Simulación en Ing. Eléctrica - Integración numérica

Simulación en Ingeniería Eléctrica

ELI-213

INFORME: GUÍA DE TRABAJO N° 6

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Profesor: - Esteban Gil Sagás

Integrantes: - Sebastián Flores Carrasco

- Carlos Vergara Branje

Fecha: 13/06/2014

Pregunta 1:

Pregunta 2: Con el fin de conocer la influencia del campo magnético sobre las propiedades eléctricas de ciertos gases se realiza un experimento consistente en lanzar una partícula

cargada eléctricamente dentro de un recipiente que contiene el gas. El experimento consiste en arrojar la partícula de manera perpendicular a la dirección de un campo magnético de magnitud H 0 y registrar el movimiento de la partícula en el recipiente. El movimiento de una partícula estuvo caracterizado por una curva paramétrica (espiral logarítmica) determinada por:

x (t )=3cos (t ) e−0.04 t [cm ] ,t ∈ [0,100 ] y (t )=3sin (t ) e−0.04 t [cm ] ,t∈ [0,100]

La distancia d (t ) que recorre la partícula hasta el instante t se puede determinar mediante integración (largo de un arco para funciones paramétricas):

d (t )=∫0

t

√x ' ( t )2+ y ' (t )2

a) Grafique la trayectoria de la partícula y obtenga una expresión para d (t ). Programe el integrando de d (t ) como una función en Matlab.

b) Divida el intervalo de tiempo [0,100] en n sub-intervalos para distintos valores de n. Utilice los métodos del trapecio, de Riemann y de Simpson para estimar la distancia recorrida por la partícula para cada valor de n (paso h=100/n). Compare gráficamente la convergencia de cada método en la medida que n crece.

c) Usando valores tabulados para los pesos y nodos, estime la distancia recorrida por la partícula utilizando integración de Gauss-Legendre para n=1 ,… ,5 nodos.

d) Usando la función 'lgwt.m' provista en la página web, estime la distancia recorrida por la partícula usando integración de Gauss-Legendre para n>5 nodos y muestre gráficamente como converge.

Solución:

a) Primero se define la función del integrando en Matlab, según el siguiente código:

Luego se grafica el movimiento se la partícula, teniendo las componentes definidas del movimiento en el plano de x e y, según el siguiente código:

Lo que arroja el siguiente gráfico:

Comenzando el movimiento en el punto (3,0). Como se aprecia en el gráfico, la partícula sigue una trayectoria paramétrica, según el comportamiento de las componentes x e y.

b) Se programa el siguiente código, en el cual se utiliza la función creada anteriormente:

Lo que entrega el siguiente gráfico:

Como se observa en el gráfico, la integración que converge más rápido es por método de Simpson, siendo necesario solo un par de sub-intervalos. Luego le sigue el método del trapecio, el cual se acerca la integral definida un poco después de los 10 sub-intervalos.

Por último, la integral por suma de Riemann es la que converge más lento, siendo necesario unos 80 sub-intervalos, aunque no converge como lo llega a ser por método Simpson o Trapecio.

c) Con los valores tabulados de pesos y nodos presentados en el marco teórico, y dada la trasformación lineal necesaria para cambiar los límites de integración, se programó el siguiente código en Matlab:

Lo que entrega los siguientes valores:

Nodos Distancia Recorrida [cm]1 40.6330524571567722 70.8686138972702653 73.5919932211178184 73.6835523580093225 73.685186352230787

Considerando que la integral definida es de 73.685204603416452, desde los 3 nodos se puede decir que se acerca al valor real, aunque desde los 4 nodos el valor respecto al real tiene una diferencia de punto flotante en el orden 10−3, lo que es poco como error porcentualmente.

d) Usando la función programada 'lgwt.m' se analizó el caso para 5<n≤15, según el siguiente código:

Lo que entrega los siguientes valores de integración por cantidad de nodos:

Nodos Distancia Recorrida [cm]6 73.6852044657793787 73.6852046026629358 73.6852046034134109 73.68520460341649410 73.68520460341642311 73.68520460341633812 73.68520460341640913 73.68520460341640914 73.68520460341646615 73.685204603416324

Gráficamente:

Se tiene que la integral definida es de 73.685204603416452 (distancia recorrida real), y como se aprecia, sobre los 5 nodos es muy parecido por método de integral de Gauss-Legendre.

Como observación, se aprecian subidas y caídas de valor de integral entre nodos, no siendo un comportamiento lineal a medida que se tengan más nodos. Como se está cerca del valor real, existiendo variaciones de punto flotante del orden 10−12, las crecidas y caídas se pueden atribuir a un error de truncamiento por parte del programa.

De todas formas, un error de ese orden es bajo, por lo que ya 6 nodos serían considerados como buena cantidad para integrar.