin cozumleri Diger alanlar icin SW gonderimi
Birinci mertebe cozumlerden SW diferansiyel denklemini tureterek,
δθµν∂Ψ
∂θµν= −1
4δθκλAκ ∗ (∂λΨ + DλΨ)
bu denklemin cozumlerine bakacagız. Bu denklem θµν anti-simetrikoldugundan,
∂Ψ
∂θκλ= −1
8Aκ ∗ (∂λΨ + DλΨ) +
1
8Aλ ∗ (∂κΨ + DκΨ)
seklinde de yazılabilir. Burada yer degistirmeyen kovaryant turev
DµΨ = ∂µΨ− i Aµ ∗ Ψ .
ile tanımlanmıstır.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 37 / 52
SW– gonderiminin cozumleri Diger alanlar icin SW gonderimi
Cozumu bulmak icin once kullandıgımız yonteme benzer olar, Ψ’yi Taylorserisine acalım,
Ψ(n+1) = ψ + Ψ1 + Ψ2 + · · ·+ Ψn+1
= ψ +n+1∑k=1
1
k!θµ1ν1θµ2ν2 · · · θµkνk
(∂k
∂θµ1ν1 · · · ∂θµkνk(
Ψ(n+1)))
θ=0
.
Diferansiyel denklemden
Ψ(n+1) = ψ − 1
4
n+1∑k=1
1
k!θµ1ν1θµ2ν2 · · · θµkνk ×
×( ∂k−1
∂θµ2ν2 · · · ∂θµkνkA(k)µ1∗ (∂ν1Ψ(k) + (Dν1Ψ)(k))
)θ=0
elde edilir. Burada,
(DµΨ)(n) = ∂µΨ(n) − i A(n)µ ∗ Ψ(n).
ile verilmistir.Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 38 / 52
SW– gonderiminin cozumleri Diger alanlar icin SW gonderimi
Tum mertebe cozumleri bulmak icin n + 1.nci bileseni yazalım,
Ψn+1 = − 1
4(n + 1)!θµνθµ1ν1 · · · θµnνn ×
×(
∂n
∂θµ1ν1 · · · ∂θµnνnA(n)µ ∗ (∂νΨ(n) + (DνΨ)(n))
)θ=0
= − 1
4(n + 1)!θµνθµ1ν1 · · · θµnνn ×
×
(∂n
∂θµ1ν1 · · · ∂θµnνn
∑p+q+r=n
Apµ∗r (∂νΨ(q) + (DνΨ)q)
)Burada
(DµΨ)n = ∂Ψn − i∑
p+q+r=n
Apµ ∗r Ψq.
θ’ya gore turevleri aldıktan sonra tum mertebe cozumleri
Ψ(n+1) = − 1
4(n + 1)θκλ
∑p+q+r=n
A(p)κ ∗r (∂λΨ(q) + (DλΨ)(q)).
seklinde elde edilir.Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 39 / 52
SW– gonderiminin cozumleri Diger alanlar icin SW gonderimi
n = 0 icin Wess tarafından elde edilmis cozum bulunur .n = 1 icin ikinci mertebe cozum
ψ2 = −1
8θκλ(2A1
κ∂λψ − iA1κAλψ + 2Aκ∂λψ
1 − iAκA1λψ − iAκAλψ
1
+iθµν∂µAκ∂ν∂λψ +1
2θµν∂µAκ∂νAλψ
+1
2θµν∂µAκAλ∂νψ +
1
2θµνAκ∂µAλ∂νψ
).
seklindedir. Bu cozumu literaturdeki diger cozumler ile karsılastırmak icinA1 ve Λ1 yerlerine koyulursa
ψ2 = (1/32)θµν
θκλ(− 4i∂µAκ∂λ∂νψ + 4AµAκ∂λ∂νψ − 4∂µAκAν∂λψ − 4Aµ∂κAν∂λψ
+8Aµ∂νAκ∂λψ − 2∂µAκ∂νAλψ + 4AµAκAνψ − 3AµAνAκAλψ − 2AµAκAλAνψ + 4iAµAκAν∂λψ
−4iAµAκAλ∂νψ − 4iAµAνAκ∂λψ + 2i∂µAκAνAλψ − 2iAµAκ∂λAνψ − i∂µAκAλAνψ − 5iAµ∂νAκAλψ
+3iAµ∂κAνAλψ − iAµAκ∂νAλψ).
