Dzielenie wielomianów

Preview:

Citation preview

Dzielenie wielomianówpisemnie

Damian Michalski

Klasa IIg

Rok szkolny 2011/2012

Czym jest dzielenie dwóch liczb?

Podzielid pewną liczbę x przez liczbę y≠0 oznacza sprawdzid, ile razy liczba y mieści się w liczbie x oraz ile

zostanie jeśli wszystkie możliwe y odejmiemy.

Przyjmijmy x=10 oraz y=3

10=3*3+1

W powyższym rachunku, 3 jest ilorazem, a 1 resztą z dzielenia.

Ważne jest, że reszta jest zawsze mniejsza od liczby, przez którą dzielimy (gdyby reszta była większa od y to by znaczyło, że w danej liczbie mieści się jeszcze jedna

y, czyli dzielnie nie zostało wykonane należycie).

Dzielenie wielomianów ma dużo wspólnego z pospolitym dzieleniem pisemnym dwóch liczb całkowitych. Warto przypomnied sobie jak to się robiło:

W tym przykładzie podzielona zostanie liczba 213 przez 4:

(1) Nad dzieleniem zapisujemy kreskę wynikową; to nad nią zapisywany jest wynik .

5 213 : 4

- 20=1 (2) Wybierany jest od lewej kawałek

liczby, w którym dzielnik mieści się przynajmniej raz (w tym przypadku jest to 21) i dzieli się tę liczbę przez dzielnik. Wykonywane jest działanie: 21/4

(3) Wynik dzielenia zapisywany jest nad kreską wynikową i następnie mnożony przez dzielnik.

.

(4) Wynik tego mnożenia zapisywany jest pod dzieloną liczbą i odejmowany od aktualnie badanego składnika. Wykonywane jest pisemnie działanie:21 – (5*4) = 1. Wynik tego działania zapisywany jest poniżej.

(5) Znak „=‘’ zapisywany jest, gdy cyfry skracają się pisemnie.

53213 : 4

- 20=13- 12

=1

(6) Dopisywana jest kolejna cyfra z góry, która nie była jeszcze używana. Dzieli się następnie otrzymaną w ten sposób liczbę przez dzielnik, a wynik tego dzielenia zapisuje się nad kreską wynikową i mnoży przez dzielnik.

.

(7) Wynik tego mnożenia zapisywany jest pod dzieloną liczbą i odejmowany od aktualnie badanego składnika. Wykonywane jest pisemnie działanie:13 – (3*4) = 1. Wynik tego działania zapisywany jest poniżej.

53213 : 4

- 20=13- 12

=1

(8) Wynik odejmowania, czyli w tym przypadku liczba 1, nie dzieli się już więcej przez dzielnik (nie ma już liczb, które można by było dopisad z góry). Liczba ta jest zatem resztą.Dzielenie zakooczone!

(9) Liczba nad kreską wynikową jest ogólnym wynikiem dzielenia (i w tym przypadku wynosi 53).

(10) Aby sprawdzid czy dzielenie jest prawidłowe, można otrzymany wynik pomnożyd przez dzielnik i dodad otrzymaną resztę:Spr.: 53*4+1=212+1=213

Można więc zapisad dzieloną liczbę w postaci:213=53*4+1

Czym jest dzielenie wielomianów?

Poprzez dzielenie wielomianów rozumiemy sprawdzenie, ile razy wielomian P(x) mieści się w wielomianie W(x). Jest to więc analogia do pospolitego dzielenia dwóch liczb.

W poprzednim przykładzie podzielone zostały…dwajednomiany! Wynika to z faktu, że jednomiany W(x)=213 i P(x)=4 są stopnia zerowego. Niech teraz podzielony zostanie Wielomian W(x)=x4-5x2-2x+10 przez wielomian P(x)=x2-x+2.

Uwaga! Ważne jest, że reszta jest zawsze mniejszego stopnia od stopnia wielomianu, przez który dzieli się go (gdyby reszta była większego stopnia od dzielnika to by znaczyło, że dzielenie nie zostało wykonane poprawnie).

