正の奇数に対するゼータ定数の値について

正の奇数に対するゼータ定数の値についてToshiki Takahashi

2015/10/31dgbjdjg@hotmail.co.jpζ

.6

)2(2

ζ

第３回日曜数学会 2

オイラー第３回日曜数学会 3

)3(ζ)4(ζ

)17(ζ

)30(ζ

ゼータ関数に整数を代入したもの→ ゼータ定数第３回日曜数学会 4

小史

ζ第３回日曜数学会 5

ヤコブ・ベルヌーイ 関孝和第３回日曜数学会 6

.)!1(

)1()1()( 1

nBnn nn

ζ

1n のときに限る第３回日曜数学会 7

ラマヌジャン第３回日曜数学会 8

第３回日曜数学会 9

ロジェ・アペリ第３回日曜数学会 10

アペリの証明ζ(2n) はすべてのｎに対して無理数（リンデマン 1882 ）↓ζ( ２ ) と ζ( ３ ) は無理数である（アペリ 1978 ）

第３回日曜数学会 11

ワディム・ズディリン第３回日曜数学会 12

ズディリンの証明ζ( ２ ) と ζ( ３ ) は無理数であるを再証明↓ζ( ５ ), ζ( ７ ), ζ( ９ ), ζ(11) の少なくとも１つは無理数（ズディリン 2001 ）

第３回日曜数学会 13

辻　順平第３回日曜数学会 14

ζ(s) を触ったζ(s) を食べたζ(s) を印刷した

第３回日曜数学会 15

計算

ζ第３回日曜数学会 16

.)log(

)(a

niiaia

nennn

θθθ

第３回日曜数学会 17

.)logsin()logcos(

)(

1

1

)log(

naa

na

ni

in

nn

nn

eia

θθ

θζθ

第３回日曜数学会 18

実験

ζ第３回日曜数学会 19

Excelで計算

ζ(a+θi) のa に自然数 2,3,... をθ に 0 を 代入しn=200,000 までの総和をとった。第３回日曜数学会 20

結果

ζ第３回日曜数学会 21

3...1.00200839)9(6...1.00407735)8(7...1.00834927(7)2...1.01734306)6(5...1.03692775(5)4...1.08232323(4)3...1.20205690)3(

...644929067.1)2(

ζζζζζζζζ

第３回日曜数学会 22

1...1.00000000)30(

8...1.00003058(15)8...1.00006124(14)3...1.00012271(13)7...1.00024608(12)9...1.00049418(11)5...1.00099457)10(

ζ

ζζζζζζ

第３回日曜数学会 23

結論

第３回日曜数学会 24

ζ

.1)(lim

nn

ζ

第３回日曜数学会 25

自然数から正の実数に拡張しても成立する

第３回日曜数学会 26

71.00834927(7)...1.01407286)(2

5...1.03692775(6)4...1.08232323(4)

...81.17624173)(3...1.20205690)3(

...41.26900960)(

...644929067.1)2(

ζζζζζζζζ

e

第３回日曜数学会 27

.1)(lim

aa

ζ

第３回日曜数学会 28

展開

第３回日曜数学会 29

ζ

.)( xnn

ζ

第３回日曜数学会 30

).(logloglog nnx ζ

第３回日曜数学会 31

.1)(lim

nn

ζ

第３回日曜数学会 32

.1lim)(lim xn

n

nn

ζ

第３回日曜数学会 33

,0≫n

.1)( xnn

ζ

第３回日曜数学会 34

.)( xaa

ζ

第３回日曜数学会 35

,0≫n

.1)( xaa

ζ

第３回日曜数学会 36

?...)( sζ

第３回日曜数学会 37

第３回日曜数学会 38

第３回日曜数学会 39

.1)(lim

ss

ζ

第３回日曜数学会 40

,21

≫s

宿題

第３回日曜数学会 41

ζ

?)12( nζ

第３回日曜数学会 42

ヒント

ζ第３回日曜数学会 43

.?2

)2()12(lim

nnn

ζζ

第３回日曜数学会 44

1...1.00000000)30(

8...1.00003058(15)8...1.00006124(14)3...1.00012271(13)7...1.00024608(12)9...1.00049418(11)5...1.00099457)10(

ζ

ζζζζζζ

第３回日曜数学会 45

3...1.00200839)9(6...1.00407735)8(7...1.00834927(7)2...1.01734306)6(5...1.03692775(5)4...1.08232323(4)3...1.20205690)3(

...644929067.1)2(

ζζζζζζζζ

第３回日曜数学会 46

2.00235386 14,n2.00354297 13,n2.00538655 12,n2.00818816 11,n2.01253973 10,n2.01934796 9,n2.03015844 8,n2.04771842 7,n2.07719327 6,n2.12925232 5,n2.22930513 4,n2.45443349 3,n3.19181902 2,n

第３回日曜数学会 47

.21)12(1)2(

lim

nn

n ζζ

第３回日曜数学会 48

.21

2)2()12(lim

nnn

ζζ

第３回日曜数学会 49