Chuyên đề luyện thi đại học về số phức

Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã Trang 1

Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức: Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:

1) z = 2 3(2 )(3 ) (1 2 )i i i− − − − 2) z = (2 + i)3 – (3 - i)3. 3) z = 5(4 2 ) 7 (8 5 )i i i− + −

4) z = 2 5(1 3 )( 2 )(1 )

ii i i− +

+ − − + 5) z = 7

7

1 12

ii i −

6) z = 1 3 1 31 2 1 2

i ii i

+ −+

− +

7) z = 2 3( 3 2 )(1 ) (1 2 ) (3 )i i i i− + − + − + 8) z = 2 2(4 ) (1 3 )i i− − − 9) z = 2 2( 2 5 ) (4 8 )i i− + +

11) z = (2 ) (1 )(4 3 )3 2

i i ii

+ + + −−

12) z = 3 21

i ii i− +

−+

13) z = 2

3

( 3 2 )(1 )(1 2 ) (3 )

i ii i

− + −− +

15) z = (3 4 )(1 2 ) 4 31 2i i i

i− +

+ −−

16) (3 )(2 6 )1i i

i+ +

− 17) ( ) ( )

( ) ( )22

22

223121

iiiiz

+−+−−+

=

18) z = 4 4(2 7 ) [(1 2 )(3 )]i i i+ − − + 19) z = 75 (1 )i i− 20) z = 3 4(2 ) (2 )i i+ −

Bài 2. Cho số phức z = 2 - 5i. Tìm phần thực, phần ảo và môđun: 1) z2 – 2z + 4i. 2) 1

z iiz+−

.

Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn 2(1 3 )

1iz

i−

=−

. Tìm môđun của số phức z iz+ .

Bài 4. Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z2 = -2 + 3i, z3 = 1 – i. Hãy tính và sau đó tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:

1) 2 2

1 22 2

2 3

z zz z

++

2) 1 2 2 3 3 1z z z z z z+ + 3) 1 2 3z z z 4) 2 2 21 2 3z z z+ + 5) 31 2

2 3 1

zz zz z z+ +

Bài 5. Tìm các số thực x, y sao cho:

1) (1 – 2i)x + (1 + 2y)i = 1 + i 2) ii

yi

x=

−−

++−

33

33 3) ( ) ( ) ( )iyxyxyxyixi 2222 23

2142343 −+−=++−

Bài 6. Cho ba số phức 1 2 31 4 ; 1 5 ; 3 3z i z i z i= + = − + = − − có các điểm biểu diễn lần lượt là A, B, C. Hãy tìm số phức z có điểm biểu diễn là:

1) trọng tâm G của tam giác ABC. 2) D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD. 3) trực tâm H của tam giác ABC. 4) tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Bài 7. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức biểu diễn các số: 1

4−ii ; (1 – i)(1 + 2i) ;

ii

−+

362 .

1) CMR: ∆ABC vuông cân. 2) Tìm số phức biểu diễn điểm D, sao cho ABCD là hình vuông Tính toán:

1) Cho số phức iiz

−+

=11 . Tính z2009. 2) Tính:

2004

11

+ i

; 21

321335

−+

ii

; ( )( )11

5

31

3

i

i

−

+

3) Tính giá trị biểu thức: 816

11

11

+−

+

−+

=ii

iiA

66

231

231

++

+−=

iiB

Dạng 2: Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: Bài 1. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện:

1) 2 1 31 2

i izi i

+ − +=

− + 2)

4

1z iz i+ = −

. 3) (9 3 ) (11 6 ) 5 7i i iz

− − += − 4) 8

3

=

−+

iziz

5) (1 + i)z2 = -1 + 7i 6) ( ) 12 3 02

i z i izi

+ + + + = 7) 3 5 1 2 (1 )(4 3 )

1 3 2i iz i ii i

+ ++ = − +

−

8) 3(1 2 ) (3 4 ) 2 3i z i i+ − − = − + 9) (2 ) 3 4i z i− = + 10) 2( 2 5 ) ( 2 7 ) (1 )(1 2 )i z i i i+ = − + − − − 10) (i+1)2(2– i)z = 8 +i+(1+2i)z (CĐ’09) 11) 5(1 ) (3 2 )(1 3 )i z i i− = + + 12) ( 2 7 ) (14 ) (1 2 )i z i i z− + = − + −

Bài 2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau: 1) 2 3 4z z i− = − . 2) 22 0z z+ = 3) 2z + 3 z =2+3i 4) z2 = z + 2 5) 2 0z z+ = .

