05 кив и кип

Дедуктивные теории

Горбатова Ю.В.http://www.slideshare.net/JuliaGorbatova

Рассуждение

ПРОЦЕДУРА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА ОТ ОДНИХ

ВЫСКАЗЫВАНИЙ, ПРИНЯТЫХ В КАЧЕСТВЕ ИСХОДНЫХ, К ДРУГИМ

ВЫСКАЗЫВАНИЯМ

Рассуждение Каждый шаг этого процесса

осуществляется на основании некоторого правила вывода.

Последнее высказывание, полученное в данном процессе, называется заключением.

РассуждениеДедуктивное

рассуждение, в котором между высказываниями,

принятыми в качестве исходных, и заключением

существует отношение логического следования.

Правдоподобное

Типы дедуктивных теорий(в зависимости от степени проясненности дедуктивных связей

между утверждениями)

Содержательные Дедукция используется лишь для

некоторых отдельных положений теории

Посылки не обязаны быть истинными, а потому любое

предложение, которое дедуцируется с их

использованием, считается условно истинным

Теория эволюции ДарвинаШкольная арифметика

Классическая логика высказываний

Типы дедуктивных теорий(в зависимости от степени проясненности дедуктивных связей

между утверждениями)

Формализованные(аксиоматизированные)

содержание взаимосвязано и дедуктивно выводится из некоторых первоначально

принятых исходных утверждений – аксиом

Небесная механика НьютонаТеория относительности

ЭйнштейнаАрифметика ПеаноГеометрия Евклида

Недостаток формализованных теорий

Специально не выделяются средства дедукции, что приводит к:o пропуску некоторых

дедуктивных шаговo недостаточно четкой

фиксации необходимого для получения других положений числа аксиом

Типы дедуктивных теорий(в зависимости от степени проясненности дедуктивных связей

между утверждениями)

Формальные

оформляется (структурируется) не

только само знание, но и средства его

получения

Теория множеств Формальная арифметика

Формальные теории

Исчисление – это формальная теория:o содержание которой фиксируется на

специально созданном символическом языкеo все допустимые преобразования строятся как

преобразования одних последовательностей символов в другие последовательности

Логическое исчисление – исчисление, утверждениями которого являются логические законы.

Логическое исчисление

Логическое исчисление S является адекватной формализацией содержательной логической теории Т, е.т.е.:

Класс теорем S совпадает с классом формул, истинных в Т

или Из формул А1, А2, …, Аn в исчислении S

выводима формула В т.т.т., когда А1, А2, …, Аn В ⊨ в теории Т

Полнота

Синтактика НЕ интересуется значениями формул

Синтактика интересуется правилами вывода

Все, что является общезначимой формулой, может быть доказано в качестве теоремы

Непротиворечивость

Семантика НЕ интересуется правилами вывода

Семантика интересуется значениями формул

Всякая теорема является общезначимой формулой

Классическое исчисление

высказываний

Субординатный вывод

КИВ•Содержит только правила вывода и не содержит аксиом•Понятие теоремы и выводимости – синтаксические аналоги семантических понятий закона и логического следования•Любой закон КЛВ здесь можно получить в качестве теоремы•В случае наличия логического следования вида A1, A2, …, An ⊨ B можно обосновать выводимость выражения B из выражений A1, A2, …, An

Правила

По действию: Введения связки

(обозначаются индексом в) Исключения связки

(обозначаются индексом и)

По количеству посылок: Однопосылочные Двухпосылочные

Правила В А , В

АВ В _А__ , _В__

АВ АВ В __В__

СВ В В , В,

С

И АВ , АВ

А В И АВ, А

В И АВ , А

В И А

А

Правила В А , В

АВ В _А__ , _В__

АВ АВ В __В__

СВ В В , В,

С

И АВ , АВ

А В И АВ, А

В И АВ , А

В И А

А

ВАЖНЫЕ ПРАВИЛА

В __В__

СВ В В , В,

С

С – последнее допущение

вывода

РассужденияВывод

Непустая конечная последовательность формул С1, С2, …, Сk, удовлетворяющая условиям:o Каждая Сi есть:

• Либо посылка• Либо допущение• Либо получена из предыдущих

формул по одному из правил вывода

o Если в выводе применялось правило В или В, то все формулы, начиная с последнего допущения вплоть до результата применения правила, исключаются из дальнейших шагов построения вывода.

