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Lic. Luis Zapatel Arriaga
Programación Lineal
APLICACIONES:
Agricultura, industria, transporte, economía,
salud, ciencias sociales, de la conducta, y
áreas militares; permitiendo importantes
beneficios y ahorros asociados a su
utilización.
Lic. Luis Zapatel Arriaga
¿Qué es la Programación Lineal?
Modelo de la Investigación de operaciones, cuyo procedimiento o algoritmo matemático resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales.
Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que denominaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
Lic. Luis Zapatel Arriaga
1. Definición de las variables de decisión que se trata de
determinar.
2. Establecer la función objetivo (la meta) que se trata de
optimizar.
3. Construir las restricciones del modelo que se deben
satisfacer.
4. El rango de las variables.
5. Análisis de Sensibilidad
Pasos para la solución de problemas de PL
Lic. Luis Zapatel Arriaga
Modelo de PL con 2 variablesLa Cía. Vencedor
La Cía. produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla siguiente proporciona los datos básicos del problema.
Tn de materia primaDisponibilidad
diaria máxima (Tn)Pinturas
para exteriores
Pinturas para
interiores
Materia prima, M1
Materia prima, M2
Utilidad por Tn (miles de $)
6
1
5
4
2
4
24
6
Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que de la pintura para exteriores. También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas. La Cía. desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total.
Lic. Luis Zapatel Arriaga
VariablesLa definición correcta de las variables de decisión es un
primer paso esencial en el desarrollo del modelo. Una vez
hecha, la tarea de construir la función objetivo y las
restricciones se hace en forma más directa.
Para el problema de Vencedor, se necesita determinar las
cantidades a producir de pinturas para exteriores e interiores.
Así, las variables del modelo se definen como sigue:
X1 = Tn producidas diariamente, de pinturas para exteriores.
X2 = Tn producidas diariamente, de pinturas para interiores.
Lic. Luis Zapatel Arriaga
Función Objetivo
La empresa desea aumentar sus utilidades todo lo
posible. Si Z representa la utilidad diaria total (en miles de
dólares), el objetivo de la empresa se expresa así:
21 45 XXZMaximizar
Lic. Luis Zapatel Arriaga
RestriccionesSe definen las restricciones que limitan el uso de las
materias primas y la demanda. Las restricciones en
materias primas se expresan verbalmente como sigue:
Según los datos del problema:
Uso de la materia prima M1, por día: 6X1 + 4X2 Tn.
Uso de la materia prima M2, por día: 1X1 + 2X2 Tn.
Lic. Luis Zapatel Arriaga
Ya que la disponibilidad de las materias primas M1 Y M2 se limita
a 24 y 6 Tn, respectivamente, las restricciones correspondientes
se expresan como sigue: 2446 21 XX
62 21 XX (Materia prima M1)
La primera restricción de la demanda indica que la diferencia entre
la producción diaria de pinturas para interiores y exteriores X2 – X1,
no debe ser mayor que 1 Tn, y eso se traduce en X2 – X1 < 1.
(Materia prima M2)
La segunda restricción de la demanda estipula que la demanda
máxima diaria de pintura de interiores se limita a 2 Tn, y eso se
traduce como X2 < 2 .
Una restricción implícita es que las variables X1 y X2 no pueden
asumir valores negativos, (de no negatividad): X1 > 0, X2 > 0,
expresan ese requisito.
Lic. Luis Zapatel Arriaga
El modelo completo del ejemplo es:
* Cualquier valor de X1 y X2 que satisfaga todas las
restricciones del modelo es una solución factible.
* La solución óptima, es la que produzca la utilidad total
máxima y al mismo tiempo satisfaga todas las restricciones.
0,
2
1
62
2446
:..
45
21
2
21
21
21
21
XX
X
XX
XX
XX
as
XXZMax
Lic. Luis Zapatel Arriaga
Propiedades
La linealidad implica que la PL debe satisfacer 2 propiedades:
1. La proporcionalidad: la contribución de cada variable en
la función objetivo y en las restricciones, debe ser
directamente proporcional al valor de la variable.
2. La aditividad: la contribución total de todas las variables
en la función objetivo y sus requerimientos en las
restricciones, sean la suma directa de las contribuciones o
requerimientos individuales de cada variable.
