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ECUACIONES EMPÍRICAS
Resumen:
Las ecuaciones son precisiones en determinar la estructura de alguna gráfica de
manera objetiva a partir de sus raíces que presenta, de tal manera que para hallar lo
aquello, se necesita unas técnicas como son: determinación por método grafico; en
ello se halla de manera visual a base de la grafica plasmada y el otro es el método
analítico que consiste en análisis matemático a base de cálculos en la cual se considera
como uno de los temas de estadística clásica que es la regresión lineal, en todo lo
anterior se desarrolla lo que es la pendiente y el intercepto de una ecuación lineal o de
primer grado. Para ello se hace una experimentación del periodo del tiempo de un
péndulo simple, en forma de oscilación de ciertas longitudes
I. OBJETIVOS.
1.1. Determinar la ecuación empírica del periodo del péndulo.
1.2. Desarrollar métodos gráficos y analítica para tener información del
experimento en estudio.
II. MARCO TEÓRICO.
2.1. Introducción:
Una ecuación se le denomina como una igualdad de dos expresiones matemáticas; que
se va verificar para algún conjunto particular de valores que tome la variable
(incógnita). [5]
De tal manera las ecuaciones se presentan de dos formas muy importantes como las
algebraicas y las no algebraicas (trascendentes). Que para nuestro caso usaremos lo
que es la trascendente por motivo de aplicación de logaritmos (natural) u otras formas
de variables. [4]
La física es una ciencia experimental por excelencia y como tal en el estudio de un
fenómeno físico, no puede realizar mediciones. Generalmente, en el laboratorio al
empezar el estudio de fenómeno físico, se obtiene un conjunto de valores
correspondientes a dos variable, una dependiente de la otra. Esta dependencia entre
variables se puede expresar matemáticamente mediante una ecuación que tome el
nombre de una ecuación empírica.
Las ecuaciones presentan ciertos partes como los siguientes:
2.1.1 Variable. Es una cantidad a la cual se puede asignar, durante un proceso de
análisis, un número ilimitado de valores; que también se le denomina incógnita.
2.1.2 Constante. Es una cantidad que tiene un valor fijo durante un proceso de
análisis; se distingue dos tipos de constantes:
2.1.2.1 Absolutas. Tienden tener el mismo valor en todo los procesos (por ejemplo;
𝜋, 5, 𝑒 )
2.1.2.2 Arbitrarias. Tienden tener un valor diferente en cada proceso particular
(“parámetros”).
2.1.3 Función.
Se denota función a la relación de dos conjuntos, de modo que los conjuntos de
partida tienden salir de un solo elemento; expresando matemáticamente se le denota
de la siguiente forma:
𝑓: 𝑋 → 𝑌 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛, ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋, ∃! 𝑦 ∈ 𝑌 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒: (𝑥; 𝑦) ∈ 𝑓
De lo anterior diremos que una función “f” es un conjunto de pares ordenados (x; y) en
el cual dos pares distintos no tienen la misma componente, es decir que a cada 𝑥 ∈ 𝑋
le corresponde uno solo un 𝑦 ∈ 𝑌. [5]
Cuando dos variables “x” e “y” están relacionadas de forma tal que para cada valor de
“x” le corresponde una de “y”, se dice que “y” es una función de “x” y se le denota de
la siguiente manera: 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Dónde: “y” es variable dependiente o función, y “x” es la variable independiente.
Durante un experimento a la variable independiente se le dan valores
predeterminados y el valor del valor dependiente es observado y medido
subsecuentemente.
Para deducir la correcta ecuación empírica es necesario obtener un buen gráfico de
nuestros datos experimentales, por lo que debemos tener lo siguiente:
2.2. Trazar en papel milimetrado dos ejes perpendiculares. En el eje horizontal se
anotan los valores de variable “x” y en el eje vertical los valores de la variable
dependiente “y”.
2.3. Elegir escalas apropiadas en cada una de los ejes, de acuerdo al rango se dé la
variación de los datos. En este aspecto es recomendable usar escalas: (1:1) ;(1:2) ;(1:5).
