Estudos de Caso de Probabilidade - Prof.Dr. Nilo Sampaio

Estudos de Caso

ProbabilidadeAndré ArouchaBruno Andrade

Jamires VasconcellosMarcelo Santos

Thamiris AlmeidaThiago Figueiredo

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Prof. Dr. Nilo Sampaio

Estudos de Caso•Tempo de Operação

•Ganhar na Mega-Sena

•Probabilidade aplicada na genética

•Hipertensão

•Exercícios voltados para engenharia

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A probabilidade pode

ser descrita como umconceito matemático quepermite a quantificação daincerteza, permitindo que elaseja aferida, analisada eusada para a realização deprevisões ou para aorientação de intervenções.

Introdução

3

Tempo de Operação

4

Durante 30 dias foram medidos os tempos relativos a montagem do March. Os dados medidos seguem abaixo, em minutos:

Tempo da Operação

0,5 0,5 0,6 0,5 0,5 0,8

0,6 0,4 0,6 0,4 0,6 0,6

0,5 0,6 0,7 0,4 0,5 0,7

0,4 0,5 0,5 0,5 0,7 0,5

0,7 0,4 0,5 0,5 0,4 0,5

0,4 0,5 0,5 0,5 0,4 0,3

0,3 0,5 0,4 0,5 0,3 0,4

0,4 0,5 0,7 0,5 0,4 0,6

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,4 0,6 0,4 0,5 0,6

0,5 0,6 0,7 0,6 0,5 0,3

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Para calcular a probabilidade de o operador realizar a operação no tempo determinado utilizamos o gráfico de distribuição normal.

Quantidade de amostra: 66

Desvio padrão: 0,106524

Média: 0,506061

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Limite

inferior

Limite

SuperiorFrequência

Frequência

relativa

Média

dos

limites

PadronizaçãoDistribuição

normal padrão

0,3 0,4 18 0,2727 0,35 -1,4650 0,1364

0,5 0,6 36 0,5454 0,55 0,4124 0,3664

0,7 0,8 6 0,0909 0,75 2,28999 0,0289

7

Classe Calculado Real

0.3 - 0.4 0,136409261 0,272727273

0.5 - 0.6 0,366407132 0,545454545

0.7 - 0.8 0,028984724 0,090909091

8

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.3 - 0.4 0.5 - 0.6 0.7 - 0.8

GRÁFICO DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL X REAL

Real

Calculado

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Para calcularmos a probabilidade de uma pessoa ganhar na Mega-Sena usamos a fórmula da combinação simples. Essa fórmula nos mostra que uma pessoa com 2 reais tem 1 chance em 50.063.860.

Probabilidade de acerto na Mega-Sena

Quantidade Nº Jogados

Valor de Aposta

Probabilidade de acerto (1 em...)

Sena Quina Quadra

6 2,0050.063.86

0154.518 2.332

7 14,00 7.151.980 44.981 1.038

8 56,00 1.787.995 17.192 539

9 168,00 595.998 7.791 312

10 420,00 238.399 3.973 195

11 924,00 108.363 2.211 129

12 1.848,00 54.182 1.317 90

13 3.432,00 29.175 828 65

14 6.006,00 16.671 544 48

15 10.010,00 10.003 370 37

10

50063860

1

55

1

56

2

57

3

58

4

59

5

60

6

A probabilidade de ganhar na Mega-Sena é deuma em mais de 50 milhões de chances.

Isso significa que é 50 vezes mais fácil seratingido por um raio do que virar um milionário.

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Caso faça a aposta máxima de 15 números suachance é de:

10003

1

55

10

56

11

57

12

58

13

59

14

60

15

12

Gravidez de quíntuplos, a chance é de uma em 40 milhões.

Mais fácil que ganhar na Mega-Sena

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Probabilidade aplicada na genética

Um homem e uma mulher possuem pigmentaçãonormal. O homem é filho de um pai normal e uma mãealbina. A mulher é filha de uma mãe normal e um paialbino. Determine a probabilidade deles terem um filhoalbino do sexo masculino.

Homem Mulher

Aa X Aa

Gametas A a A a

Geração AA Aa Aa aa*

Probabilidade ¼ ¼ ¼ ¼

*Criança albina

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Probabilidade de criança albina: 1/4Probabilidade de criança sexo masculino: 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2

8

1

4

1

2

1

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Os eventos criança albina ecriança sexo masculino sãoindependentes, dessa forma temos quepara a criança ser albina e possuir osexo masculino a probabilidade é aseguinte:

ou 12,5%.

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Probabilidade e a 2ª Lei de Mendel

Mendel considerou a cor dasemente da ervilha, que pode seramarela ou verde, e a textura da cascada semente, que pode ser lisa ourugosa.

Plantas originadas de sementesamarelas e lisas, ambos traçosdominantes, foram cruzadas complantas originadas de sementes verdese rugosas, traços recessivos.

