View
2.934
Download
8
Category
Preview:
DESCRIPTION
Matrizeak determinanteak eta ekuazio linealak
Citation preview
UD3: matrizeak, determinanteak eta
ekuazio linealak
MATEMATIKA II
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H1
• m x n ordenako edo dimentsioko matrize errealak parentesi artean gordetako eta m lerrotan eta n zutabetan ordenatutako m•n zenbaki errealien multzoak dira, eta A edo (aij) adierazten dira:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
...
21
22221
11211
1. MATRIZEAK
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H1
3221 A
4
0
1
2
A
1.1. Matrize motak.
Lerro matrizea edo errenkada matrizea: 1 x n ordena duena da.
Zutabe matrizea: m x 1 ordena duena.
Matrize karratua: n x n ordena duena.
5211
0243
07521
1346
A
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H1
40
12A
40
12A
1.1. Matrize motak.
A-ren aurkako matrizea: A-ren elementu guztiak aldatuz ateratzen zaiguna, eta – A –ren bidez adierazten dugu.
A-ren matrize iraulia: A-ko lerroak eta zutabeak elkar trukatuz ateratzen zaiguna, eta At –ren bidez adierazten dugu.
41
02tA
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H1
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
...
21
22221
11211
1.1. Matrize motak.
Matrize karratuetan:
Diagonal nagusia; a11, a22,…, ann
Diagonal sekundarioa; a1n, a2(n-1),…, an1
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H1
300
110
221
A
131
022
001
A
1.1. Matrize motak.
Matrize karratuetan:
Goi-triangeluarra: diagonal nagusiaren azpian dauden elementu guztiak zero badira, aij=0, baldin i>j.
Behe-triangeluarra: diagonal nagusiaren gainean dauden elementu guztiak zero badira, aij=0, baldin i<j.
Diagonala; diagonal nagusian ez dauden elementu guztiak zero badira, aij=0, i ≠ j.
Simetrikoa; diagonal nagusiarekiko simetrikoak diren elementuak berdinak baldin badira; aij= aji i,j
200
020
001
A
231
312
121
A
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H1
10
0122xI
100
010
001
33xI
1.1. Matrize motak.
Identitate matrizea: I matrize karratu bat da; bertan, diagonal nagusiko elementu guztiak 1 dira eta diagonalean ez dauden elementu guztiak 0.
Matrize nulua: elementu guztiak 0 dituena.
1000
0100
0010
0001
44xI
00
00
00
A
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H1
Demagun A=(aij) eta B=(bij) matrizeak ditugula eta biek m x n dimentsioa dutela. Leku berean dauden elementuak batzean, m x n dimentisoko beste matrize bat lortuko dugu, A eta B-ren batura dena;
)( ijij baBA
44
14
24
23
20
11
2. MATRIZEEN ARTEKO ERAGIKETAK
2.1. Matrizeen batuketak.
04
32
24
23
20
11
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H1
Demagun m x n ordeneko A=(aij) matrizea eta λ zenbaki erreala ditugula. Bien arteko biderketa egitean, m x n ordeneko beste matrize bat lortuko dugu, A-ko elementu guztiak bider λ eginez lortzen dena.
ijaA
208
324
52
814
2.2. Zenbaki erreal baten eta matrize baten arteko biderketa.
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H1
Bi matrize biderkatzeko ez da beharrezkoa ordena berekoak izatea; bai, ordea, lehenengoaren zutabe kopurua eta bigarrenaren lerro kopurua berdina izatea. Lortuko dugun matrizeak berriz, lehenengoaren lerro kopurua eta bigarrenaren zutabe kopuru berdina izango ditu.
Aaxb • Bbxd = Caxd
2.3. Matrizeen biderketa.
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H1 Matrize hauek emanda A=(aij), mxn dimentsiotakoa, eta B=(bij), nxp
dimentsiotakoa.
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
...
21
22221
11211
npnn
p
p
bbb
bbb
bbb
B
...
...
...
...
21
22221
11211
A-ren eta B-ren biderkadura m x p ordenako C=(cij) beste matrize bat izango da eta matrize horretan cij elementu bakoitza lortzeko, A-ko i lerroa eta B-ko k zutabeaz eskalarki bidertu beharko dugu.
n
jjkijij bac
1
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H1
npmnpmpmnmnmm
npnppnn
babababababa
babababababa
C
.........
