CfSd 2016 matematica - 3

Curso preparatório para concurso bombeiros mg 2016

Disciplina: Matemática

Prof. Nicodemos

Material de aula em:

www.quimicaealgomais.blogspot.com.br

nicoquimica@yahoo.com.br

Edital bombeiros 2015, pag 30

ÂNGULO – é a abertura formada por dois raios divergentesque têm um extremo comum que se denomina vértice.

ELEMENTOS DE UM ÂNGULO:

0º < < 180º

0º < < 90º

CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA MEDIDA

a) ÂNGULO CONVEXO

a.1) ÂNGULO AGUDO

= 90º

90º < < 180º

a.2) ÂNGULO RETO

a.3) ÂNGULO OBTUSO

= 90º

+ = 180º

CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SOMA

a) ÂNGULOS COMPLEMENTARES

b) ÂNGULOS SUPLEMENTARES

CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA POSIÇÃO

a) ÂNGULOS ADJACENTES b) ÂNGULOS CONSECUTIVOS

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

são congruentes

Pode formar mais ângulosUn lado comum

01. Ângulos alternos internos:m 3 = m 5; m 4 = m 6

02. Ângulos alternos externos:m 1 = m 7; m 2 = m 8

03. Ângulos conjugados internos:m 3+m 6=m 4+m 5=180°

04. Ângulos conjugados externos:m 1+m 8=m 2+m 7=180°

05. Ângulos correspondentes:m 1 = m 5; m 4 = m 8m 2 = m 6; m 3 = m 7

ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELASE UMA RETA SECANTE

+ + = x + y

01- Ângulos que se formam por uma linha poligonal entre duas retas paralelas.

PROPRIEDADES DOS ÂNGULOS

+ + + + = 180°

02- ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELAS

+ = 180°

03- ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

O complemento da diferença entre o suplemento e ocomplemento de um ângulo “X” é igual ao dobro docomplemento do ângulo “X”. Calcule a medida do ângulo “X”.

90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2

90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X

90° - 90° = 180° - 2X

2X = 180° X = 90°

RESOLUÇÃO

Problema Nº 01

A estrutura segundo o enunciado:

Desenvolvendo se obtem:

Logo se reduz a:

A soma das medidas dos ângulos é 80° e o complementodo primeiro ângulo é o dobro da medida do segundoângulo. Calcule a diferença das medidas desses ângulos.

Sejam os ângulos: e

+ = 80°Dado: = 80° - ( 1 )

( 90° - ) = 2 ( 2 )

Substituindo (1) em (2):

( 90° - ) = 2 ( 80° - )

90° - = 160° -2

= 10°

= 70°

- = 70°-10°

= 60°

Problema Nº 02

RESOLUÇÃO

Diferença das medidas

Resolvendo

A soma de seus complementos dos ângulos é 130° e adiferença de seus suplementos dos mesmos ângulos é 10°.Calcule a medida destes ângulos.

Sejam os ângulos: e

( 90° - ) ( 90° - ) = 130°+ + = 50° ( 1 )

( 180° - ) ( 180° - ) = 10°- - = 10° ( 2 )

Resolvendo: (1) e (2)

+ = 50° - = 10°

2 = 60°

= 30°

= 20°

Problema Nº 03

RESOLUÇÃO

Do enunciado:

Se têm ângulos adjacentes AOB e BOC (AOB<BOC), se traçaa bissetriz OM dol ângulo AOC; se os ângulos BOC e BOMmedem 60° e 20° respectivamente. Calcule a medida doângulo AOB.

Da figura:

= 60° - 20°

X = 40° - 20°

= 40°

X = 20°

Problema Nº 04

RESOLUÇÃO

A diferença das medidas dos ângulos adjacentes AOB e BOCé 30°. Calcule a medida do ângulo formado pela bissetriz doângulo AOC com o lado OB.

( + X) ( - X) = 30º

2X=30º

X = 15°

Problema Nº 05

RESOLUÇÃO

Construção do gráfico segundo o enunciado

Do enunciado:

AOB - OBC = 30°

Logo se substitui pelo quese observa no gráfico

Se têm os ângulos consecutivos AOB, BOC e COD tal que amAOC = mBOD = 90°. Calcule a medida do ânguloformado pelas bissetrizes dos ângulos AOB e COD.

Da figura:

2 + = 90° + 2 = 90°

2 + 2 + 2 = 180° + + = 90°

X = + +

X = 90°

Problema Nº 06

RESOLUÇÃOConstrução do gráfico segundo o enunciado

Se m // n . Calcule a medida do ângulo “X”

Problema Nº 07

2 + 2 = 80° + 30°

Pela propriedade

Propriedade do quadrilátero côncavo

+ = 55° (1)

80° = + + X (2)

Substituindo (1) em (2)

80° = 55° + X

X = 25°

RESOLUÇÃO

Se m // n . Calcular a medida do ângulo “X”

4 65°

Problema Nº 08

4 65°

Pela propiedad:

4 + 5 = 90°

= 10°

Ângulo exterior do triângulo

40° 65°

X = 40° + 65°

X = 105°

RESOLUÇÃO

Se m // n . Calcule a medida do ângulo ”X”

Problema Nº 09

3 + 3 = 180°

+ = 60°

Ângulos entre línhas poligonais

X = + X = 60°

RESOLUÇÃO

Ângulos conjugadosinternos

PROBLEMA 01- Se L1 // L2 . Calcule a m x

A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°

PROBLEMA 02- Se m // n. Calcule a m x

A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°

PROBLEMA 03- Se m // n. Calcule a m

A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°

PROBLEMA 04- Se m // n. Calcule o valor de “x”

A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

PROBLEMA 05- Calcule m x

A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°

PROBLEMA 06- Se m // n. Calcule m x

A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°

A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°

PROBLEMA 07- Se. Calcule m x

A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°

PROBLEMA 09- Se m//n e - = 80°. Calcule mx

A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°

A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

PROBLEMA 11- Se m // n. Calcule m

A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°

180°-2

A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°

A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS

1. 20º 8. 50º

2. 30º 9. 80º

3. 45º 10. 30º

4. 10º 11. 60º

5. 120º 12. 40º

6. 36º 13. 50º

7. 32º

Importantes definições•Postulados ou Axiomas: são propriedades aceitas semdemonstração.

•P1: Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos distintos.

•P2: Dois pontos determinam uma única reta.

•P3: Pontos colineares pertencem à mesma reta.

•P4: Três pontos determinam um único plano.

•P5: Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta estácontida neste plano.

Importantes definições

Posições relativas entre retas•Concorrentes: quando tiverem apenas um ponto emcomum.

Perpendiculares Obliquas

•Paralelas: retas que estão no mesmo plano, porem não tempontos em comum.

Distintas Coincidentes

ÂNGULOSDefinição:É a ABERTURA formada por duas semirretas quetêm a mesma origem.

•Classificação

Ângulo Reto Ângulo Raso

Ângulo Obtuso Ângulo Raso.