6) (2 ) 10z i− + = và . 25z z = (ĐH.B’09) 7) 2i ( )( )1 2z z i− + là số thực và 1 5z − =

Chuyên đề luyện thi đại học về số phức

Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã Trang 2

8) 1z = và phần thực bằng 2 lần phần ảo. 9)

−=−=−

|||1||||2|izz

ziz 11) 1 1z

z i−

=−

và 3 1z iz i−

=+

Dạng 3: Giải phương trình bậc hai - tìm số phức z. Bài 1. Giải phương trình trên tập số phức:

1) z2 – z + 1 = 0. 2) x2 – 6x + 25 = 0 3) ( ) ( )2 22 1 3 0z z+ + + = 4) z2 + 2z +5 = 0

5) 2 5 0x x− + − = 6) z2 – 3z + 3 + i = 0 7) x4+ 7x2 + 10 = 0 8) 4 25 4 0x x+ + = Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) ( ) ( )23 6 3 13 0z i z i+ − − + − + = 2) ( ) ( )22 24 12 0z z z z+ + + − = 3)23 33. 4 0

2 2iz izz i z i+ + − − = − −

Bài 3. (ĐH.A’09) Cho z2 + 2z + 10 = 0 có hai nghiệm phức z1 và z2 là nghiệm. Tính giá trị 2 21 2A z z= + .

Bài 4. Giải phương trình sau trên tập số phức:

1) 2

4 3 1 02zz z z− + + + = 2) 01

23

=++−

+

+−

+

+−

iziz

iziz

iziz 3) 10)2)(3)(( 2 =++− zzzz

4) z4 + 2z3 – z2 + 2z + 1 = 0 5) z4 – 4z3 + 6z2 – 4z – 15 = 0. 6) 4 2 23 (1 ) 4(1 ) 0z z z z− + − + = 7) (z2 + 3z + 6)2 + 2z(z2 + 3z + 6) - 3z2 = 0 8) z6 + z5 – 13z4 – 14z3 – 13z2 + z + 1 = 0 Bài 5. Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo:

1) z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 2) z3 + (1 + i)z2 + (i – 1)z – i = 0 Dạng 4: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước. Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn các điều kiện: 1) 3 4z z+ + = 2) 1 2z z i− + − = 3) (3 4 ) 2z i− − = . (ĐH.D’09) 4) |z – 2| + |z + 2| = 10

5) 2 2( ) 4z z− = 6) 3 2 1z i− + = 7) (1 3 ) 3 2z i z i+ − = + − 8) 2 2z i z z i− = − +

9) |2i.z – 1| = 2|z+3| 10) 9. =zz 11) (3 2 )(1 ) 1z i i− + − = 12) |z + i| = |z – 2 – 3i|

13) |z + 2| = |i – z| 14) 3(1 ) 1z i− − = 15) 2( )z i− là một số thực dương 16) 1222 −=− zzi

17) 13=

+−

iziz 18) 4z i

z i−

=+

19) 1 1z i

=+

20) iz

z+− 2 là số thực 21) z i

z i+−

là một số thực dương

22) 2( 1 )z i− + là một số thuần ảo. 23) ( )2 ( )z i z− + là số thực tùy ý, 24) 11z −

là một số thuần ảo.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: 2 3z i z i− = − − .

Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất. Dạng 5: Dạng lượng giác và Acgumen của số phức.

Dạng lượng giác của số phức: ( )ϕϕ sincos irz += ; r ≥ 0. ϕ được gọi là agumen. r là môđun của z. Bài 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

1) 31 i− 2) 1 + i 3) )1)(31( ii +− 4) i

i+

−1

31 5)

i221+

6) )3(2 ii −

Bài 2. Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi trường hợp sau:

1) |z| = 3 và một acgumen của iz là 4

5π 2)

31

=z và một acgumen của i

z+1

là 4

3π−

Bài 3. Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: 04322 =−− izz .Viết dạng lượng giác của z1 và z2 Một số bài tập: 1. Tìm căn bậc hai của số phức: -8 + 6i; 3 + 4i ; i221−

2. Xác định phần thực của số phức 11

−+

zz

, biết rằng |z| = 1 và z ≠ 1.

3. Chứng minh rằng: nếu 11

−+

zz

là số ảo thì |z| = 1.