W(x)=x4-5x2-2x+10 /\ P(x)=x2-x+2

x2

(x4-5x2-2x+10) : (x2-x+2)

(1) By podzielid wielomian W(x) przez wielomian P(x), dzieli się czynnik znajdujący się przy najwyższej potędze wielomianu W(x) przez czynnik znajdujący się przy najwyższej potędze wielomianu P(x), a wynik tego dzielenia zapisuje się nad kreską wynikową.Dzielenie x4 przez x2, daje wynik x2. Wynik ten zapisywany jest nad kreską wynikową.

W(x)=x4-5x2-2x+10 /\ P(x)=x2-x+2

x2

(x4-5x2-2x+10) : (x2-x+2)+ -x4+x3-2x2

A(x) x3-7x2-2x+10(2) Wynik dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) (x2) mnoży się przez każdy z czynników wielomianu P(x) odejmuje sięod wielomianu W(x), czego wynikiem jest wielomian A(x). Wykonywane jest więc pisemnie działanie: W(x)-[x2(x2-x+2)]=A(x)

.

W(x)=x4-5x2-2x+10 /\ P(x)=x2-x+2

x2+x (x4-5x2-2x+10) : (x2-x+2)

+ -x4+x3-2x2

A(x) x3-7x2-2x+10 (3) Jak widad, czynnik x4 skrócił się. Te czynniki, które nie skróciły się, zostają dodane i następnie przepisane pod kreskę odejmowania. Czynności opisane wcześniej powtarzają się po raz kolejny: czynnik znajdujący się przy najwyższej potędze otrzymanego wielomianu A(x) (x3) i dzieli się przez czynnik znajdujący się przy najwyższej potędze wielomianu P(x), (x2), czego wynikiem jest x. Wynik ten dodaje się do wyniku znajdującego się nad kreską wynikową.

W(x)=x4-5x2-2x+10 /\ P(x)=x2-x+2

x2+x (x4-5x2-2x+10) : (x2-x+2)-x4+x3-2x2

A(x) x3-7x2-2x+10+ -x3+x2-2x

B(x) -6x2-4x+10

(4) Wynik dzielenia wielomianu A(x) przez wielomian P(x) (x) mnoży się przez każdy z czynników wielomianu P(x) i odejmuje sięod wielomianu A(x), czego wynikiem jest wielomian B(x). Wykonywane jest więc pisemnie działanie: A(x)-[x(x2-x+2)]=B(x).

.

W(x)=x4-5x2-2x+10 /\ P(x)=x2-x+2

x2+x-6 (x4-5x2-2x+10) : (x2-x+2)-x4+x3-2x2

A(x) x3-7x2-2x+10-x3+x2-2x

B(x) -6x2-4x+10

(5) Jak widad, czynnik x3 skrócił się. Te czynniki, które nie skróciły się, zostają dodane i następnie przepisane pod kreskę odejmowania. Czynności opisane wcześniej powtarzają się po raz kolejny: czynnik znajdujący się przy najwyższej potędze otrzymanego wielomianu B(x) (-6x2) dzieli się przez czynnik znajdujący się przy najwyższej potędze wielomianu P(x) (x2), czego wynikiem jest -6. Wynik ten dodaje się do wyniku znajdującego się nad kreską wynikową.

W(x)=x4-5x2-2x+10 /\ P(x)=x2-x+2

x2+x-6 (x4-5x2-2x+10) : (x2-x+2)-x4+x3-2x2

A(x) x3-7x2-2x+10-x3+x2-2x

B(x) -6x2-4x+10+ 6x2-6x+12

C(x) -10x+22

(6) Wynik dzielenia wielomianu B(x) przez wielomian P(x) (-6) mnoży się przez każdy z czynników wielomianu P(x) i odejmuje się od wielomianu B(x), czego wynikiem jest wielomian C(x). Wykonywane jest więc pisemnie działanie: B(x)-[-6(x2-x+2)]=C(x).

