I. OBJETIVOS

Determinar experimentalmente el momento de inercia de la polea

Determinar experimentalmente el momento de inercia del cilindro

Comparar los resultados experimentales con los resultados teóricos y verificar su

validez.

PRACTICA N°9: MOMENTO DE INERCIA

II.MARCO TEORICO

MOMENTO DE INERCIA

El Momento de Inercia también denominado Segundo Momento de Área; Segundo Momento de

Inercia o Momento de Inercia de Área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de

los elementos estructurales.

Tomando en cuenta, un cuerpo alrededor de un eje, el momento de inercia, es la suma de los

productos que se obtiene de multiplicar cada elemento de la masa por el cuadrado de su

distancia al eje.

LA ROTACION EN LA INERCIA

Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un eje, desarrolla inercia a la rotación, es

decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro. La

inercia de un objeto a la rotación está determinada por su Momento de Inercia, siendo ésta ‘’la

resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro’’.

El momento de inercia es pues similar a la inercia, con la diferencia que es aplicable a la

rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en

reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La inercia puede

interpretarse como una nueva definición de masa. El momento de inercia es, masa rotacional y

depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanta mayor distancia hay entre la masa y el

centro de rotación, mayor es el momento de inercia. El momento de inercia se relaciona con las

tensiones y deformaciones máximas producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento

estructural, por lo cual este valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural

bajo flexión junto con las propiedades de dicho material.

PROPIEDADES DELMOMENTO DE INERCIA

El momento de inercia de un área respecto al eje polar,

momento polar de inercia Jo, es igual a la suma de los

momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares entre

sí, contenidos en el plano del área y que se intercepta en el eje

polar. El momento polar de inercia es de gran importancia en

los problemas relacionados con la torsión de barras cilíndricas

y en los problemas relacionados con la rotación de placas.

ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN.

Para un cuerpo rígido formado por una colección de partículas que gira alrededor del eje z fijo

con velocidad angular ω, cada partícula del cuerpo rígido tiene energía cinética de traslación. Si

la partícula de masa mi se mueve con velocidad vi, su energía cinética es:

Eci=12mi v i

2

Cada partícula del cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular

ω, pero distintas velocidades lineales, porque estas dependen de la

distancia r al eje de rotación, y se relacionan por

vi = ω ri.

Entonces la energía cinética de la partícula i es:

Ei=12mi(r¿¿i)2¿

La energía cinética total del cuerpo rígido en rotación es la suma de las energías cinéticas de

cada partícula individual, esto es:

∑ E I=12∑ mi(r¿¿ i)2¿

Donde:

I=∑mi r2i

RELACIÓN ENTRE TORQUE Y ACELERACIÓN ANGULAR.

Para una partícula de masa m, que gira, en una circunferencia de radio r con la acción de una

fuerza tangencial Ft, además de la fuerza centrípeta necesaria

para mantener la rotación. La fuerza tangencial se relaciona

con la aceleración tangencial at por

Ft = mat.

El torque alrededor del centro del círculo producido por Ft es:

Como la at se relaciona con la aceleración angular por at = rα, el torque se puede escribir como:

τ

y como mr2 es el momento de inercia de la masa m que gira en torno al centro de la trayectoria

circular, entonces:

τ=Ια

El torque que actúa sobre una partícula es proporcional a su aceleración angular α, donde Ι es la

constante de proporcionalidad

. Observar que τ = Ια es el análogo rotacional de la segunda

ley de Newton F = ma. Se puede extender este análisis a un

cuerpo rígido arbitrario que rota en torno a un eje fijo que

pase por Ο, como se ve en la figura. El cuerpo rígido se

puede considerar formado por elementos de masa dm, que

giran en torno a Ο en una circunferencia de radio r, por

efecto de alguna fuerza tangencial externa dFt que actúa

sobre dm. Por la segunda ley de Newton aplicada a dm, se tiene:

dFt = (dm) at El torque dt producido por la fuerza dFt es:

d t=rdF t=(rdm)a t=(rdm)r α=(r t dm )α

El torque neto se obtiene integrando esta expresión, considerando que α tiene el mismo valor en todo el cuerpo rígido

Pero la integral es el momento de inercia I del cuerpo rígido alrededor del eje de rotación que pasa por Ο, entonces,

La siguiente solución es derivada de la convención de que hacia arriba es positivo y hacia abajo es negativo, la dirección de las agujas del reloj es positiva y viceversa. Aplicando la segunda Ley de Newton para la masa en suspensión, m, resulta:

resolviendo par la tensión:

La aceleración lineal a de la masa en suspensión es la aceleración tangencial, aT, del dispositivo que gira. La aceleración angular está relacionada con

Operando las ecuaciones anteriores tenemos:

CALCULOS DE MOMENTO DE INECIA

III. MATERIALES E INSTRUMENTOS DE LABORATORIO

IV. PARTE EXPERIMENTAL

ACTIVIDAD N°1

HILOXPLORERSOPORTE UNIVERSAL

REGLA METALICA PIE DE REY CILINDRO

POLEA CALCULADORAARANDELES

Se pesaron las masas, la polea y los cilindros, así mismo se midieron con una regla el largo del cilindro y con el pie de rey el diámetro de la polea y del cilindro

Se colocó el sensor de movimiento circular en el soporte universal apoyándonos en el gancho para poder sujetarlo.