.........
.........
22111212111
12121111121121111
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H1 2.4. Matrizeen berreketa.
Matrize karratuen multzoan, honela defini dezakegu matrizeen berreketa;
A2 = A • A
A3 = A2 • A = A • A • A
…
An = An-1 • A = A • A • A •…(n aldiz) •A
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H2
n ordenako A matrize karratu baten alderantzizko matrizea n ordenako beste matrize bati deitzen zaio, betiere, hau betetzen badu (eta A-1 –ren bidez adierazten dugu):
IAAAA 11
10
01
10
12
tz
yx
3. ALDERANTZIZKO MATRIZEA.
Metodo zuzena;
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H3
Ezezagun edo koefizientetzat matrizeak dituzten ekuazio edo sistemei ekuazio edo sistema matrizialak deitzen diegu.
41
443
51
21X
26
21
21
01X
4. EKUAZIO ETA SISTEMA MATRIZIALAK.
λ • X = A itxurakoak; X = 1/λ • A
Adibidea:
A • X = B itxurakoak; ala X • A = B itxurakoak
A-1 • A • X = A-1 • B X • A • A-1 = B • A-1
I • X = A-1 • B X • I = B • A-1
X = A-1 • B X = B • A-1
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H3 Ekuazio matrizialen sistema linealak ebazteko, ekuazio linealen
sistemak ebazteko erabilitako prozesu berari jarraitu beharko diogu;
22
012
41
32
YX
YXAdibidea;
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H4
a1, a2, …, an n elementuren permutazioak n elementu horiek ordenatzeko dituzten moduei deitzen zaie.
Lehendabiziko n zenbaki arrunten permutazio nagusia edo naturala deitzen zaio zenbaki horiek euren ordena naturalean daudeneko permutazioari; α = (1,2,3,…,n).
p eta q edozein permutazioren elementuak permutazio nagusiaren alderantzizko ordenan daudenean, alderanzketa osatzen dutela esaten da. Beraz, edozein permutazio alderanzketa kopuru finitu baten konposizioa da.
5. DETERMINANTEAK.
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H4
nn jijiji
taaaAA ...1det
2211
A n ordenako matrize karratu bat bada, A matrizearen determinantea adierazpide honetatik ondorioztatzen den zenbaki erreala da;
Horretan, α = (i1, i2, …, in) eta β = (j1, j2, …, jn) 1, 2, …, n-ren bi
permutazio dira, eta t, berriz, α-tik β-ra igarotzeko balio digun alderanzketa kopurua da.
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H4
211222112221
1211 aaaaaa
aa
22
31
12
25
43
22
5.1. Bi ordenako determinanteen kalkulua
Adibideak;
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H4
211233113223312213
231231133221332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
5.2. Hiru ordenako determinanteen kalkulua
+ zeinuko batugaiak - zeinuko batugaiak
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H4
231
112
101
241
011
012
240
121
111
Adibideak;
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H4 5.3. “n” ordenako determinanteen kalkulua
5.3.1. Determinante bat garatzea ilara bateko elementuen bidez
n ordenako A matrize bat emanda, aij elementuaren azpimatrize osagarria deitzen zaio A matrizean i lerroa eta j zutabea ezabatzean sortzen den n-1 ordenako matrizeari. Matrize hori αij adierazten da.
23
1111
12
4132
32
1213
A n ordenako matrize karratu bat bada, aij elementuaren minore osagarria deitzen zaio aij elementuaren azpimatrize osagarriaren determinanteari; hau da, IαijI.
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H4
n ordenako A matrize karratu bat emanda, aij elementuaren adjuntoa deitzen zaio adierazpen honek definitutako Aij zenbakiari;
ijji
ijA 1
A-ko elementu bakoitzaren ordez bere adjuntua jartzen badugu, A-ren matrize adjuntu izeneko beste matrize bat izango dugu, eta Adj(A) –ren bidez adierazten dugu.
576
7616
421
)(AAdj
471 133211
A n ordenako matrize karratu bat bada, haren determinantea ilara (lerro zein zutabe) bateko elementu bakoitzaren eta horren adjunuaren biderkaduraren batura da.
