View
1.674
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
Módulo 1: Métodos de Prova de Teoremas
•UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
•CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA
•DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO
•Professor Ulrich Schiel
•UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
•CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA
•DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO
•Professor Ulrich Schiel
•UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
•CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA
•DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO
•Professor Ulrich Schiel
Prova
• Filosofia (silogismo)
• Direito (elemento de convicção ao julgamento)
• Lógica (Linguagem, Axiomas, Regras de Dedução)
• Matemática (comprovar uma conjectura a partir de axiomas e regras)
É um procedimento sistemático de determinar a veracidade de um novo fato a partir de fatos conhecidos
Métodos de Prova de Teoremas
Teoremas matemáticos são expressos, geralmente, na forma:
“Se P então Q”
onde P e Q representam sentenças simples ou compostas.
Exemplos:
• Se A B, então A B = A• Se um número inteiro é divisível por 6, então ele é
divisível também por 3• Se x é primo e maior que 2 então x é ímpar.
Teorema = Conjectura + Prova
Provar/demonstrar a conjectura (“se P então Q”) é
deduzir/inferir Q (conclusão/tese) a partir de P
(hipótese/premissa) usando axiomas e regras da lógica
e conhecimento específico sobre o assunto ou domínio.
Uma conjectura passa a se chamar um teorema depois
de provada.
• Conjectura: (se P então Q)• Tese: Q• Hipótese: P
Teoria
a partir de axiomas e teoremas aplica-se regras de dedução para obter novos teoremas.
• Linguagem: (fórmulas bem formadas)• Axiomas: [(x=y e P(x)) então P(y) - substituição]• Regras de dedução: (modus ponens)
Prova: Abordagens
Negar (refutar) ou Demonstrar (provar)
Negar (refutar):
Procurar um exemplo (contra-exemplo) no qual P é verdadeiro e Q é falso
Exemplos:
• Todo inteiro menor que 10 é maior que 5
– Reescrevendo:
– Se um inteiro é menor que 10, então ele é maior que 5.• contra-exemplo: 3
• A soma de quaisquer três inteiros consecutivos é par.
• contra-exemplo: 2+3+4 é ímpar.
Refutação
• Assumir a conjectura e chegar a um absurdo
• Encontrar um contra-exemplo.
Refutação
• Um único contra-exemplo é suficiente para se refutar a conjectura
• procurar um contra-exemplo e não achá-lo não constitui prova de que a conjectura é verdadeira
• ainda que um simples contra-exemplo seja suficiente para refutar a conjectura, muitos exemplos não provam a suposição. Eles simplesmente fortalecem sua inclinação a procurar uma demonstração.
• (única exceção quando se está fazendo uma asserção sobre uma coleção finita) – Exemplo: “entre 20 e 30 só existem dois números primos”
Demonstrar/Provar
Demonstração direta: “Se P, então Q”
• Assume-se a hipótese P como verdadeira e procura-
se deduzir a tese Q
Exemplo:
Se um inteiro é divisível por 6 então ele também é divisível por 3
Se um inteiro é divisível por 6 então ele é também divisível por 3
HípóteseHípótese: x é divisível por 6
1. x = 6.k , para algum inteiro k (definição de divisibilidade)
2. 6 = 2.3 (fato numérico)
3. x =(2.3). k (substituição (2) em (1))
4. x = (3.2). k (comutatividade do produto)
5. x = 3.(2.k) (associatividade do produto)
6. 2.k é inteiro (propriedade dos inteiros)
7. x = 3.m , para o inteiro m = 2.k
ConclusãoConclusão: x é divisível por 3 (definição de divisibilidade)
Se um inteiro é divisível por 6 então duas vezes o inteiro é divisível por 4
HípóteseHípótese: x é divisível por 6
• x = k.6 , para algum inteiro k (definição de divisibilidade)
• 2.x = 2.k.6 (se x=y então kx=ky)
• 2x = k.2.6 (comutatividade)
• 2x = k.12 (fato numérico)
• 2x = k.3.4 (fato numérico)
• 2x = m.4 , para inteiro m igual a k.3
ConclusãoConclusão: 2x é divisível por 4 (definição de divisibilidade)
O produto de dois pares é par
Se x e y são pares, então x.y é par.
• Hípótese: x e y são pares• x = 2m , para algum inteiro m (definição de par)• y = 2n , para algum inteiro n ( “ “ )• x.y = 2m.2n• x.y = 2.(m.2n) (associatividade)• x.y = 2.k , onde k é inteiro igual a 2mn• Conclusão: x.y é par.