Ângulos Complementares:

Definição: Quando a soma de dois ângulos éigual a 90º

ÂNGULOS

Ângulos Suplementares:

ÂNGULOS

Ângulos Replementares:

ÂNGULOS

exemplos

1.O dobro do complemento de um ângulo, aumentado de 40º é igual aterça parte do suplemento do ângulo. Determine o valor dosuplemento do ângulo.

2.O triplo do complemento de um ângulo é igual ao suplemento dodobro desse ângulo, mas 80º. Determine a medida desse ângulo.

Ângulos Opostos pelo Vértice

Dizemos que os ângulos sãochamados de congruentes.

ÂNGULOS

ˆ ˆˆ ˆ, , ,a b c d

Duas retas Paralelas cortadas por uma transversa: Sendor//s e t uma transversal, geram os ângulos:

• Correspondentes:

• Alternos:

• Colaterais:

ÂNGULOS

Internos

Externos

Internos

Externos

Definição: A medida do ângulo central é dada em radianopela razão entre o comprimento do arco e o raio.

Sistema circular

exemplos1.Na figura, tem-se dois círculos concêntricos de raios 5u.c e 3 u.c, respectivamente. Sendo s1 o comprimento doarco AB e s2 o comprimento do arco A’B’, então o valor des2 – s1, em unidade de comprimento, é aproximadamenteigual a:

01) 0,52

02) 1,05

03) 1,57

04) 3,14

05) 4,71

2-Dada a figura, qual o valor de x, y e z, sabendo que as retas r, s et são paralelas

a) x= 60º, y = 40º e z = 80º

b) x= 80º, y = 40º e z = 60º

c) x= 40º, y = 60º e z = 80º

d) x= 50º, y = 60º e z = 70º

e) N.d.a

exemplos

3-Na figura abaixo, são dados as retas r, s, x, y e t, tais que r//s, x//y e t é uma transversal.

A medida , do ângulo assinalado, é:

01) 60º 02) 50° 03) 40° 04) 30° 05) 20º

exemplos

Teorema de tales

Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais, segmentos proporcionais.

AB A B

BC B C

1-No desenho abaixo estão representados os terrenos I, IIe III

Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que oproprietário do terreno II construirá para fechar o lado quefaz frente com a Rua das Rosas?

a) 30 c) 32 e) 34

b) 31 d) 33

exemplos

2-Dois postes perpendiculares ao solo estão a umadistância de 4 m um do outro, e um fio bem esticado de 5m liga seus topos, como mostra a figura abaixo.Prolongando esse fio até prende–lo no solo, são utilizadosmais 4 m de fio. Determine a distância entre o ponto ondeo fio foi preso ao solo e o poste mais próximo a ele.

exemplos

Os triângulos podem ser classificados de 2 maneiras:• Quanto aos lados:

triângulos

Triângulo Equilátero Triângulo Isósceles Triângulo Escaleno

a = b = c b = c

• Quanto aos ângulos:triângulos

Triângulo Retângulo

Triângulo Obtusângulo

2 2 2a b c

b Triângulo Acutângulo

2 2 2a b c

C O bsen

2 2 2a b c

Teorema de Pitágoras

exemplos

Na figura acima, os valores de x e y, em u.c, sãorespectivamente:

01) e 6 04) e 4

02) e 6 05) 8 e 4

03) e 4

exemplos2-Seu Carlos precisa chegar ao terraço do prédio, pois oelevador esta quebrado e as escadas estão em reforma.Como mostra a figura um edifício que tem 15 m de alturae a distancia da escada para o prédio é de 8 m. Qual ocomprimento da escada que esta encostada na partesuperior do prédio.

exemplos3-Uma escada apoiada em uma parece, num pontodistante de 4 m do solo, forma com essa parede umângulo de 60º. Qual é o comprimento da escada emmetros?

01) 6 m

02) 7 m

03) 8 m

04) 9 m

05) 10 m

4-Na figura abaixo, a medida do ângulo x é:a) 80º

b) 100º

c) 110º

d) 130º

e) 260º

exemplos

Definição: dois triângulos são semelhantes quandopossuem os ângulos congruentes, dois a dois, e os ladoscorrespondentes proporcionais.

Semelhança de triângulos

B’ C’

a b c Lados Proporcionais

Ângulos Iguais ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆA=A' B=B' C=C'

exemplos1-Os triângulos ABC e CDE da figura abaixo são retângulos.Se AB=4 cm, BC=8 cm e a área do triangulo ABC é o dobroda CDE, então DE mede, em centímetros,

2-Na figura abaixo, um garoto está em cima de um banco.Qual é a altura desse garoto que projeta uma sombra de1,2 m, sabendo que o banco de 30 cm projeta uma sombrade 40 cm ?

exemplos

3-A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevadauma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobrea rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançouuma altura de 0,8 metro. A distância em metros que opaciente ainda deve caminhar para atingir o ponto maisalto da rampa é:

a) 1,16 metros.

b) 3,0 metros.

c) 5,4 metros.

d) 5,6 metros.

e) 7,04 metros.

exemplos

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Observe esta construção:

• Pontos A, B, B’ e B’’: colineares

• Segmentos BC, B’C’ e B”C”: perpendiculares a AB”

Consequência: triângulos retângulos ABC, AB’C’ e AB”C” semelhantes e lados

correspondentes proporcionais

Tendo como referência o ângulo :

• Lados CB, C’B’ e C”B”: catetos opostos a em cada triângulo

• Lados AB, AB’ e AB”: catetos adjacentes a em cada triângulo

• Lados AC, AC’ e AC”: hipotenusas de cada triângulo

I. Semelhança de triângulos retângulos

Para qualquer triângulo retângulo

semelhante a ABC, as razões

correspondentes serão iguais às

razões obtidas anteriormente. Essas três

razões trigonométricas recebem

os nomes de cosseno, seno e tangente do

ângulo e são definidas como:

II. Relações trigonométricas: seno, cosseno, tangente

Razões entre dois lados de cada

um dos triângulos:

Construções que exibem ângulos notáveis (30º, 45º e 60º):

a) o quadrado de lados l e sua diagonal:

Os ângulos assinalados medem 45º:

III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis

b) o triângulo equilátero de lados l e altura

O ângulo mede 60º.

Valores de seno, cosseno e tangente:

O ângulo denominado na figura da imagem

anterior mede 30º. Valores de seno, cosseno e

tangente:

• Os valores das razões trigonométricas de ângulos

quaisquer são dados em calculadoras científicas.

• Ângulos complementares: valor do seno de um

deles é igual ao do cosseno; o valor da tangente de

um deles é o inverso do valor da tangente do outro.

• Os valores da tangente desses dois ângulos são

inversos um do outro.

