Ley de gauss clase 2

Ley de GaussClase 2

Ley de Gauss

Este ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que resultan dedistribuciones simétricas de la carga, tales como una corteza esférica o una líneainfinita.

Además se entiende por superficie cerrada aquella que divide el espacio en dosregiones diferentes, la interior y la exterior a dicha superficie como se denota acontinuación.

Ley de Gauss

Dipolo eléctrico encerrado en unasuperficie de forma arbitraria. Elnumero de líneas que abandonanla superficie es exactamente igualal número de líneas que entran enella sin que importe donde sedibuje la superficie, siempre que seencierren dentro de ella ambascargas del dipolo.

Ley de Gauss

Para superficies que encierran otrasdistribuciones de carga, como elque se muestra en la figura, elnumero neto de líneas que sale porcualquier superficie que encierralas cargas es proporcional a lacarga encerrada dentro de dichasuperficie. Este es un enunciadocualitativo de la ley de Gauss.

Ley de Gauss

Nota. Para contar el numero neto de líneas que salen de la superficie, cuéntesecualquier línea que cruce desde el interior como +1 y cualquier penetración desdeel exterior como -1. Así pues para la superficie indicada el balance total de laslíneas que cruzan al superficie es cero.

Flujo eléctrico

Las unidades del flujo son 𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶 . Como el campo eléctrico es proporcional alnúmero de líneas por unidad de área, el flujo eléctrico es proporcional a númerode líneas de campo que atraviesan el área.

Líneas de campo correspondientes aun campo eléctrico uniforme que Eque atraviesa un área A perpendicular

al campo. El producto EA es el flujo 𝜙 através del área.

EA A

E

Flujo eléctrico

Líneas de campo correspondientes a un campo eléctrico uniforme

perpendicular al área 𝐴1 , pero que forma un ángulo 𝜃 con el vectorunitario 𝑛 normal al área 𝐴2 . Cuando E no es perpendicular al área es𝐸𝑛𝐴, siendo 𝐸𝑛 = 𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃 la componente de E perpendicular al área. El flujoque atraviesa 𝐴2 es el mismo que pasa por 𝐴1

$n

E1A

2A2 1cosA A

La superficie del área 𝐴2 no es perpendicular al campo eléctricoE. Sin embargo, el numero de líneas que atraviesan el área 𝐴2

es el mismo que atraviesa el área 𝐴1, que es perpendicular a E.Las áreas están relacionadas por : 𝐴2𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐴1

Flujo eléctrico

En donde 𝜃 es el ángulo existente entre E y el vector unitario 𝑛 perpendicular a lasuperficie 𝐴2. Por lo tanto el flujo de una superficie viene definido por :

En donde 𝐸𝑛 = 𝐸 ∙ 𝑛 es la componente de E perpendicular, o normal, a lasuperficie.

$ cos nE nA EA E A

Flujo eléctrico

La figura siguiente muestra una superficie de forma arbitraria sobre el cual el campo E puedevariar.

iA

$in

ESi el área ∆𝐴𝑖 del elemento de área que elegimoses suficientemente pequeño podemosconsiderarle como un plano y la variación delcampo eléctrico a través del elemento puededespreciarse. Por lo tanto el flujo eléctrico a travésde ese elemento es:

$ $0

lim

Definición de flujo electrico

i

ii iA

i S

E n A E ndA

Enunciado cuantitativo de la Ley de Gauss

La siguiente figura muestra una superficie esférica de radio 𝑅 con su centro en la carga puntual 𝑄.El campo eléctrico en un punto cualquiera de la superficie perpendicular a la superficie se denotade la siguiente manera:

2n

kQE

R

Una superficie esférica puntual que incluye

la carga puntual 𝑄. (a) El mismo numero delíneas de campo eléctrico que pasa a

través de esta superficie que incluya 𝑄. (b)El flujo se calcula fácilmente para unasuperficie esférica. Es igual al producto de

𝐸𝑛 por el área superficial, es decir 𝐸𝑛4𝜋𝑅2

Enunciado cuantitativo de la Ley de Gauss

Por lo tanto el flujo neto de E a través de esta superficie esférica es:

𝜙𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑆 𝐸𝑛 𝑑𝐴 = 𝐸𝑛 𝑆 𝑑𝐴

En donde 𝐸𝑛 puede salir de la integral por ser constante en todos los puntos. Laintegral de 𝑑𝐴 extendida a toda la superficie es precisamente el área total, igual a4𝜋𝑅2. Con este valor y sustituyendo 𝑘𝑄/𝑅2 por 𝐸𝑛 se obtiene:

𝜙𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑆 𝐸𝑛𝑑𝐴 = 4𝜋𝑘𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

Enunciado cuantitativo de la Ley de Gauss

Por lo tanto el flujo neto a través de cualquier superficie es igual a 4𝜋𝑘 veces lacarga neta dentro de la superficie.:

𝜙𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑆 𝐸𝑛𝑑𝐴 = 4𝜋𝑘𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

Esta propiedad del campo eléctrico es la que ha hecho posible dibujar un numerofijo de líneas de fuerza desde una carga y conseguir que la densidad de líneas se aproporcional a la intensidad del campo.

