Ecuaciones homogeneas

Ruíz Lozano Erik Ricardo

10310380

Son ecuaciones en las que se puede hacer un cambio de variable reduciéndolas para que resulte

una ecuación de variable separada.

Su forma Ordinaria es:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Existen dos formas de resolver las Ecuaciones Homogéneas;

• Por Inspección.

• Por la suma de los exponentes de cadatermino.

Formas de resolución

Consiste en convertir los términos de «x» y de «y» y resolver la ecuación usando las siguientes referencias:

M(tx, ty)

tn f(x, y)

N(tx, ty)

Método de Inspección

Si tuviéramos la siguiente ecuación;

F(x, y) = x - 3√(xy + 5y) *

Lo primero es sustituir los términos con «x» y «y»

por sus variables con «t» de la siguiente manera:

F(tx, ty) = tx - 3√(tx ty + 5ty)

* = toda la ecuación entre paréntesis está bajo la raíz cuadrada

Ejemplo

Ahora vemos si hay términos que podamos resolver y factorizar.

= tx - 3√(t^2 xy + 5ty)

Factorizamos los

dos términos «t» y

los multiplicamos.

Resolviendo la raíza quedaría;

= tx – 3t √(xy + 5ty

Ahora volvemos a factorizar toda la ecuación:

= t (x - 3√(xy + 5y))

Se puede notar que regresamos a la ecuación

original, cuando esto ocurre se dice que nuestra

ecuación es homogénea y el exponente en la letra

«t» nos indicará de que grado es nuestra ecuación.

x - 3√(xy + 5y)

Ecuación homogénea de primer grado

Este otro método es más sencillo pero requiere un poco más de visualización.

Supongamos que tenemos la siguiente ecuación:

F(x, y) = x2 + 2xy – (y3/x)

Método de Suma de exponentes

Vemos fácilmente que el primer término es de segundo grado.

F(x, y) = x2 + 2xy – (y3/x)

Para el segundo término vemos que es x por y, ambosde primer grado, al multiplicarlos los exponentes sesuman dejando este término también en segundogrado .

Finalmente el tercer término se ve que es una y a latercera potencia mientras que abajo hay una x, no sepueden dividir como tal pero sus exponentes si sepueden restar dejando esta parte hipotéticamente ensegundo grado.

Finalmente si sabemos que todos los términos son de segundo grado entonces nuestra ecuación es homogénea y por consiguiente también conocemos de que grado es:

F(x, y) = x2 + 2xy – (y3/x)

Ecuación homogénea de segundo grado

Ahora bien, lo anterior no es la resolución aún, es solo una forma de saber si la ecuación es homogénea y de que grado. Para resolverla podemos emplear un método en el que mezclemos la solución de las ecuaciones de variables separables;

y = ux dy = udx + xdu

x = uy dx = udy + ydu

u = x +y dy = du - dx

Resolución de Ecuaciones Homogéneas

Suponga que tiene la siguiente ecuación;

2x3ydx + (x4y4)dy = 0

Primero como en el ejemplo anterior verificamos si la ecuación es homogénea y de que grado es, la

manera más fácil es por la suma de sus exponentes:

2x3ydx + (x4 y4)dy = 0

3+1=4 4

La ecuación es homogénea de cuarto grado, podemos empezar. Lo primero es sustituir alguno de los términos, o «x» o «y», por las ecuaciones en «u», no es realmente importante cual de las dos sustituyamos en este momento;

2x3ydx + (x4 + y4)dy = 0

Sustituyendo las «x» en la ecuación nos quedaría:

2u3y3y(udx +ydu) + (u4y4 + y4)dy = 0

Resolviendo…

Vemos en la ecuación que hay muchos términos elevados a una potencia por lo que podemos resolverlos al multiplicarlos o dividirlos según nos convenga.

2u3y3y(udx +ydu) + (u4y4 + y4)dy = 0

2u3y4(udx +ydu) + y4(u4 + 1)dy = 0

En la primera parte multiplicamos los dos términos«y» mientras que en la segunda parte lafactorizamos.

Ahora que tenemos la ecuación así podemos ver que hay un término en común en las dos partes de la ecuación; la «y4» por lo que podemos dividir toda la ecuación entre este mismo término eliminándolo y haciendo nuestra ecuación más sencilla:

2u3y4(udx +ydu) + y4(u4 + 1)dy = 0

y4

2u3(udx +ydu) + (u4 + 1)dy = 0

Ahora creerás que ya no se puede hacer más pero no es así, viéndolo bien se puede ver que puedes multiplicar los diferenciales por cada término.

2u4dy + 2u3ydu + u4dy + dy = 0

Sumamos algebraicamente términos semejantes:

3u4dy + 2u3ydu + dy = 0

Factorizamos una última vez…

3u4dy + 2u3ydu + dy = 0

(3u4 + 1)dy +2u3ydu = 0

Y ahora colocamos los términos de «dy» de un ladoy los términos de «u» en otro (la técnica de variablesseparables);

(dy/y) + (2u3du/3u4+1)

∫(dy/y) + ∫(2u3du/3u4+1)

El primer término es simple de la manera du/u:

∫du/u = Ln |u| + C

∫dy/y = Ln |y| + C

A Integrar…

El segundo término quedaría es más complejo,quedaría;

(*) 2∫(u3du/3u4 + 1)

Donde:

m = 3u4 + 1

dm = 12u3du

(*) = sacamos el 2 como una constante

Nos hace falta un doce para completar la ecuación y nos damos cuenta de que la integral nos queda

también de la forma de du/u, entonces;

2/12 ∫dm/m

Simplificamos la ecuación y la unimos con la otra integral quedando como resultado.

Ln |y| + 1/6 Ln |3u4 + 1| = C

Ahora, este no es el resultado final, necesitamosconvertir los término en «u», usamos para estos lasecuaciones claves (*);

x = uy

u = x/y

Ln |y| + 1/6 Ln |3(x4/y4) + 1| = C

(*) = hay que recordar al momento de sustituir «u» que hay que sustituirla dela ecuación que tomamos, es decir si sustituimos «x» al inicio tenemos quedespejar la «u» de esta ecuación.

Resultado

Centro de Enseñanza Técnica Industrial

Ruíz Lozano Erik Ricardo

10310380

Aula 212

Ingeniería Mecatrónica

Ecuaciones Diferenciales

Profesor M.E. César Octavio Martínez Padilla