Matemática Financeira - Equivalência de Capitais

Washington Franco MathiasJosé Maria Gomes

MatemáticaFinanceira

Com + de 600 exercíciosresolvidos e propostos

5ª Edição

Capítulo 4

EQUIVALÊNCIADE

CAPITAISMathiasGomes

Equivalência de Capitais

• Data Focal: é a data que se considera como basede comparação dos valores referidos a datas dife-rentes.• Equação de Valor: é a equação que torna possí-vel igualar capitais diferentes, referidos a datas di-ferentes, para uma mesma data focal, fixada uma certa taxa de juros.• Capitais equivalentes: dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalen-tes quando, levados para uma mesma data focal àmesma taxa de juros, tiverem valores iguais nestadata.

EXEMPLO

MathiasGomes

ExemploCerta pessoa tem um nota promissória a receber com valor no-minal de $ 15.000,00, que vencerá em dois anos. Além disso,possui $ 20.000,00 hoje, que irá aplicar à taxa de 2% a.m., du-rante dois anos. Considerando que o custo de oportunidade docapital hoje, ou seja, a taxa de juros vigente no mercado, é de2% a.m., pergunta-se: a) Quanto possui hoje ?b) Quanto possuirá daqui a um ano ?c) Quanto possuirá daqui a dois anos ?

Resolução: Representamos o problema graficamente:

20.000 YZ

(Meses)

X

0 12 24

MathiasGomes

ExemploSejam: x = quantia que possui na data zero.

y = quantia que possuirá na data 12 meses.z = quantia que possuirá na data 24 meses.

Temos então:

a) Hoje: x = 20.000 + 15.000/(1,02)24 = 20.000 + 9.325,82Portanto: x = 29.325,82

b) Daqui a 1 ano:y = 20.000 (1,02)12 + 15.000/(1,02)12

y = 25.364,84 + 11.827,40y = 37.192,24

MathiasGomes

Exemplo

Assim, à taxa considerada, podemos dizer que a pessoa possui hoje $ 29.325,82. Ela possuirá $ 37.192,24 daqui a umano e $ 47.168,74 daqui a 2 anos.

c) Daqui a 2 anos:z = 20.000 (1,02)24 + 15.000z = 32.168,74 + 15.000z = 47.168,74

MathiasGomes

ExemploConsidere-se o exercício resolvido anteriormente. As expres-sões de primeiro grau em x, y e z são equações de valor.

Assim, o valor y = 37.192,24, calculado na data focal12, é composto de duas parcelas: $ 25.364,84, que é o mon-tante de $ 20.000,00 à taxa de juros compostos de 2% a.m. e $ 11.827,40, que é o valor atual ou valor presente de $ 15.000,00 à taxa de juros compostos de 2% a.m.

O valor z = 47.168,74 foi obtido através de uma equa-ção de valor, com a qual passamos diretamente da data focal0 para a data 24.

Podemos pensar em uma nova equação de valor, em que usemos o valor y = 37.192,44 referido à data focal 12 e,daí, passemos à data focal 24.

Nestas condições, temos:z´= 37.192,24 (1,02)12

z’ = 47.168,74MathiasGomes

Exemplo

Podemos concluir que, usando a taxa de juros compos-tos a que se referem as aplicações de capital, as equações devalor em z e z’ dão resultados iguais. Logo, a solução deste problema de comparação de capitais no regime de juros com-postos não depende da data focal considerada.

MathiasGomes

ExemploConsideremos os valores nominais seguintes:

Capital ($) Datas de vencimento (anos)1.100,00 11.210,00 21.331,00 31.464,10 41.610,51 5

Admitindo-se uma taxa de juros compostos de 10%a.a., verificar se os capitais são equivalentes na data focalzero.

