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prometo dejar los dulces :P
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UN MODELO PARA UN PROBLEMA DE CARGA Y DESCARGA CON MÚLTIPLES ALMACENES (BUSCAR UN TITULO)Lic. Andrés Castrillón Escobar
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Introducción• El problema básicamente consiste en la recolección y entrega
de productos a los clientes atreves de una red de distribución, sabiendo que se tienen varios almacenes y también varios vehículos para realizar la tareas.
• A los clientes solo se les puedes atender a cierta hora del día y también los vehículos solo se pueden usar para realizar la tarea en un periodo de tiempo definido.
• La meta es encontrar la mejor configuración de rutas posible que minimice el costo asociado al ruteo (puede ser distancia o tiempo ) y el costo asociado por el uso de los vehículos. 2
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Introducción• De igual forma se pide que los vehículos no lleguen todos al
mismo tiempo sino que vayan llegando en tiempos diferidos para así no saturar la llegada de los camiones a las plantas.
• Finalmente los vehículos no tienen por que tener la misma capacidad incluso se sabe que existen dos tipos de vehículos que maneja la empresa y cada tipo de vehículo tarda tiempos diferentes en viajar de un punto a otro y por consiguiente el costo también esta en función al tipo de vehículo que se este usando.
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Introducción• Por políticas de la empresa los vehículos inician su recorrido
en una de las plantas disponibles y deben de regresar de nuevo a la misma planta al final del día.
• No existe ninguna limitante de como se debe de hacer las entregas, como en los casos de PDP-LIFO o Dial-A-Ride.
• Los pedidos se pueden particionar y varios vehículos pueden visitar a un cliente si esto es necesario.
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n
,ik ikD D
i
j
0 1
0 1
,
,
ij ij
ij ij
T T
C C
iN
iN
5
Introducción
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Supuestos1. Todos los vehículos deben de regresar a su lugar de origen al final
del recorrido.
2. Un cliente puede ser atendido por cualquier planta y por cualquier vehículo.
3. Debido a que se puede particionar la orden. No hay restricción alguna de la cantidad de producto que un vehículo le puede entregar a un cliente. (no hay una limitante en cuanto se debe de entregar al menos cierta cantidad de producto incluso esta cantidad puede ser fraccionaria).
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Formulación del problema• Nodos
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Tipo carga descarga Ventana de Tiempo
Planta
Cliente
ikD
ikD
0
0 0
0 [ , ]i iN N
, 1i N N n
[ , ]i iN N
: cajas del producto k que se debe de recoger del cliente i.: cajas del producto k que se debe de entregar al cliente i.: Tiempo en que apenas se le puede atender al cliente i.: Tiempo que a mas tardar se le debe de atender al cliente i.
ikD
ikD
iN
iN
La carga de una planta es la capacidad de la planta para atender a los clientes, se puede retirar ese producto de la planta, para entregárselo a algún cliente.
ikD
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Formulación del problema
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• Vehículos
Tipo Capacidad Sitio de Origen Ventana de Tiempo
Tipo (costo fijo x uso)
Sencillo 0
Doble 1
mQ imP
0
0
0,1 [ , ]m mV V
, 1m M M v
mT mC
0
0 0,1 [ , ]m mV V
: Capacidad máxima del vehículo m.(en m3 de volumen): Ubicación inicial del vehículo m.: Tiempo en donde apenas puede ser usado el vehículo m.: Tiempo en donde a mas tardar debe regresar el vehículo m.: El tipo del vehículo m. (sencillo o doble): Costo fijo por el uso del vehículo m.
mQ
imP
mV
mT
mC
mV
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Formulación del problema• Vehículos
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Cabe resaltar que el parámetro cumple con la propiedad:
0
1n
imi
P m M
imP
(Cada vehículo esta asignado a una sola planta)
, 1m M M v
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• Arcos
Formulación del problema
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Origen Destino Costo T0 Costo T1Tiempo de Transito T0
Tiempo de Transito T1
i j0ijC
( , ) ,i j A i j N
0ijS1ijC 1ijS
(Los tiempos de transito incluyen el tiempo que se toma en llegar a j estando en i y además el tiempo en atender a j)
: Costo por viajar del nodo i al nodo j usando un vehículo tipo 0.: Costo por viajar del nodo i al nodo j usando un vehículo tipo 1. : Tiempo por viajar del nodo i al nodo j usando un vehículo tipo 0.: Tiempo por viajar del nodo i al nodo j usando un vehículo tipo 1.
0ijC
1ijC
0ijS
1ijS
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• Productos
• Restricciones adicionales• Los camiones no pueden llegar todos al mismo tiempo por lo que
limita las llegadas a la planta i
Formulación del problema
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Cantidad de Cajas x m3
, 1k K K u
kH
0
: Cantidad de cajas del producto k que caben en un m3.kH
, 24ihF i N h Z h
: Cantidad máxima de vehículos que pueden llegar a la hora h en la planta i.
ihF
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• Decisiones• Que vehículos se van a usar.
• Ruta que va a tomar el vehículo
• Instante en que el vehículo m empieza a atender al nodo i
• Horario en que termina la jornada el vehículo.
• Carga del producto k que tiene el vehículo m en el momento que visita al nodo i
• Porcentaje de la demanda del producto k que entregara el vehículo m al cliente i
• Porcentaje de la demanda del producto k que recogerá el vehículo m al cliente i
Variables de Decisión
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0,1mV
0,1ijmX
0imS
0,1mhy
0imkQ
00 1imkL
10 1imkL
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Modelo• Objetivo• Minimizar el costo asociado al ruteo de vehículos (que esta en
función al tipo de vehículo) aunado al costo asociado al costo fijo por el uso del vehículo(1)
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0 10 0 0 0
1n n v v
m ij ijm m ij ijm m mi j m m
T C X T C X C V
Min (1)
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Modelo• Restricciones:• De Ventanas de Tiempo
• Cumplir las ventanas de tiempo de los clientes• Cumplir las ventanas de tiempo de los vehículos• Cumplir el criterio de llegadas de los camiones de manera espaciada
• De Ruteo• Conservación de flujo• Restringir sub-tours• Solo se puede usar vehículos habilitados.
