Zadania z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych. P

P I O T R D U D Z I Ń S K I

ZADANIA Z M A T E M A T Y K I D L A STUDENTÓW KIERUNKÓW

E K O N O M I C Z N Y C H

G D Y N I A 2003

Piotr Dudziński, Z a d a n i a z m a t e m a t y k i d l a s tudentów kie ­r u n k ó w e k o n o m i c z n y c h , Gdynia 2003, s. 84, bibliografia 5 poz. Skrypt zawiera rozwiązania przykładowych zadań z analizy mate­

matycznej i algebry liniowej. Do każdego rozdziału są dołączone zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania oraz przykła­

dy testów wielokrotnego wyboru dotyczących danego tematu i przykładowe kolokwia (także w formie testów wyboru). Na końcu

książki są zamieszczone odpowiedzi do wszystkich zadań.

Opracowanie komputerowe: dr PiotrDudziński

Recenzent: prof. dr hab. Andrzej Borysowicz

Druk: Drukarnia Wydawnictwa Diecezji Pelplińskiej „Bernardinum" w Pelplinie

ISBN 83-918369-0-8

SPIS TREŚCI

Wstęp 5

Granice ciągów, granice funkcji, ciągłość 7

Rachunek różniczkowy 19

Rachunek całkowy 37

Algebra liniowa 42

Odpowiedzi 65

Bibliografia 83

WSTĘP

Niniejszy skrypt jest adresowany do studentów pierwszego roku studiów

w Wyższej Szkole Administracji i Biznesu w Gdyni i oparty jest na wykładzie

z matematyki jaki tam jest prowadzony. Materiał jaki jest omawiany pozwala

jednak na korzystanie z książki także przez studentów kierunków ekonomicz­

nych innych uczelni.

Opanowanie przez studentów przedmiotu jakim jest matematyka wymaga

pracy zarówno w trakcie zajęć w szkole, jak i samodzielnego rozwiązywania

zadań w domu. Prezentowana książka jest pomyślana jako pomoc zarówno

w jednym, jak i w drugim. Każdy rozdział zawiera na początku szczegółowe

rozwiązania szeregu typowych zadań z danego zakresu partii materiału, co

pozwala na samodzielną ich analizę. Do każdego rozdziału jest dołączona

duża ilość zadań przeznaczonych do samodzielnego rozwiązania. Na końcu

książki są zamieszczone odpowiedzi do wszystkich zadań. Każdy rozdział

kończy się przykładami testów wielokrotnego wyboru dotyczących danego

tematu. Ponadto dołączone zostały propozycje przykładowych kolokwiów

(także w formie testów).

Rozdział 1

G R A N I C E CIĄGÓW, G R A N I C E F U N K C J I , CIĄGŁOŚĆ

Zadanie 1. Obliczyć granice ciągów:

6 n 3 - 4n 2 + 3n - 7

Z A D A N I A

Przykładowy test

Odpowiedzi

1. A) nie, B) tak, C) nie,

2. A) nie, B) tak, C) tak,

3. A) tak, B) tak, C) tak,

4. A) tak, B) nie, C) nie,

5. A) tak, B) nie, C) tak,

6. A) nie, B) tak, C) tak,

7. A) nie, B) nie, C) tak,

8. A) nie, B) tak, C) tak.

Rozdział 2

R A C H U N E K RÓŻNICZKOWY

3) Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji / w punkcie X Q , gdy

Przykładowy test

Odpowiedzi

1. A) nie, B) tak, C) tak,

2. A) tak, B) nie, C) tak,

3. A) tak, B) nie, C) tak,

4. A) tak, B) nie, C) nie,

5. A) tak, B) nie, C) tak,

6. A) tak, B) tak, C) nie,

7. A) nie, B) tak, C) tak,

8. A) tak, B) nie, C) nie.

Przykładowe kolokwium 1

B) maleje w przedziale (2,4),

C) osiąga w punkcie x = 4 maksimum lokalne.