Se AB então AB = A
Hipótese: AB• PARTE 1: A AB
– Para todo x A, temos x B (hipótese)– Mas, x A & x B x A B (definição de )– Logo A AB (definição de )
• PARTE 2: AB A– Para todo x AB– Então x A (definição de )– Então AB A (definição de )
• Tese: AB = A.
• definição: X = Y def X Y e Y X
Dupla implicação
Teoremas são, às vezes, enunciados na forma:
“P se, e somente, Q”
significando:
“Se P, então Q” e “Se Q, então P”
Para se provar um teorema dessa forma deve-se provar tanto uma quanto outra implicação.
Exemplo: x < y se, e somente se, x2 < y2.
x < y se, e somente se, x2 < y2
Se x < y então x2 < y2
• Hipótese: x < y• y = x + k , para algum inteiro positivo k (hipótese)• y2 = (x + k)2 (fato numérico)• y2 = x2 + 2xk + k2 (fato numérico)• y2 > x2
• Conclusão: x2 < y2
Se x2 < y2 então x < y • Hipótese: x2 < y2 • y2 = x2 + k• y = (x2 + k)½ > (x2)½ = x• Conclusão: x < y
O que acontece com x = -2 e y = 1 ???
Demonstrar/Provar
Demonstração por contraposição: “Se P então Q”
Provar “se não Q então não P” é provar “Se P então Q”
Exemplo:
Se um inteiro é divisível por 6 então ele também é divisível por 3
Contrapositiva:
Se um inteiro não é divisível por 3 então ele também não é divisível por 6.
Se um inteiro não é divisível por 3 então ele também não é divisível por 6
• Hipótese: x não é divisível por 3.
• x k.3 , p/ todo inteiro k (negação de divisibilidade)
• x (2.d).3 , para todo inteiro d (já que 2.d é inteiro)
• x d.(2.3) , para todo inteiro d (associatividade da multipl.)
• x d.6, para todo inteiro d (fato numérico)
• Conclusão: x não é divisível por 6.
• Exercício: Se o quadrado de um número é ímpar, então o número também é ímpar.
xy é ímpar se e somente se x e y são ímpares
Se x e y são ímpares então xy é ímpar• Hipótese: x e y são ímpares• x = 2n + 1 e y = 2m + 1, p/ m e n inteiros • xy = 2.(2nm+m+n) + 1• Conclusão: xy é ímpar.
Se xy é ímpar então x e y são ímpares
• Vamos provar essa parte por contraposição
Se xy é ímpar então x e y são ímpares
• Se x ou y não é ímpar então xy não é ímpar• Hípóteses:
- x é par e y é par ou - x é par e y é ímpar ou- x é ímpar e y é par
• x é par e y é par• Conclusão: x.y é par (já provado)• x é par e y é ímpar• x = 2m e y = 2n + 1, p/ m e n inteiros• xy = 2.(2mn + m)• Conclusão: xy é par.
Demonstrar/Provar
Ex.: Se um número somado a ele próprio resulta no próprio número, então ele é igual a zero.
• Hipótese:x + x = x Tese: x=0• Negação da tese: x 0• 2.x = x (hipótese e x + x = 2.x)• 2.x/x = x/x (pois x 0)• 2 = 1 Absurdo• Conclusão: x = 0.
Demonstração por contradição ou por absurdo: “Se P, então Q”Assumir “P Q” é provar “Se P então Q”
“Existem infinitos números primos”
Refutar: o número de primos é finito
• Sejam p1, p2, ..., pn todos os primos
• Seja agora k = p1 x p2 x ..., x pn + 1
• k não é divisível por nenhum pi, pois sempre resta 1
• Como todo primo é um inteiro maior que 0, k > pn
• Logo k é primo e maior que todos os outros• CONTRADIÇÃO
2½ não é um número racional
Def.: um número racional é um número que pode ser escrito na forma p/q onde p e q são inteiros, tal que p e q não têm fatores comuns além da unidade.
Por contraposição:
• Negação da tese: 2½ é racional • 2½ = p/q com p e q primos entre si (definição)• 2 = p2/q2
• 2q2 = p2
• 2 divide p2
• p2 é par• p é par (p é par – teorema anterior)• 2 divide p
2½ não é um número racional
• 4 é um fator de p2 (2 divide p)• 2q2 = p2 (já estabelecido)• 2q2 = 4k (4 é um fator de p2)• q2 = 2k• 2 divide q2 • 2 divide q
• Conclusão: 2 divide tanto de p quanto de q, contrariando a suposição inicial que p e q não tem fatores comuns além da unidade (2½ = p/q é racional)
Exercício
1) Dado uma conjectura
1. P Q, a negação de P é denotada por ~P, chamamos
2. ~Q ~P de contrapositiva
3. Q P de recíproca
4. ~P ~Q de condicional inverso
a) Quais são equivalentes?
b) Dado “Todo número par entre 4 e 12 é uma soma de dois primos”, Identifique P e Q e dê suas contrapositivas, recíprocas e condicional inverso e mostre quais são teoremas.
