View
281
Download
3
Category
Preview:
DESCRIPTION
Este documento comprende la construcción geométrica con el uso de regla y compás de las figuras geométricas más básicas.
Citation preview
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcciones Geométricas
Las construcciones que acá describiremos se realizarán únicamente con regla y compás1. Parauna descripción más sencilla de las instrucciones de construcción, daremos antes una guía del sig-nificado de la simbología utilizada en este documento.
Para los segmentos, rayos, semirrectas y rectas, se utilizará la notación usual de la geometría:
Recta determinada por los puntos A y B:←→AB
Rayo de origen A que pasa por B: −→AB
Segmento determinado por los puntos A y B:
AB
Semirrecta de origen A que pasa por B:−→AB
En el caso de las circunferencias y los arcos, vamos a utilizar estás notaciones:
Arco de centro A y radio CD:Arc(A, CD)
Circunferencia de centro A y radio CD:
Circ(A, CD)
Antes de comenzar, a las intersecciones entre objetos las denotaremos con el símbolo ∩. Conestas aclaraciones, vamos a enunciar cada una de las construcciones.
1Entiéndase por regla como un borde liso sin marcas, y por compás, como una herramienta para dibujar circun-ferencias.
1
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 1 Triángulo Equilátero
Construir a partir de un segmento AB un triángulo cuyos lados sean todos congruentes2.
Figura 1: Datos iniciales Figura 2: Construcción terminada
Construcción:
1. Arc(A, AB).
2. Arc(B, AB).
3. Marcar Arc(A, AB) ∩ Arc(B, AB) = C.
4. Trazar AC y BC.
2Decimos que dos segmentos (o lados) son congruentes si ambos poseen la misma medida.
2
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 2 Triángulo Isósceles
Construir a partir de un segmento AB un triángulo donde dos de sus lados sean congruentes.
Figura 3: Datos iniciales Figura 4: Construcción terminada
Construcción:
1. Arc(A, AB).
2. Marcar D sobre el AB.
3. Arc(B, BD).
4. Marcar Arc(A, AB) ∩ Arc(B, BD) = C.
5. Trazar AC y BC.
3
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 3 Triángulo Escaleno
Construir a partir de un segmento AB un triángulo donde sus lados NO sean congruentes en-tre sí.
Figura 5: Datos iniciales Figura 6: Construcción terminada
Construcción:
1. Extender el segmento AB hasta un punto E.
2. Arc(A, AE).
3. Marcar D sobre el AB.
4. Arc(B, BD).
5. Marcar Arc(A, AE) ∩ Arc(B, BD) = C.
6. Trazar AC y BC.
4
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 4 Hexágono Regular
Construir a partir de un segmento AB un hexágono regular3.
Figura 7: Datos iniciales Figura 8: Construcción terminada
Construcción:
1. Arc(A, AB).
2. Arc(B, AB).
3. Marcar Arc(A, AB) ∩ Arc(B, AB) = Z.
4. Circ(Z, AZ).
5. Marcar Arc(A, AB) ∩ Circ(Z, AZ) = F .
6 Marcar Arc(B, AB) ∩ Circ(Z, AZ) = C.
7 Arc(C, BC).
8 Arc(F, AF ).
9 Marcar Arc(C, BC) ∩ Circ(Z, AZ) = D.
10 Marcar Arc(F, AF ) ∩ Circ(Z, AZ) = E.
11 Trazar BC, CD, DE, EF y FA.
3Se dice que un polígono es regular cuando todos sus lados son congruentes.
5
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 5 Recta Perpendicular (Caso 1)
Construir a partir de una recta ∆ una recta perpendicular4 a ésta por un punto en la recta dada.
Figura 9: Datos iniciales Figura 10: Construcción terminada
Construcción:
1. Marcar un punto B en ∆.
2. Circ(A, AB).
3. Marcar Circ(A, AB) ∩∆ = C.
4. Arc(B, BC).
5. Arc(C, BC).
6. Marcar Arc(B, BC) ∩ Arc(C, BC) = D.
7. Trazar ←→AD.
4Decimos que dos rectas son perpendiculares si el ángulo comprendido entre ellas es un ángulo de 90o.
6
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 6 Recta Perpendicular (Caso 2)
Construir a partir de una recta ∆ una recta perpendicular a ésta por un punto exterior a la rectadada.