Доказательство

Вывод из пустого множества неисключенных допущений

Последняя формула в доказательстве называется теоремой

⊢В

p ⊃q, q⊃r, p ⊢ r

1. p q⊃2. q r⊃3. p4. q И : 1,3

5. r И : 2, 4

Цель: r

p ⊃q, q⊃r, p ⊢ r

1. p q⊃2. q r⊃3. p4. q И : 1,3

5. r И : 2, 4

Цель: r

Эвристики

методы, позволяющие упростить выбор допущений

1-я эвристика⊢А ⊃В

+1. А цель: В

Когда цель достигнута, применяется правило ⊃в

Вывод, в котором используется только 1-ая эвристика, называется прямым.

⊢ (pq) (q(pr))

+1. pq цель: q(pr) 2. p &и: 1 3. q &и: 1 4. pr в: 2 5. q(pr) &в: 3, 4 6. (pq) (q(pr)) ⊃в: 5

⊢ (pq) (q(pr))

+1. pq цель: q(pr) 2. p &и: 1 3. q &и: 1 4. pr в: 2 5. q(pr) &в: 3, 4 6. (pq) (q(pr)) ⊃в: 5

2-я эвристика⊢А

+1. ¬А цель: противоречие (⊥)

Когда цель достигнута, применяется правило ¬в

Вывод, в котором используется не более чем 2-ая эвристика, называется косвенным, или от

противного.

⊢ (pq) ((r¬q) ¬ (pr))+1. p⊃q цель: (r¬q)¬(pr) Э1+2. r¬q цель: ¬(pr) Э1+3. ¬¬(pr) цель: ⊥ Э2 4. pr ¬и: 3 5. p &и: 4 6. r &и: 4 7. q ⊃и: 1, 5 8. ¬q ⊃и: 2, 6 9. ¬¬¬(pr) ¬в: 7, 8

⊢ (pq) ((r¬q) ¬ (pr))+1. p⊃q цель: (r¬q)¬(pr) Э1+2. r¬q цель: ¬(pr) Э1+3. ¬¬(pr) цель: ⊥ Э2 4. pr ¬и: 3 5. p &и: 4 6. r &и: 4 7. q ⊃и: 1, 5 8. ¬q ⊃и: 2, 6 9. ¬¬¬(pr) ¬в: 7, 8

10. ¬(pr) ¬и: 9

⊢ (pq) ((r¬q) ¬ (pr))+1. p⊃q цель: (r¬q)¬(pr) Э1+2. r¬q цель: ¬(pr) Э1+3. ¬¬(pr) цель: ⊥ Э2 4. pr ¬и: 3 5. p &и: 4 6. r &и: 4 7. q ⊃и: 1, 5 8. ¬q ⊃и: 2, 6 9. ¬¬¬(pr) ¬в: 7, 8

10. ¬(pr) ¬и: 9

11. (r¬q)¬(pr) ⊃в: 10

⊢ (pq) ((r¬q) ¬ (pr))+1. p⊃q цель: (r¬q)¬(pr) Э1+2. r¬q цель: ¬(pr) Э1+3. ¬¬(pr) цель: ⊥ Э2 4. pr ¬и: 3 5. p &и: 4 6. r &и: 4 7. q ⊃и: 1, 5 8. ¬q ⊃и: 2, 6 9. ¬¬¬(pr) ¬в: 7, 8

10. ¬(pr) ¬и: 9

11. (r¬q)¬(pr) ⊃в: 10

⊢ (pq) ((r¬q) ¬ (pr))+1. p⊃q цель: (r¬q)¬(pr) Э1+2. r¬q цель: ¬(pr) Э1+3. ¬¬(pr) цель: ⊥ Э2 4. pr ¬и: 3 5. p &и: 4 6. r &и: 4 7. q ⊃и: 1, 5 8. ¬q ⊃и: 2, 6 9. ¬¬¬(pr) ¬в: 7, 8

