چند جمله ای رخی

عبدالحمید پهلوزادهhttp://hamid.jgex.ir

الرحیم الرحمن الله بسم

: مقدمه و قوانیندر شطرنج مهره ای وجود دارد که رخ یا قلعه خوانده میشود و مجاز است به

صورت افقی یا قائم به هر تعداد خانه خالی که می خواهد حرکت کند.

در این بحث ما میخواهیم تعدادی رخ را در یک صفحه شطرنج قرار دهیم که با حرکت کردن هر کدام از رخ ها ، هیچ کدام از آنها به همدیگر برخورد نکنند.

به طور مثال: رخ را در یک صفحه شطرنج قرار دهیم ، بطوریکه 5ما به چند طریق میتوانیم

هیچ کدام با حرکت کردن به هم برخورد نکنند. رخ میتوانند بر یک صفحه k می خواهیم تعداد راههایی را بیابیم که kبرای

شطرنح قرار بگیرند به قسمی که هیچ دوتای آنها نتوانند به هم برخورد کنند، یعنی هیچ دوتای آنها در یک سطر یا یک ستون قرار نگیرند.

کار cیا اگر بخواهید تاکیید کنید که روی صفحه شطرنج rk این تعداد را با نشان میدهند. rk(c)میکنند با

3بررسی یک مثال: 2 1

4

5 6

تعداد خانه های صفحه است. r1برای هر صفحه شطرنج ، .رخهایی را که با هم برخورد نمیکنند در جفت r1=6در اینجا

موضعهای زیر قرار میگیرند.(1,4) , (1,5) , (2,4) , ( 2,6) , ( 3,5) , (3,6) , (4,5) , ( 4,6)

.r2=8پس به ( 2,4,6( , )1,4,5)با ادامه کار ، با استفاده از مکانهای

k≥4 ، rk=0 و باالخره r3=2دست می آوریم برای صفحه شطرنج r(c,x) چند جمله ای رخی r0=1با

صفحه مقابل به صورت زیر تعریف میکنیم:r(c , x ) = 1+ 6x + 8x2 + 2x3

k تعدادراههایی است که میتوان xk ضریب k≥0برای هر رخی را که با هم برخورد ندارند در صفحه مقابل قرار دارد.

با بررسی مورد به مورد خانه های صفحه شطرنج کار ساده ای نخواهیم داشت ، باید راه دیگری را برای بررسی بهتر پیش بگیریم که کار ساده تر

باشد.

ادامه کار:c

خانه هاشور نخورده 11 از cصفحه شطرنجی متشکل از cتشکیل شده است ، توجه میکنیم که

و یک یک زیر صفحه ی c1 ی 2×2یک زیر صفحه است که در گوشه پایین سمت c2هفت خانه ای

راست قرار دارد. این زیر صفحه ها از هم مجزا هستند زیرا خانه ای در یک سطرو ستون قرار

ندارند.

c1

c2

r(c1,x) = 1 + 4x + 2x2

r(c2,x) = 1 + 7x + 10x2 + 2x3

r(c,x) = 1 + 11x + 40x2 + 56x3 + 28x4 + 4x5 = r(c1,x).r(c2,x)

، اما آیا تصادفی بوده است r(c,x) = r(c1,x) . r(c2,x)بنابراین ، این رابطه یا خیر ؟

در محاسبهr3 برای c الزم است که بدانیم به چند راه cمیتوانیم ، سه رخی را که به هم برخورد ندارند بر صفحه

قرار دهیم . سه حالت روی میدهد. الف ( هر سه رخ در زیر صفحهc2 : راه 2 هستند

ب ( دو رخ در زیر صفحهc2 هستند و یک رخ رویc1 : (10) . (4) = 40

ج(یک رخ در زیر صفحهc2 است،دو رخ روی زیر صفحهc1 : (7) . (2) = 14

راه 56در نتیجه ، سه رخی را که با هم برخورد ندارند میتوان به قرار دارد.cدر صفحه

است. x3 ضریب 56 و در اسالید قبل دیدیم که

قانون کلی : از زیر صفحه های دو cبه طور کلی ، اگر صفحه شطرنجی

ساخته شده باشد ، آنگاه :c1 ، c2 ، ... ، cnبه دو مجزای

r(c,x) = r(c1,x) . r(c2,x) . … . r(cn,x)

به فرض داشتن یک صفحه شطرنجی بزرگ ، آن را به زیر صفحه های کوچکتری تفکیک میکنیم که چند جمله ای های

رخی آنها را بتوان با تجسس تعیین کرد.

(*)

c ، k≥1 را در نظر میگیریم ، فرض کنید cصفحه

( تعیین * ، نظیر خانه ای که با ) cبرای هر خانه شده است ، دو امکان برای بررسی وجود دارد .

الف ( یک رخ را در خانه معینی قرار میدهیم ، آنگاه باید

را که در سطر و ستون cهمه ی خانه های دیگر این خانه معین قرار دارند ، به عنوان مکانهای

رخ دیگر حذف کنیم . زیر صفحه کوچکتر k-1ممکن ب ( مینامیم.csباقیمانده را

رخ را kاز آن خانه معین اصال استفاده نمیکنیم ، که خانه معین c ) همان ceدر زیر صفحه ی

اولی از آن حذف شده است.( قرار میدهیم چون این دو حالت ، شامل همه

حالتها و مجزا هستند :

cs

ce

باشد ، nاگر تعداد خانه های صفحه شطرنجی برابر با معتبر است و k ≤ n ≥ 1( برای 1آنگاه معادله )

مینویسیم.

(2)

شروع میشوند ، زیرا در غیر این صورت ممکن k=1 مجموعیابها با -r با جمله 2است در نخستین جمعوند ، در طرف راست معادله

1(cs)x0 .رو به رو شویم

(1)

*

ceو csنحوه تشکیل

*

cs

ce

(*)

= x

(*)

+

= x2 + 2x + x+

(*)

= X2(1+2x) + 2x(1+4x+2x2) + x( 1+3x+x2)

+ x+

= 3x+12x2+7x3+x(1+2x)+(1+4x+2x2) = 1 + 8x + 16x2 + 7x3

= x(*)

+ + xx