Es decir que, si el conjunto de valores de la variable “x” es: 3.4kg; 5.8kg; 3.6kg,
debemos usar la escala 1:1. Esto significa que un 1kg del valor de la variable debe ser
representado por 1cm en el correspondiente eje sobre el milimetrado. En algunos
casos es conveniente usar potencia de 10. Así por ejemplo; si los valores de alguna de
las variables son: 0,008; 0,065; 0,018; 0,015, podemos escribir:
8 × 10−3; 65 × 10−3; 18 × 10−3; 15 × 10−3
Las escalas son aproximaciones de graficas de gran dimensión o de menor dimensión
en dimensiones apropiadas de tal manera que se visualicen lo mejor manera mente
en el la gráfica diseñada; lo que para nuestro caso es en el papel milimetrado. De tal
forma también se hace la referencia que la gráfica en el papel milimetrado tiene que
ocupar casi todo el espacio para su mayor visualización; en este caso se puede
utilizar también dos escalas diferentes; ya sea en la variable dependiente o
independiente.[4]
2.4. tratar en lo posible el grafico ocupe el mayor parte del papel milimetrado y
tenga una ubicación simétrica con respecto a los dos ejes.
2.5. Trazar una línea continua y nítida que pase entre los puntos, de forma tal que
estos queden uniformemente distribuidos a ambos lados de la línea.
2.6. Comparar la línea obtenida con cada una de las curvas tipo que se muestren en
la figura (1 y 2) y por similitud asignar la ecuación empírica que le corresponda.
De las gráficas la relación lineal es la más importante porque la más usada para
deducir la ecuación empírica de un fenómeno en estudio. Por lo tanto, en la ecuación
de la recta.
𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥 (1)
Debemos reconocer las siguientes constantes importantes:
Pendiente (B); es la tangente del ángulo de inclinación de la recta. Es decir que: 𝐵 =
𝑡𝑔(𝜃)
Intercepto (A); es la distancia del origen al punto donde la recta corta al eje vertical
“y”.
Cuando la recta pasa por el origen, A = 0 y su ecuación es la relación proporcional:
𝑦 = 𝐵𝑥 (2)
Linealización de una curva.La mayor información de un fenómeno se puede obtener,
cuando los valores de sus variables pueden representarse mediante una línea recta:
por esta razón es conveniente convertir una relación lineal la relación de variables de
cualquier otra curva que obtengamos experimentalmente. Para ello se hace una
transformación de variable en ambos miembros de la ecuación empírica obtenida.
Este proceso se denomina linealización de la curva. Ejemplo. Si el gráfico de los datos
experimentales es una de las curvas de potencias que se muestra en la figura 2, su
ecuación empírica tendrá la forma:
𝑌 = 𝑘𝑥 𝑛(3)
Donde “k” y “n” son constantes a determinar.
2.6.1. Esta ecuación puede estar linealizada tomando logaritmos a ambos miembros:
𝑙𝑛𝑌 = 𝑙𝑛𝑘 + 𝑛(𝑙𝑛𝑥) (4)
Haciendo el siguiente cambio de codificación:
𝑌 = 𝑙𝑛𝑦 ; 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥; 𝐴 = 𝑙𝑛𝑘; 𝐵 = 𝑛
La ecuación (3) se transforma en:
𝑌 = 𝐴 + 𝐵𝑥 (5)
Que es una ecuación de una recta y consecuentemente el gráfico de las nuevas
variables “y” vs. “x” debe ser una línea recta.
2.6.2. En el caso que se conociera el valor de la constante “n” de la ecuación (3) la
forma de linealizar esta curva es haciendo el siguiente cambio de variables:
𝑌 = 𝑦; 𝑋 = 𝑥 𝑛; 𝐵 = 𝑘
Con lo cual la nueva ecuación es el de una curva de una recta del tipo:
𝑌 = 𝐵𝑥 (6)
2.7. Determinación de las constantes.
2.7.1 Método gráfico.
Este método consiste en determinar directamente la pendiente y el intercepto partir
de la gráfica. Para hallar la pendiente de la recta se elige (2) puntos de esta que no
sean los puntos experimentales. Por ejemplo:𝑃1(𝑥1,𝑦1); 𝑃3(𝑥2,𝑦2 ) y entonces el valor
de la pendiente se obtiene usando la fórmula:
𝐵 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
= ∆𝑦
∆𝑥(7)
El valor del intercepto se lee en el punto de corte de la recta graficada o su
prolongación con el eje de ordenadas.