.

W(x)=x4-5x2-2x+10 /\ P(x)=x2-x+2

x2+x-6 (x4-5x2-2x+10) : (x2-x+2)-x4+x3-2x2

A(x) x3-7x2-2x+10-x3+x2-2x

B(x) -6x2-4x+106x2-6x+12

C(x) -10x+22

(7) Otrzymany w ten sposób wielomian C(x) jest niższego stopnia niż wielomian P(x). W takim przypadku nie dzieli się on przez wielomian P(x). Dzielenie kooczy się, a wielomian C(x) staje się resztą.

(8) Otrzymany nad kreską wynikową wielomian jest wynikiem dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) i wynosi x2+x-6.

(9) By sprawdzid, czy dzielenie zostało wykonane prawidłowo, należy wynik pomnożyd przez dzielnik (wielomian P(x)) i dodad do całości resztę:

(x2+x-6)(x2-x+2)-10x+22=x4-x3+2x2+x3-x2+2x-6x2+6x-12-10x+22=x4-5x2-2x+10Dzielenie wykonane zostało więc poprawnie.Można więc zapisad wielomian W(x) w postaci:(x4-4x2-2x+10)=(x2-x+2)(x2+x-6)-10x+22

Inne przykłady: W1(x)=x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3 /\ P1(x)=x4-3x2+2W2(x)=2x7-3x6+4x4-x2+2x+4 /\ P2(x)= 2x5+x4-1

W1(x)/P1(x) W2(x)/P2(x)

x5 x2

(x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3):(x4-3x2+2) (2x7-3x6+4x4-x2+2x+4):(2x5+x4-1)

(1) Czynnik znajdujący się przy największej potędze wielomianu W(x) jest dzielony przez czynnik znajdujący się przy największej potędze wielomianu P(x). Wynik tego dzielenia zapisuje się nad kreską wynikową.

Inne przykłady: W1(x)=x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3 /\ P1(x)=x4-3x2+2W2(x)=2x7-3x6+4x4-x2+2x+4 /\ P2(x)= 2x5+x4-1

W1(x)/P1(x) W2(x)/P2(x)

x5 x2

(x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3):(x4-3x2+2) (2x7-3x6+4x4-x2+2x+4):(2x5+x4-1)+ -x9+3x7-2x5 + -2x7-x6+x2

A(x) -3x8+9x6-5x4+x3-x2+3x+3 -4x6+4x4+2x+4

(2) Otrzymany wcześniej wynik mnoży się przez każdy z czynników wielomianu P(x) odejmuje się od wielomianu W(x), czego wynikiem jest wielomian A(x).

Inne przykłady: W1(x)=x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3 /\ P1(x)=x4-3x2+2W2(x)=2x7-3x6+4x4-x2+2x+4 /\ P2(x)= 2x5+x4-1

W1(x)/P1(x) W2(x)/P2(x)

x5-3x4 x2-2x(x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3):(x4-3x2+2) (2x7-3x6+4x4-x2+2x+4):(2x5+x4-1)-x9+3x7-2x5 -2x7-x6+x2

A(x) -3x8+9x6-5x4+x3-x2+3x+3 -4x6+4x4+2x+4

(3) Czynnik znajdujący się przy największej potędze wielomianu A(x) jest dzielony przez czynnik znajdujący się przy największej potędze wielomianu P(x). Wynik tego dzielenia zapisuje się nad kreską wynikową.

Inne przykłady: W1(x)=x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3 /\ P1(x)=x4-3x2+2W2(x)=2x7-3x6+4x4-x2+2x+4 /\ P2(x)= 2x5+x4-1

W1(x)/P1(x) W2(x)/P2(x)

x5-3x4 x2-2x(x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3):(x4-3x2+2) (2x7-3x6+4x4-x2+2x+4):(2x5+x4-1)-x9+3x7-2x5 -2x7-x6+x2

A(x) -3x8+9x6-5x4+x3-x2+3x+3 -4x6+4x4+2x+4+ 3x8-9x6+6x4 + 4x6+2x5-2x

B(x) x4+x3-x2+3x+3 2x5+4x4+4

(4) Otrzymany wcześniej wynik mnoży się przez każdy z czynników wielomianu P(x) odejmuje się od wielomianu W(x), czego wynikiem jest wielomian B(x).