IV. Relação fundamental da trigonometria

Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2

Razões trigonométricas do ângulo assinalado:

Triângulo retângulo em que

a hipotenusa mede 1 unidade:

Triângulo ABC:

Reescrevendo o teorema de Pitágoras:

Relação que surge dessa nova configuração do triângulo ABC:

IV. Relação fundamental da trigonometria

Leis dos senos e cossenos

• Lei dos Senos

• Lei dos Cossenos

ˆ ˆ ˆ B A C

sensen sen

ˆ2 b c cos A

ˆ2 a c cos B

ˆ2 a b cos C

exemplos

1-Utilizando a lei dos senos e cossenos determine o valor de x, nasfiguras abaixo:

Relações métricas no triângulo retângulo

Hipotenusa e catetos do triângulo retângulo

Catetos: são os dois lados que formam o ângulo reto.

Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto.

hipotenusa

cateto

cateto catetocateto

hipotenusa

Outros segmentos do triângulo retângulo

a: é a hipotenusa.

b e c: são os catetos

h: é a altura do triângulo em relação à hipotenusa.

m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.

n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.

A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos

retângulos, ABH e ACH.

Os triângulos ABC, ABH e ACH são

semelhantes. Veja:

+ = 90º

+ + 90º = 180º

+ = 90º

Comparando (I) e (II), tem-se:

+ = + = .

Portanto, = .

+ = 90º

+ + 90º = 180º

+ = 90º

Comparando (I) e (III), tem-se:

+ = + = .

Portanto, = .

+ = 90º

Conclusão

Como = e = ,

os triângulos ABC,

ABH e ACH são

semelhantes pelo

caso (AA). h

B CB H H C

1ª relação métrica

Teorema de Pitágoras(5ª relação métrica)

2ª relação: b² = m . a

3ª relação: c² = n . a

Observe que a = m + n

Somando, membro a

membro, as duas

igualdades, tem-se:

anamcb

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa

é igual à soma dos quadrados dos catetos.

a² = b² + c²

Resumo

Relações métricas:

1ª) h² = m . n

2ª) b² = m . a

3ª) c² = n . a

4ª) a . h = b . c

5ª) a² = b² + c²

• Losango

• Paralelograma

quadriláteros• Quadrado

• Retângulo

. A l l

. A b h

• Trapézio

quadriláteros

Trapézio Retângulo Trapézio Isósceles Trapézio Escaleno

B b hA

1-Na figura abaixo, as medidas são dadas em centímetros.A área da figura, em centímetros quadrados, é:

33 a²

36 a²

exemplos

2-Na figura, ABC é um triangulo equilátero de altura 5 u.c,M e N são pontos médios de AB e BC, respectivamente. Aárea do trapézio ACNM, em u.a, é:

exemplos

3-O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangularABCD, em que AB=BC/2, Antonio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de suaresidência de acordo com o desenho, no qual AE=AB/5.

Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele:

a) Duplicasse a medida do lado do quadrado.

b) Triplicasse a medida do lado do quadrado.

c) Triplicasse a área do quadrado

d) Ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%

e) Ampliasse a área do quadrado em 4%

exemplos

4-A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos,são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina aforma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de1.050m3/s. O cálculo da vazão, Q em m³/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água),em m², pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. Planeja-se uma reforma na canaleta, com asdimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.

Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois

da reforma na canaleta?

A) 90m³/s. C) 1.050m³/s. E) 2.009m³/s.

B) 750m³/s. D) 1.512m³/s.

5-Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas quadradasbancas e pretas, segundo o padrão representado ao lado, que vai serrepetido em toda a extensão do pátio.

As pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro quadrado e as de corpreta, R$ 10,00. O custo por metro quadrado do revestimento será de

A) R$ 8,20 B) R$ 8,40 C) R$ 8,60 D) R$ 8,80 E) R$ 9,00

Exemplos

circunferência• Elementos da Circunferência

• ÁreasABCD

DIÂMETRO

FLECHA

CENTRO

SEGMENTO CIRCULAR

SETOR CIRCULAR

ZONA CIRCULAR

COROA CIRCULAR

CÁLCULOS COM CIRCUNFERÊNCIA• Comprimento da Circunferência

• Comprimento de Arco (l)

O 2. . RC

O l2. . R.

• Área do Círculo

• Área do Setor Circular

CÁLCULOS COM CIRCUNFERÊNCIA

O2. RA

2. R .

• Área do Segmento Circular

• Área da Coroa Circular

CÁLCULOS COM CIRCUNFERÊNCIA

2. R . .

2 2. R . rA r

exercícios1-As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximasa linha do equador e em pontos diametralmente opostosno globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a6370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito,voando em media 800 km/h, descontando as paradas deescala, chega a Cingapura em aproximadamente:

a) 16 horas c) 25 horas e) 36 horas

b) 20 horas d) 32 horas

2-Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos apartir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampagrande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas.

As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenasdessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, paraefetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluirque

a) A entidade I recebe mais material do que a entidade II.

b) A entidade I recebe metade de material do que a entidade III.

c) A entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.

d) As entidade I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III.

e) As três entidades recebem iguais quantidades de material.

exemplos

3-Na figura, a área hachurada mede, em unidade de área:

exemplos

4-A figura representa um hexágono retangular, inscritonum circulo de centro O e raio . A área da regiãoassinalada na figura é:

48 32 3

64 192 3

96 32 3

128 192 3

136 32 3

exemplos

5-Na figura ABC é um triângulo equilátero de lado igual a2. MN, NP e PM são arcos de circunferência com centrosnos vértices A, B e C, respectivamente, e de raios todosiguais a 1. A área da região sombreada é:

exercícios

6-Quatro círculos de raio unitário cujos centros sãovértices de um quadrado, são tangentes exteriormentedois a dois. A área da parte sombreada é:

CIRCUNFERÊNCIA- É um lugar geométrico de umconjunto de infinitos pontos que equidistam deum ponto situado no centro.

ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

Retatangente

secante

Seguimento

de reta

Diâmetro

Centro

Punto de tangencia

Arco BQ

Corda PQ

PROPRIEDADES BÁSICAS NA CIRCUNFERÊNCIA

01- Raio traçado ao ponto de tangência é

perpendicular à reta tangente.

02- Raio ou diâmetro perpendicular a uma corda

bissetriz (divide em dois seguimentos congruentes).

MQ PM PQ R

03- Cordas paralelas determinam arcos congruentes

entre as paralelas.

mBDmAC CD // AB :Si

04- A cordas congruentes em uma mesma circunferêncialhes correspondem arcos congruentes.

Cordas congruentesArcos congruentes

As cordas

equidistam do

centro

mCD mAB CD AB:Si

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS

01- CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS - Têm o mesmo centro.

d = Zero; d: distancia

Distância entreos centros (d)

02- CIRCUNFERÊNCIAS EXTERIORES - Não tem ponto em comum.

d > R + r

d = R + r

03- CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES EXTERIORES - Têm Um

ponto comum que é a de tangência.

Ponto de tangência

d = R - r

04- CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES INTERIORES - Têm um

ponto en comum que é a de tangência.

d: Distância entre os centros

Ponto de

tangência

05- CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES - Têm dois pontos comunsque são as intersecções.