elde edilir. Bu cozum ise Moller tarfından verilen cozumun aynısıdır.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 40 / 52
SW– gonderiminin cozumleri Diger alanlar icin SW gonderimi
Adjoint gosterim :Adjoint gosterimde BRST donusumu
sψ = i [c , ψ]
ile verilir. yer degistirmeyen durumda ise
sΨ = i [Cα, Ψ]∗
seklinde tanımlanır. Genel strateji kullanılarak ayar esdegerliligi iliskisi
∆Ψ(n) ≡ δαΨ(n) − i [c ,Ψ(n)] = i∑
p+q+r=n,q 6=n
[Λ(p)α ,Ψ(q)]∗r
seklinde yazılabilir. Cozumler
ya bu denklemi mertebe mertebe cozerek
ya da bu denkleme karsılık gelen diferansiyel denklemi cozerek eldeedilebilir.
Ancak, muhtemelen cozumleri bulmanın en kolay yolu boyut indirgemeyontemini kullanmaktır ! (K.U, Saka PRD’07)
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 41 / 52
SW– gonderiminin cozumleri Diger alanlar icin SW gonderimi
Basit boyut indirgemesi (ornegin altı boyuttan dort boyuta inmek) basitcealtı boyutta tanımlanan teorinin sadece dort boyuttaki koordinatlara baglıolmasını saglayarak elde edilebilir. Ornegin altı boyutlu uzayın koordinatları
xM = (x0, · · · , x3, z1, z2)
olsun. Boylelikle altı boyuttaki ayar alanı
AM(xµ)→ (Aµ,A5,A6)
seklinde yazılabilir. Dolayısıyla bir 4-vektor, iki de reel skaler alan eldeedilir.Benzer sekilde deformasyon parametresinin θ’nın kompaktifiye edilecekboyutlardaki elemanları sıfıra esitlenebilir.
ΘMN =
(θµν 00 0
),
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 42 / 52
SW– gonderiminin cozumleri Diger alanlar icin SW gonderimi
Boylelikle once elde edilen
A(n+1)N = − 1
4(n + 1)θKL
∑p+q+r=n
{A(p)K , ∂LA
(q)N + F
(q)LN }∗r .
cozume boyut indirgemesi uygulanırsa bir kompleks skaler alanın n.ncimertebeden cozumu elde edilir :
ψ(n+1) = − 1
4(n + 1)θκλ
∑p+q+r=n
{A(p)κ , (∂λΨ(q) + (DλΨ)(q))}∗r .
Burada,
Dµψ = ∂µψ − i [Aµ, ψ] , (DµΨ)(n) = ∂µΨ(n) − i∑
p+q+r=n
[A(p)µ ,Ψ(q)]∗r .
ifade etmektedir.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 43 / 52
SW– gonderiminin cozumleri Diger alanlar icin SW gonderimi
Bozonik ve fermionik alanlar icin bulunacak cozumlerin yapıları aynıolacagından yukarıdaki cozum aynı zamanda fermiyonik alanlar icin dekullanılabilir.
Yukarıdaki cozumun aynısı
∂Ψ
∂θκλ= −1
8{Aκ, (∂λΨ + DλΨ)}∗ +
1
8{Aλ, (∂κΨ + DκΨ)}∗.
diferansiyel deklemini cozerek de elde edilebilir.
