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Projeto realizado para avaliação da Prática Pedagógica como Componente Curricular da disciplina de Álgebra Linear I do Curso de Matemática da UFSC. Mostra como criar um modelo matricial que busque o desenvolvimento sustentável de um floresta utilizada para corte que possa ser apresentado aos alunos do Ensino Médio.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CFM - CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO: MATEMÁTICA – LICENCIATURA
DISCIPLINA: MTM 7105 – ÁLGEBRA LINEAR I (PCC 18HS) PROFESSORA: MARIA INEZ
ALUNOS: DJEISON MACHADO E JUCIARA GUIMARÃES CARVALHO
RENDIMENTO SUSTENTÁVEL ÓTIMO
Árvores são classificadas por altura
Altura da árvore classifica seu valor $$
A floresta cresce por um período e depois
algumas árvores, de tamanhos diferentes
podem ser cortadas
Depois do corte, as árvores não-cortadas
devem ter a mesma configuração de tamanho
da floresta original
ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS
Queremos encontrar um modelo que
proporcione o maior valor econômico possível
de todas as árvores removidas. Isto determina o
rendimento sustentável ótimo da floresta e é
o maior rendimento obtido sem dizimar a
floresta.
RENDIMENTO SUSTENTÁVEL ÓTIMO
ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS
CLASSE VALOR (R$) INTERVALO DE ALTURA
1 (muda) Nenhum [0, h1)
2 p2 [h1, h2)
3 p3 [h2, h3)
4 p4 [h3, h4)
5 p5 [h4, h5)
O MODELO
ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS
h1
h2
h3
h4
h5
0
p1=0 p2 p3 p4 p5
Seja xi (1≤i ≤ 5) o nº de árvores na i-ésima classe que
sobrevivem aos cortes
x =
𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝒙𝟑
𝒙𝟒
𝒙𝟓
VETOR DE NÃO-CORTADAS
Após o corte, a floresta sempre deve ter a
quantidade de árvores dada pelo vetor de não-cortadas.
x1+x2+x3+x4+x5 = s
s = tamanho de terra disponível
𝐭𝐚𝐦𝐚𝐧𝐡𝐨 𝐪𝐮𝐞 𝐜𝐚𝐝𝐚 á𝐫𝐯𝐨𝐫𝐞 𝐨𝐜𝐮𝐩𝐚
ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS
Seja gi (1≤i ≤ 4) a fração percentual de
árvores que cresceram para a classe (i + 1)
Vamos supor que durante um período uma
árvore muda no máximo de uma classe
para outra
Então, temos que 1-gi é a fração de
árvores que não mudaram de classe, ou
seja, que permaneceram na classe i
ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS
Matriz de crescimento G =
𝟏 − 𝒈𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝒈𝟏 𝟏 − 𝒈𝟐 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝒈𝟐 𝟏 − 𝒈𝟑 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝒈𝟑 𝟏 − 𝒈𝟒 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝒈𝟒 𝟏
Gx=
𝟏 − 𝒈𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝒈𝟏 𝟏 − 𝒈𝟐 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝒈𝟐 𝟏 − 𝒈𝟑 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝒈𝟑 𝟏 − 𝒈𝟒 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝒈𝟒 𝟏
.
𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝒙𝟑
𝒙𝟒
𝒙𝟓
=
𝟏 − 𝒈𝟏 𝒙𝟏
𝒈𝟏 𝒙𝟏 + 𝟏 − 𝒈𝟐 𝒙𝟐
𝒈𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒈𝟑 𝒙𝟑
𝒈𝟑 𝒙𝟑 + 𝟏 − 𝒈𝟒 𝒙𝟒
𝒈𝟒𝒙𝟒 + 𝒙𝟓
Gx = Quantidade árvores depois do crescimento
ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS
Seja yi (1≤i ≤ 5) a quantidade de árvores que foram removidas da classe i
Então, são removidas y1+y2+y3+y4+y5=r árvores e deverão ser plantadas r mudas
Podemos definir uma matriz de resposição R =
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎
, talque
Ry = r seja o vetor-coluna que mostrará a quantidade de árvores plantadas depois do corte:
Ry =
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎
.
𝒚𝟏
𝒚𝟐
𝒚𝟑
𝒚𝟒
𝒚𝟓
=
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 + 𝒚𝟑 + 𝒚𝟒 + 𝒚𝟓
𝟎𝟎𝟎𝟎
= r
ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS
y =
𝒚𝟏
𝒚𝟐
𝒚𝟑
𝒚𝟒
𝒚𝟓
VETOR DE CORTADAS
Equações que caracterizam a política sustentável,
𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂çã𝒐𝒏𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒐 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐
𝒅𝒆 𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐
- 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆 + 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒊çã𝒐𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒅𝒂𝒔
=
𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂çã𝒐𝒏𝒐 𝒊𝒏í𝒄𝒊𝒐 𝒅𝒐 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐
𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆
ou, matematicamente,
Gx – y + Ry = x
que pode ser reescrita como
(1 – R) y = (G – 1) x
(condição de corte sustentável)
ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS
Uma condição necessária e suficiente
para que um vetor-coluna x determine uma
configuração de floresta que permite um
corte sustentável é que as entradas de x
satisfaçam
g1x1 ≥ g2x2 ≥ g3x3 ≥ g4x4 ≥ 0
ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS
RT = rendimento total do corte
RT = p2y2 + p3y3 + p4y4 + p5y5
Podemos substituir os yi ficando com a seguinte equação
RT = p2g1x1 + (p3 – p2)g2x2 + (p4 – p3)g3x3 + (p5 – p4)g4x4
ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS
RENDIMENTO SUSTENTÁVEL ÓTIMO
PROBLEMA: Quais são os valores das entradas (não-
negativas) do vetor-coluna x que maximizam a equação
RT = p2g1x1 + (p3 – p2)g2x2 + (p4 – p3)g3x3 + (p5 – p4)g4x4
sujeito a
x1+x2+x3+x4+x5 = s
e
g1x1≥g2x2≥g3x3≥g4x4≥0
ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS
RENDIMENTO SUSTENTÁVEL ÓTIMO
TEOREMA: O rendimento sustentável ótimo é obtido
cortando as árvores de uma classe de altura específica e
nenhuma árvore de outra classe.
ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS
RENDIMENTO SUSTENTÁVEL ÓTIMO
TEOREMA: O rendimento sustentável ótimo é o maior valor
de 𝒑𝒌𝒔
𝟏𝒈𝟏
+𝟏
𝒈𝒌+ … +
𝟏𝒈𝒌 − 𝟏
onde k é o nº da classe que é completamente cortada.
Concluímos que a classe de árvores de maior preço não
deve ser cortada necessariamente, os parâmetros de
crescimento g também devem ser levados em conta para
determinar o rendimento sustentável ótimo.
A seguinte matriz de crescimento refere-se a uma
floresta de pinheiros escoceses na Escócia com período de
crescimento de seis anos. 𝟎, 𝟕𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎, 𝟐𝟖 𝟎, 𝟔𝟗 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎, 𝟑𝟏 𝟎, 𝟕𝟓 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎, 𝟐𝟓 𝟎, 𝟕𝟕 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎, 𝟐𝟑 𝟎, 𝟔𝟑 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎, 𝟑𝟕 𝟏, 𝟎𝟎
Suponha que os preços das árvores (em unidade monetária
$) nas 5 classes de maior altura são: p2 = 50, p3 = 100, p4 =
150, p5 = 200, p6 = 250. Qual classe deveria ser
completamente cortada para obter o rendimento
sustentável ótimo e qual é o rendimento?
ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS
EXEMPLO
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