Jenis dan operasi matriks

1

Jenis dan Operasi MatriksPertemuan 01

Matakuliah : K0034 - Aljabar Linear Terapan

Tahun : 2007

2

Jenis dan Operasi Matriks

Pengertian

Matriks merupakan

Suatu alat atau sarana yang sangat ampuh untuk menyelesaikan model-model linier.

Definisi Matriks adalah

Susunan empat persegi panjang atau bujur sangkar dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau [ ]

3

Bentuk Umum:

Elemen matriks : aij

Susunan bilangan atau nilai aij {bilangan real atau kompleks}

Ukuran matriks :• Jumlah baris : m• Jumlah kolom : n• Ordo atau ukuran matriks : m x n

• Elemen-elemen diagonal : a11, a22,….,ann

mn 3 2 m1

2n23 22 21

1n 13 12 11

a

.. .. .. .. ..

.. a

a..aa

aaa

a..aaa

mm

4

Contoh:

Notasi matriks, menggunakan huruf besar (kapital)

Kesamaan matriksMatriks A = (aij) B = (bij)

A = B jika aij = bij untuk semua i = 1, 2 .. m dan j = 1, 2,...n

6213

7410

6532

43xAMatriks

5

Contoh:

A = B

A C (ukurannya tidak sama)

Matriks A dan Matriks B disebut sama, bila• Ordo-ordonya sama• Elemen-elemen yang seletak sama

143

021

43

21

43

21CBA

6

Bentuk Matriks Khusus1. Matriks bujur sangkar

Suatu matriks dimana jumlah baris = jumlah kolom

A : matriks bujur sangkar berukuran n x n

Diagonal utama A : a11, a22, ….., ann

Contoh :

nn 2 n1

2n22 21

1n 12 11

..

.. .. .. ..

..

..

aaa

aaa

aaa

A

n

527

641

235

12

343322 xx AA

7

2. Matriks Diagonal :Matriks bujur sangkar dimana elemen-elemen pada diagonal utamanya tidak semua elemennya nol, sedangkan unsur-unsur yang lain adalah nolContoh :

000

000

002

,

300

020

005

8

3.Matriks Satuan (Matriks Identitas) :

Matriks bujur sangkar di mana elemen-elemen pada diagonal utamanya masing-masing adalah satu, sedangkan elemen-elemen yang lain adalah nol.

Contoh:

100

010

001

,1 0

0 13 2 II

9

4. Matriks SingularMatriks bujur sangkar yang tidak mempunyai invers (berarti : nilai determinannya = 0)

5. Matriks Non SingularMatriks bujur sangkar yang mempunyai invers (berarti: nilai determinannya 0)

6. Matriks TransposeBila matriks A berordo mxn, maka At

(Transpose Derit) berordo nxm dengan elemen baris ke I dan kolom ke j dari A1 adalah elemen baris ke j dan kolom ke I dari A

10

7. Matriks Simetris

Matriks bujur sangkar dimana diagonal utamanya berfungsi sebagai cermin atau refleksi (At = A).

Contoh :

3 4 6

4 7 1

6 1 5

:

75

83

42

,784

532

33

1

xA

AmakaA

11

8.Matriks Idempotent

Matriks bujur sangkar dimana berlaku A2 = A atau An = A untuk suatu n, bila n = 2, 3, 4,….

Contoh:

AAAA

A

321

431

422

321

431

422

321

431

422

.

321

431

422

2

12

Program MAPLEnya:

# A = Matriks Idempotent, sehingga A2 = A

> Restart:

> A:=matriks([[2,-2,-4], [-1,3,4], [1,-2,-3]])

> C: = evalm (A&*A);

321

431

422

:

A

321

431

422

:

C

13

9. Matriks Nilpotent

Matriks bujur sangkar dimana berlaku A3 = 0 atau An = 0 untuk suatu n, bila n = 2, 3, 4,…..

Contoh:

Matriks nilpotent dari ordo 3 x 3

0

000

000

000

312

625

311

312

625

311

312

625

311

312

625

311

3

AAAA

A

14

Program MAPLEnya:

# Matriks Nilpotent, sehingga

> Restart

> A:=matriks([[1,1,3],[5,2,6],[-2,-1,-3]]);

> evalm(A&*A*A);

312

625

311

:

A

000

000

000

:A

15

10.Matriks Nol: adalah matriks di mana semua unsur nilainya nol

11.Matriks Identitas:

100

010

001

10

01

33

22

x

x

I

I

16

Sifat Matriks Identitas dan Matriks Nol

Jika A = matriks berukuran n x n

I . A = A . I = A

A + 0 = 0 + A = A

A . 0 = 0 . A = 0

12. Matriks Segitiga (Triangular Matrix)

Matriks segitiga atas:

Matriks bujur sangkar, apabila setiap unsur yang terletak di bawah diagonal utamanya sama dengan nol

Contoh:

33

2322

13 12 11

33

a 0 0

a a 0

aaa

xA

17

Matriks Segitiga Bawah

Matriks bujur sangkar dimana setiap unsurnya yang terletak diatas diagonal utamanya sama dengan nol

Contoh:

B x3 3

32

0

=

b 0

b b 0

b b b

11

21 22

31 33

18

Operasi Aljabar Matriks

Penjumlahan dua matriks

A + B = (aij + bij)

A – B = (aij – bij)

Syarat penjumlahan dua matriks atau pengurangan dua matriks adalah mempunyai ordo yang sama

Contoh:

6129

111311

291

476

438

765C

BACMaka

291

476Bdan

438

765ADiketahui

2x3

2x32x32x3

2x32x3

19

Program MAPLEnya:

# Penjumlahan Dua Matriks

> restart;

> A:=matrix([[5,6,7],[8,3,4]]);

> A:= matrikx(2,3,[5,6,7,8,3,4]);

438

765

:A

438

765

20

> B:=matrix(2,3,[6,7,4,1,9,2]);

> C:=evalm(A+B);

291

476

:B

6129

111311

:C

21

Soal Latihan

Tentukan penjumlahan Dua Matriks dibawah ini!

22

23

24

25

Syarat:Setiap baris pada matriks harus dikalikan pada setiap kolom pada matriks kedua. Banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua

26

2358

202222xC

504

231

:A

Program MAPLEnya:# Perkalian Dua Matriks> restart;> A:=matrix(2,3,[1,3,2,4,0,5]);

> B:=matrix(3,2,[7,2,1,4,6,3]);

36

41

27

:B

27

28

29

30