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H4
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
...
21
22221
11211
nn AaAaAaA 1112121111 ...)det(
Adibidea:
41140011)20(20
103
212
111
0
103
212
211
1
113
222
211
2
110
221
211
0
1103
0120
2212
2111
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H4 5.3. “n” ordenako determinanteen kalkulua
5.3.2. Determinante bat garatzea Pibotaren metodoaren bidez
► Bateko balioa duen determinantearen edozein aij elementu hartu behar da. Elementu horri pibota deitzen zaio.
Hartutako determinanteak bateko balioko elementurik izango ez balu, aij = k ≠ 0 balioko edozein hartuko genuke. Kasu horretan, i lerroaren edo j zutabearen elementu guztiak zati k zenbakia egin genezake, eta haren ondorioz, aij elementua bat bihurtuko litzateke. Eragiketa hori egitean, kontuan izan behar da determinantea kanpotik k zenbakiaz biderkatuta geratuko dela.
► Pibotaren lerroari eta zutabeari dagozkien elementuak ezabatu egiten dira.
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H4 ► Determinantearen gainerako elementuen ordez hau jarriko dugu: elementu horien eta pibotaren i lerroan eta j zutabean elementuon lerro eta zutabeei dagozkien elementuen biderkaduraren kendura.
► Sortutako determinanteak hasierakoak baino ordena txikiagoa izango du, eta (-1)i+j zeinua.
► Prozesu hori behar adina aldiz egin daiteke, hiru ordenako matrizea lortu arte.
2354
6132
0413
5107
510
5)3(20)3(57)3(4
516013712
540401743
1 31
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H4 5.5. Determinanteen propietateak
1. Matrize baten determinantea haren irauliaren determinantearekin bat dator. tAA
2. Matrize bateko bi lerro edo bi zutabe permutatuz gero, haren determinantea zeinuz aldatzen da.
621
45
6
45
21
6
12
54
3. Matrize bateko lerro edo zutabe bat zenbaki batez biderkatuz gero, determinantea ere zenbaki horrekin biderkatuta geratuko da.
621
45
12
21
810
21
810
21
452
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H4 4. Matrize bateko bi lerro edo bi zutabe berdinak badira, haren determinantea zero izango da.
Bi lerro edo bi zutabe permutatzean determinantearen zeinua aldatzen dela esan dugu lehen, baina bi lerro edo zutabeak berdinak badira, hau beteko da;
det (A) = - det (A) det (A) = 0
5. Matrize bateko lerro edo zutabe bateko elementu guztiak muluak badira, determinantearen balioa zero izango da.
6. Matrize bateko bi lerro edo bi zutabe proportzionalak badira, haren determinantea zero izango da.
Lerro edo zutabe proportzionaletako bat p zenbaki egoki batez biderkatzen badugu, bi lerro edo zutabe berdin lortuko ditugu, eta, beraz: p · det(A) = 0 det(A) = 0
7. Matrize triangeluar baten determinantea haren diagonal nagusiko elementuen arteko biderkaduraren berdina da.
8. Matrize bateko lerro edo zutabe bateko elementu guztiak bi batugaien batuketa gisa deskonposatzen badira, haren determinantea ere deskonposatzen da, modu honetan, bi determinanteren batuketa gisa:
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H4
3332
2322
1312
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aad
aac
aab
aaa
aaa
aaa
aada
aaca
aaba
9. Matrize bateko lerro edo zutabe bati beste baten konbinazio lineal bat batzen bazaie, ondorioztatzen den matrizearen determinantea hasierakoaren berdina izango da.
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H4
Matrize karratu batek alderantzikoa badu, haren determinantea zeroaren desberdina da. Orduan, matrizea erregularra dela esaten da.
Beste moduan esanda, matrize baten determinantea zero bada, matrize horrek ez du alderantzizkorik.
A matrize karratu erregular bat bada, haren alderantzizko matrizea honela kalkulatu daiteke;
6. ALDERANTZIZKO MATRIZEA KALKULATZEA.
tAAdjA
A 11
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H5 7. MATRIZE BATEN HEINA.