Resolução: Calculemos os valores atuais na data zero:

MathiasGomes

Exemplo00,000.1

)10,1(00,100.1

)1( 11

11 ==

+=

iCV

00,000.1)10,1(00,210.1

)1( 22

22 ==

+=

iCV

00,000.1)10,1(00,331.1

)1( 33

33 ==

+=

iCV

00,000.1)10,1(10,464.1

)1( 44

44 ==

+=

iCV

00,000.1)10,1(51,610.1

)1( 55

55 ==

+=

iCV

MathiasGomes

ExemploLogo, podemos concluir que:

V1 = V2 = V3 = V4 = V5

Como os capitais são equivalentes a esta taxa de juros, istoquer dizer que o possuidor de dois ou mais destes capitais,ficará indiferente quanto aos valores nominais. Em outras pa-lavras, a pessoa fica indiferente a possuir $ 1.100,00 em 1 a-no ou $ 1.464,10 daqui a 4 anos, desde que a taxa de jurosseja de 10% a.a.

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Valor Atual de um Conjuntode Capitais

Conjunto de Capitais: é uma carteira de aplicações.Pode ser caracterizada pelo valor nominal do títuloe por sua data de vencimento.

CAPITAL DATA DEVENCIMENTO

C1 1C2 2

Cn n

Valor da carteira na data “zero” à taxa de juros “i”:

n

n

ic

ic

icV

)1(...

)1()1( 2

2

1

1

+++

++

+=

EXEMPLO

MathiasGomes

ExemploConsideremos os valores nominais seguintes:

Admitindo-se taxa de juros de 3% a.m., pergunta-sequal o valor atual deste conjunto na data focal zero.

Resolução: A situação é a seguinte:

Capital ($) Data de Vencimento (Mês)1.000,00 62.000,00 125.000,00 15

V5.000

(Meses)

1.0002.000

0 6 12 15MathiasGomes

ExemploTemos, então:

55,449.531,209.376,402.148,837

)03,1(000.5

)03,1(000.2

)03,1(000.1

15126

=++=

++=

VV

V

Podemos concluir que $ 5.449,55 é o valor da carteirana data zero, à taxa de 3% a.m. Ou seja, se a pessoa vendera carteira hoje (data zero) por $ 5.449,55, o comprador esta-rá ganhando uma taxa de 3% a.m.

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Conjuntos Equivalentesde Capitais

Dados dois conjuntos de valores nominais com seus prazos contados a partir da mesma data de ori-gem:

11

1

2

2

1

1

')1('...')1(

')1(

...)1()1( mi

cmi

cmi

cmi

cmi

c n

n

n

+++

+=

+++

++

+

Dada uma taxa de juros “i”, os conjuntos sãoequivalentes em uma data focal se os seus valores a-tuais forem iguais:

Capital Data de Capital Data devencimento vencimento

C1 m1 C'1 m'1C2 m2 C'2 m'2... ... ... ...Cn mn C'n m'n

1º Conjunto 2º Conjunto

EXEMPLO

MathiasGomes

ExemploVerificar se os conjuntos de valores nominais, referidos

à data zero, são equivalentes à taxa de juros de 10% a.a.

Resolução: Para fazer a comparação dos valores atuaisà taxa dada, escolhemos a data focal zero:

a) 1º conjunto de capitais:

Capital Data de Capital Data de($) vencimento ($) vencimento

1.100,00 1º ano 2.200,00 1º ano 2.420,00 2º ano 1.210,00 2º ano1.996,50 3º ano 665,5 3º ano732,05 4º ano 2.196,15 4º ano

1º Conjunto 2º Conjunto

43211

)1,1(05,732

)1,1(50,996.1

)1,1(420.2

)1,1(100.1

+++=V

MathiasGomes

Exemplo

00,000.500,50000,500.100,000.200,000.1

1

1

=+++=

VV

b) 2º conjunto de capitais:

00,000.500,500.100,50000,000.100,000.2

)1,1(15,2196

)1,1(50,665

)1,1(210.1

)1,1(200.2

2

2

43212

=+++=

+++=

VV

V

Como V1 = V2, concluímos que, à taxa de 10% a.a., os doisconjuntos são equivalentes. Isto quer dizer que uma pessoa ficará indiferente entre possuir uma carteira de títulos igualao 1º ou ao 2º conjunto, desde que a taxa de juros vigen-tes no mercado seja 10% a.a.

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