View
631
Download
40
Category
Preview:
Citation preview
Teorema Cauchy
Seyma Cicek 1111000017095Dina Ari Kusumawati 1113017000031Hanna Ramadhana Widuri 1113017000040Andina Aulia Rachma 1113017000054
Pembuktian
Teorema Cauchy
Aplikasi Teorema Cauchy dalam
Matematika
Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy
Misalkan kontinu pada dan differensiabel pada
asumsikan di Maka terdapat c pada sehingga
BUKTI
Ambil titik Dengan menggunakan persamaan garis lurus:
.......... (1)
.......... (2)
* Dari (1) dan (2) diperoleh :
𝑓 (𝑥)− 𝑓 (𝑎)𝑓 (𝑏)− 𝑓 (𝑎)
=𝑥−𝑎𝑏−𝑎
𝑔(𝑥 )−𝑔(𝑎)𝑔 (𝑏)−𝑔 (𝑎)
= 𝑥−𝑎𝑏−𝑎
𝒇 (𝒙)− 𝒇 (𝒂)𝒇 (𝒃 )− 𝒇 (𝒂)
=𝒈 (𝒙)−𝒈 (𝒂)𝒈 (𝒃)−𝒈 (𝒂)
𝒇 (𝒙)− 𝒇 (𝒂)𝒇 (𝒃 )− 𝒇 (𝒂)
=𝒈 (𝒙)−𝒈 (𝒂)𝒈 (𝒃)−𝒈 (𝒂)
[ 𝒇 (𝒙 )− 𝒇 (𝒂 ) ] ∙ [𝒈 (𝒃 )−𝒈 (𝒂) ]=[𝒈 (𝒙 )−𝒈 (𝒂 ) ] ∙ [ 𝒇 (𝒃 )− 𝒇 (𝒂)]
[ 𝒇 (𝒙 )− 𝒇 (𝒂 ) ]= 𝒇 (𝒃 )− 𝒇 (𝒂)𝒈 (𝒃)−𝒈 (𝒂)
∙𝒈 (𝒙 )−𝒈 (𝒂)
dianggap fungsi baru
misal [ 𝒇 (𝒙 )− 𝒇 (𝒂 ) ]−( 𝒇 (𝒃 )− 𝒇 (𝒂 )
𝒈 (𝒃 )−𝒈 (𝒂) ) ∙𝒈 (𝒙 )−𝒈 (𝒂 )=𝜑 (𝑥 )
Lanjutan ...
Lanjutan ...
Karena maka menurut teorema Rolles
Sedemikian hingga
𝝋 (𝒙 )=[ 𝒇 (𝒙 )− 𝒇 (𝒂 ) ]−( 𝒇 (𝒃 )− 𝒇 (𝒂)𝒈 (𝒃 )−𝒈 (𝒂) ) ∙𝒈 (𝒙 )−( 𝒇 (𝒃 )− 𝒇 (𝒂)
𝒈 (𝒃 )−𝒈 (𝒂) )∙𝒈 (𝒂 )
𝝋′ (𝒙)= 𝒇 ′ (𝒙 )−𝟎−(𝟎 ∙𝒈 (𝒙 )+( 𝒇 (𝒃 )− 𝒇 (𝒂)𝒈 (𝒃 )−𝒈 (𝒂) )∙𝒈 ′(𝒙))−𝟎
Terbukti
Aplikasi Teorema Cauchy
dalam Matematika*Misalkan - dan misalkan f,g differensibel pada (a,b) sehingga g’(x) 0 x (a,b) dan
misalkan = 0 = .
Tunjukkan = L R, maka = L
Misal -f dan g diff pada (a,b), maka• f differensial pada (a,b)• g differensial pada (a,b)
Berdasarkan syarat kekontinuan yang ke-3, maka
= f(a) dan = g(a)
Berdasarkan TNR. Cauchy didapat: = , karena f(a) = g(a) = 0, maka = = , karena x (a,b), maka =
Oleh karena itu, = karena = L maka = L (Terbukti)
Aplikasi Teorema Nilai Rata-Rata dalam Matematika• Maksimum dan minimum
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = -2x³ + 3x² +1 pada [-1,2]
Penyelesaian:Turunan f adalah f’(x) = -6x² + 6x = 6x(1 – x)Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1, sedangkan titik singularnya tidak ada. Dengan demikian terdapat 4 titik kritis, yakni -1, 0, 1 dan 2.Sekarang bandingkan nilai f di titik-titik kritis tersebut:f(-1) = 6, f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = -3Menurut Teorema Lokasi Titik Ekstrim, f mesti mancapai nilai maksimum 6 (di -1) dan minimum -3 (di 2).
Aplikasi Teorema Cauchy dalam Bidang Lain
•FisikaPosisi partikel ditunjukkan oleh
persamaan r(t) = (3t² - 2t)i + (4t³ - 4t)j. Tentukan kecepatan (v) dan percepatan (a)
Penyelesaian:Kecepatan r(t) = (3t² - 2t)i + (4t³ - 4t)j
v(t) = (6t – 2)i + (12t² - 4)jPercepatan v(t) = (6t – 2)i + (12t² - 4)j
a(t) = 6i + (24t)j
• EkonomiSebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x
– 0,0003x² dengan julah persatuan x = 1000. Tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal!
Penyelesaian:Biaya rata-rata = C(x)/x= 3200 + 3,25x – 0,0003x² / x= 3200 + 3,25(1000) – 0,0003(1000)² / 1000= 6,15Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp. 6150Biaya Marjinal = dc/dx=3,25 – 0,0006x=3,25 – 0,0006(1000)=2,65Maka, biaya marjinalnya 2,65 x 1000 = Rp. 2650 pada x = 1000
Thank You For Your
Attention
Recommended