A matrize baten heina linealki independenteak diren A-ren lerro edo zutabeen gehienezko kopurua da.
2)(
162
231
131
ArangA 1)(
262
131
131
BrangB 3)(
162
211
141
CrangC
7.1. Heinaren kalkulua; Gauss-en metodoa. Adibide baten bidez aztertuko dugu;
9512
7150
1321
A
9512
7150
1321
A
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H5 7.2. Heinaren kalkulua; Determinanteen metodoa.
A matrize baten p orndenako minoreak deituko diegu p ordenako A azpimatrize karratuen determinanteei.
101
121A 2
10
122
11
112
01
21
A matrize baten heina, rang(A), nulua ez den matrize horren minorerik handienaren ordena da.
Adibide baten bidez aztertuko dugu;
9512
7150
1321
A
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H6 8. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK.
Ekuazio lineal bat, honako berdintza bat da;
a1· x1+ a2· x2+ a3· x3+ … + an· xn = b
Ekuazio horretan, a1, a2, a3, … , an eta b zenbaki errealak dira eta koefizienteak deitzen zaie, eta x1, x2, x3, … xn balio ezezaguneko zenbaki errealak dira, eta ezezagunak deitzen zaie.
Ekuazio lineal baten emaitza, ekuazioa betetzen duen n-kote (α1, α2, α3,…, αn ) oro da.
Ekuazioaren emaitza bakoitzari emaitza partikularra deitzen zaio, eta emaitza partikular guztien multzoari, berriz, ekuazioaren emaitza orokorra.
8.1. Ekuazio linealak.
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H6 n ezezaguneko ekuazio lineal baten emaitza orokorra n – 1 parametroaren araberakoa da. n – 1 zenbakiari ekuazioaren indeterminazio maila deitzen zaio.
8.2. Ekuazio linealen sistemak.
n ezezaguneko m ekuazio linealen sistema bat honelako m berdintzaz osaturiko multzoa da;
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...........................................
...
...
2211
22222121
11212111
Ekuazio horretan, aij eta bi zenbaki erreal ezagunak dira; aij zenbakiak koefizienteak dira eta bi zenbakiak, sistemaren gai askeak.
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H6 Sistema bat ebaztea, haren emaitza guztiak aurkitzea da.
Ekuazio linealen sistema haien koefizienteek eta gai askeek mugatzen dute. Zenbaki horiek taula batean jarriz gero, sisteman duten posizio berberetan, multzo ordenatu bat lortuko dugu; multzo hori matrizea da eta sistemaren adierazgarri da. Koefizienteek osatutako matrizea sistemaren matrizea da, edo koefizienteen matrizea. Matrize horri gai askeak gehituz gero, matrize zabaldua lortzen da.
mmnmm
n
n
mnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaazabalduaMatrizematrizeaeKoefizient
...
...
............
...
...
...
............
...
...
2
1
21
22221
11211
21
22221
11211
mmnmm
n
n
mnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaazabalduaMatrizematrizeaeKoefizient
...
...
............
...
...
...
............
...
...
2
1
21
22221
11211
21
22221
11211
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H6 8.3. Ekuazio linealen sistemen sailkapena.
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H6 8.4. Sistema baliokideak.
Ekuazio linealen bi sistema baliokideak dira, baldin eta ezezagun berberak badituzte eta emaitza berberak badituzte. Emandako sistema baten baliokidea den sistema bat lortzeko, transformazio hauek egin daitezke;
Sistemako ekuazio bat nulua ez den zenbaki batez biderkatzea.
Ekuazioen ordena aldatzea.
Gainerako ekuazioen konbinazio lineala den ekuazio bat eranstea edo ezabatzea.
Sistemako ekuazio bat eta zero ez den zenbaki batez biderkatutako beste bat batzea.
Ekuazio bateko ezezaguna bakantzea eta hori gainerakoetan ordezkatzea.
9. EKUAZIO LINEALEN SISTEMEN EBAZPENA.
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H6
9.1. Gauss-en metodoa.
Gauss-en metodoa (triangelaketa metodoa ere deitzen zaio) laburketa metodoan oinarritzen da. Demagun n ezezaguneko m ekuazio linealen sistema bat dugula;
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...........................................
...
...