Dolayısıyla boyut indirgeme yontemiyle verdigimiz sonuc daha oncetartısılan cozumlerin dogrulugunu da farklı bir yoldan gostermis olur.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 44 / 52
SW– gonderiminin cozumleri Homojen olmayan cozumler
Homojen olmayan cozumler :
∆C (n)≡ sC (n) − i{c ,C (n)} = i∑
p+q+r=n,p,q 6=n
C (p) ∗r C (q)
∆A(n)µ ≡ sA(n)
µ − i [c ,A(n)µ ] = ∂µC (n)
α − i∑
p+q+r=n,p 6=n
[A(p)µ , C (q)
α ]∗r
∆Ψ(n)≡ sΨ(n) − ic ·Ψ(n) = i∑
p+q+r=n,q 6=n
C (p)∗rΨ(q)
denklemleri
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 45 / 52
SW– gonderiminin cozumleri Homojen olmayan cozumler
tum θ mertebelerinde
C (n+1)α = − 1
4(n + 1)θκλ
∑p+q+r=n
{A(p)κ , ∂λC (q)
α }∗r
A(n+1)γ = − 1
4(n + 1)θκλ
∑p+q+r=n
{A(p)κ , ∂λA(q)
γ + F(q)λγ }∗r .
ψn+1 = − 1
4(n + 1)θκλ
∑p+q+r=n
A(p)κ ∗r (∂λΨ(q) + (DλΨ)(q)).
seklinde cozumleri vardır !
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 46 / 52
SW– gonderiminin cozumleri homojen cozumler
Homojen cozumler :
Dikkat edilirse∆· = s · −i{c , ·]
seklinde tanımlanan operator kovaryant turev ile yer degistirir :
[∆,Dµ] = 0⇒ ∆Fµν = 0
Boylelikle her bir mertebe icin homojen cozumlerin
A(n)γ ∝ F (n)
γ (θ,D,F ) , Ψ(n) ∝ P(n)(θ,D,F )ψ
formunda olması gerektigi bulunur.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 47 / 52
SW– gonderiminin cozumleri homojen cozumler
Ornegin 1.nci mertebede
A(1)γ ∝ θµνDγFµν , Ψ(1) ∝ θµνFµνψ
2.nci mertebede
A(2)γ ∝ θµνθκλDγ(FµνFκλ) , θµνθκλDγ(FµκFνλ) , θµνθκλDµ(FγνFκλ) ,
θµνθκλDκ(FµνFγλ) , θµνθκλDµ(FκνFγλ) , θµνθκλDκ(FµλFγν)
Ψ(2)γ ∝ θµνθκλ(FµνFκλ)ψ , θµνθκλ(FµκFνλ)ψ,
iθµνθκλ(DµFκλ)Dνψ , iθµνθκλ(DµFκν)Dλψ
elde edilir.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 48 / 52
SW– gonderiminin cozumleri homojen cozumlerin ust mertebelere katkıları
1. mertebe homojen cozumlerin 2. mertebeye katkısı :
Homojen olmayan cozumler bir cins tekrarlama bagıntısı olarak verildiginigorduk. Dolayısıyla dusuk mertbedeki cozumlere eklenecek homojencozumler ust mertebedeki katkıları etkilemeli. Bu amacla cozumleri
A(1) → A(1) + A(1) , Ψ(1) → Ψ(1) + Ψ(1)
A(2) → A(2) + A(2) + A(2)
Ψ(2) → Ψ(2) + Ψ(2) + Ψ(2)
seklinde kısımlara ayıralım. A(2) ve Ψ(2) kısımları A(1) ve Ψ(1)’den gelenkatkıları gostersin.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 49 / 52
SW– gonderiminin cozumleri homojen cozumlerin ust mertebelere katkıları
∆’nın tanımından ve ∆A(2) = ∆P(2) = 0 olacagından
∆A(2)γ = i [C (1), A(1)
γ ]− 1
2θκλ{∂κc , ∂λA(1)
γ }
∆Ψ(2) = iC (1) · Ψ(1) − 1
2θκλ∂κc · ∂λΨ(1)
elde edilir.Bu denklemlerin cozumu ise
A(2)γ = −1
4θκλ(2{Aκ, ∂λA(1)
γ } − i{Aκ, [Aλ, A(1)γ ]})
Ψ(2) = −1
4θκλAk(2∂λΨ(1) − iAλ · Ψ(1))
seklindedir.
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 50 / 52
sonuc
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 51 / 52
sonuc
∼ TESEKKURLER ∼
Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 52 / 52
Recommended