Figura 11: Datos iniciales Figura 12: Construcción terminada
Construcción:
1. Marcar un punto B en ∆.
2. Arc(A, AB).
3. Marcar Arc(A, AB) ∩∆ = C.
4. Arc(B, BC).
5. Arc(C, BC).
6. Marcar Arc(B, BC) ∩ Arc(C, BC) = D.
7. Trazar ←→AD.
7
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 7 Recta Paralela
Construir a partir de una recta ∆ una recta paralela a ésta por un punto exterior a la rectadada.
Figura 13: Datos iniciales Figura 14: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar la construcción 6 con ∆ y A.
2. Marcar la recta perpendicular como Ω.
3. Realizar la construcción 5 con Ω y A.
4. Marcar la recta perpendicular como Θ.
8
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 8 Mediatriz De Un Segmento
Construir a partir de un segmento AB la mediatriz5 de éste.
Figura 15: Datos iniciales Figura 16: Construcción terminada
Construcción:
1. Arc(A, AB).
2. Arc(B, AB).
3. Marcar Arc(A, AB) ∩ Arc(B, AB) = D, E.
4. Trazar la recta ←→DE.
5. Marcar AB ∩←→DE = C6.
5Una mediatriz es la recta perpendicular a un segmento que lo interseca en su punto medio.6Este punto C es el punto medio del segmento AB
9
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 9 Bisectriz De Un Ángulo
Construir a partir de un ángulo ∠ABC la bisectriz7 de éste.
Figura 17: Datos iniciales Figura 18: Construcción terminada
Construcción:
1. Marcar D sobre BC.
2. Arc(A, AD).
3. Marcar Arc(A, AD) ∩←→AB = E.
4. Arc(D, DB).
5. Arc(E, BE).
6. Marcar Arc(D, DB) ∩ Arc(E, BE) = F .
7. Trazar la recta ←→BF .
7Una bisectriz es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes.
10
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 10 Copiar Segmentos
Construir a partir de un segmento AB, otro segmento CD sobre la recta −−→CE tal que sea con-gruente con AB.
Figura 19: Datos iniciales Figura 20: Construcción terminada
Construcción:
1. Trazar el segmento BC.
2. Realizar construcción 7 con BC y A.
3. Marcar la recta paralela ∆.
4. Realizar construcción 7 con AB y C.
5. Marcar la recta paralela Ω.
6. Marcar ∆ ∩ Ω = F .
7. Arc(C, CF ).
8. Marcar Arc(C, CF ) ∩←→CE = D.
11
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 11 Copiar Ángulos
Construir a partir de un ángulo ∠ABC, otro ángulo ∠EDF tal que sea congruente con ∠ABC.
Figura 21: Datos iniciales Figura 22: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 10 con BC y −−→ED.
2. Marcar el punto G sobre la recta ←→ED.
3. Arc(G, AC).
4. Arc(E, AB).
5. Marcar Arc(G, AC) ∩ Arc(E, AB) = F .
6. Trazar EF .
12
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 12 Copiar Triángulos
Construir a partir de un triángulo ∆ABC, otro ángulo ∆EDF tal que sea congruente con ∆ABC.
Figura 23: Datos iniciales Figura 24: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 11 con ∠ABC y ∠EDF .
2. Trazar FG.
13
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 13 Adición De Segmentos
Construir a partir de un par de segmentos AB y CD, un segmento EF tal que éste último seaigual a la suma de los dos primeros.
Figura 25: Datos iniciales Figura 26: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 10 con AB y −−→EH.
2. Marcar G sobre −−→EH.
3. Realizar construcción 10 con CD y −−→GH.
4. Marcar F sobre −−→GH.
14
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 14 Sustracción De Segmentos
Construir a partir de un par de segmentos AB y CD, un segmento EF tal que éste último seaigual a la diferencia de los dos primeros.
Figura 27: Datos iniciales Figura 28: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 10 con AB y −−→EH.
2. Marcar G sobre −−→EH.
3. Realizar construcción 10 con CD y −−→GE.
4. Marcar F sobre −−→GH.
15
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 15 Multiplicación De Segmentos (Ampliarlo 5 veces)
Construir a partir de un segmento AB, un segmento AC tal que éste último sea igual a n ve-ces el primero.
Figura 29: Datos iniciales Figura 30: Construcción terminada
Construcción:
1. Trazar el rayo −−→AD.
2. Marcar un punto P1 en −−→AD.
3. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P1D.
4. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P2D.
5. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P3D.
6. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P4D.
7. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P5D.