• De Demanda• Cumplir con la demanda del cliente
• De Capacidad• No exceder la capacidad de la planta• No exceder la capacidad del vehículo
• De no negatividad y variables binarias
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Modelo• Ventanas de tiempo• Cumplir con las horas de llegada al nodo i. (2)
• Cumplir con los horarios del vehículo m.(3)
• Los camiones no pueden llegar todos al mismo tiempo. (el vehículo solo puede regresar a la hora que le fue asignada)(4)
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,m im mV S V i N m M
,i im iN S N i N m M
24 24
1 1
1 ,60im im
im mh mhh h
P SP y h y h m M i N
(2)
(3)
(4)
En la ecuación (4) se multiplica por el termino para que la ecuación siempre se cumpla cuando
, es decir que esta ecuación solo restringirá a las cuando la i sea el nodo con el que inicio el
vehículo m. por otro lado las unidades de son en minutos por lo que se divide entre 60.
imP
0imP imS
imS
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Modelo• Ventanas de tiempo• Cumplir el máximo numero de llegadas en la hora h.(5)
• El vehículo m solo puede llegar a lo mas en un horario (puede darse el caso de no usar el vehículo)(6)
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24
1
1mhh
y m M
(6)0
,v
mh im ihm
y P F i h
(5)
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Modelo• Ventanas de tiempo
• El vehículo m no puede comenzar el servicio en el cliente j antes de si proviene del cliente i.(7)
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0 11im m ij m ijS T T T T
K es un valor lo suficientemente grande para que en caso de que sea , siempre cumpla con la restricción. El termino sirve para que no exista restricción cuando se viaja de i a j , e i es la planta inicial.
Para esta restricción se presenta un ejemplo a continuación.
se refiere al tiempo de llegada al nodo i con el vehículo m mas el tiempo asociado a la transportación y (realización de la actividad) del nodo i
0 11im m ij m ijS T T T T
0ijmX imP
(7) 0 11 1 1 ,im im m ij m ij ijm jmP S T T T T K X S i j N m M
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Con este ejemplo también se busca explicar que el termino cuando significa el tiempo en llegar a la planta de inicio es decir el final de la jornada.
Modelo• Ventanas de tiempo
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0 11 1 1 ,im im m ij m ij ijm jmP S T T T T K X S i j N m M
Casos donde Xijm = 0 , siempre se cumple
Caso XABm:
Caso XBCm:
Caso XCAm:
0 11 m AB m AB BmT T T T S
0 11Bm m BC m BC CmS T T T T S
0 11Cm m CA m CA AmS T T T T S
1imP imS
B
A
C
13
2SBm= 1
SCm= 3
SAm= 60
1AmP
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Modelo• Ruteo de vehículos• Solo se pueden asignar rutas a vehículos que están habilitados.(8)
• Respetar la conservación de flujo.(9)
• No formar sub-tours.(10)
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0 0
0n n
m ijmi j
V X m M
(9)
0 0
0 ,n n
ijm jimi i
X X m M j N
(8)
(10), :( , )
1 , : 2n
ijmi Q j Q i j A
X Q m M Q N Q
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Modelo• Demanda• Un cliente debe de ser visitado al menos por un vehículo.(11)
• Cumplir la demanda de los cliente.(12)
• Un vehículo solo puede cumplir la demanda del cliente i , si visito al cliente i.(13)
20
0 0
1n v
ijmi m
X j N
(11)
0
, , , 0,1n
imkw jimj
L X i m k w
0
1 , , 0,1v
imkwm
L i k w
(12)
(13)
13/0
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Es conveniente aclarar que esta restricción (14) siempre se cumplirá si , es decir solo se
restringe a la carga con la que sale el vehículo m al inicio de su jornada.
En la restricción (15) se multiplica por ambos lados por el factor para que solo tome en
cuenta a los clientes, a continuación se ve un ejemplo.
Modelo
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• Capacidad• No exceder la capacidad de la planta.(14)
• La carga del vehículo en el nodo j depende de la carga que tenia en el nodo i. si el vehículo m viajo de i a j(15)
• No exceder la capacidad del vehículo.(16)
0
,v
imk im ikm
Q P D i N k
0imP
(14)
1 01 1 , , ,jm jmk imk jmk jk jmk jk ijm jmP Q Q L D L D X P i j m k
0
,u
imkm
k k
QQ i N m M
H
(15)
(16)
1 jmP
13/0
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Con este ejemplo también se busca explicar que el termino cuando significa la cantidad de producto k con el que el vehículo m va salir de la planta.Nota que podría tomar cualquier valor pero con la restricción (14) no debe de ser superior a la capacidad de la planta.
Modelo• Capacidad
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Caso XABm:
Caso XBCm:
Caso XCAm:
1imP imkQ
B
A
C
QAmk= 14
1AmP
1 01 1 , , ,jm jmk imk jmk jk jmk jk ijm jmP Q Q L D L D X P i j m k
QAmk= 10 QAmk= 0
50AkD
4BkD 10CkD
0 0
imkQ
1 0Bmk Amk Bmk Bk Bmk BkQ Q L D L D
1 0Cmk Bmk Cmk Ck Cmk CkQ Q L D L D
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