( R – r ) < d < ( R + r )

06- CIRCUNFERÊNCIAS ORTOGONAIS - Os raios são

perpendiculares no ponto de intersecção.

d2 = R2 + r2

06- CIRCUNFERÊNCIAS INTERIORES - Não têm pontos comuns.

d < R - r d: Distância entre os centros

1 - Desde um ponto exterior a uma circunferência se pode

traçar dois raios tangentes que determinam dois

seguimentos congruentes.

PROPRIEDADES DAS TANGENTES

AP = PB

2 - TANGENTES COMUNS EXTERIORES - São congruentes

AB = CD

3 - TANGENTES COMUNS INTERIORES - São congruentes.

AB = CD

TEOREMA DE PONCELET - Em todo triângulo retângulo, a soma dascomprimentos dos catetos é igual ao comprimento da hipotenusa mais odobro do raio.

a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )

Circunraio

TEOREMA DE PITOT - Em todo quadrilátero circunscrito a umacircunferência, sabe-se que a soma do comprimento dos lados opostos sãoiguais.

a + c = b + d

Quadrilátero circunscrito

1 - MEDIDA DO ÂNGULO CENTRAL - É igual à medida

do arco que se opõe.

2 - MEDIDA DO ÂNGULO INTERIOR - É igual à

semisoma das medidas dos arcos opostos

mCDmAB

3 - MEDIDA DO ÂNGULO INSCRITO - É a metade da medida do

arco oposto.

4 - MEDIDA DO ÂNGULO SEMI-INSRITO - É igual à medida do

arco oposto.

1 - MEDIDA DO ÂNGULO EX-INSCRITO - É igual à metade da

medida do arco ABC.

6 - ÂNGULOS EXTERIORES - São três casos:

a - Medida do ângulo formado por duas retas tangentes - É

igual à semidiferença das medidas dos arcos opostos.

+ mAB = 180°

mAB - mACB

b - Ângulo formado por duas retas secantes - É igual à

semidiferença da medida dos arcos opostos.

mCD-mAB

c - Medida do ângulo formado por uma reta tangente e outra

secante - É igual à semidiferença das medidas dos arcos

opostos.

mBC - mAB

50°70º+x

X + (X+70) + 50° = 180°

X = 30°

Pelo ângulo semi-inscrito PQS

Problema Nº 01

RESOLUÇÃO

xº702

x2º140PQSm

Substituindo:

No triângulo PQS:

Resolvendo a equação:

PSQ = xSe traça a corda SQ

mQRSPQSm

De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam atangente PQ e a secante PRS, se o arco RS mede 140º e oângulo QPS mede 50º. Calcule a medida do ângulo PSQ.

X = 40°R

No triângulo retângulo RHS

140° É propriedade, que:

140° + X = 180°

Pelo ângulo inscrito

Problema Nº 02

RESOLUÇÃO

m S = 70º

Resolvendo:

PSQ = x

mQRº70 mQR = 140°

De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam astangentes PQ e PR, logo no maior arco QR se localiza umponto “S”, se traça RH perpendicular à corda QS, se mHRS =20º; calcule mQPR.

x130°

DX = 40°

50 130X

Problema Nº 03

RESOLUÇÃO

PResolvendo:

APD = xMedida do ângulo interior

Medida do ângulo exterior

mBC130mBC = 50°

De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam assecantes PBA e PCD tal que as cordas AC e BD sejamperpendiculares entre si; calcule a medida do ângulo APD, seo arco AD mede 130º.

X = 18°

Problema Nº 04

RESOLUÇÃO

APN = xSe traçaa o raio OM:

Dado: OM(raio) = PM

Logo triângulo PMO é isósceles

Ângulo central igual ao arco

Medida do ângulo exterior

Resolvendo:

Em uma circunferência, o diâmetro AB se prolonga até umponto “P”, desde o qual se traça um raio secante PMN tal queo comprimento de PM seja igual ao raio, se o arco AN mede54º. Calcule a mAPN.

Medida do ângulo inscrito:

X = 55°

Problema Nº 05

RESOLUÇÃO

PRQ = x

Pela propriedade do ângulo exterior formado por duas tangentes:

Resolvendo:

70° + mPQ = 180° mPQ = 110°

Em um triângulo ABC se inscreve uma circunferência tangenteaos lados AB, BC e AC nos pontos “P”, “Q” e “R”respectivamente, se o ângulo ABC mede 70º. Calcule mPRQ.

Calcule a medida do ângulo “X”.

Problema Nº 06

Resolução

RESOLUÇÃO

Medida dol ângulo inscrito:

C140º

140º + x = 180º Resolvendo: X = 40º

mABº70 mAB=140º

Calcular a medida do ângulo “x”

Problema Nº 07

X P130º

Resolução

RESOLUÇÃO

X P130º C

Medida do ângulo inscrito:

Na circunferência:

X = 80º

mABº130 mAB = 260º

mACB = 100º

mACB + x = 100º

260º + mACB = 360º

Calcule o perímetro do triângulo ABC.

Problema Nº 08

Resolução

Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)

Logo o perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10

(2p) = 24

RESOLUÇÃO

a + b = 14 (1)

Substituindo (1) em (2) (2p) = 14 + 10

ABORDAGEM

80º Pa

Problema Nº 09

De um ponto “P” exterior a uma circunferência setraçam a tangente PQ e a secante PRS de modo que osarcos SQ e SR sejam congruentes. Se o arco QR mede80º, calcular mQPR .

Resolução

2a + 80º = 360ºa = 140º

Medida do ângulo exterior:

140 80

º º ºX = 30º

Na circunferência:

RESOLUÇÃO

80º Pa

ABORDAGEM

Problema Nº 10Em um quadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traça adiagonal PR. Os raios dos triângulos PQR e PRS medem 3 cm e2 cm respectivamente. Se o perímetro do quadrilátero PQRS é22 cm. Calcule o comprimento de PR

Resolução

Teorema de Poncelet:

PQR a + b = PR+2(3) +

a +b + c + d = 2PR + 10

PR = 6 cm

a + b + c + d = 22 cm

PSR c + d = PR+2(2)

22 = 2PR + 10

RESOLUÇÃO

CONCEITO:

Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer dacircunferência, a distância de C a P d(C,P) é o raio dessa

circunferência. Então:

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência,

a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral dacircunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.

A equação reduzida da circunferência é:

16)3(2 22 yx

Desenvolvendo os quadrados dos binômios (x – a)² e (y – b)²,

temos:² 4 4 ² 6 9 10 0x x y y

² 4 ² 6 3 0x x y y

Geometria Analítica:Posições relativas entre ponto e circunferência

A aula a seguir traz demonstrações e alguns exercícios resolvidos de posições que um determinado ponto pode assumir em relação a uma circunferência.

Dispomos de três possibilidades:

1ª Ponto interno em relação a circunferência.

2ª Ponto pertencente a circunferência.

3ª Ponto externo à circunferência

Geometria Analítica:Posições relativas entre ponto e circunferência.