8. Trazar BP1.
9. Realizar la construcción 7 con BP1 y el punto P5.
10. Trazar la recta ∆.
11. Marcar ∆ ∩ −→AB = C
16
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 16 División De Segmentos (Reducirlo 5 veces)
Construir a partir de un segmento AB, un segmento AC tal que éste último sea igual a la n-ava parte del primero.
Figura 31: Datos iniciales Figura 32: Construcción terminada
Construcción:
1. Trazar el rayo −−→AD.
2. Marcar un punto P1 en −−→AD.
3. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P1D.
4. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P2D.
5. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P3D.
6. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P4D.
7. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P5D.
8. Trazar BP5.
9. Realizar la construcción 7 con BP5 y el punto P1.
10. Trazar la recta ∆.
11. Marcar ∆ ∩ −→AB = C
17
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 17 Ampliar Un Triángulo (3 veces)
Construir a partir de un triángulo ∆ABC, un triángulo ∆DEF tal que éste último sea iguala n veces mas grande el primero.
Figura 33: Datos iniciales Figura 34: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 15 con AC sobre −−→DX.
2. Realizar construcción 11 con ∠BAC sobre −−→DX.
3. Marcar Circ(D, AB) ∩ Circ(P1, BC) = Y .
4. Trazar rayo −−→DY .
5. Realizar construcción 11 con ∠ACB sobre −−→FD.
6. Marcar Circ(P2, AB) ∩ Circ(F, BC) = W .
7. Trazar rayo −−→FW .
8. Marcar −−→DY ∩−−→FW = E.
9. Trazar DE y EF .
18
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 18 Reducir Un Triángulo (4 veces)
Construir a partir de un triángulo ∆ABC, un triángulo ∆DEF tal que éste último sea iguala n veces más pequeño que el primero.
Figura 35: Datos iniciales Figura 36: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 16 con AC sobre −−→DX.
2. Marcar F , tal que AG ∼= DF .
3. Realizar construcción 11 con ∠BAC sobre −−→DX.
4. Marcar el punto H.
5. Trazar rayo −−→DH.
6. Realizar construcción 11 con ∠ACB sobre −−→FD.
7. Marcar el punto I.
8. Trazar rayo −→FI.
9. Marcar −−→DH ∩−→FI = E.
10. Trazar DE y EF .
19
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 19 El Cuadrado
Construir a partir de un segmento AB, un cuadrado8 ABCD.
Figura 37: Datos iniciales Figura 38: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 5 con AB y A.
2. Marcar la recta ∆.
3. Arc(A, AB).
4. Marcar Arc(A, AB) ∩∆ = D.
5. Arc(D, AD).
6. Arc(B, BD).
7. Marcar Arc(D, AD) ∩ Arc(B, BD) = C.
8. Trazar AD, CD y BC.
8Un cuadrado es el polígono regular de 4 lados.
20
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 20 El Octágono
Construir a partir de un segmento AB, un octágono9 AFBHCEDG.
Figura 39: Datos iniciales Figura 40: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 19 con AB.
2. Realizar construcción 8 con AB.
3. Marcar la recta ∆.
4. Realizar construcción 8 con BC.
5. Marcar la recta Ω.
6. Marcar Ω ∩∆ = I.
7. Circ(I, AI).
8. Marcar Circ(I, AI) ∩∆ = E, F.
9. Marcar Circ(I, AI) ∩ Ω = G, H.
10. Trazar AF, FB, BH, HC, CE, ED, DG, y GA,.
9Un octágono es el polígono regular de 8 lados.
21
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcción 21 El Dodecágono
Construir a partir de un segmento AB, un dodecágono10 AGBICKDHEJFL.
Figura 41: Datos iniciales Figura 42: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 4 con AB.
2. Realizar construcción 8 con AB.
3. Marcar la recta ∆.
4. Realizar construcción 8 con BC.
5. Marcar la recta Ω.
6. Realizar construcción 8 con CD.
7. Marcar la recta Ξ.
8 Marcar Ω ∩∆ = M .
9 Circ(M, AM).
10 Marcar Circ(M, AM) ∩∆ = H, G.
11 Marcar Circ(M, AM) ∩ Ω = I, J.
12 Marcar Circ(M, AM) ∩ Ξ = K, L.
13 Trazar AG, GB, BI, IC, CK, KD, DH, HE, EJ, JF , FLY LA,.
10Un dodecágono es el polígono regular de 12 lados.
22
Recommended