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CÁLCULO VECTORIALGUIA UNIDAD 1: PLANOS Y SUPERFICIES GRUPOS: G3 ING. ELECTRÓNICA DOCENTE: Ing. Ángel Fernando Soto S. Nombre: Fernando Arcos c.
Problemas de Teoría: 1. La recta x=2t-1, y=4t+2, z=6t-5 pasa por el punto: a. (-1, 6,1) b. (0,4,-2) <AQc. (0,0,0) d. No conozco
Justificación:
l={x=xo+aty= yo+btz=zo+ct
l={x=−1+2 ty=2+4 tz=−5+6 t
p= (−1,2,−5 )
s⃗=(2,4,6)
2. En 3 dimensiones, ax+by=c representa: a. Un punto b. Una recta c. Un plano d. No conozco
Justificación: ax+by+cz=ccomoel valor de z=0 remplazamos nos quedaax+by=c por lotanto es un plano .
1
3. Un plano queda determinado por un punto y dos vectores. Que condición deben cumplir los dos vectores: a. Perpendiculares b. Coplanares c. Paralelos d. No conozco
Justificación: parahallar laecuacion se necesitaun punto¿,y0 , z0¿ y unvectorv⃗=(a ,b , c ) los vect ores estan sobreel planode forma paralela .
4. La curva z=4 y2rota alrededor del eje z . La superficie generada es : a. Un cono b. Un cilindro c. Un paraboloide d. No conozco
Justificación:
Usamos binomio de circularidad (x2+ y2=[ f (z )]2) como gira respecto a z
Despejamos la función z=4 y2nos da y=√ z4 remplazamos en el
binomio
x2+ y2=¿¿¿2 ---->x2+ y2=z4 ---->ecuación de un paraboloide
5. Relacione dos literales de la ecuaciones dadas con sus gráficas (marcadas figura 1-2). Justifique las respuestas analizando las trazas y/0 secciones de la superficie. Indicar el nombre de la superficie.
2
Justificación:
Figura 1:c) y=2x2+z2---->Paraboloide elíptico
Trazas X=0y=z2---->parábola
Y=00=2x2+z2
Z=0y=2x2----> Parábola
Figura 2: ---->hiperboloide de una hojac) −x2+ y2+ z2=1
Trazas X=0y2+z2=1---->circulo
Y=0−x2+ z2=1----> Hipérbola
Z=0
3
−x2+ y2=1----> hipérbola
6. Relacione dos literales de las ecuaciones dadas con sus gráficas (marcadas figura 3-4). Justifique las respuestas analizando las trazas y/0 secciones de la superficie. Indicar el nombre de la superficie.
Justificación:
Figura 3:b) −x2+ y2+ z2=0---->cono
Trazas X=0y2+z2=0---->recta
Y=0−x2+ z2=0---->recta
Z=0−x2+ y2=0---->recta
4
Figura 4: ---->hiperboloide de dos hojaa) x2− y2+z2=−1
Trazas X=0− y2+z2=−1---->hipérbola
Y=0 Y=k ---->circulo
x2+ z2=−1----> no existe grafica
Z=0x2− y2=−1----> Hipérbola
7. La ecuación (x2+ y2¿k=z (k = constante) representa en R3
a) Cono elíptico
5
b) paraboloide circular c) cilindro parabólico
Justificación: Es un paraboloide circular, tiene un término lineal K es el mismo es circular (x2+ y2¿k=z----> kx2+ky2=z----> paraboloide circular
8. La ecuación r2−z2=4 en coordenadas cilíndricas representa:
a) Un cono b) una esfera c) un hiperboloide
Justificación: Aplicamos r2=x2+ y2 por lo tanto obtenemos
x2+ y2−z2=4 Dividimos cada término x2+ y2−z2
4=1----> ecuación de un
hiperboloide
6
9. La ecuación 𝑧 = 𝑘 − (x2+ y2) (k = constante) representa en R3
a) Cono elípticob) paraboloide circular c) paraboloide hiperbólico
Justificación: 𝑧 = 𝑘 − (x2+ y2)----> Es un paraboloide hiperbólico presenta un término lineal y los términos cuadráticos presentan 2 signos diferentes.