Lembre-se:

Para determinar a interseção entre uma reta e uma circunferência , vamos fazer os seguintes passos: Passo 1: Obtenha a equação reduzida de r; Passo 2: Substitua y (da equação reduzida de r) na equação de C; Passo 3: Resolva a equação do 2º grau; Passo 4: substitua X na equação de r:

Geometria Analítica:Posições relativas entre ponto e circunferência

Exercício 1: Qual a posição relativa do ponto P(3, 2) em relação à circunferência de equação

05622 xyx

Substituindo:

051849

053623 22

Então o ponto P(3, 2) pertence a circunferência uma vez que a distância do centro ao ponto P é igual ao raio.

Exercício 2: Qual a posição relativa do ponto P(-2, -3) em relação à circunferência de equação 222 )5()4()1( yx

Substituindo:

222 )5()4()1( yx

0)5()43()12( 222

Como a distância do centro ao ponto P em questão é menor que zero podemos concluir que o ponto é interno a circunferência.

Exercício 3: Qual a posição relativa do ponto P(1, 4) em relação à circunferência de equação

0214222 yxyx

Substituindo:

021162161

021441241 22

Nesse caso a distância do ponto ao centro é maior que o raio concluímos então que o ponto é externo à circunferência

Resumo final: Quando temos um ponto P(m, n) e uma circunferência , de centro C(a, b) e raio r, podemos afirmar que:

0)()( 222 rbnamrdcp P

0)()( 222 rbnamrdcpP é interno a

0)()( 222 rbnamrdcp P é externo a

GEOMETRIA PLANA Polígonos convexos

Polígonos não-convexos

Os lados AB, AC, CD, DE, EF e FA.

Os vértices A, B, C, D, E e F.

Os ângulos internos A, B, C, D, E e

F. é ângulo externo relativo ao

vértice A. A diagonal BD.

Polígono regular

• Chama-se polígono regular qualquer polígono que temtodos os lados congruentes e todos os ângulos internoscongruentes.

Soma dos ângulos internos

• A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com nlados é dado por Si = (n – 2).180º.

Si = (n – 2).180º

TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA DE TALES

c² = a² + b²

Apótema

Polígonos Regulares

Área de polígonos

Área do quadrado

L A = L2

Exemplo

Calcular a medida de cada lado e de cada uma das

diagonais de um quadrado, cuja área mede 18 cm2.

A = L2 ⇒ L2 = 18 ⇒ L = 3√2

D2 = L2 + L2 ⇒ D = L√2

⇒ D = 3√2.√2

⇒ D = 6 cm

Área do retângulo

Base (b)

Altura (h)

A = b . h

Exemplo

Calcular o perímetro de um retângulo de 18 m2 de

área, sabendo que um de seus lados é o dobro do

outro.

A = 18 ⇒ x.2x = 18

⇒ 2x2 = 18 ⇒ x2 = 9

⇒ x = 3

Os lados medem 3 m e 6 m.

P = 2.3 + 2.6 = 18 m

Área do Paralelogramo

A = b . h

base (b)

Exemplo

Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e

formam, entre si, ângulo de 60º. Obter a sua área.

sen 60º =h

4⇒ h = 4. sen 60º = 4.

√3⇒ h = 2√3

A = b . h = 6. 2√3 ⇒ A = 12√3

Área do Losango

d2 A =d1 . d2

Área do Triângulo

A =b . h

base (b)

b . c. sen α

2A = A=√p.(p-a).(p-b).(p-c)

Área do Triângulo Eqüilátero

A =L2√3

Área do Hexágono regular

A =6L2√3

CÍRCULO ou CIRCUNFERENCIA??

A = π R²

C = 2. π. R

UFRGS 2012 1+1/2+1/4+1/8 = 15/8

C= 2.pi.r = 2. 3,14 . 1

C=6,28 (1 volta)

Como serão 10 voltas

C= 62,8 (letra B)

Elementos de um poliedro

• Alguns elementos de um poliedro recebem nomesespeciais.

Face de poliedro é cada um dos polígonos que o delimitam.

GEOMETRIA ESPACIAL

Aresta de poliedro é cada um dos lados das faces. É cada “quina” do

poliedro.

Vértice de poliedro é cada um dos vértices das faces. É cada “ponta” do

poliedro.

O PRISMA e suas formas

• Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de

poliedro, mas apresentam algumas características

comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro

muito especial: o prisma.

Definição

• Observe a animação.

O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado

prisma.

Elementos principais do prisma

O prisma tem dois tipos de

B’ C’

E’F’

(polígonos congruentes).

faces laterais

(paralelogramos).

Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas

bases do prisma.

O prisma tem dois tipos de

arestas

B’ C’

E’F’

arestas das bases

(AB, A’B’, ..., FA, F’A’).

arestas laterais

(AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).

B’ C’

E’F’

A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.

Classificação dos prismas

• Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que

constitui suas bases.

P. hexagonalhexágono

P. pentagonalpentágono

P. quadrangularquadrado

P. triangulartriângulo

PrismaPolígonos das bases

Veja alguns desses prismas

Prisma triangular Prisma Pentagonal

Classificação dos prismas

Prisma triangular reto Prisma Pentagonal

oblíquo

Prisma regular

• Todo prisma reto cujas bases são polígonos

regulares é chamado de prisma regular.

O prisma é reto e

ABC é triângulo eqüilátero

Prisma triangular regular

O prisma é reto e a

Base é hexágono regular

Prisma hexagonal regular

Prismas quadrangulares

• Se as bases de um paralelepípedo reto são

retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-

retângulo ou paralelepípedo retângulo.

Paralelepípedo retângulo ou

ortoedro

Prismas quadrangulares

• Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo

são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou

hexaedro regular.

Cubo ou hexaedro regular

Estudo do cubo

• O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um

prisma quadrangular regular, cujas faces são

quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas

faces pode ser considerada como base.

a → medida de cada uma das

arestasa

Diagonais no cubo

• Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais.

a → medida de cada uma das

arestas

d → diagonal da face

D → diagonal do cubo

Diagonais no cubo

• Obtendo os valores d e D em função da medida a da

aresta.

d2 = a2 + a2

⇒ d = 2a2

⇒ d = a√2

Diagonais no cubo

• Obtendo os valores d e D em função da medida a da

aresta.

D2 = a2 + d2

⇒ D = a2 + 2a2

⇒ D = 3a2

⇒ D = a√3

Área da superfície total do cubo

• Planificando a superfície total de um cubo de aresta

a, obtemos a figura.

AT = 6a2

Volume do cubo

V = a³

Estudo do paralelepípedo retângulo

• O paralelepípedo retângulo é um prisma

quadrangular. Suas faces são duas a duas

congruentes.

a, b e c → As dimensões do

paralelepípedo.

Suas doze arestas são quatro a quatro congruentes. As medidas

dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.