2.7.2 Método analítico o estadístico.
Este proceso mayormente está dado por análisis matemático, una síntesis de cálculos
para la determinación de las grafica en nuestro caso será una línea recta, para esta
función será necesario determinar su pendiente y el intercepto haciendo el uso de las
formulas dadas por la estadística que se mostrará en los siguientes procesos. El cálculo
de la línea recta; está basado en la aproximación de los puntos experimentales en un la
línea recta de tal manera que la función se a conocida. [1] y [4]
Este método consiste en aplicar el método de cuadrados mínimos para calcular los
constantes A y B. este método tiene la ventaja de minimizar los errores
experimentales en la determinación de A y B, para ello usamos las siguientes formulas:
𝐴 =(∑ 𝑥𝑖
2)(∑𝑦𝑖) − (∑𝑥𝑖)(∑𝑥𝑖𝑦𝑖)
𝑛(∑ 𝑥𝑖2) − (∑ 𝑥𝑖)2
(8)
𝐵 =𝑛(∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖) − (∑𝑥𝑖)(∑𝑦𝑖)
𝑛(∑ 𝑥𝑖2) − (∑ 𝑥𝑖)2
(9)
La dispersión de los puntos entorno a la recta de regresión está caracterizada por la
diferencias en las formas dada por:
𝛿𝑦𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝐵𝑥𝑖 − 𝐴 (10)
La desviación de esta diferencia es:
𝛿𝑦 = √∑(𝛿𝑦𝑖)
2
𝑛 − 2= √
∑(𝑦𝑖 − 𝐵𝑥𝑖 − 𝐴 )2
𝑛 − 2 (11)
Las incertidumbres en la pendiente y el intercepto son respectivo:
∆𝐵 = 𝑠𝑦√𝑛
𝑛(∑ 𝑥𝑖2) − (∑ 𝑥𝑖)
2 ∆𝐴 = 𝑠𝑦√
∑ 𝑥𝑖2
𝑛(∑ 𝑥𝑖2) − (∑ 𝑥𝑖)
2 (12)
Para el caso de la ecuación del péndulo T del péndulo simple tenemos:
𝑇 = 2𝜋√𝐿
𝑔 (13)
𝑇 =2𝜋
√𝑔𝐿
12⁄ (14)
Si en esta ecuación se reemplaza el coeficiente de “L” por la constante “k” y el
exponente de “L” por la constante “n”, se tiene una expresión general, la cual se llama
ecuación empírica del periodo del péndulo simple:
𝑇 = 𝑘𝐿𝑛 (15)
Para linealizar aplicamos logaritmo ambos miembros de la ecuación (9) y se tiene:
𝑙𝑛𝑇 = 𝑙𝑛𝑘 + 𝑛(𝑙𝑛𝐿) (16)
Haciendo el cambio de variable: 𝑙𝑛𝑇 = 𝑦; 𝑙𝑛𝐿 = 𝐴; 𝑛 = 𝐵 resulta la siguiente recta:
𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥 (17)
Para despejo de la ecuación logarítmica natural se le denota; [5]
ln (𝑦)𝑒 = 𝑥
𝑦 = 𝑒𝑥 (18)
Dónde:
𝑒 = 2.718281828
III. MATERIALES Y EQUIPOS.
3.1 Una regla graduada en milímetros (mm), 1𝑚/10−3𝑚
3.2 Un cronómetro10−2𝑠.
3.3 Una mesa de madera.
3.4 Un equipo de péndulo simple.
IV. METODOLOGÍA
4.1 Instalar el equipo con la indicación del docente.
4.2 Con la longitud pendular L=20 cm hacer oscilar el péndulo con una amplitud
angular menor a 15° y medir 5 veces el tiempo de 10 oscilaciones completas anotando
los resultados en la tabla n° 01, así como el valor promedio del periodo “T” calcula con
la siguiente formula:
𝑇 =1
50(𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + 𝑡4 + 𝑡5)
4.3 Repetir el paso anterior para las siguientes longitudes de
𝐿: (25,30, 40,50, 60, 70,80, 90 𝑦 100 𝑐𝑚) luego anote estos valores en la tabla n° 01.