Lic. Luis Zapatel Arriaga
Solución: Método Gráfico de la PL
Comprende 2 pasos:
1.Determinación del espacio de soluciones que define todas las soluciones factibles del modelo.
2.Determinación de la solución óptima, entre todos los puntos factibles del espacio de soluciones.
Lic. Luis Zapatel Arriaga
Solución de un modelo de maximización
Paso 1 Determinación del espacio de soluciones factibles:
a) Tener en cuenta las restricciones de no negatividad.X1 > 0, X2 > 0,
b) Se sustituye cada desigualdad con una ecuación, y se grafica la recta resultante.
2446 21 XX
62 21 XX
121 XX22 X
2446 21 XX
62 21 XX
121 XX22 X
Lic. Luis Zapatel Arriaga
Solución de un modelo de maximización
24)0(46
2446
1
21
X
XX
62 21 XX
121 XX
41 X
244)0(6
2446
2
21
X
XX
62 X
)6,4(
)3,6(
)1,1(
Lic. Luis Zapatel Arriaga
Solución de un modelo de maximización
Gráfico:
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 1X
2X
(Pinturas para exteriores)
(Pinturas para interiores)
Lic. Luis Zapatel Arriaga
Solución de un modelo de maximización
Paso 2 Determinación de la solución óptima:
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 1X
2X
Z = 10Z = 15
Z = 21
Incremento de Z
Óptimo:
X1 = 3 Tn.
X2 = 1.5 Tn.
Z = $21,000
Maximizar 21 45 XXZ
2446 21 XX
62 21 XX
31 X5.12 X
Lic. Luis Zapatel Arriaga
Problema
Una pastelería produce dos productos, Bizcochos y Galletas
Las galletas requiere de 2 onzas de azúcar y una onza de harina. Los pasteles requieren dos onzas de harina y una de azúcar
Se gana 10 centavos por cada galleta y 8 centavos por cada bizcocho
Se disponen de 50 onzas de harina y 70 onzas de azúcar
¿¿Se podrá formular y resolver??
Lic. Luis Zapatel Arriaga
Tipos de problemas
Plan de producción
Asignación de Personal.
Mezcla de ingredientes
Transporte
Otros
Lic. Luis Zapatel Arriaga
Variables de decisión
Cuánto de cada producto se debe producir.
Objetivo
Determinar la cantidad de productos que resulte en la mayor cantidad ó los menores costos para el período especificado
Restricciones
Cantidad de productos demandada
Máxima cantidad de productos disponible.
Plan de producción
Lic. Luis Zapatel Arriaga
Mezcla de ingredientes
Variables de decisión
Cuanto de cada ingrediente usar
Objetivo
Determinar la mezcla de ingredientes en productos que resulte en los costos operativos mínimos para el período especificado.
Restricciones
Cantidad de productos demandada
Relación entre ingredientes y productos
Máxima cantidad de productos e ingredientes disponible
Lic. Luis Zapatel Arriaga
Transporte
Objetivo
Transportar algo desde los orígenes hacia los destinos logrando los costos mínimos.
Variables de Decisión
Cuánto de cada producto embarcar de cada origen hacia cada destino.
Restricciones
Demanda de productos en los puntos de destino
Oferta de productos en los puntos de origen
Lic. Luis Zapatel Arriaga
Un fabricante desea elaborar un programa de producción y una política de inventario que satisfagan la demanda de ventas en períodos futuros.
Aplicaciones típicas:
El programa y la política permitirán a la compañía satisfacer la demanda y al mismo tiempo minimizar la producción total y los costos de inventario
Un analista financiero debe seleccionar un portafolio de inversión elegido de entre varias alternativas de acciones y bonos.
El analista desearía establecer el portafolio que maximice el retorno de la inversión.
Un gerente de mercadotecnia desea determinar como asignar mejor un presupuesto de publicidad fijo entre medios alternativos como radio, televisión, periódicos y revistas.
El gerente desearía determinar la mezcla de medios que maximice la efectividad de la publicidad.
Una empresa tiene almacenes en diversas ubicaciones. Dadas las demandas especificas de los clientes.
A la compañía le gustaría determinar cuánto debería embarcar de cada almacén a cada cliente, de modo que se minimicen los costos de transporte totales.
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