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A geração F2, obtida pela autofecundação dasplantas originadas das sementes de F1, era compostapor quatro tipos de sementes:

amarelo-lisas

amarelo-rugosas

verde-lisas

verde-rugosas

%75,1816

3

%25,5616

9

%75,1816

3

%25,616

1

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Com isso, Mendelaventou a hipótese de que,na formação dos gametas,os alelos para a cor dasemente (Vv) segregam-seindependentemente dosalelos que condicionam aforma da semente (Rr).

Mendel concluiu quea segregação independentedos fatores para duas oumais características era umprincípio geral, constituindoa segunda lei da herança.

Segundo a SBH (Sociedade Brasileira de Hipertensão), 5% das crianças e adolescentes, 25% dos adultos e 50% dos idosos têm pressão alta.

Hipertensão

Faixa Etária Hipertensos Não Hipertensos Total

0 a 18 anos(jovens)

2,985 56,715 59,7

19 a 59 anos(adultos)

27,625 82,875 110,5

60 anos ou mais(idosos)

10,3 10,3 20,6

Total 40,91 149,89 190,8

Dados Relativos à Distribuição de Brasileiros

Hipertensos e Não Hipertensos (em milhões)

Qual a probabilidade de um brasileiro escolhido ao acaso ser jovem e hipertenso? E dele ser adulto e hipertenso? E de ser idoso e hipertenso?

Probabilidade de Ser Jovem e Hipertenso

1º- probabilidade de ser jovem:

2º- probabilidade de um jovem escolhido ao acaso

ser Hipertenso: (dado da estatística)

Probabilidade de Ser Adulto e Hipertenso

1º- probabilidade de ser adulto:

2º- probabilidade de um adulto escolhido ao acaso

ser Hipertenso: (dado da estatística)

Probabilidade de Ser Idoso e Hipertenso

1º- probabilidade de ser adulto:

2º- probabilidade de um idoso escolhido ao acaso

ser Hipertenso: (dado da estatística)

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Exercícios voltados para engenharia

Um lote com 1000 peças foi recebido na

empresa e sabe-se que este tem 200 defeituosas. Sefor retirada (com reposição) uma amostra de 10peças, qual a chance de obter uma defeituosa?

•Distribuição binomial

Destina-se a produtos descontínuos. É umadistribuição discreta do número de sucessos numasequência de n tentativas tais que as tentativas sãoindependentes; cada tentativa resulta apenas em duaspossibilidades, sucesso ou fracasso.

911,10 )2,01()2,0()1( CxP

27,0)8,0(2,010)1( 9xP

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Probabilidade de x sucessos em n ensaios.

onde:n=número de tentativasX=número de sucessoP=possibilidade de sucessoD= defeitos

Distribuição de Poisson

Distribuição discreta para produtoscontínuos, aplicável às ocorrências de um evento emum intervalo especificado.

Fórmula:

P(X=x) = eλt . (λt)x

x!Onde:E = número de Euler (2,72);λ = frequência média de sucessos;t= intervalo de observação.

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Exemplos de aplicação

• Usuários de computador ligados à Internet;

• Clientes chegando ao caixa de um supermercado;

• Acidentes com automóveis em uma determinadaestrada;

• Número de carros que chegam a um posto de gasolina;

• Número de falhas em componentes por unidade detempo;

• Número de requisições para um servidor em umintervalo de tempo t;

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Ocorrências que satisfazem a

distribuição de Poisson:

• O número de ocorrências de um evento em um intervalode tempo (espaço) são independentes umas das outras;

• A probabilidade de duas ou mais ocorrênciassimultâneas é praticamente zero;

• O número médio de ocorrências por unidade de tempo(espaço) é constante ao longo do tempo (espaço);

• O número de ocorrências durante qualquer intervalodepende somente da duração ou tamanho do intervalo;quanto maior o intervalo, maior o número de ocorrências;

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• A BINOMIAL é afetada pelo tamanho da amostra n e pelaprobabilidade p, enquanto a POISSON é afetada apenaspela taxa de ocorrência (média) λ;

• Em uma BINOMIAL, os valores possíveis da variávelaleatória X são 0, 1, 2, ..., n (limite máximo), enquanto queem uma POISSON os valores possíveis de X são 0,1,2,3 ...(sem limite superior).

Distribuição de Poisson difere da

Distribuição Binomial em dois aspectos:

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Na laminação de aço, em média ocorrem 0,75defeitos/m². Qual é a probabilidade de em 10 m²ocorrerem exatamente 10 defeitos?

!10

1063,5105,5

!10

)5,7()10(

94105,7exP

085,0!10

10097,3)10(

5

xP

ou 8,5%

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32

Nesse trabalho vimos que a probabilidade está

presente em diversas situações que envolvem resultadospossíveis (espaço amostral) e resultados favoráveis(eventos).

O trabalho contribui para reforçar a matéria dadaem sala, com aplicações práticas em atividades quefazem parte do nosso cotidiano.

Conclusão

Bibliografia

• <http://www.brasilescola.com/matematica/probabilidade-genetica.htm>. Acesso em 14 de Out de 2013.

• http://www.sobiologia.com.br/conteudos/Genetica/2leidemendel.php

• http://www.insa.gov.br/censosab/images/stories/censo/tabelaspng/5.9.png

• http://www.sbh.org.br/geral/oque-e-hipertensao.asp

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