Enunciado cuantitativo de la Ley de Gauss

Es costumbre escribir la constante de Coulomb 𝑘 en función de otra constante 𝜖0,denominada permitividad del espacio libre (permitividad del vacío):

Por lo tanto el valor de 𝜀0 en unidades del SI es0

1

4k

12 2 2

0 9 2 2

1 18.85 10 /

4 4 8.99 10 /C N m

K N m C

Por lo tanto al ley de Gauss es válida para todas las superficies y distribuciones decarga. Puede utilizarse para calcular el campo eléctrico en algunas distribucionesespaciales de carga con altos grados de simetría. En los campos eléctricos queresultan de distribuciones de carga estática, la ley de Gauss y la ley de Coulombson equivalentes. Sin embargo la ley de Gauss es mas general, pues también puedeaplicarse a distribuciones de carga no estáticas.

Por lo tanto utilizaremos que

𝜙𝐸 = 𝐸𝑟 ∙ 𝑑𝐴 =𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎

𝜀0

Problemas

Problema 1

Cuando se mide el campo eléctrico en cualquier parte sobre la superficie de uncascarón esférico delgado con 0.750 m de radio, se ve que es igual a 890 N/C yapunta radialmente hacia el centro de la esfera? a) ¿Cuál es la carga neta dentro dela superficie de la esfera? b) ¿Qué puede concluir acerca de la naturaleza ydistribución de la carga dentro del cascarón esférico?

Problemas

Solución inciso a

De acuerdo a la siguiente figura tenemos que:

rE

rE

rE

rE

rE

rE

rE

rE rE

r Datos𝐸𝑟 = 890𝑁/𝐶𝑟 = 0.750 𝑚

Problemas

Por la ley de Gauss tenemos:

𝜙𝐸 = 𝐸𝑟 ∙ 𝑑𝐴 = 𝐸𝑟 ∙ 𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠 180° =𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎

𝜀0⇒

⟹ −𝐸𝑟 𝑑𝐴 =𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎

𝜀0

⟹ − 890 4𝜋 0.750 2 =𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎

8.85×10−12

∴ 𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎 = −55.7 × 10−9 = −55.7𝑛𝐶

Problemas

Solución Inciso b

Que la carga neta que actúa dentro de la superficie de la esfera esta cargadanegativamente.

Problemas

Problema 2

Cuatro superficies cerradas, 𝑆1 𝑎 𝑆4, junto con las cargas −2𝑄, 𝑄 𝑦 − 𝑄 se dibujanen la siguiente figura. Encuentre el flujo eléctrico a través de cada superficie.

Problemas

Solución

Nos piden: 𝜙𝐸 a través de cada superficie = ?

𝜙𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆1 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎

𝜀0

por la ley de Gauss

∴ 𝜙𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆1 =−2𝑄+𝑄

𝜀0=

−𝑄

𝜀0

Problemas

Solución

Nos piden: 𝜙𝐸 a través de cada superficie = ?

𝜙𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆2 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎

𝜀0

por la ley de Gauss

∴ 𝜙𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆2 =+𝑄−𝑄

𝜀0= 0

Problemas

Solución

Nos piden: 𝜙𝐸 a través de cada superficie = ?

𝜙𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆3 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎

𝜀0

por la ley de Gauss

∴ 𝜙𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆3 =−2𝑄+𝑄−𝑄

𝜀0=

−2𝑄

𝜀0

Problemas

Solución

Nos piden: 𝜙𝐸 a través de cada superficie = ?

𝜙𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆4 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎

𝜀0

por la ley de Gauss

∴ 𝜙𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆4 =0

𝜀0= 0

Problemas

Problema 3

Consideremos un campo eléctrico uniforme 𝐸 = 2𝑘𝑁/𝐶 𝑖. (a) ¿Cuál es el flujo deeste campo que atraviesa un cuadrado de 10 cm de lado cuyo plano es paralelo al

plano 𝑦𝑧? (b) ¿Cual es el flujo que atraviesa el mismo cuadrado si la normal a suplano forma un ángulo de 30° con el eje 𝑥?

Problemas

Solución inciso a

La definición del campo eléctrico es 𝜙 = 𝑆 𝐸 ∙ 𝑛𝑑𝐴. Nosotros podemos aplicaresta definición para encontrar el flujo eléctrico.

Por lo tanto aplicando esta definición tenemos que:

𝜙 = 𝑆 2𝑘𝑁/𝐶 𝑖 ∙ 𝑖𝑑𝐴 = 2𝑘𝑁/𝐶 𝑆 𝑑𝐴

𝜙 = 2𝑘𝑁/𝐶 0.1𝑚 2 = 20𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶

𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦𝑧

𝐿 = 10𝑐𝑚𝑥

𝑦

𝑧

Problemas

Solución inciso b

Procedemos de la misma forma que el inciso a, tenemos que:

𝑖 ∙ 𝑛 = 𝑐𝑜𝑠30°

𝜙 = 𝑆 2𝑘𝑁/𝐶 𝑖 ∙ 𝑛𝑑𝐴 =2𝑘𝑁

𝐶𝑐𝑜𝑠30°𝑑𝐴

𝜙 = 2𝑘𝑁/𝐶 0.1𝑚 2𝑐𝑜𝑠30° = 17.3𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦𝑧

𝐿 = 10𝑐𝑚𝑥

𝑦

𝑧