2211
22222121
11212111
Gauss-en metodoa sistema hori baliokide eta mailakatu bihurtzean datza. Hau da, honelako batetan bihurtzean datza;
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H6
mnmn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
........................
...
...
22222
11212111
Sistema mailakatu bat ebazteko, bateragarria baldin bada, sistemako azken ekuaziotik hasi behar dugu.
Adibideak;
423
34
142
zyx
zyx
zyx
14
22
423
zx
zx
zyx
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H6
9.2. Cramer-en erregela.
n ekuazio linealeko eta n ezezaguneko sistema batek emaitza du, eta bakarra da, koefiziente matrizea A erregularra denean, hau da, │A │≠ 0 denean.
(x1, x2,…, xn) sistemaren emaitzako xi osagai bakoitza bi determinanteen arteko zatidurak emanda dago; orokorrean, demagun honako sistema dugula;
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...........................................
...
...
2211
22222121
11212111
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H6 Orduan honela kalkulatu ditzakegu ezezagunak;
Ekuazio eta ezezagun kopuru berdina duten eta koefizienteen matrizea erregularra duten sistemei Cramerren sistemak deitzen zaie, eta sistema mota horiei soilik aplika daiteke Cramerren erregela, eta ez beste motetan.
Adibidea;
A
baa
baa
baa
x
A
aba
aba
aba
x
A
aab
aab
aab
x
nnnn
nnn
n
n
nnnn
n
n
...
............
...
...
..............................................
...
............
...
...
...
............
...
...
21
22221
12111
1
11
2121
1111
12
2
2222
1121
11
423
34
142
zyx
zyx
zyx
14
22
423
zx
zx
zyx
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H6 9.3. Alderantzizko matrizeen bidezko ebazpena.
Azkenik, honako sistema bat izanik, alderantzizko matrizeen bidez ere kalkulatu ditzakegu ezezagunen balioa;
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...........................................
...
...
2211
22222121
11212111
Orduan;
BAX
BXA
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
nnmnmm
n
n
1
2
1
2
1
21
22221
11211
......
...
............
...
...
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H6 Hau da, alderantzizko matrizeen bidez ere posible da ekuazio linealen sistemak ebaztea, horretarako A matrize erregularra izan behar duelarik.
Adibidez;
423
34
142
zyx
zyx
zyx
14
22
423
zx
zx
zyx
10. EKUAZIO LINEALEN SISTEMEN EZTABAIDA.
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H7
10.1. Rouchéren teorema.
S ekuazio linealen sistema bat bateragarria izango da baldin, eta soilik baldin, A koefizienteen matrizearen heina A/B matrize zabalduaren heinaren berdina bada, hau da;
S bateragarria da heina(A) = heina(A/B)
Frogapena;
S sistema bateragarria baldin bada, (s1, s2, …, sn) emaitza bat badago, gutxienez eta horrek hau betetzen du; Z1· s1+ Z2· s2, …, + Zn· sn = B; beraz, B gai askeen zutabea Z1, Z2, …, Zn koefizienteen matrizearen zutabeen konbinazio lineala da; hortaz,
heina(Z1, Z2, …, Zn) = heina (Z1, Z2, …, Zn, B), hau da;
heina(A) = heina(A/B)
Frogapena; Demagun heina(A) = heina(A/B) dela; beraz,
heina(Z1, Z2, …, Zn) = heina (Z1, Z2, …, Zn, B).
Horren ondorioz, Z1, Z2, …, Zn –ren konbinazio lineala da B. Beraz, n zenbaki erreal daude, s1, s2, …, sn, honako hau egiaztatzen dutenak; Z1· s1+ Z2· s2, …, + Zn· sn = B. Horren ondorioz, (s1, s2, …, sn) sistemaren emaitza bat da, eta S bateragarria da, frogatu nahi genuen moduan.
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H7
Beraz, Rouchéren teoremak sistema bat bateragarria izateko baldintza bat ematen du; hau da, koefizienteen matrizearen heinak eta matrize zabalduaren heinak erlazionatzen ditu.
Koefiziente matrizearen eta matrize zabalduaren heinak kontutan harturik, honela sailka ditzakegu n ezezaguneko eta m ekuazioko sistema linealak;
UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK
H7
Recommended