Inne przykłady: W1(x)=x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3 /\ P1(x)=x4-3x2+2W2(x)=2x7-3x6+4x4-x2+2x+4 /\ P2(x)= 2x5+x4-1

W1(x)/P1(x) W2(x)/P2(x)

x5-3x4+1 x2-2x+1(x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3):(x4-3x2+2) (2x7-3x6+4x4-x2+2x+4):(2x5+x4-1)-x9+3x7-2x5 -2x7-x6+x2

A(x) -3x8+9x6-5x4+x3-x2+3x+3 -4x6+4x4+2x+43x8-9x6+6x4 4x6+2x5-2x

B(x) x4+x3-x2+3x+3 2x5+4x4+4

(5) Czynnik znajdujący się przy największej potędze wielomianu B(x) jest dzielony przez czynnik znajdujący się przy największej potędze wielomianu P(x). Wynik tego dzielenia zapisuje się nad kreską wynikową.

Inne przykłady: W1(x)=x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3 /\ P1(x)=x4-3x2+2W2(x)=2x7-3x6+4x4-x2+2x+4 /\ P2(x)= 2x5+x4-1

W1(x)/P1(x) W2(x)/P2(x)

x5-3x4+1 x2-2x+1(x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3):(x4-3x2+2) (2x7-3x6+4x4-x2+2x+4):(2x5+x4-1)-x9+3x7-2x5 -2x7-x6+x2

A(x) -3x8+9x6-5x4+x3-x2+3x+3 -4x6+4x4+2x+43x8-9x6+6x4 4x6+2x5-2x

B(x) x4+x3-x2+3x+3 2x5+4x4+4+ -x4+3x2-2 + -2x5-x4+1

C(x) x3+2x2+3x+1 3x4+5

(6) Otrzymany wcześniej wynik mnoży się przez każdy z czynników wielomianu P(x) odejmuje się od wielomianu W(x), czego wynikiem jest wielomian C(x).

Inne przykłady: W1(x)=x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3 /\ P1(x)=x4-3x2+2W2(x)=2x7-3x6+4x4-x2+2x+4 /\ P2(x)= 2x5+x4-1

W1(x)/P1(x) W2(x)/P2(x)

x5-3x4+1 x2-2x+1(x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3):(x4-3x2+2) (2x7-3x6+4x4-x2+2x+4):(2x5+x4-1)-x9+3x7-2x5 -2x7-x6+x2

A(x) -3x8+9x6-5x4+x3-x2+3x+3 -4x6+4x4+2x+43x8-9x6+6x4 4x6+2x5-2x

B(x) x4+x3-x2+3x+3 2x5+4x4+4-x4+3x2-2 -2x5-x4+1

C(x) x3+2x2+3x+1 3x4+5

(7) Otrzymane wielomiany C(x) są stopni mniejszych niż stopieo dzielnika, więc dzielenie zostaje przerwane; wielomiany C(x), który w ten sposób powstały, określamy jako reszty z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x).(8) Wielomian znajdujący się nad kreską wynikową określany jest jako wynik z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x).

(9) Aby sprawdzid poprawnośd dzieleo, można wykonad działania:

(x5-3x4+1)(x4-3x2+2)+x3+2x2+3x+1= (x2-2x+1)(2x5+x4-1)+3x4+5= x9-3x7+2x5-3x8+9x6-6x4+x4-3x2+2+x3+2x2+3x+1= 2x7+x6-x2-4x6-2x5+2x+2x5+x4-1+3x4+5=x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3 2x7-3x6+4x4-x2+2x+4

Dziękuję za uwagę!

Recommended