10. La ecuación r2+2 z2=4 en coordenadas cilíndricas representa:
a) Elipsoide b) una esfera c) un cono
Justificación: Aplicamos r2=x2+ y2 por lo tanto obtenemos x2+ y2+2 z2=4 Dividimos cada término ----> ecuación de un elipsoide.
7
11. Selecciones la opción correcta Una superficie cilíndrica esta: a) Generada por movimiento de una recta perpendicular a un eje y apoyada en una curva. b) Generada por la rotación de una curva alrededor de un eje. c) Generada por movimiento de una recta paralela a un eje y apoyada en una curva. 12. En un sistema cilíndrico (𝑟, 𝜃, 𝑧), que representa cada una de las coordenadas
r---->magnitud respecto al origen 𝜃---->Angulo formado respecto al eje x z---->Altura des el punto al plano 13. La ecuación 𝜃 = 𝑘 donde k es una constante en coordenadas esféricas representa: a) Un semiplano b) Un cono c) Un plano horizontal
Justificación: x2+ y2=z2
ρ2 sin∅2 cosθ2+ρ2 sin∅2 sin θ2=ρ2 cos∅ 2
ρ2 sin∅2 cosθ2+ρ2 sin∅2 sin θ2=ρ2 cos∅ 2
ρ2 sin∅2 (cosθ2+sinθ2 )=ρ2 cos∅ 2
ρ2 sin∅2 1=ρ2cos∅ 2
sin∅ 2=cos∅ 2
tan∅=1
∅ ¿ π4
14. Seleccione la opción correcta La ecuación 𝑧 = 𝑘𝑦2 (k = constante) representa en R3
a) Paraboloide. b) Cilindro Circular.
8
c) Cilindro Parabólico.
Justificación: Es un cilindro parabólico en coordenadas cilíndricas la variable que falta es paralela a la recta generatriz.
15. En un sistema esférico (𝜌, ∅, 𝜃) que representa cada una de las coordenadas
𝜌----> magnitud respecto al origen ---->radio ∅----> Angulo respecto al eje z ---->latitud 𝜃 ----> Angulo respecto al eje x---->azimut
16. La ecuación 𝑟 = 𝑘 en coordenadas cilíndricas representa: a) Un cono b) Una esfera c) Un cilindro
Justificación:
r=√x2+ y2
√ x2+ y2=k
x2+ y2=k2 ---->cilindro paralelo al eje z
Problemas de Desarrollo
9
17. Hallar la ecuación de la superficie de revolución generada por la rotación de la curva z2=2y, alrededor del eje y. ¿Cuál es el nombre de la superficie?
Justificación: (x2+ y2=[ f ( y)]2) x2+ y2=2 y ---->paraboloide circular
18. La curva 𝑧 = 4𝑦2 rota alrededor del eje z. ¿Cuál es el nombre de la superficie? . Justifique con una ecuación matemática.
Justificación:
Despejamos la función z=4 y2nos da y=√ z4 remplazamos en el
binomio
x2+ y2=¿¿¿2 ---->x2+ y2=z4 ---->ecuación de un paraboloide circular
19. En coordenadas cilíndricas 𝜃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 que representa. En coordenadas esféricas ∅ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 que representa. 𝜃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒Justificación: 𝜃 = arcotan( yx ¿
tan𝜃 = ( yx ¿
10
tan𝜃 = my=mx por lo tanto representa una recta en el plano ,un plano en el espacio.∅ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒Justificación: x2+ y2=z2
ρ2 sin∅2 cosθ2+ρ2 sin∅2 sin θ2=ρ2 cos∅ 2
ρ2 sin∅2 cosθ2+ρ2 sin∅2 sin θ2=ρ2 cos∅ 2
ρ2 sin∅2 (cosθ2+sinθ2 )=ρ2 cos∅ 2
ρ2 sin∅2 1=ρ2cos∅ 2
sin∅ 2=cos∅ 2
tan∅=1
∅ ¿ π4Representa un cono
20. Analice y bosqueje la gráfica de la siguiente ecuación en el espacio tridimensional
Justificación:
(x¿¿2−4 x)+ y2−2 z=−9¿(x¿¿2−4 x+4)+ y2−2 z=−9¿(x¿¿2−4 x+4)+ y2−2 z=−9¿(x−2)2+ y2−2 z=−9+4
(x−2)2+ y2−2 z=−5---->paraboloide
21. Identificar la superficie dada en coordenadas cilíndricas o esféricas, cuya ecuación es ρ ⋅ sen(φ ) = 4. Graficar la superficie.