Diagonal do paralelepípedo

• Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento

cujos extremos são dois vértices não-pertencentes

a uma mesma face.

d → diagonal da face inferior

D → diagonal do paralelepípedo

Cálculo da diagonal do paralelepípedo

• Obtendo o valor de D em função das dimensões a, b

e c do paralelepípedo.

d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2

D2 = a2 + b2 + c2⇒ D = √a2 + b2 + c2

Exemplo

O comprimento e a largura de um paralelepípedo

medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13.

Obter a medida de sua altura?

D = √a2 + b2 + c2 ⇒ 13 = √122 + 42 + c2

⇒ 169 = 144 + 16 + c2 ⇒ c2 = 169 – 160

⇒ c2 = 9 ⇒ c = 3

Área da superfície total do paralelepípedo

• Planificando a superfície total de um paralelepípedo

de dimensões a, b e c obtemos a figura.

AT = 2ab + 2ac + 2bc

AT = 2(ab + ac + bc)

ExemploA área da superfície total de um paralelepípedo é 248

cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5.

Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?

As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b

= 3k e c = 5k.

AT = 248 ⇒ 2(ab + ac + bc) = 248

⇒ ab + ac + bc = 124

⇒ 2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124

⇒ 6k2 + 10k2 + 15k2 = 124 ⇒ 31k2 = 124

⇒ k2 = 4 ⇒ k = 2

Volume do paralelepípedo retângulo

• Analise as duas figuras a seguir.

cubo unitário

V = 1 u3

V = 5.3.4 = 60 u3

De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é

dado por

V = a.b.c

ExemplosUma das dimensões de um paralelepípedo é

aumentada em 20%; outra, aumentada em 30%; a

terceira em 10%. O que ocorre com o volume do

paralelepípedo?

Suponhamos que as dimensões sejam x, y e z. Então, o volume

original é V = xyz.

Se x aumenta 20%, a nova dimensão passa para 1,2 x.

Se y aumenta 30%, a nova dimensão passa para 1,3 y.

Se z aumenta 10%, a nova dimensão passa para 1,1 z.

V’ = 1,2x . 1,3 y . 1,1 z = 1,404.xyz = 1,404.V

Concluímos que o volume aumenta 40,4%.

Estudo geral do prisma

• Vamos aprender a calcular áreas e volumes em

prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar

prismas retos em que

As arestas laterais são alturas;

As faces laterais são retângulos;

Áreas no prisma

• No prisma as áreas.

Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos;

Área da base (AB) – Área do polígono da base;

Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases

AT = AL + 2AB

ExemploA figura a seguir mostra um prisma triangular reto,

com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a

área total desse prisma.

AL = 3.6 + 4.6 + 5.6

AL = 18 + 24 + 30 = 72

AB = (3.4)/2 = 6

AT = AL + 2.AB

AT = 72 + 2.6 = 84

ExemploNum prisma hexagonal regular, a altura mede 6 m e a

área de cada base é 24√3 m2. Achar sua área lateral.

A = 24√3 ⇒4

6x2√3= 24√3

⇒ x2 = 16 ⇒ x = 4

Af = b.h ⇒ Af = 4.6 = 24

AL = 6.Af ⇒ AL = 6.24 = 192 m2

Princípio de Cavalieri

• Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do

século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou

contribuições importantes nas áreas de óptica e

geometria.

Princípio de Cavalieri

• Dados dois ou mais sólidos apoiados em um mesmo

plano , se

Todos têm a mesma altura;

Todo plano paralelo a e que corte os sólidos

determina, em todos eles, seções planas de

mesma área;

Então os sólidos têm o mesmo volume.

Volume do prisma

• Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do

volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o

princípio de Cavalieri.

V = AB.h

PIRÂMIDE

A pirâmide tem dois tipos de

A base

(polígono ABCDEF).

Faces laterais (triângulos).

Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral.

Elementos principais da pirâmide

A pirâmide tem dois tipos de

arestas

arestas da base

(AB, BC, CD, DE, EF e FA).

arestas laterais

(VA, VB, VC, VD, VE e VF ).

Elementos principais da pirâmide

A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide.

Classificação

• Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono

que constitui sua base.

P. hexagonalhexágono

P. pentagonalpentágono

P. quadrangularquadrado

P. triangulartriângulo

PirâmidePolígono da base

Veja algumas dessas pirâmides

Pirâmide triangular Pirâmide Pentagonal

Pirâmides regulares

A base da pirâmide é um

quadrado

Pirâmide quadrangular regular

A base da pirâmide é um

hexágono regular

Pirâmide hexagonal regular

Apótema da pirâmide

VM é o apótema (p) da

pirâmidep

BM = MC

Segmentos notáveis na pirâmide regular

VO = h, altura;

VA = a, aresta lateral;

AB = b, aresta da base;

Segmentos notáveis na pirâmide regular

OM = m, apótema da base;

OA = r, raio da base;

VM = p, apótema pirâmide;

A pirâmide e o teorema de Pitágoras

p2 = h2 + m2

a2 = h2 + r2

a2 = p2 + (b/2)2

Volume da pirâmide

• Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e

suas bases têm a mesma área, então o volume da

pirâmide é a terça parte do volume do prisma.

AB.hV =3

Tronco de Pirâmide R

A’ B’

C’D’h’

h – h’

A’B’

C’D’R

A’ B’

C’D’h’

Tronco de

pirâmide

Razão de semelhança - Comprimentos

A’ B’

C’D’h’

=RA’

A’B’

AB=... =

Razão de

semelhança

Razão de semelhança - ÁreasR

A’ B’

C’D’h’

=A’B

ESFERAS

Área: A = 4πr2

Volume:

90ºBase

A Fig. mostra um Cilindro

Oblíquo.

R é raio da base

h é altura

g é geratriz

Cilindro

Cilindro Circular Reto

1) o eixo é perpendicular

aos planos das bases.

ou Cilindro de Revolução

BAO’*

2) g = h

Cilindro de Revolução:

Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

Cilindro de Revolução:

Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro.

Seção

MeridianaA

O’*h Se ABCD

é um quadrado

cilindro eqüilátero

Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em que h = 2R

Seção Meridiana

Planificação :

Planificação :Planificação :

Planificação :

Áreas e Volumes

AL = 2 Rh

At = AL+ 2 Ab

V = R2. h

Área Lateral

( AL )

Área Total

( At )

Volume

Ab = R2Área Base

( Ab )

UFRGS 2012

Tomando a aresta da base a e a

altura h temos o volume V:

Dobrando a aresta da base e

reduzindo a altura a metade

teremos o novo volume V1:

Estudo da reta

GEOMETRIA ANALÍTICA

O (0, 0)

1º quadrante2º quadrante

3º quadrante 4º quadrante

eixo das

abscissas

eixo das ordenadas

Origem

Plano cartesiano

P(3, 4)

Coordenadas no plano

3 é a abscissa de P;

4 é a ordenada de P;

3 e 4 são as

coordenadas de P;

P(x, y)

Em geral:

Bissetrizes no plano

y = xy = –x

1ª bissetriz2ª bissetriz

Equação geral da reta

• A toda reta contida no sistema xOy de coordenadas

cartesianas está associada uma equação de 1.º grau, nas

variáveis x e y. Essa equação se verifica para todos os pontos

da reta, e só eles.

