Funciones matemáticas

FUNCIONES MATEMÁTICAS

CONCEPTO:

• Aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática)

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN:

• El dominio de definición de una función f:X→Y se define como el conjunto X de todos los elementos x para los cuales la función f asocia algún y perteneciente al conjunto.

CODOMINIO DE UNA FUNCIÓN:

• El codominio también denominado conjunto de llegada o intervalo. Codominio es el conjunto de números que podrían ser solución de la función de un número del dominio, sin embargo no todos los números del codominio son resultados de una función dada.

FUNCIÓN INYECTIVA

• Una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

• Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

FUNCIÓN BIYECTIVA

Una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.Una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva

• Teorema Si es una función biyectiva, entonces su

función inversa existe y también es biyectiva.EjemploLa función es biyectiva.Luego, su inversa también lo es.

FUNCIÓN SOBREYECTIVA

Una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

EJEMPLOS DE FUNCIONES

• EJEMPLO 1 : Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: f(x) = x2 – 2• Asignando valores a "x" y representándolos en la

tabla resulta:  x  -3  -2 -1  0 1  2  3

 f(x) 5  2  -1  -2  -1  2  5

:Donde su gráfica será

• EJEMPLO 2: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x3. • Asignando valores a "x" y representándolos en la

tabla resulta:  x  -3  -2 -1  0 1  2  3

 f(x) 28  9  2  1  0  -7  -26

• Una función es inyectiva si a cada elemento del rango o imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino.• Ejemplo 1:Sea A={1,2,3} B={1,2,3};   f: A.B: f={(1,2), (2,1), (3,3)}Es decir, gráficamente queda:Nótese que cada elemento delconjunto B recibe solamente una línea.

•Ejemplo 2. Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: A.B: f={(1,2), (2,1), (3,2)}(solo se cambio el número indicado en rojo) Gráficamente:

•Hay un elemento de B (el número 2) que recibe dos flechas o líneas, por lo tanto•NO ES INYECTIVA.

• Ejemplo 3. • Para la siguiente función: f(x) = y = x-1.  A cada

elemento del domino se le relaciona en la función con UN elemento de la imagen

• Por lo tanto ES INYECTIVA.• NOTA: El domino y la imagen son todos los reales,

• Ejemplo 4. • Si la función fuera parábola, f(x)=x2 como la que se

muestra a continuación:

• Hay elementos en el domino que se le asigna el mismo valor de la imagen; por ejemplo la pareja de valores P1(2,4) tiene el mismo valor de la imagen 4; que el punto P2(-2,4). Por lo tanto la función

NO ES INYECTIVA.NOTA: Ahora el domino y la imagen son diferentes