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DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Concepto: Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. La derivada de orden superior comprende las derivadas a partir de la segunda derivada a más, y que se efectúa derivando tantas veces como se indique. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
Representación:
Utilidad:
Para graficar una función tridimensional y encontrar los puntos críticos se determina:
Teorema de schwarz (igualdad de las derivadas mixtas).
Ejercicios de aplicación:Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden y muestre que las derivadas mixtas son iguales:
Función:
Derivada de orden superior respecto de x.
𝑓 (𝑥 , 𝑦 )=√ 𝑥2𝑎2+ 𝑦 2𝑏2
Solución:
Paso 1: Derivar parcialmente la función en primer orden respecto de x.
Siendo
Simplificar
𝑢=𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2
Paso 2: Derivar parcialmente la función en segundo orden respecto de x.
El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función () en x, “()” es:
Derivada de orden superior respecto de y.
Solución: Paso 1: Derivar parcialmente la función de primer orden respecto de y.
Paso 2: Derivar parcialmente la función de segundo orden respecto de y.
El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función () en y, “()” es:
Derivada de orden superior mixta (:
Función:
Solución: Paso 1: Derivar parcialmente la función respecto
de x.
𝑓 (𝑥 , 𝑦 )=√ 𝑥2𝑎2+ 𝑦 2𝑏2
Paso 2: Derivar parcialmente la función respecto y.
El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función () en xy, “()” es:
Solución:
Paso 1: Derivar parcialmente la función respecto de y.
Paso 2: Derivar parcialmente la función
respecto de X.
Derivada de orden superior mixta (:
𝑓 𝑦𝑥= 𝑓 𝑥𝑦
El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función () en yx, “()” es:
Finalmente, tomando en cuenta las derivadas parciales de orden superior mixtas, se puede afirmar que son iguales. Lo que se comprueba el teorema de schwarz siendo la función continua.
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