10. ¬(pr) ¬и: 9

11. (r¬q)¬(pr) ⊃в: 1012. (pq) (r¬q) ¬(pr) ⊃в: 11

⊢ (pq) ((r¬q) ¬ (pr))+1. p⊃q цель: (r¬q)¬(pr) Э1+2. r¬q цель: ¬(pr) Э1+3. ¬¬(pr) цель: ⊥ Э2 4. pr ¬и: 3 5. p &и: 4 6. r &и: 4 7. q ⊃и: 1, 5 8. ¬q ⊃и: 2, 6 9. ¬¬¬(pr) ¬в: 7, 8

10. ¬(pr) ¬и: 9

11. (r¬q)¬(pr) ⊃в: 1012. (pq) (r¬q) ¬(pr) ⊃в: 11

3-я эвристика⊢АvB

+1. ¬А (¬B) цель: ⊥

⊢ ¬(АvB)

+1. А (B) цель: ⊥

Когда цель достигнута, применяется правило ¬в

⊢ (pр)

+1. (pр) цель: ⊥ Э2+2. p цель: ⊥ Э3 3. pр в: 2 4. р в: 1,3

⊢ (pр)

+1. (pр) цель: ⊥ Э2+2. p цель: ⊥ Э3 3. pр в: 2 4. р в: 1, 3

⊢ (pр)

+1. (pр) цель: ⊥ Э2+2. p цель: ⊥ Э3 3. pр в: 2 4. р в: 1, 3 5. pр в: 46. (pр) в: 1, 5

⊢ (pр)

+1. (pр) цель: ⊥ Э2+2. p цель: ⊥ Э3 3. pр в: 2 4. р в: 1, 3 5. pр в: 26. (pр) в: 1, 5

⊢ (pр)

+1. (pр) цель: ⊥ Э2+2. p цель: ⊥ Э3 3. pр в: 2 4. р в: 1, 3 5. pр в: 26. (pр) в: 1, 5 7. (pр) и: 6

IV. Исчисление предикатов

Исчиcление высказываний (правила введения и исключения связок)

+Правила для кванторов

=Исчисление предикатов

Понятие правильной подстановки

А(/β) – результат правильной подстановки в формулу А вместо переменной переменной β

Подстановка считается правильной, еслиo β замещает везде, где не связана никаким

кванторомo ни одна переменная не оказалась связанной в

тех местах, где она появилась в результате подстановки

Являются ли следующие примеры подстановки правильными?

P(x) & zR(z,x)P(y) & zR(z,x)

Неправильно! (неполная подстановка)Правильно: P(y) & zR(z,у) xR(x,y)

xR(x,x)Неправильно! (коллизия переменных)Правильно: xR(x,z)

Кванторные правила

Введение кванторовв А(/β)*

А()в А(/β)

А()

Исключение кванторов

и А() А(/β)

и А() А(/β)*

* при этом β абсолютно ограничена, а все остальные свободные переменные в А ограничены относительно β

Правило генерализации

Правило единичного

выбора

Что значит «переменная ограничена»?

Сравните: х + х = 2х х + 3 < 5 х + у < 5

(х не ограничен)(х абсолютно ограничен) (х ограничен

относительно y)

Ни одна переменная не должна быть абсолютно ограничена дважды

Сравните информативность суждений: хА(х) (общее) «Все знают Васю» А(а) (единичное) «Петя знает Васю» хА(х) (частное) «Некто знает Васю» От общего к единичному и частному можно

перейти всегда, без ограничений Снизу вверх – только на одну ступень, да и то с

ограничением!

Ни одна переменная не должна ограничивать сама себя

Пример:1. хуR(x,y) все любят кого-то2. уR(z,y) z любит кого-то3. R(z,v) z любит v

(v огр, z огр.отн. v)

4. xR(x,v) v любят все (z огр., v огр.отн

z)5. yxR(y,x) кого-то любят все

Вывод считается завершенным

Если ни одна переменная, абсолютно ограниченная в выводе, не встречается свободно ни в неисключенных посылках, ни в заключении

Пример 1

Если никто никого не боится, то неверно, что кто-то боится самого себя

Пример 2