Retas paralelas aos eixos;

Retas não-paralelas aos

eixos;

Retas paralelas aos eixos

• A figura mostra duas retas r e s, contidas no plano cartesiano

Equação da reta r: x = 4

Equação da reta s: y = 2

Retas não-paralelas aos eixos• A figura mostra a reta r, contidas no plano cartesiano xOy,

determinada pelos pontos A(2, 1) e B(3, 3).

P(x, y) ∊ AB ⇒ A, B e P estão

alinhados

x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y =

⇒ y – 2x + 3 = 0

BP(x, y)

Exemplos

• Analisar se M(2, –1) e N(3, 5) são pontos da reta de equação

geral 5x + y – 9 = 0.

⇒ 5.2 + (–1) – 9 = 0

Para que cada ponto pertença à reta, suas coordenadas

devem satisfazer a equação.

M(2, –1) ⇒ 10 –1 – 9 = 0 ⇒ 0 = 0

⇒ 5.3 + 5 – 9 = 0N(3, 5) ⇒ 15 + 5 – 9 = 0 ⇒ 11 ≠ 0

Concluímos que M é ponto da reta dada, mas N não é.

Inclinação de uma reta

• Imagine um carro subindo uma rampa reta, conforme figura.

Suponha que para cada 40 m percorridos na horizontal, a

pista se eleve 6 m.

O ângulo α que a rampa forma com a horizontal é o

ângulo de inclinação da rampa. O valor de tg α é a

inclinação da rampa.

6 mInclinação = tg α = = 0,15

• Vamos analisar agora duas situações extremas.

Quando o carro percorre um trecho horizontal,

dizemos que a rampa tem inclinação 0 e que o ângulo

de inclinação é 0º. (tg 0o = 0).

α = 0o ⇒ Inclinação = tg α = tg 0o = 0

• Vamos analisar agora duas situações extremas.

O auto não sobe uma rampa vertical.

Nesse caso, não se define a inclinação

da rampa e o ângulo de inclinação é 90º.

(tg 90º = Não é definido).

α = 90o

Inclinação não se define.

• Considere uma reta r, não paralela aos eixos x e y, contida no

plano cartesiano xOy.

xQ – xP

yQ – yP

Inclinação = tg α

yQ– yP

xQ– xP

a = tg α =

• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:

a = tg 30º =

O30ºM

a = tg 45º = 1

a = tg 60º = √3

a = tg 120º = – tg 60º = –√3

a = tg 135º = – tg 45º = – 1

a = tg 150º = – tg 30º =

3–√3

Exemplos

• Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de

inclinação da reta MN.

–2 1

xN – xM

yN – yMa = tg α =

1 – (–2)

5 – 3a =

a > 0 e α é agudo

(α < 90º)

a) M(–2, 3) e N(1, 5)

Inclinação de uma reta - resumo

• O ângulo de inclinação α de uma reta é tal que 0º ≤ α ≤ 180º.

• Sua inclinação a pode ser positiva, negativa ou nula, conforme

a medida do ângulo α (α ≠ 90º).

α = 0º ⇔ a = 0.

0º < α < 90º ⇔ a > 0.

α = 90º ⇔ a inclinação a não é definida.

90º < α < 180º ⇔ a < 0.

Exemplos

• Achar as inclinações das retas r, s e t da figura abaixo.

O120º45º 45º

ar = tg 45º = 1

as = tg 45º = 1 at = tg 120º – √3= – tg 60º =

Equação reduzida da reta• Uma reta é determinada, quando são dados sua inclinação e

um de seus pontos. Suponhamos no plano xOy, uma reta r que

passa por A(2, 3) e têm ângulo de inclinação α = 135º.

• Vamos obter a equação da reta r.

M(x, y)

xM – xA

yM – yA

a = tg 135º = –1.

x – 2

y – 3–1 =a =

y – 3 = –1(x – 2)

y – 3 = –1x + 2

y = –1x + 5

y = –x + 5

Equação reduzida da reta – Caso Geral• Suponhamos que uma reta r de inclinação a = tg α e que passe

pelo ponto P(xP, yP), como mostra a figura.

y) xM – xA

yM – yA

x – xP

y – yPa =a =

y – yP = a(x – xP)

⇒ y – yP = ax – axP⇒ y = ax + (–axP + yP)

⇒ y = ax + b Equação reduzida da reta

Equação reduzida da reta

• Na equação reduzida y = ax + b, temos:

Significa que a reta passa pelo ponto (0, b) → ponto do eixo y.

x = 0 ⇒ y = a.0 + b ⇒ y = b

O coeficiente a é a inclinação da reta; ele é também chamado, por

isso, coeficiente angular da reta.

O coeficiente b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y;

ele é chamado de coeficiente linear da reta.

Exemplos

• Veja a representação da reta r: 2x – y + 4 = 0 no plano xOy.

y = 2x + 4

Exemplos

• O gráfico a seguir mostra uma reta s. Encontrar a equação

reduzida e uma equação geral para essa reta.

y = ax + b

A reta corta o eixo y no

ponto de ordenada 2,

ponto (0, 2), logo b = 2.

α = 180º – 45º = 135º

a = tg 135º = –1.

y = – x + 2

⇒ x + y – 2 = 0

Exemplos

• Achar a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos

A(–2, 6) e B(1, –3).

xA – xB

yA – yB

–2 – 1

6 –(–3)a =

Primeiro vamos calcular a inclinação da reta.

9= ⇒ a = –3

Utilizando o ponto A(–2, 6), por exemplo, obtemos a equação

fundamental, em seguida a equação reduzida da reta.

y – yP = a(x – xP) ⇒ y – 6 = –3(x + 2)

⇒ y – 6 = –3x – 6 ⇒ y = –3x

GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS

O que você deve saber sobre

O estudo da geometria analítica tem início na determinação dasdistâncias entre entidades geométricas (pontos, retas, curvas)colocadas sobre o plano cartesiano. A partir daí, diversas situaçõespodem surgir, como a definição de curvas complexas por meio deequações em que se relacionam os valores das coordenadas deseus pontos.

Dados dois pontos quaisquer, A e B, de coordenadas (xA, yA) e (xB, yB), respectivamente, a distância entre os pontos A e B pode ser obtida pela aplicação do teorema de Pitágoras.

II. Distância de ponto a ponto

As coordenadas xM e yM do ponto médio do segmento são, respectivamente, as médias aritméticas das coordenadasdos pontos A e B.

As coordenadas do ponto médio M do segmento são:

Coordenadas do ponto médio de um segmento

Coordenadas do baricentro G do triângulo ABC:

Baricentro de um triângulo ABC

Área do triângulo

Dado um triângulo de vértices A, B e C, localizado no plano cartesiano, sabe-se que a área do triângulo ABC é numericamenteigual à metade do módulo do determinante formado pelas coordenadas dos pontos A, B e C:

• A 1a coluna é formada pelas abscissas dos pontos A, B e C. A 2a coluna, pelos valores das ordenadas y desses pontos.• Os elementos das entradas da 3a coluna são iguais a 1.