V. ANÁLISIS DE DATOS.
5.1 Método gráfico.
5.1.1 Con los datos de la tabla n°01 calcule los logaritmos naturales de “L” y de “T” y
complete la tabla n°02
Tabla n° 01 de experimentación.
Tabla n° 01
N L (cm) t1(s) t2(s) t3(s) t4(s) t5(s) T(s)
1 20 8.99 9.09 8.99 8.85 9.05 0.899
2 25 10.25 10.02 10.23 10.23 10.08 1.016
3 30 10.95 10.9 11.03 11.03 10.98 1.098
4 40 12.36 12.29 12.36 12.36 12.35 1.234
5 50 14.2 14.35 14.22 14.22 14.36 1.427
6 60 16.01 15.93 16.11 16.11 16.02 1.604
7 70 17.06 17.17 16.98 16.98 17.06 1.705
8 80 18 17.98 17.95 17.96 17.93 1.796
9 90 18.83 18.85 18.9 18.87 18.95 1.888
10 100 20.15 20.25 20.2 20.31 20.12 2.021
Completando la tabla siguiente con la anterior:
Tabla n° 02 de análisis
tabla 2
n L (cm) T(S) lnL Ln T
1 20 0.899 2.996 -0.106
2 25 1.016 3.219 0.016
3 30 1.098 3.401 0.093
4 40 1.234 3.689 0.211
5 50 1.427 3.912 0.356
6 60 1.604 4.094 0.472
7 70 1.705 4.248 0.534
8 80 1.796 4.382 0.586
9 90 1.888 4.500 0.636
10 100 2.021 4.605 0.703
5.1.2 Con los datos de la tabla n°02 construya, en papel milimetrado, la gráfica “T” vs.
”L” observe que esta grafica es similar a una de las curvas típicas de la fig.2, por lo
tanto la dependencia entre “T” y “L” tiene la forma de la ecuación (3) escriba esta
ecuación en términos de “T” y “L”.
Del:
𝑌 = 𝑘𝑥𝑛
Por lo cual la ecuación en términos de T y L será:
𝑇 = 𝑘𝐿𝑛
𝑇 = 𝐿0.4
La grafica está en el papel milimetrado, en la siguiente hoja.
5.1.3 Linealización de la curva.Usando los datos de tabla n°02, construya en el papel
milimetrado la gráfica𝑙𝑛𝐿 vs. 𝑙𝑛𝑇; determine en la misma grafica la pendiente B el
intercepto A y anote los valores de K y n.
Según la linealización se tiene una ecuación de la forma:
𝑌 = 𝐵𝑥
Ya que “A”, el intercepto es “0”
De esta manera calculamos la pendiente B;
𝐵 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
= ∆𝑦
∆𝑥
Sean los puntos diferentes al de experimentación.
𝑝1(3.60; 1.25)
𝑝2(3.90; 1.40)
𝐵 =1.40 − 1.25
3.90 − 3.60
𝐵 = 0.5 =1
2 . 𝑠
𝑐𝑚⁄
Por lo cual se tiene que:
𝑌 =1
2𝑥
En términos de L y T.
𝑇 =1
2𝐿
Finalmente se tiene;
Por la definición se tiene que:
𝑛 = 𝐵
𝐾 = 𝑒0
Entonces;
𝑛 = 0.5 .𝑠 𝑐𝑚⁄
𝐾 = 1
En conclusión:
