áLgebra

d i v i n a....n ú m e r o s

agia con álgebra

¿Te gusta hacer trucos de magia?

¿Has probado a hacerlos con un poco de álgebra?

En lugar de sombrero de mago necesitarásuna hoja de papel y en lugar de varita mágica unlápiz. ¿Listo?

¿Le has pedido alguna vez aalguien que piense un número yque haga varias operaciones conél para que tú después leadivines el número en quepensó?

Empecemos con un ejemplo:

1) piensa un número

2) súmale 5

3) multiplica el resultado por 2

4) a lo que quedó réstale 4

5) el resultado divídelo entre 2

6) a lo que quedó réstale el número que pensaste

El resultado es 3

El resultado siempre es 3, no importa con que número se haya empezado.

¿Cómo funciona el truco?

Hagamos una tabla con varios ejemplos:

Piensa un número 4 7 12 35

Súmale 5 9

Multiplica por 2 18

Resta 4 14

Divide entre 2 7

Resta el número

que pensaste

7 - 4

El resultado es 3 3

Piensa un

número

4 7 12 35

Súmale 5 9 12 17 40

Multiplica por 2 18 24 34 80

Resta 4 14 20 30 76

Divide entre 2 7 10 15 38

Resta el número

que pensaste

7 - 4 10 - 7 15 - 12 38 -35

El resultado es 3 3 3 3

x

x + 5

2x + 10

2x + 6

x + 3

3

1. piensa un número

2. súmale 5

3. multiplica el resultado por 2,2(x + 5) =

4. a lo que quedó réstale 4

5. el resultado divídelo entre 2;(2x + 6) / 2 =

6. a lo que quedó réstale el número que pensaste x + 3 - x =

Lenguaje algebraico quedaría:

Truco 2

1) Piensa un número

2) Súmale 3

3) Multiplica por 2 el resultado

4) A lo que quedó súmale 4

5) El resultado divídelo entre 2

6) A lo que quedó réstale el número que pensaste

El resultado siempre es 5

Truco 3

1)Piensa un número 2) Multiplícalo por 2 3) A lo que quedó súmale 9 4) Al resultado súmale el número que pensaste 5) El resultado divídelo entre 3 6) A lo que quedó súmale 4 7) Al resultado, réstale el número que pensaste

El resultado siempre es 7

Truco 4

1)Piensa un número2) Súmale 1 3) A lo que quedó súmale el número que pensaste 4) Al resultado súmale 7 5) Lo que quedó divídelo entre 2 6) Al resultado réstale el número que pensaste

El resultado siempre es 4

Truco 5

Piensa un número 2) Multiplícalo por 3 3) A lo que quedó súmale 14 4) Al resultado súmale el número que pensaste 5) A lo que quedó réstale 2 6) El resultado divídelo entre 4 7) A lo que quedó réstale 3

Erímetros

Obtener el perímetro de una figuracerrada no es tan difícil; basta sumar lo quemide cada uno de los lados que forman sucontorno.

Por ejemplo, el perímetro de un cuadrado cuyos lados miden 1 cm, es 4 cm. (1+1+1+1 =4).

El perímetro de un triángulo equilátero que mide 3 cm por lado, . será de 9 cm (3+3+3 =9).

¿Qué pasará con el perímetro de unafigura formada por una cadena de figurasiguales?

Una cadena de triángulos equiláteros ode rectángulos o pentágonos etc.El perímetro total será el perímetro de lafigura multiplicado por el número de figurasque contenga la cadena?

Problema 1

Encuentra el perímetro de unacadena de 10 triángulosequiláteros unidos por sus lados,donde cada lado mide 1 cm.

Vamos a trabajar como lo hacen losmatemáticos, empecemos simplificando elproblema:

¿Cuánto mide el perímetro de una cadenaformada por un solo triángulo?

¿Cuánto mide el perímetro de una cadena condos triángulos?

¿Con tres triángulos? ¿Con cuatro?

Para resolver el problema registremos losresultados en una tabla

¿Encontraste una regla?¿Cuál es?Intenta escribir la regla como una fórmula matemática.

P = x + 2

Número de

triángulos ...1... ...2.. ...3... ...4... ...5... ...10... ...15... ...20... ...25... ...30... ...40... ...50...

Perímetro

Problema 2

¿Cuál es el perímetro de una cadena de 8rectángulos , donde cada rectángulo mide 2 cm.de largo y 1 cm. de ancho.?

Perímetro

Perímetro

Perímetro

Número de

rectángulos...1... ...2.. ...3... ...4... ...5... ...6... ...7. ...8.. ...10.. ...20... ...30... ...100...

Perímetro

¿Encontraste una regla?

¿Cuál es?

Puedes escribirlo por medio de una formula

P = 4x + 2

Problema 3

¿Cuál es el perímetro de una cadena de10 hexágonos, donde cada lado del hexágono mide 6cm.?

P = 12x + 6

Número de

hexágonos...1... ...2.. ...3... ...4... ...5... ...6... ...7. ...8.. ...10.. ...20... ...30... ...100...

Perímetro 18 30

Las figuras geométricas se pueden usar paracomprender algunas operaciones que es posibleefectuar con expresiones algebraicas.

Para conocer la cantidad de lazo necesariopara hacer un pentágono y un rectángulos se debensumar las expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es unacombinación de números y letras sometidos alas operaciones de suma , resta , multiplicación ,división , potenciación y radicación , quecumplen las mismas reglas que con los números.

Ejemplo: 3x2 + 6xy + 3y2

Un término es una expresión algebraica que únicamente contiene productos y cocientes en las que participan números y literales.

Ejemplo: 9x5y, -8x2, y, – 10.