11
Justificación: ρ ⋅ sen(φ ) = 4---->coordenadas esfericas
ρ ⋅ sen(φ ) = √ x2+ y2
√ x2+ y2=4
x2+ y2=16 ---->cilindro circular paralelo al eje z
22. Identificar mediante trazas y/o secciones las superficies que tienen por ecuación: a) x2− y2−z2
= 𝟒 b) 𝝆 ∗ 𝒔𝒆n(∅) = 𝟐
Justificación: a)x2− y2−z2
4=1---->hiperboloide de dos hojas
Trazasx=0− y2−z2
4=1---->no hay grafica
Y=0x2−z2
4=1---->hipérbola
Z=0
x2− y2
4=1---->hipérbola
b) x2+ y2=4---->cilindro circular paralelo al eje z
12
23. Identificar mediante trazas y/o secciones las superficies que tiene por ecuación: a) -9𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟗𝒛𝟐 = 𝟗
Justificación: −9 x2+ y2+9 z2 = 9−x2+ y
2
9+z2=1 ---->Hiperboloide de unas hojas
X=0y2
9+z2=1---->elipse
Y=0−x2+ z2=1---->hipérbolaZ=0
−x2+ y2
9=1----> Hipérbola
b) 𝝆= 𝟐𝒄𝒐s (∅) z= 𝝆 𝒄𝒐s (∅) ----> 𝒄𝒐s (∅) =zρ
𝝆= 𝟐 zρJustificación: ρ2=2 zρ2=x2+ y2+z2
x2+ y2+z2=2 zx2+ y2+(z−1)2=1---->elipsoide circularX=0 y2+(z−1)2=1---->circulo/elipseY=0x2+(z−1)2=1---->circulo/elipseZ=0x2+ y2=0---->circulo
13
24. Aplicar una transformación adecuada y describir verbalmente la superficie que se da:
𝑟 = 2𝑠𝑒n(𝜃) r2=x2+ y2𝑠𝑒n(𝜃)=yr
Justificación: x2+ y2=2 yx2+( y¿¿2−2 y+1)=1¿x2+( y−1)2=1---->cilindro desplazado en el eje y(0,1,0) paralelo al eje z
25. Hallar la ecuación de la superficie de revolución generada por la rotación de la curva z2=2y, alrededor del eje y. ¿Cuál es el nombre de la superficie?
Justificación: (x2+ y2=[ f ( y)]2)
x2+ y2=2 y ---->paraboloide circular
26. Hallar la ecuación de la superficie de revolución generada por la rotación de la curva z2=6x, alrededor del eje x. ¿Cuál es el nombre de la superficie?
Justificación:
14
z2+ y2=[ f (x )]2)
z2+ y2=6 x ---->paraboloide circular
27. Aplicar una transformación adecuada y describir verbalmente la superficie que se da:
𝜌 = 4𝑐𝑜s(∅) z= 𝝆 𝒄𝒐s (∅) ----> 𝒄𝒐s (∅) =zρ
Justificación: ρ2=4 zρ2=x2+ y2+z2
x2+ y2+z2=4 zx2+ y2+(z−2)2=4---->esferaX=0 y2+(z−2)2=1---->circuloY=0x2+(z−2)2=1---->circuloZ=0x2+ y2=0---->circulo
28. Reduzca la ecuación a una de las formas estándar, clasifique la superficie analizando las trazas o secciones de la superficie. 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟐𝒛 = −𝟒
Justificación: x2−4 x− y2−2 y+z2−2 z=4 (x¿¿2−4 x+4)−( y2−2 y+1)+(z2−2 z+1)=4−4+1−1¿ −(x−2)2+¿---->conoX=0¿---->rectaY=0
15
−(x−2)2−¿----> recta Z=0−(x−2)2+¿ ----> recta
29. Describir verbalmente la superficie dada por las siguientes relaciones:
𝒓 = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝜽) 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝝅 𝟏 ≤ 𝒛 ≤ 𝟐
Justificación: r2=x2+ y2𝑠𝑒n(𝜃)=
yr
x2+ y2=2 yx2+( y¿¿2−2 y+1)=1¿
x2+( y−1)2=1
30. Reduzca la ecuación a una de las formas estándar, clasifique la superficie analizando las trazas o secciones de la superficie.
𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟐𝒛 + 𝟏𝟕 = 𝟎
Justificación:
16
3 x2−6 x+2 y2−8 y+ z2+2 z+17=0 3(x¿¿2−2x+1)+2( y¿¿2−4 y+4 )+(z2+2 z+1)=¿¿¿ −17+3+8+1 3(x−1)2+2( y−2)2+¿ −5
−3 (x−1 )2
5−
2 ( y−2 )2
5−¿¿
TrazasX=0−( y−2 )2
52
−¿¿+35
Y=0
−( x−1 )2
53
−¿¿+25
Z=0
−( x−1 )2
53
−2 ( y−2 )2
52
=1+15
31. Describir verbalmente la superficie dada por las siguientes relaciones:
𝒓 = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝜽) 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝝅 𝟏 ≤ 𝒛 ≤ 𝟐
Justificación: r2=x2+ y2𝑠𝑒n(𝜃)=
yr
x2+ y2=2 yx2+( y¿¿2−2 y+1)=1¿x2+( y−1)2=132. Transformar la ecuación de la superficie dad a un sistema rectangular; identificar y graficar mediante trazas. (Usar escalas adecuadas)
𝒛 = 𝟏𝟎 − 𝒓𝟐
r2=x2+ y2
17
𝒛 = 𝟏𝟎 −(x2+ y2) ---->paraboloide circularTrazas
X=0𝒛 = 𝟏𝟎 − y2---->parábola
Y=0𝒛 = 𝟏𝟎 −x2---->parábola
Z=0
𝟏𝟎 = x2+ y2---->circulo
33. Transformar la ecuación de la superficie dada a un sistema rectangular; identificar y graficar mediante trazas. (Usar escalas adecuadas)
𝜌 = 3cos (∅)
z= 𝝆 𝒄𝒐s (∅) ----> 𝒄𝒐s (∅) =zρ
Justificación: ρ2=3 zρ2=x2+ y2+z2
x2+ y2+z2=3 z
x2+ y2+(z−32 )
2
= 94
---->esferaX=0
y2+( z−32 )
2
=94---->circulo
Y=0
x2+(z−32 )
2
=94---->circulo
Z=0
x2+ y2=2( 94 )---->circulo
18
34. Describir la traza cuando la superficie 2𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑧2 = 4 se intercepta con un plano x=xo.