Se conectó el sensor al Xplorer, y se ingresó los datos al Xplorer como el número de datos que se recogería, que vendrían a ser los puntos a tomar de la polea.

Se procedió a anudar una de las arandelas (nuestras masas) con un hilo y a anudar el otro extremo a la parte donde hay orificios de la polea misma.

Se procedió a programar el Xplorer listo para

presentar la gráfica velocidad (tangencial) vs

tiempo y obtener nuestra aceleración, así

entonces se soltó la masa y el Xplorer tome

lectura, este paso se ejecutó tres veces con

nuestra primera masa que es 13.3 g

De las aceleraciones obtenidas se le tomo un

promedio.

m (g) a1¿) a3¿) a3¿) a p¿)

13.3 7.14 7.07 7.06 7.09

Al igual que en la ejecución anterior se repitió

la experiencia pero se tomó lectura de las

aceleraciones cuando se añade otra masa y en

total se tendría una masa de 30.3 g

De las aceleraciones obtenidas se le tomo un

promedio.

Al igual que en la ejecución anterior se repitió

la experiencia pero se tomó lectura de las

aceleraciones cuando se añade otra masa y en

total se tendría una masa de 42.5 g

De las aceleraciones obtenidas se le tomo un

promedio.

m (g) a1¿) a3¿) a3¿) a p¿)

30.3 8.42 8.44 8.4 8.42

m (g) a1¿) a3¿) a3¿) a p¿)

42.5 8.7 8.76 8.69 8.717

Se recomienda que al realizar la experiencia se recepcione

las masas para que las la polea no se jale de golpe al

terminar de desenrollarse el hilo.

Calculamos el momento de inercia con ayuda de las aceleraciones promedio:

ISIST =14mD2( g

a−1)

I1 =14

13.3gx ¿

I1 =38.166 g.cm2

I2 =14

30.3gx ¿

I2 = 37.2829 g.cm2

I 3 = 14

42.5 gx¿

I3 = 39.658 g.cm2

Los momentos de inercia varian ligeramente por lo que sacamos un promedio para el cálculo del

momento de inercia de la polea.

I SIST=38.166 g . cm+37.283 g .cm2+39.642 g . cm2

3=¿ 38.69 g.cm2

ACTIVIDAD N° 2

Medimos la masa del cilindro metálico y lo anotamos en la tabla N°1

La masa fue de: 17g

Medimos con la ayuda del pie de rey el diámetro D del cilindro y la longitud de este, lo

anotamos en la tabla N°1

La Longitud fue de: 20cm

El diámetro fue de: 1.44cm

Armamos el equipo como se observa en la figura.

Colocamos la primera arandela de masa 13.3g y con la ayuda del xplorer GLX obtenemos la primera aceleración, se repetirá 3 veces, hasta obtener un promedio de las tres aceleraciones.

a1=0.56m/s2

a2=0.567m/s2

a3=0.576m/s2

a p=0.56m /s2+0.567m¿s2+0.576m /s2

3=0.567m /s2

Colocamos la primera más la segunda arandela de masa 13.3g, 17g y con la ayuda del xplorer GLX obtenemos la primera

aceleración, se repetirá 3 veces, hasta obtener un promedio de las tres aceleraciones.

a1=1.25m/s2

a2=1.2m/s2

a3=1.2m/s2

a p=1.25m / s2+1.2m¿ s2+1.2m /s2

3=1.216m /s2

Con los datos obtenidos podemos hallar ISIST

ISIST=14mD2( g

a−1)

I1=14

13.3gx ¿

I1=1625.9 gxcm2

I2=14

30.3gx ¿

I2=1605.8 gxcm2

I3=14

42.5 gx¿

I3=1631.5 gxcm2

I SIST=1625.9 gxcm2+1605.8gxcm2+1631.5 gxcm2

3=1621.06gxc m2

I SIST−I SR=I 2CILINDRO

1621.06 gxcm2−38.69 gxcm2=I 2CILINDRO

1582.54 gxcm2=I 2CILINDRO

791.27 gxcm2=ICILINDRO

Masas Aceleración ISIST

M1 = 13.3g 0.567m/s2 1625.9gxcm2

Colocamos la primera, la segunda y la tercera arandela de masa 13.3g, 17g, 12.2g y con la ayuda del xplorer GLX

obtenemos la primera aceleración, se repetirá 3 veces, hasta obtener un promedio de las tres aceleraciones.

a1=1.59m/s2

a2=1.62m/s2

a3=1.6m/s2

a p=1.59m / s2+1.62m¿ s2+1.6m /s2

3=1.603m / s2

M2 = 30.3g 1.216m/s2 1605.8gxcm2

M3 =42.5g 1.603m/s2 1631.5gxcm2

VI .CUESTIONARIO

1. Calcular el momento de inercia de la polea y del cilindro según el modelo teórico planteado, use las ecuaciones respectivas.