𝑇 = 𝑘𝐿𝑛
𝑇 = 𝐿0.5
5.2 Método estadístico.
5.2.1 Para aplicar el método de cuadrados mínimos se completa la tabla n°03.
Tabla n° 03 de análisis
L (cm) T(S) xi=lnL yi=Ln T xi*yi Xi2
20 0.899 2.996 -0.106 -0.318 8.974
25 1.016 3.219 0.016 0.052 10.361
30 1.098 3.401 0.093 0.317 11.568
40 1.234 3.689 0.211 0.777 13.608
50 1.427 3.912 0.356 1.391 15.304
60 1.604 4.094 0.472 1.934 16.764
70 1.705 4.248 0.534 2.267 18.050
80 1.796 4.382 0.586 2.567 19.202
90 1.888 4.500 0.636 2.860 20.248
100 2.021 4.605 0.703 3.239 21.208
565 14.688 39.047 3.500 15.086 155.287
5.2.2 Con los datos de la tabla n°03, se aplica las formulas (8), (9) y se halla el
intercepto “A” y el pendiente “B”, y con ellos los valores de k y n:
El siguiente análisis esta dado de la siguiente manera:
𝐴 =(∑𝑥𝑖
2)(∑𝑦𝑖) − (∑𝑥𝑖)(∑𝑥𝑖𝑦𝑖)
𝑛(∑ 𝑥𝑖2) − (∑ 𝑥𝑖)
2
𝐴 =(155.287)(3.5) − (39.047)(15.086)
10(155.287) − (39.047)2
𝐴 = −1.615
Entonces;
𝐴 = −1.615 .𝑠
𝐵 =𝑛(∑𝑥𝑖𝑦𝑖) − (∑ 𝑥𝑖)(∑𝑦𝑖)
𝑛(∑𝑥𝑖2) − (∑𝑥𝑖)
2
𝐵 =10(15.086) − (39.047)(3.50)
10(155.287) − (39.047)2
𝐵 = 0.503
Entonces;
𝐵 = 0.503 .𝑠 𝑐𝑚⁄
Ahora calculamos:
𝐴 = ln(𝑘)
𝑘 = e𝐴
𝑘 = e−1.615 =1
e1.615= 0.199
Entonces;
𝑘 = 0.199 .𝑠
Y por la definición tenemos que:
𝑛 = 𝐵
Entonces;
𝑛 = 0.503 .𝑠 𝑐𝑚⁄
5.2.3 Con los valores de “A” y “B” hallados en el ítem anterior se llena ahora la última
columna de la tabla n°03 y con la ecuación (12) halle la incertidumbre en “B” y en “A”.
Tabla n° 04 de análisis
Yi -BXi -A (Yi-BXi-A) (Yi-BXi-A)2
-
0.106
-1.507 1.615 0.002 0.000004491270
0.016 -1.619 1.615 0.012 0.000143415960
0.093 -1.711 1.615 -0.002 0.000006220564
0.211 -1.856 1.615 -0.030 0.000895286788
0.356 -1.968 1.615 0.003 0.000007990610
0.472 -2.059 1.615 0.028 0.000772605774
0.534 -2.137 1.615 0.012 0.000133911276
0.586 -2.204 1.615 -0.003 0.000011388836
0.636 -2.263 1.615 -0.013 0.000166054059
0.703 -2.316 1.615 0.002 0.000003975611
total 0.002145340750
Calculando la desviación estándar:
𝛿𝑦 = √0.002145340750
8
𝛿𝑦 = √0.0002681659
𝛿𝑦 = 0.0164
Ahora con los datos de la tabla n°04 determinamos las incertidumbres:
∆𝐵 = 𝑠𝑦√𝑛
𝑛(∑ 𝑥𝑖2) − (∑ 𝑥𝑖)
2
∆𝐵 = (0.0164)√10
10(155.287) − (39.047)2= (0.0164)√
10
1552.87 − 1524.6682
∆𝐵 = 0.0164(0.5955)
Entonces;
∆𝐵 = 0.0098 .𝑠 𝑐𝑚⁄
∆𝐴 = 𝑠𝑦√∑ 𝑥𝑖
2
𝑛(∑ 𝑥𝑖2) − (∑ 𝑥𝑖)
2
∆𝐴 = (0.0164)√155.287
10(155.287) − (39.047)2
∆𝐴 = (0.0164)√155.287
1552.87 − 1524.668= (0.0164)(2.3465)
Entonces;
∆𝐴 = 0.03848 .𝑠
5.2.4 Considerando la propagación de errores en mediciones indirectas utilice
∆𝐴 𝑦 ∆𝐵 para determinar los errores de ∆𝑘 𝑦 ∆𝑛.
Por lo tanto los valores serán:
∆𝐴 = ln(∆𝑘)
∆𝑘 = e∆𝐴
∆𝑘 = e0.03848 = 1.0392
Entonces;
∆𝑘 = 1.0392 .𝑠
Del mismo modo según la definición se tiene que;
Entonces;
∆𝑛 = 0.0098. 𝑠𝑐𝑚⁄
5.2.5 Se escriba la relación funcional entre “T” y “L” (ecuación empírica del péndulo
simple 𝑦 = 𝑘𝐿𝑛 con los valores numéricos de k y n).
