View
767
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
8. Solido zurrunaren higidura
1.Sarrera Solido zurruna: GORPUTZ ZABAL DEFORMAEZINA.
Partikulen arteko distantzia kteaEz puntualaPartikula-sistema
Idealizazio oso erabilgarria!! (Idealizazioa da, edozein gorputz era batean edo bestean deformatu baitaiteke)
Adib: Barrak, hagatxoak, poleak, bolak, diskoak, zilindroak, … Simetria handikoak
Solido zurrunean bi higidura mota berezitu:
A. TRANSLAZIOA: Partikula guztiek ibilbide paraleloak deskribatu.
B. ERROTAZIOA: Partikula guztiek ibilbide zirkularrak errotazio ardatzaren inguruan.
TRANSLAZIOA
ERROTAZIOA
SOLIDOAREN HIGIDURA
Higidura definitzeko 6 koordenatu3 posizioari dagozkionak
3 orientazioari dagozkionakMomentu linealaren teorema: Translazio higidura ebazteko.
Momentu angeluarraren teorema: Errotazio higidura ebazteko.
2. Solido zurrunaren estatika
Solido zurruna orekan Pausagunean (oreka estatikoa)
Abiadura ktean (oreka dinamikoa)
Demagun F1, F2, … FN indarren eraginpean dagoen solido bat:
i
i 0FF
0FrMMi
iii
OiO
OREKA !!
3. Ardatz finko baten inguruko solido zurrunaren dinamika. Inertzia-momentua.
Demagun solido zurrun bat biratzen, zeinen errotazio ardatza solidoaren bi puntu finkoetatik pasatzen baita.
• dm-ren abiadura zirkunferentziarekiko tangentea:
dm
O
Y
X
r
Z
oLd
dm masako elementu infinitesimal arbitrarioar dm-ren posizio bektoreaρ = r sinφ erradioko zirkunferentzia deskribatu dm-k
non ω solidoaren abiadura angeluarra den.
ω berdina da solidoaren puntu guztietan, baina ez v (ardatzaren distantziaren menpekoa da).
• dm-ren momentu angeluarra: dmv rLd O
dmvrdLo r eta v perpendikularrak
z ardatzaren norabidean: sindmvrdLoz dmdL 2Oz
ρ = r sinφdirenez:
3. Ardatz finko baten inguruko solido zurrunaren dinamika. Inertzia-momentua
Solidoaren puntu guztientzat integratuz…2 2
Oz Oz
M M M
L dL dm dm masa guztiarentzat integrala
Loz osagaiak ez du jatorriarekiko menpekotasunik, beraz: Loz = Lz hau da;
zz IL M
2z dmI non
Solidoaren inertzia momentua errotazio ardatzarekiko
Indarren momentua:
dt
LdM O
O
dt
dLM z
z
Solidoaren azelerazio angeluarraerrotazio
ardatzarekiko
0 0 ktez
z z
d IM I
dt
Orokorrean Lx eta Ly ez dira zertan nuluak izan behar:
kLjLiLL zyx
L
yzL
Ardatzaren norabidea finko mantentzeko, solidoari nulua ez den indar-momentu bat egin behar zaio.
4. Inertzia ardatz nagusiak. Steiner-en teorema.
-k biraketa-ardatzaren norabidearekin bat datorrenean INERTZIA-ARDATZ NAGUSIA
Hau da, // biraketa ardatza
Solidoa simetria zilindrikoa badauka:• ARDATZ NAGUSIA = SIMETRIA-ARDATZA• 3 ardatz nagusi cartesiar:
Y
X
Z
Y
X
Y
X
Z Z
Steiner-en teorema:Masa zentrotik pasatzen den ardatz batekiko inertzia-momentua ezaguna bada, kalkula daiteke horrekiko paraleloa den beste edozein ardatzen inertzia-momentua.
MZ
P
dm
22 2 2' 2 P
M M M M M
I dm d dm dm d dm d dm
d
'
M
IMZ
Ip = IMZ + Md2
4. Inertzia ardatz nagusiak. Steiner-en teorema.
Solido simetriko batzuen inertzia momentuak ardatz nagusiarekiko:
Eraztuna
Zilindro ( L 0) edo Diskoa ( L 0)
(a)
(b)
Hagatxo mehea
Esfera
Paralelepipedoa
R
2I MR
21
2I MR
2 21 1
4 12I MR ML
21
12I ML
22
5I MR
2 21
12I M a b
R
(a)