Todos los términos algebraicos se formanpor un coeficiente numérico y una parte literal

La expresión:

"el triple del cuadrado de un número“

3x 2

Parte numérica +3

Parte literal x 2

La parte numérica, contempla signo ynúmero

La parte literal , contempla: letra yexponente.

Término algebraico

Coeficiente numérico

Parte literal

+ 34mn

9x5y

– 3xy3

-4a2b3

12x3y4

6a2 b

4x2yz3

– 174a2b3xy3

CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES

Las expresiones con uno, dos y tres términosreciben un nombre específico.

Las expresiones algebraicas con varios términos se llaman polinomios.

Los signos + y – separan los términos de un polinomio.

Monomios; tienen un solo término; ejemplos

3x, 4xy3, –m4n,

Binomios; por tener dos términos; ejemplos

3a + 5, 6x + 3y, – 43x + 5y, 9xy – 5

Trinomio; por tener tres términos; ejemplo

6x + 3y – 4

Se dice que dos términos son semejantescuando sus partes literales son iguales, lomismos que sus exponentes.

Para llevar a cabo la reducción de términossemejantes suma de monomios, se suman o serestan los coeficiente numéricos y se escribe lamisma parte literal. Ejemplo:

-4a2b3 + 7a2b3 = 3a2b3

3a + 2a =

– 5b – 7b =

– a2 – 9a2 =

3ax – 2 + 5ax – 2 =

– 4am+1 – 7am+1 =

X

X X

X

X

P = _______

a

a a

a P = _______

m

P = _______ mm

nn

2x 2x

x

P = _______

P = _______

y

4y

3y

2y

1) x + 2x =2) 8a + 9 =3) 11b + 9b =4) – b – 5b = 5) – 8m – m =6) – 9n – 7n7) 4ax + 5ax =8) 6ax+1 + 8ax+1 =9) – 4mx+2 – 5ax+2 =10) – 3ax – 2 – ax – 2 =

1) 8a – 6a = 2) 6a – 8a = 3) 9ab – 15ab =4) 15ab – 9ab =5) 2a - 2a =6) – 7b + 7b =7) – 14xy + 32xy =8) – 25x2 y + 32x2 y =9) 40x3 y – 51x3 y =10) – m2 n – 6m2 n =

Ejercicios

8a +9a + 6a = 15x + 20x + x = – 7m – 8m – 9m = – a2b – a2b – 3a2b = ax + 3ax + 8ax = – 5ax+1 – 3ax+1 - 5ax+1 = a + ½ a + 2/3 a = – x – 2/3 x - ¼ x =9a - 3a + 5a = – 8x + 19x – 18x =12mn – 23mn – 5mn = – x + 19x – 18x =19m – 10m + 6m = – 11ab – 15ab + 26ab = – 5ax + 9ax – 35ax = – 24ax+2 – 15ax+2 + 39ax+2 =

Suma de polinomios

P r o c e d i m i e n t o

1. Se ordenan los polinomios

2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro(cada polinomio en una fila diferente); y de talforma, que los términos semejantes queden en lamisma columna

3. Se reducen los términos semejantes:

Ejercicios

(3a + 2b – c) ; ( 2a + 3b + c) =

(7a – 4b + 5c) ; ( – 7a + 4b – 6c) =

(m + n – p) ; ( – m – n + p) =

(9x – 3y + 5) ; ( – x – y + 4) ; ( – 5x + 4y – 9) =

(a + b – c) ; (2a + 2b – 2c) ; (– 3a – b + 3c) =

(p + q + r) ; ( – 2p – 6q + 3r) ; ( p + 5q – 8r) =

(– 7X – 4Y +6Z) ; (10X – 20Y – 8Z) ; (– 5X+24Y+2Z)=

(– 2m+3n – 4);(3m – 8n + 8);(–5m+n – 10 ) =

(–5a –2b –3c);(7a – 3b +5c);(–8a + 5b –3c) =

(ab +bc +cd);(–8ab –3bc – 3cd);(5ab+2bc+2cd) =

(ax –ay –az); (–5ax –7ay – az);(4ax+9ay+8az) =

(5x – 7y + 8);(–y + 6 –4x);(9 – 3x + 8y) =

(2a + 3b) ; (6b – 4c) ; ( – a + 8c) =

(6m – 3n) ; (– 4n + 5p) ; (– m – 5p) =

Resta de polinomios

La resta de polinomios se convierte en una sumade polinomios donde el minuendo permanece sinvariación, en tanto que el polinomio sustraendocambia todos los signos de los términos. Ejemplo

(2x –10x2) – (-4x + 6x2 + 2) = = 6x – 16x2 -2

2x –10x2

4x - 6x2 -2

6x – 16x2 -2

EJERCICIOS(a + b) – (a – b) =

(2x – 3y) – (– x + 2y) =

(8a + b) – (– 3a + 4) =

(X2 – 3x) – (– 5x + 6) =

(a2 – a2b) – (7a2b + 9ab2) =

(x – y – z) – (x – y + z) =

(x + y – z) – (– x – y + z) =

(X2 + y2 – 3xy) – (– y2 + 3x2 – 4xy) =

(x3 – x2 +6) – (5x2 – 4x + 6) =

(y2 + 6y3 – 8) – (2y4 – 3y2 + 6y) =

(a3 – 6ab2 + 9a) – (15a2b – 8a + 5) =

(x4 + 9xy3 – 11y4) – (– 8x3y – 6x2y2 + 20y4) =

(a + b +c – d) – (– a – b + c – d) =

(ab + 2ac – 3cd – 5de) – (– 4ac + 8ab – 5cd + 5de) =

(x3 – 9x + 6x2 –19) – (–11x2 + 21x – 43 + 6y3) =

(y5 –9y3 +6y2 –31) – (–11y4 +31y3 –8y2 –19y) =