3ºESO-Tema08-Geometría del plano

3º ESO

Tema 8

Geometría del Plano

C.E.I.P.S. Adolfo Suárez

Luis Alonso

Curso 2010/2011 Luis Alonso 2

Tema 8

1.- FORMAS GEOMÉTRICAS2.- RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN

TRIÁNGULO6.- LUGARES GEOMÉTRICOS

3.- FIGURAS SEMEJANTES4.- TEOREMA DE TALES

5.- TEOREMA DE PITÁGORAS7.- LONGITUDES Y ÁREAS DE FIGURAS

PLANAS

1.- FORMAS GEOMÉTRICAS

● La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180o.

● Un polígono cualquiera se puede descomponer en triángulos; luego podemos calcular la suma de todos los ángulos interiores como la suma de los 180o de cada uno de los triángulos.

● Por tanto, la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180o∙(n2).

● Por ejemplo, en un pentágono la suma de los ángulos interiores es 180∙3=540o.

EJERCICIOS:

1, 2 (p. 133)

● Si un polígono es regular, cada ángulo mide:

180o∙(n2)

Por ejemplo, en el pentágono, cada ángulo interior mide 108o.

● Dos ángulos son complementarios si su suma es un ángulo recto (90º).

● Dos ángulos son suplementarios si su suma es un ángulo llano (180º).

● Los ángulos opuestos por un vértice son iguales.

● Los ángulos de lados paralelos o son iguales o son suplementarios.

● Dos puntos determinan una recta.● Dos rectas que se cortan en un punto son

secantes.● Dos rectas que no se cortan en ningún punto

son paralelas.● Dos rectas son perpendiculares si son

secantes y el ángulo que determinan es recto.

● Una recta y una circunferencia pueden cortarse en un punto, en dos puntos o no cortarse. En ese caso se dice que la recta es tangente, secante o exterior a la circunferencia, respectivamente.

Observación: Ha sido un breve repaso del tema 11 de 1º ESO (pág. 198 del libro de SM).

Tema 8

PLANAS

2.1.- Mediatrices y circuncentro

● La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio.

● Las tres mediatrices de un triángulo se cortan siempre en un punto llamado circuncentro.

● El circuncentro está a igual distancia de cada vértice. Luego es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

2.2.- Bisectrices e incentro

● La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por un vértice y divide al ángulo en dos partes iguales.

● Las tres bisectrices de un triángulo se cortan siempre en un punto llamado incentro.

● El incentro está a igual distancia de cada lado. Luego es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

2.3.- Medianas y baricentro

● La mediana de un triángulo es la recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto.

● Las tres medianas de un triángulo se cortan siempre en un punto llamado baricentro.

● El baricentro se encuentra a doble distancia del vértice que del punto medio del lado.

2.4.- Alturas y ortocentro

● La altura de un triángulo es la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

● Las tres alturas de un triángulo se cortan siempre en un punto llamado ortocentro.

Observación

● El ortocentro, el baricentro y el circuncentro están alineados y determinan la Recta de Euler.

2.- RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

EJERCICIOS:

3, 5 (p. 134)

A)¿Dónde se encuentran el ortocentro, el baricentro y el circuncentro en un triángulo rectángulo?B)¿Y en un triángulo equilátero?

Tema 11

PLANAS

6.1.- Mediatriz

● La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (misma distancia) de los extremos del segmento.

6.2.- Bisectriz

● La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo.

6.3.- Circunferencia

● La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto interior llamado centro.

Lugar geométrico

● El lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.

6.- LUGARES GEOMÉTRICOS

EJERCICIOS:

16 (p. 139) 71 (p. 147)

A)Tres pueblos están comunicados por carretera de forma triangular. Se quiere construir una gasolinera de forma que se encuentre a igual distancia de los tres pueblos. ¿Dónde se debería ubicar?B)Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia de 4cm de la circunferencia de centro O y radio 7cm.

Tema 8

TRIÁNGULO6.- LUGARES GEOMÉTRICOS3.- FIGURAS SEMEJANTES

4.- TEOREMA DE TALES5.- TEOREMA DE PITÁGORAS

7.- LONGITUDES Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

3.- FIGURAS SEMEJANTES

● Cuando revelamos fotos, lo podemos hacer en varios formatos (9x13, 10x15, 15x20,...).

● Estos formatos indican siempre una relación de forma que la imagen siempre sea la misma.

● Así tendremos figuras semejantes.

● Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma.

● Es decir, cuando los ángulos correspondientes son siempre iguales.

● Además, en dos figuras semejantes, los lados correspondientes son proporcionales, cuya razón de proporcionalidad es la razón de semejanza.

● La razón de semejanza se obtiene dividiendo las longitudes correspondientes.

● Si es mayor que 1, la 1ª (el numerador) se trata de una ampliación de la 2ª (el denominador).

● Si es menor que 1, se trata de una reducción.

● ¿Cuánto tenemos figuras semejantes?– En fotografías,

– Maquetas,

– Cuadros,

– Mapas,

– Planos,

– ...

Triángulos semejantes

● Dos triángulos semejantes tienen igual sus ángulos y proporcionales sus lados.

● Pero pueden estar girados o ser simétricos.● Criterios de semejanza de triángulos:

– Tienen dos ángulos iguales.

– Tienen los lados proporcionales.

– Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

Polígonos semejantes

● Para semejanza de polígonos, los descomponemos en triángulos y comprobamos si los triángulos correspondientes son semejantes.

EJERCICIOS:

8, 9 (p. 135)31, 32, 33 (p. 144)

Tema 8

PLANAS

4.- TEOREMA DE TALES

Los triángulos ABC y AB'C' son semejantes.

En este caso, estos dos triángulos están en posición de Tales.

● El Teorema de Tales dice que:– Dos triángulos en posición de Tales son

semejantes.

● Es más,– Dos triángulos son semejantes si se pueden

poner en posición de Tales.● Por ejemplo, si dos triángulos tienen dos ángulos

iguales, podemos encajar el pequeño en el grande, haciendo coincidir uno de los ángulos.

● Otra forma de ver el Teorema de Tales es:

donde k es la razón de semejanza.

ABAB '

B ' C '=

ACAC '

EJERCICIOS:

11 (p. 136)

Tema 11

PLANAS

5.- TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo (con un ángulo de 90o), los lados menores son los que forman el ángulo recto y se llaman catetos. El lado mayor se llama hipotenusa.

Llamaremos a la hipotenusa a y a los catetos b y c.

El Teorema de Pitágoras establece una relación entre los lados de los triángulos rectángulos.

El Teorema de Pitágoras dice:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

5.1.- Demostraciones del Teorema de Pitágoras (1)

● 1ª interpretación:

El Teorema de Pitágoras expresa una relación entre los cuadrados de las medidas de los lados de un triángulo rectángulo.

El área del cuadrado verde construido sobre la hipotenusa, tiene un área cuya medida es la medida de la hipotenusa al cuadrado; las áreas de los cuadrados azul y amarillo construidos sobre los catetos del triángulo rectángulo, tienen como medida la medida de los catetos al cuadrado.

Es fácil comprobar que el área del cuadrado verde es la suma de las áreas de los cuadrados azul y amarillo.

Por tanto, en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

● 2ª interpretación:

El área del cuadrado de color gris, construido sobre la hipotenusa, tiene el mismo área que un cuadrado de lado a+b menos el área de los triángulos azules.

El área de cada triángulo azul es a·b/2, el área de todos los cuadrados azules suma 2a·b.

c2 = (a+b)2 – 2ab =

= a2 + b2 + 2ab – 2ab

= a2 + b2

Vemos otras demostraciones interactivas

5.2.- Conociendo los lados, averiguar si es rectángulo

Si conocemos los lados de un triángulo, podemos averiguar si es o no es rectángulo, gracias al

Teorema de Pitágoras: ¿Es a2 igual que b2 + c2?

• Si a2 = b2 + c2, el triángulo es rectángulo.

• Si a2 < b2 + c2, el triángulo es acutángulo.

• Si a2 > b2 + c2, el triángulo es obtusángulo.

5.3.- Cálculo de lados desconocidos en un triángulo rectángulo

● Cálculo de la hipotenusa

Si conocemos los dos catetos de un triángulo rectángulo, podemos calcular la hipotenusa:

c2 a=b2

a=b2c2

Queremos hacer una tirolina entre dos árboles separados 24m. El cable estará atado a 9m de altura en el árbol y a 2m de altura en el otro. ¿Cuál es la longitud del cable en tensión?

l2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625

Solución: La longitud del cable tenso es de 25m. Además, habrá que tener en cuenta la longitud necesaria para atarlo a cada árbol.

24m 2m

l=625=25m

● Cálculo del cateto

Si conocemos la hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo, podemos calcular el otro cateto:

a2=b2c2 b2=a2−c2 b=a2−c2

b=a2−c2

Queremos salvar un escalón de 0,8m de altura para pasar con una carretilla. Disponemos de un tablón de 1,7m. ¿Hasta qué distancia nos iríamos del escalón?

d2 = 1,72 – 0,82 =

= 2,89 – 0,64 = 2,25

Solución: El pie del tablón estará situado a 1,5m del escalón, o algo menos, para que pueda apoyarse.

0,8m1,7m

dd=2,25=1,5m

5.4.- Cálculo de distancias en polígonos

Debemos encontrar triángulos rectángulos conocidos dos lados para buscar el lado desconocido con el Teorema de Pitágoras.

EJERCICIOS:

13, 14 (p. 137)

37, 38, 39 (p. 144)

52 (p. 145)

69, 70 (p. 147)

Tema 11

PLANAS

● El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de los lados.

● El área de un polígono es la medida de su superficie.

Áreas de polígonos

Rectángulo

A = b∙a

Paralelogramo o romboide

A = b∙a

RomboA=

d · D2

Áreas de polígonos

Trapecio

Triángulo

Polígono regular

A=Perímetro· Apotema

A=a ·b

A=bb '

Áreas circulares

Círculo

Sector circular

Corona circular

A= · r 2

A= · r 2 ·

A= · R2−r 2

Áreas de figuras

● El área del triángulo se puede calcular en función de sus lados (Fórmula de Herón):

– Perímetro: p=a+b+c

– Semiperímetro: s=p/2

Para calcular el área de cualquier figura, debemos dividirla en trozos que podamos calcular.

A= s · s−a · s−b· s−c

EJERCICIOS:

24, 25 (p. 142)41, 42, 43, 44 (p. 145)

65, 66 (p. 146)79 (p. 148)

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