Ejercicio resuelto: Ecuación logarítmica

HKV TEXVictor Solano Mora

1Tema: Ecuaciones logarítmicas

Encuentra el conjunto solución de:

log2(5x + 2) − log2(x − 2) = 3

Solución:

Primero se aplica la propiedad de logaritmos que enuncia loga x − loga y = loga

x

y, entonces se obtiene:

log2 (5x + 2x − 2 ) = 3

Ahora aplicamos la definición de logaritmos para convertir en una exponencial, dice si loga x = y, enton-ces ay

= x, entonces se obtiene:

(5x + 2x − 2 ) = 23

Ahora resolvemos la potencia y multiplicamos por el denominador de la fracción en ambos lados de laigualdad:

(x − 2) (5x + 2x − 2 ) = 8(x − 2)

Resolvemos los productos:

5x + 2 = 8x − 16

5x − 8x = −16 − 2

−3x = −18

Despejando x y cancelando los signos negativos:

x =183

x = 6

Comprobando las soluciones para asegurarnos que no producen indeterminaciones:

log2 (5 ⋅ 6 + 2) = log2 (30 + 2) = log2 (32) = 5 si es un número real.

log2 (6 − 2) = log2(4) = 2 si es un número real.

Como solo produce números reales, se tiene que el conjunto solución corresponde a:

S = {6}