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LISTA 1 - PIRÂMIDES – GABARITO
1. Calcular a medida da altura de um tetraedro regular sabendo que o perímetro da base mede 9cm.
SOLUÇÃO.
O tetraedro regular é a pirâmide triangular regular com todas as faces sendo triângulos equiláteros.
CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE
O apótema, g, da pirâmide é a altura do triângulo equilátero.
2
33=
2
3l=g → cm
2
33=g
CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE
O apótema da base, ab, é a terça parte da altura da base (também mediana).
2
3=
6
33=)
2
33(.
3
1=)
2
3l(.
3
1=ap → cm
2
3=ap
CÁLCULO DA ALTURA DA PIRÂMIDE
Aplicando PITÁGORAS, teremos:
4
3-
4
3.9=h→)
2
3(+h=)
2
33(→ap+h=g 2222222
→4
24=h→
4
24=h→
4
3-
4
27=h 22 cm6=h
2. Determinar a área lateral e total de uma pirâmide triangular regular de 7cm de apótema, sendo 2cm o
raio do círculo circunscrito à base.
Solução.
CÁLCULO DA ARESTA DA BASE
O apótema da pirâmide é a altura da face. A aresta da base pode ser calculada em função do raio.
Utilizando essas informações, temos:
cm32=a→3r=a
CÁLCULO DA ÁREA BASE
A pirâmide triangular regular possui a base como um triângulo equilátero.
4
3a=A
2
equiláterotriângulo
4
3a=A
2
b →
( )4
332=A
2
b →
4
33.4=A
b →
4
312=A
b →
2
bcm33=A
CÁLCULO DA ÁREA LATERAL
Num pirâmide triangular regular, sabemos que as faces laterais são triângulos, e como temos 3 faces no
tetraedro regular, a área lateral será 6 vezes a área de um triângulo, logo:
2
h.b=A
tiângulo
retângulolA.3=A → →)
2
7.32(.3=A→)
2
g.a(.3=A→)
2
h.b(.3=A
lllcm321=A
l
CÁLCULO DA ÁREA TOTAL
A área total de uma pirâmide triangular regular é calculada somando-se a área lateral com a área da
base.
bltA+A=A → 33+321=A
t →
2
tcm324=A
3. O volume de uma pirâmide quadrangular regular é 144m³ e a altura é o dobro da aresta da base.
Calcule a altura dessa pirâmide.
Solução.
A base da pirâmide quadrangular regular é um quadrado.
2
quadradoa=A →
2
ba=A
3
h.A=V
b → 432=a2→a2=3.144→
3
a2.a=144 33
2
→216=a→216=a→2
432=a 333
cm6=a
→6.2=h→a2=h cm12=h
5. Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado da base medindo 8 cm e área lateral igual a 5
3 da
área total. Calcular a altura e a área lateral desta pirâmide.
Solução.
A área total é a soma da área lateral com a área da base.
CÁLCULO DA ÁREA BASE
A pirâmide quadrangular regular possui a base um quadrado.
2
quadradoa=A →
2
ba=A →
2
b8=A →
2
bcm64=A
CÁLCULO DA ÁREA LATERAL
Numa pirâmide quadrangular regular, sabemos que as faces laterais são triângulos, e como temos 4
faces, a área lateral será 4 vezes a área de um triângulo, logo:
2
h.b=A
tiângulo
triângulolA.4=A → →
2
g.32=A→)
2
g.8(.4=A→)
2
g.a(.4=A→)
2
h.b(.4=A
llll
g16=Al
CÁLCULO DA ÁREA TOTAL
A área total é calculada efetuando-se a soma da área lateral com a área da base.
g16+64=A→A+A=Atblt
CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE
Do enunciado tiramos que a área lateral é 5
3 da área total, logo:
→g48+192=g80→)g16+64(.3=5.g16→5
3.)g16+64(=g16→
5
3.A=A
tl
→32
192=g→192=g32→192=g48g80→g48+192=g80 cm6=g
CÁLCULO DO APÓTEMA DA BASE
O apótema da base é igual à metade do lado do quadrado.
→2
8=a→
2
l=a
bbcm4=a
b
CÁLCULO DA ALTURA DA PIRÂMIDE
Aplicando PITÁGORAS, teremos:
→5.4=h→20=h→20=h→16-36=h→)4(+h=)6(→ap+h=g 22222222
cm52=h
6. Sendo 192m² a área total de uma pirâmide quadrangular regular e m23 o raio do círculo inscrito na base,
calcule a altura da pirâmide.
Solução.
A aresta da base quadrada pode ser calculada em função do raio.
CÁLCULO DA ARESTA DA BASE
A aresta da base é igual ao diâmetro da circunferência, logo:
→)23(.2=a→r2=d=a m26=a
CÁLCULO DA ÁREA BASE
A pirâmide quadrangular regular possui a base um quadrado.
2
quadradoa=A →
2
ba=A →
2
b)26(=A → 2.36=A
b→
2
bm72=A
CÁLCULO DA ÁREA LATERAL
Numa pirâmide quadrangular regular, sabemos que as faces laterais são triângulos, e como temos 4
faces, a área lateral será 4 vezes a área de um triângulo, logo:
2
h.b=A
tiângulo
triângulolA.4=A → →)
2
g.26(.4=A→)
2
g.a(.4=A→)
2
h.b(.4=A
lll
→2
g.224=A
lg.212=A
l
CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE
A área total de uma pirâmide quadrangular regular é calculada somando-se a área lateral com a área da
base.
bltA+A=A → →g212=120→g212=72-192→72+g.212=192
→2
210=g→
2.12
2120=g→.
)2(12
2120=g→
2
2.
212
120=g.→
212
120=g
2
→ 2m25=g
CÁLCULO DA ALTURA DA PIRÂMIDE
Aplicando PITÁGORAS, teremos:
→32=h→81-50=h→81-2.25=h→)23(+h=)25(→r+h=g 222222222
→2.16=h→32=h→32=h m24=h
7. Calcule o volume de uma pirâmide de 12cm de altura, sendo a base um losango cujas diagonais
medem 6cm e 10cm.
Solução.
CÁLCULO DA ÁREA BASE
A pirâmide possui a base um losango, logo: a área do losango é calculada como a metade do produto de
suas diagonais.
2
d.D=A
losango→
losangobA=A →
2
d.D=A
b→
2
60=A→
2
6.10=A
bb→
2
bcm30=A
CÁLCULO DO VOLUME
4.30=V→3
12.30=V→
3
h.A=V
b→
3cm120=V
8. Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros
de lado 4, em centímetros quadrados.
Solução.
CÁLCULO DO APÓTEMA DA BASE
O apótema da base é igual à metade do lado do quadrado.
→2
4=a→
2
l=a
bbcm2=a
b
CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE
Se as faces laterais da pirâmide são triângulos equiláteros, então o apótema da pirâmide, g, será a altura
desse triângulo. As arestas da base possuem a mesma medida do lado do triângulo. Temos:
2
34=g→
2
3l=g→h=g → cm32=g
CÁLCULO DA ALTURA DA PIRÂMIDE
Aplicando PITÁGORAS, teremos:
→2.4=h→8=h→8=h→4-12=h→)2(+h=)32(→ap+h=g 22222222
cm22=h
CÁLCULO DA ÁREA BASE
A pirâmide quadrangular regular possui a base um quadrado.
2
quadradoa=A →
2
b4=A →
2
bcm16=A
CÁLCULO DO VOLUME
→3
22.16=V→
3
h.A=V
b 3cm3
232=V=V
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