Da expressão obtida para a área de um triângulo, podemos concluir que a condição de alinhamento para que três pontos distintos, A, B e C, estejam alinhados é:

Condição de alinhamento de três pontos

III. A equação da reta y = mx + n

Coeficiente ângular (m)

Está relacionado ao ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas.

Se as escalas dos eixos x e y no gráfico são iguais, identificamos o coeficiente angular da reta com a tangente do ângulo entre a reta e o eixo horizontal:

Coeficiente linear (n)

Corresponde ao valor da ordenada do ponto em que a reta cruza

o eixo y.

Para obtê-lo, refazemos o cálculo da declividade.

Usando a expressão obtida para m e substituindo os pontos

por P e A:

Coeficiente linear da reta

Isolando y, teremos: y = mx - mxA + yA

Chamando o termo constante de n = – mxA + yA,

a equação da reta, agora equação

reduzida da reta, passa a ser escrita assim:

Outro formato em que a equação da reta aparece

(chamada equação segmentária da reta):

Nela, os coeficientes a e b são o valor de x no ponto em que y = 0 e

o valor de y no ponto em que x = 0. Ou seja, a e b são os chamados

cortes nos eixos x e y, respectivamente.

Duas retas r e s inclinadas (i.e., não verticais e não horizontais) e com coeficientes angulares mr e ms respectivamente, quando consideradas ao mesmo tempo sobre o plano cartesiano, podem ser, uma em relação à outra:

Paralelas coincidentes: as duas retas possuem os coeficientes m e n iguais e todos os pontos em comum:

Paralelas não coincidentes: os coeficientes angulares das duas retas são iguais, mas os lineares são distintos, e elas não apresentam pontos em comum:

IV. Posições relativas entre retas no plano

Caso particular de concorrência de retas: elas são perpendiculares. Além de seus coeficientes serem diferentes, o produto entre eles é igual a 1, i.e., o coeficiente angular de uma das retas é o inverso do oposto do coeficiente angular da outra.

Concorrentes: têm coeficientes angulares diferentes. Como

consequência, as retas terão um único ponto em comum:

IV. Posições relativas entre retas no plano

(Unesp)Dados dois pontos, A e B, com coordenadas cartesianas(-2, 1) e (1, -2), respectivamente, conforme a figura:

a) calcule a distância entre A e B.b) sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentrodo triângulo ABC são (xG, yG) = (2, 1), calcule as 3coordenadas (xC, yC) do vértice C do triângulo.

GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS NO VESTIBULAR

RESPOSTA:

(Uerj)No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo ABC.

Em relação a esse triângulo:

a) demonstre que ele é retângulo;b) calcule a sua área.

RESPOSTA:

(UFC-CE)ABC é o triângulo, no plano cartesiano, com vértices A(0, 0), B(2, 1) e C(1, 5).Determine as coordenadas do ponto P do plano, tal que a soma dos quadradosdas distâncias de P aos vértices de ABC seja a menor possível, e calcule o valormínimo correspondente da soma.

RESPOSTA:

(Unifesp)A figura representa, em um sistema ortogonalde coordenadas, duas retas, r e s, simétricasem relação ao eixo Oy, uma circunferência comcentro na origem do sistema, e os pontosA = (1, 2), B, C, D, E e F correspondentes àsinterseções das retas e do eixo Ox com acircunferência.

(PUC-RJ)Dadas a parábola y = x2 + x + 1 e a reta y = 2x + m:a) Determine os valores de m para os quais a reta intercepta a parábola.b) Determine para qual valor de m a reta tangencia a parábola. Determine também o ponto de tangência.

RESPOSTA:

(IBMEC-SP)Considere, no plano cartesiano da figura, o triângulo de vértices A, B e C. Se r é a reta suporte da bissetriz do ângulo ABC, então o coeficiente angular de r é igual a:

RESPOSTA: B

UFRGS 2012

(0-2)²+(0-3)²=10 ????

Exemplo 1: Construa o gráfico da função f:

dado por f(x) = 2x + 1 e determine o conjunto imagem.

Análise de Gráficos

1º) Iremos montar uma tabela atribuindo os pontospara o plano cartesiano:

x f (x) = 2.x + 1 (x ; y)

-2 2. (-2) + 1 = -3 (-2 ; -3)

-1 2. (-1) + 1 = -1 (-1 ; -1)

0 2. (0) + 1 = 1 (0 ; 1)

1 2. (1) + 1 = 3 (1 ; 3)

2 2. (2) + 1 = 5 (2 ; 5)

Como o domínio são

todos os reais, podemos

escolher qualquer valor

para “x”

x f (x) = 2.x + 1 (x ; y)

-2 2. (-2) + 1 = -3 (-2 ; -3)

-1 2. (-1) + 1 = -1 (-1 ; -1)

0 2. (0) + 1 = 1 (0 ; 1)

1 2. (1) + 1 = 3 (1 ; 3)

2 2. (2) + 1 = 5 (2 ; 5)

Domínio: R

Contradomínio: R

Imagem: R

f (x) = 2x + 1

Exemplo 2: O gráfico abaixo representa uma função. Determine o que se pede.

x-2 0 1 2 3

3f (-2) =

f (0) =

f (2) =

Domínio:

Imagem:

[-2 ; 3]

[1 ; 3]

Análise de GráficosExemplo 3: Determine entre os gráficos abaixo quaisdeles representam uma função.

Não é

função

É funçãoÉ função

É funçãoÉ funçãoNão é

função

FUNÇÃO DO 1º GRAU

CRESCENTE E DECRESCENTE – GRÁFICO

FUNÇÃO CRESCENTE: a > 0 FUNÇÃO DECRESCENTE: a < 0

FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO

ponto cponto c

Reta decrescente

b < 0Reta crescente

EXEMPLOS:

• EXEMPLO: (UFRGS – 2011) O gráfico do polinômio decoeficientes reais p(x) = ax2 + bx + c está representado abaixo.

FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO

Com base nos dados desse gráfico,

é correto afirmar que os coeficientes

a, b e c satisfazem as desigualdades

a) a > 0; b < 0; c < 0.

b) a > 0; b < 0; c > 0.

c) a > 0; b > 0; c > 0.

d) a > 0; b > 0; c < 0.

e) a < 0; b < 0; c < 0.

y = x2

y = ( x + 1)2

y = ( x – 3)2

Translação Horizontal

y = x2

y = x2 + 2

y = x2 - 1

Translação Vertical

y = x2

y = (x + 1)2– 3 y = (x – 2)

Translação Horizontal + Vertical

y = x2

y = – x2

y = x2– 4

y = – x2

y = | x |

Módulo de uma Função

y = x2– 4y = | x

2– 4 |

y = (x + 2)2– 3 y = | (x + 2)

2– 3 |

CfSd 2016 matematica - 3

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