Justificación: 2 x2− y2+2 z2=4 x2
2
− y4
2
+ z2
2
=1
TrazasX=x0
− y4
2
+ z2
2
=1−( (x0 )2
2 )----> c=1−( (x0 )2
2 )− y
4
2
+ z2
2
=c ----> Hipérbola
35. Transformar la siguiente ecuación a un sistema cilíndrico e identificarla
Justificación: x2+ y2= 2𝑧 ----> Paraboloide
r2=x2+ y2
r2= 2𝑧
19
36. Transformar la siguiente ecuación a un sistema esférico e identificarla
Justificación: x2+ y2
+ z2= 2𝑧----> esfera
ρ2=x2+ y2+z2
z= 𝝆 𝒄𝒐s (∅) ρ2=2ρ cos (∅ ) 𝝆 =2 𝒄𝒐s (∅) ----> esfera
Problemas de Aplicación: Parametrización 37. Encuentre la representación paramétrica de la siguiente superficie:
Justificación:
m=z2−z1
y2− y1
m=2−02−0
m=1y=x
x2+ z2=[ x]2
x2+ z2=x2
x2+ z2−x2=0
Parametrización
cono={ x=uy=ucos (t )z=usen( t)
0≤ t ≤2π 0≤u≤2
Código en Matlab>> syms x y z u t;
20
>> u=[0:pi/10:4];>> t=[0:pi/10:2*pi];>> [uu,tt]=meshgrid(u,t);>> x=uu.*cos(tt);>> y=uu.*sin(tt);>> z=uu;>> zz=sqrt(x.^2+y.^2);>> surf(x,y,zz)>>
38. Encuentre la representación paramétrica de la siguiente superficie:
Justificación: x2+ z2=9----> cilindro
Parametrización
cono={x=3 cos (t )y=u
z=3 sen (t) 0≤ t ≤2π 0≤u≤4
Código en Matlab
>> syms x y z u t;
>> u=[2:pi/10:4];
>> t=[0:pi/10:2*pi];
>> [uu,tt]=meshgrid(u,t);
>> x= uu.*cos(tt);
>> y= uu.*sin(tt);
21
>> z=(6-uu);
>> zz=sqrt(x.^2+y.^2);
>> surf(x,y,zz)
39. Encuentre la representación paramétrica de las siguientes superficies:
Justificación: x2+ y2=(z−1)---> paraboloide
Parametrización
parabola={ x=3cos ( t )y=usen (t)z=u2+1
0≤ t ≤2π 1≤u≤√3
Z=11=u2+1u=0
Z=44=u2+1u=√3
22
Cono truncado
x2++ x2=z-6
cono={ x=uy=ucos (t )z=usen( t)
0≤ t ≤2π 0≤u≤4
Código en Matlab
>> syms x y z u t;
>> u=[2:4];
>> t=[0:pi/10:2*pi];
>> [uu,tt]=meshgrid(u,t);
>> x=uu.*cos(tt);
>> y=uu.*sin(tt);
>> z=6-uu;
>> zz=-sqrt(x.^2+y.^2)+6;
>> surf(x,y,zz)
>> hold on
>> syms a b c f g;
>> f=[0:pi/10:pi/2];
>> g=[0:pi/10:2*pi];
>> [ff,gg]=meshgrid(f,g);
>> a=ff.*cos(gg);
>> b=ff.*sin(gg);
>> c=(3/4).*(ff).^2 + 1;
>> surf(a,b,c)
>>
23
40. Encuentre la representación paramétrica de las siguientes superficies: Cono: radio menor = 1; radio mayor =4; altura=3; altura cono hasta plano xy = 1
x2+ y2=[ z]2
x2+ y2=z2
Parametrización
cono={x=ucos ( t )y=usin (t )z=u
0≤ t ≤2π 1≤u≤4
Código en Matlab
>> syms x y z u t;
>> u=[1:pi/10:4];>> t=[0:pi/10:2*pi];>> [uu,tt]=meshgrid(u,t);>> x=uu.*cos(tt);>> y=uu.*sin(tt);>> z=uu;>> zz=sqrt(x.^2+y.^2);>> surf(x,y,zz)
41. Encuentre la representación paramétrica de las siguientes superficies
24
CONO: radio = 2; altura = 2 ESFERA: Hemisferio desplazado y de radio = 2
x2+ y2=[ z]2
x2+ y2=z2
Parametrización
cono={x=ucos ( t )y=usin (t )z=u
0≤ t ≤2π 0≤u≤2
x2+ y2+(z−2)2=4
Parametrización
esfera={x=2sin(t)cos (u )y=2sin ( t )sin (u)z=2cos (u )+2
0≤ t ≤2π 0≤u≤π2
Código en Matlab
clc clear allsyms x y z u t;u=[0:2];
25
t=[0:pi/10:2*pi];[uu,tt]=meshgrid(u,t);x=uu.*cos(tt);y=uu.*sin(tt);z=uu;zz=sqrt(x.^2+y.^2);surf(x,y,zz)hold onsyms a b c f g;f=[0:pi/10:pi/2];g=[0:pi/10:2*pi];[ff,gg]=meshgrid(f,g);a=2*cos(gg).*sin(ff);b=2*sin(gg).*sin(ff);c=2*cos(ff)+ 2;surf(a,b,c)
26
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