A) |TAK| | NIE | B) |TAK| | NIE

Odpowiedzi

1. A) nie, B) tak, C) tak,

2. A) tak, B) nie, C) tak,

3. A) tak, B) tak, C) nie,

4. A) tak, B) tak, C) nie,

5. A) tak, B) nie, C) nie.

Przykładowe kolokwium 2

Przykładowe kolokwium 3

Przykładowe kolokwium 4

A) T A K N I E B) J A K 1 NIE

Odpowiedzi

1. A) tak, B) nie, C) nie,

2. A) tak, B) nie, C) tak,

3. A) tak, B) tak, C) nie,

4. A) tak, B) nie, C) tak,

5. A) tak, B) nie, C) tak.

36

Rozdział 3

Zadanie 2. Obliczyć całki oznaczone:

Rozdział 4

wierszach. Są to: zamiana wierszy, pomnożenie wiersza przez liczbę różną

od zera, oraz dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę.

Każda z tych operacji prowadzi do układu równoważnego z wyjściowym, tzn.

posiadającego ten sam zbiór rozwiązań. W niniejszym przykładzie dokonu­

jemy następujących przekształceń:

Z ostatniego równania wynika, że z = 3. Po podstawieniu tego wyniku do

drugiego równania otrzymujemy y — — 1. Wstawiamy obie liczby do pier­

wszego równania, skąd wynika, że x — 2. Ostatecznie rozwiązaniem układu X - 2

równań jest \ y — — 1 . z = 3

Powyższy układ rozwiązujemy parametryzując tę niewiadomą, której nie ma

na głównej przekątnej, w tym przypadku jest to zmienna z. Przyjmujemy

z = t, gdzie t e R i przenosimy parametr t w każdym równaniu na stronę

wyrazów wolnych. Układ równań przyjmuje następującą postać:

= 1 + t

= 3 - 2 *

2 Z ostatniego równania otrzymujemy y = 1 — -t. Wstawiamy uzyskaną

5 wartość do pierwszego równania i po przekształceniach otrzymujemy x = —t.

Z A D A N I A

5) Rozwiązać równania macierzowe:

6) Rozwiązać układy równań liniowych stosując metodę eliminacji Gaussa.

Przykładowy test 1

4) Układ równań

Przykładowy test 2

Przykładowy test 3

A) nie ma rozwiązań?

B) ma rozwiązanie takie, że x + 2y + z — t = 0,

C) ma nieskończenie wiele rozwiązań.

A) ITAK] | NIE B) [TAK] 1 NIE C) [TAK| | NIE

Odpowiedzi

1. A) tak, B) nie, C) tak,

2. A) tak, B) nie, C) nie,

3. A) tak, B) tak, C) tak,

4. A) tak, B) nie, C) nie.

Przykładowy test 4

A) nie ma rozwiązań,

B) ma rozwiązanie takie, że x + 2y + z = 0,

C) ma nieskończenie wiele rozwiązań.

A) T A K NIE B) |TAK| | NIE C) [TAK] | NIE

Odpowiedzi

1. A) tak, B) tak, C) nie,

2. A) nie, B) tak, C) nie,

3. A) tak, B) tak, C) tak,

4. A) tak, B) nie, C) nie.

O D P O W I E D Z I

Rozdział 2.

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

- 1 1 3 - 2

7 - 4

- 5 3 1 2 0 2 1

i u

2 11

i 11

3 11

1 1 - 2

O - 2 - 3

O - 1 - 2

2 - 1 2

1 - 1 - 1

- 1 1 2

(5.1) X =

(5.2) X =

(5.3) X =

(5.4) X =

(5.5) X =

(5.6) X =

1 2

1 - 1

6 1

8 2

2 - 6

0 2

1 4 - 1

O 2 1

10 - 6

- 3 4 25

5 8

3 5

78

B I B L I O G R A F I A

1. W.Krysicki , L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, P W N ,

Warszawa. 1993.

2. J. Piszczała, Matematyka i jej zastosowanie w naukach ekonomicznych,

Wyd. Akad. Ekon., Poznań, 2000.

3. J. Piszczała, Matematyka i jej zastosowanie w naukach ekonomicznych,

ćwiczenia, Wyd . Akad. Ekon., Poznań, 1999.

4. M. Sadowski, T. Spanily. Matematyka w zadaniach dla studentów

kierunków ekonomicznych, Wyd . Uniw. Gda., Gdańsk, 1999.

5. T. Spanily, Elementy matematyki dla ekonomistów, Wyższa Szkoła A d ­

ministracji i Biznesu, Gdynia, 1996.