(b) L
L 2
L 2
a
b
5. Solido zurrunaren ardatz finko baten inguruko biraketako energia zinetikoa. Energiaren teorema.
Demagun berriz ere
Solido zurrunarentzat (barne indarren lana nulua denez)
energiaren teorema:
Ez t-rekiko deribatuz:
dm
O
Y
X
r
Z
oLd
2 2 21 1
2 2zdE v dm dm
2 2 2 21 1
2 2z z
M M M
E dE dm dm ktea solidoaren puntu guztientzat
Iz
21
2z zE I
kanzW E
2z
1
2z
z z
dE dI I M
dt dt
Kanpo indarrek egindako potentzia: zP M
5. Solido zurrunaren ardatz finko baten inguruko biraketa energia zinetikoa. Energiaren teorema
Energia potentzial grabitatorioa:
non
MZ
y
dm
X
Y
Z
z
MZz
MZ
MM
p gMzzdmggzdmE
M
MZ zdmM
1z
Solido zurrun baten Ep-a MZ-ren altuerarekiko menpekoa baino ez da:
Ep=MghMZ
Indar momentua:
O MZM R mg
5. Solido zurrunaren ardatz finko baten inguruko biraketa energia zinetikoa. Energiaren teorema
Translazio eta biraketa magnitudeen baliokidetasunak:
a
v
x
mI
Puntu materialaren higidura Simetria-ardatz finko baten inguruko solido zurrunaren higidura
Momentu lineala, Ardatzarekiko momentu angeluarra,
Energia zinetikoa, Biraketako energia zinetikoa,
Lana, Lana,
Newton-en bigarren legea, edo .
Biraketa-higiduraren oinarrizko ekuazioa, edo .
vmp
L I
21
2zE mv 21
2zE I
dxFdW dMdW
amF
dt
M I dL
Mdt
6. Solido zurrunaren higidura laua• Solidoaren partikula guztiak plano batekiko paraleloki higitzen direnean.
• Hiru askatasun gradu2 translazio higidura deskribatzeko
1 planoarekiko perpendikularra den ardatzarekiko biraketa deskrib.
Adib: zilindroa, gurpila, kotxe baten motorraren parte asko, …
- MZ-aren higidura
- MZ-aren inguruko barne higidura
1
2aztertuko ditugu
Erraztasunerako: OXY planoa = MZ-ren higidura planoaOZ ardatza = errotazio-ardatza
1 MZ-ren higidura ekuazioak:
2
2
dt
RdMAM F
2
2
xx dt
XdMM AF
2
2
yy dt
YdMM AF
MZ-ren azelerazioaMZ-ren posizioa
2 MZ-ren inguruko higidura:
MZz IM
Energia zinetikoa:
6. Solidu zurrunaren higidura laua
2z z
1
2E M V E'
MZ-ren energia
zinetikoa
MZ-rekiko higidurari dagokion Ez
2 21 1
2 2z MZE M V I ω
2
2
1'' MZMZz IEE
C
C
P
P’
r
P
7. Errodadura-higiduraZilindro edo esfera batek gainazal lau batean errodatzen dutenean: lotura bat egongo da.
Biraketarekin lotutakoa
Translazioa deskribatzeko: (1)
Bi askatasun gradu baino ez!
Translazio zuzenarekin
lotutakoa
Errotazioa deskribatzeko: (2)
RMdt
MZMZ
MZzz I
dt
dI
dt
Id
dt
dLM
Suposa dezagun objektua plano inklinatu batean errodatzen duela:
RF
N
gM
r
s= r
gorputzak errodatu labaindu gabe
Bi egoera posibleSolidoak labaindu gabe errodatzen du
Solidoak labainketarekin errodatzen du
1
2
7. Errodadura-higidura
(1) eta (2) berridatziz:
Solidoak labaindu gabe errodatzen du1
s = r φ
dsV r
dt
dVR A r
dt
Mg sin - FR = MA
r
AIIrF MZMZR
2
sin
1R
MZ
MgF
Mr
I
2
sin
1MZ
gA
IMr
Labainketarik gabe errodatzeko vzorua ukitzen duen solidoko puntuaren abiadura = 0
marruskadura estatikoa: cosR s sF N Mg
2
sincos
1R s
MZ
MgF Mg
MrI
2
tan 1sMZ
Mr
I
7. Errodadura-higidura
Plano inklinatuak malda handia baduedo
s <<
2
Labainketarik gabeko errodaduraren kasuan ez da energiarik disipatzen:
Kontserbatzen da!
EZ+Ep= ktea
2 21 1 sin kte
2 2 MZMV I Mgs
Objektuak labaindu
2
tan 1sMZ
Mr
I
Ekuazioak:
Mg sin - mdN = MA
d MZN r I
Labainketa dagoenean marruskadura indarrak lan negatiboa egin Em galtzen da EZ DA KONTSERBATZEN!!
Recommended