Entonces la ecuación adquirida será;
𝑻 = (0.199)𝒔𝑳(0.503) 𝒔𝒄𝒎⁄
VI. RESULTADOS.
Los resultados del análisis desarrollado son:
magnitud
método
grafico estadístico
𝐴 ± ∆𝐴 (0).𝑠 (−1.615
± 0.03848) .𝑠
𝐵 ± ∆𝐵 (0.5) . 𝑠 𝑐𝑚⁄ (0.503
± 0.0098) .𝑠 𝑐𝑚⁄
𝑘 ± ∆𝑘 (1).𝑠 (0.199 ± 1.0393) .𝑠
𝑛 ± ∆𝑛 (0.5) . 𝑠 𝑐𝑚⁄ (0.503
± 0.0098).𝑠 𝑐𝑚⁄
ecuación empírica 𝑻 = 𝑳(0.5)
𝑻
= (0.199)𝒔 𝑳(0.503) 𝒔𝒄𝒎⁄
VII. DISCUSIONES Y RECOMENDACIONES.
7.1 Las ecuaciones obtenidas de acuerdo a los dos métodos gráfico y estadístico
tienden tener valores cercanos como es el caso de “n” y “k”; estos valores son muy
próximos entre ellos, por lo cual se dirá que la mejor manera de determinar las
ecuaciones es a través de método estadístico ya que el error es mínimo por ser de
cálculo matemático; pero sin embargo, el error en el método grafico es poco alto por
la mala plasmación de los puntos experimentales en el papel milimetrado esto se debe
a la mala visualización.
7.2 Lo recomendable tratar de minimizar el error teniendo mayor precaución y
exactitud en el momento del proceso experimental, ya que es el base para el análisis
global de las ecuación por los métodos mencionados anteriormente. El éxi to del
análisis grafico se obtendrá mayormente por el método estadístico.
7.3 Para el mejor grafica en el papel milimetrado, es utilizar unas escalas diferentes
en los variables dependientes e independientes; para mejor visualización; teniendo en
cuenta que la gráfica sea una línea recta próxima en el lazo de los puntos
experimentales.
VIII. CONCLUSIONES.
8.1 ¿Cuál de los métodos utilizados es de mayor confiabilidad y por qué?
Es la de método analítico, porque presenta una errónea insignificante, ya que para su
proceso se da por análisis matemático y lo cual también se puede calcular el error
cometido en el proceso de experimentación.
8.2 ¿diga por qué los métodos gráficos y estadísticos son empleados?
Son empleados para verificar la mínima errores que se somete a comete en el proceso
de análisis ya sea de manera mecánica o analítica.
8.3 El periodo del péndulo simple esta dodo por:
𝑇 = 2𝜋√𝐿𝑔⁄ = (
2𝜋
√𝑔) 𝐿
1
2; comparando esta expresión con la obtenida
experimentalmente, se tiene que: 𝑘 =2𝜋
√𝑔 utilizando esta relación encuentre el valor
de la aceleración de la gravedad.
Por lo tanto la aceleración de la gravedad está dado por:
𝑔 =4𝜋 2
𝑘
Entonces;
𝑔 = (996.905 ) . 𝑐𝑚𝑠2⁄
Y ahora reemplazando en la ecuación;
𝑇 = (2𝜋
√996.905) 𝐿0.5
𝑻 = (0.199)𝑳(0.5)
Esta ecuación se asemeja al obtenido experimentalmente:
𝑻 = (0.199)𝑳(0.503)
IX. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
[1] Manual córdoba Zamora.
“Estadística descriptiva”, editorial MOSHERA, quinta edición; 2013.
[2] Squires G. L.
“Física práctica”, editorial Me. Graw-Hill en 1972.
[3] Goldemberg G.
“Física general y experimental”
[4] Internet.
“Experimento físico”, en Wikipedia.
“www.fisica experimental.com.
[5] Instituto de Ciencias y Humanidades.
“algebra”; tomo II, editorial lumbreras, funciones; 2011.