2) Prove que “se x é positivo então x+1 é positivo”
a) por contraposição
b) por contradição (absurdo)
Demonstrar/Provar - Princípio da Indução Finita
Demonstração por indução:
“Todo inteiro positivo x tem a propriedade P”
nP(n)
Se pudermos mostrar que:
1. P(1) é verdadeiro, ou seja, 1 tem a propriedade;
2. P(k)P(k+1), ou seja se um inteiro qualquer tem a propriedade P então o inteiro seguinte também a tem;
Então a conjectura nP(n) é verdadeira (é um teorema).
Prova por Indução
Passos:
• provar a veracidade de P(1); (base da indução)
• Admitir P(k) como verdadeiro (hipótese de indução)
• demonstrar que, P(k+1) é verdadeiro;
exemplo de prova por indução
Provar que a equação 1 + 3 + 5 +...+ (2n - 1) = n2 é verdadeira para qualquer inteiro positivo n.• Base de indução: P(1) é verdadeira, ou seja, 1 = 12.• Hipótese de indução:
P(k) : 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2 • Temos que mostrar então:
P(k+1): 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + [2(k+1) - 1] = (k+1)2
•
1 + 3 + 5 +...+ (2k - 1) = k2
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + [2(k + 1) - 1] = k2 + [2(k + 1) - 1] (hipótese de indução) = k2 + [2k + 2 - 1] = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2
ou seja, 1 + 3 + 5 + ... + [2(k+1) - 1] = (k+1)2
então, como P(1) e P(k)P(k+1), para k arbitrário, podemos afirmar que xP(x), ou seja: 1 + 3 + 5 +...+ (2n - 1) = n2 é verdadeira para qualquer inteiro positivo n.
exemplo de prova por indução
Provar que a equação 1+2+3+...+n = n(n+1)/2 é verdadeira para qualquer inteiro positivo n.• P(1) é verdadeira, ou seja, 1 = 1(1+1)/2.• Hipótese de indução: P(k)
1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2• Temos que mostrar então: P(k+1)
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)[(k+1)+1]/2• O lado esquerdo dessa expressão pode ser reescrito como:
k(k+1)/2 + (k+1) (pela hipótese de indução)
1 + 2 + 3 +...+ n = n(n+1)/2
• = k(k+1)/2 + (k+1)• = (k+1) (k/2 + 1)• = (k+1) (k/2 + 2/2)• = (k+1)(k+2)/2• = (k+1)[(k+1)+1]/2
ou seja, 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)[(k+1)+1]/2.
então, como P(1) e P(k)P(k+1), para k arbitrário, podemos afirmar que xP(x), ou seja:
1 + 2 + 3 +...+ n = n(n+1)/2 para todo inteiro n.
Indução completa
Passos:
• estabelecer a veracidade de P(1); (base da indução)
• assumir a veracidade de P(r) para todos os inteiros r entre 1 e um inteiro arbitrário k; (hipótese de indução);
• provar a veracidade de P(k+1);
• Então, podemos afirmar que todo inteiro positivo tem a propriedade P, ou xP(x).
Exercício
• Mostre, por indução completa que, para a seqüência de Fibonacci, vale a relação
F(n) < 2n
• N.B. A seqüência de Fibonacci é dada por
F(1)=1;
F(2)=2 e • F(n)=F(n-1) + F(n-2)), para n>2
Exercícios
Provar uma das duas fórmulas abaixo: • a fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica (n 1) é:
a + ar + ar2 +...+ arn-1 = (a-arn)/(1-r).• a fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética (n1) é:
a + (a+r) + (a+2r) +...+ (a+(n-1)r) = an + r(n-1)n/2.
• Dado uma conjectura
P Q, a negação de P é denotada por P’, chamamos• Q’ P’ de contrapositiva• Q P de recíproca• P’ Q’ de condicional inverso
1. Quais são equivalentes?
2. Dado “Se n é um número par com 4 ≤ n ≤ 12, então n é uma soma de dois primos”, dê suas contrapositivas, recíprocas e condicional inverso e mostre quais são teoremas.
Recommended