Según el modelo teórico, el momento de inercia de la polea se expresa mediante la siguiente ecuación:

I polea=18m. D2

Masa de la polea: m=10,3 g

Diámetro de la polea: D=5,48 cm

Reemplazando:

I polea=18(10,3 g).(5,48 cm)2

I polea=38,66 g . cm2

Según el modelo teórico, el momento de inercia del cilindro se expresa mediante la siguiente ecuación:

I cilindro=1

12M .L2

Masa del cilindro: M=17 g

Longitud del cilindro: D=20 cm

Reemplazando:

I polea=1

12(17g) .(20cm)2

I polea=566,66 g . cm2

2. Calcular el momento de inercia experimental con sus datos medidos en la experiencia.

Experimentalmente, se calcula el momento de inercia de la polea mediante la siguiente ecuación:

I polea=14m .D 2( g

a−1)

Masa sostenida (1): m=13,3 g

Diámetro de la polea: D=5,48 cm

Aceleración promedio obtenida (1): a=7,09m /s2

Reemplazando:

I polea(1)=14(13,3 g).(5,48cm)2( 9,8m .s−2

7,09m .s−2−1)

I polea(1)=38,16g .cm2

Masa sostenida (2): m=30,3 g

Diámetro de la polea: D=5,48 cm

Aceleración promedio obtenida (2): a=8,42m /s2

Reemplazando:

I polea(2)=14(30,3 g).(5,48 cm)2( 9,8m.s−2

8,42m .s−2 −1)

I polea(2)=37,28g . cm2

Masa sostenida (3): m=42,5g

Diámetro de la polea: D=5,48 cm

Aceleración promedio obtenida (3): a=8,70m /s2

Reemplazando:

I polea(3 )=14(42,5g) .(5,48 cm)2( 9,48m .s−2

8,70m .s−2−1)

I polea(3 )=40,34 g . cm2

Por lo tanto:

I polea=I polea(1)+ I polea(2)+ I polea(3)

3=

38,16+37,28+40,343

=38,59 g . cm2

Experimentalmente, se calcula el momento de inercia de la polea mediante la siguiente ecuación:

I cilindro=I Sistema−I polea

2

Calculamos el momento de inercia del sistema para cada masa:

I sistema=14m .D2( g

a−1)

Masa sostenida (1): m=13,3 g

Diámetro de la polea: D=5,48 cm

Aceleración promedio obtenida (1): a=0,567m /s2

Reemplazando:

I sistema(1)=14(13,3g) .(5,48cm )2( 9,8m. s−2

0,567m .s−2 −1)

I sistema(1)=1625,97g . cm2

Masa sostenida (2): m=30,3 g

Diámetro de la polea: D=5,48 cm

Aceleración promedio obtenida (2): a=1,216m /s2

Reemplazando:

I sistema(2)=14(30,3g) .(5,48cm )2( 9,8m .s−2

1,216m .s−2−1)

I polea(2)=1605,83g . cm2

Masa sostenida (3): m=42,5g

Diámetro de la polea: D=5,48 cm

Aceleración promedio obtenida (3): a=1,603m /s2

Reemplazando:

I sistema(3)=14(42,5g) .(5,48 cm)2( 9,48m.s−2

1,603m.s−2 −1)

I sistema(3)=1631,59g . cm2

Por lo tanto:

I sistema=I sistema(1)+ I sistema(2)+ I sistema(3)

3=

1625,97+1605,83+1631,593

I sistema=1621,13 g .cm2

Ahora podemos hallar el momento de inercia del cilindro:

I cilindro=I Sistema−I polea

2

I cilindro=1621,13−38,59

2=791,27 g . cm2

3. ¿Cuál es la diferencia entre el valor teórico y el valor experimental del momento de inercia?

Calculamos el error de esta manera:

%Error=|Valor experimental−Valor teórico|Valor teórico

.100

Para el momento de inercia de la polea:

%Error=|38,59−38,66|38,66

.100=0,18 %

Para el momento de inercia del cilindro:

%Error=|791,27−566,66|566,66

.100=39,63 %

4. ¿cuál de todos los valores del momento de inercia calculados con los valores de sus mediciones se acerca más al valor teórico? Explique la razón.

el valor que se acerca más al valor experimental es el de las poleas, por otro lado el momento de inercia del cilindro no salió como lo esperado, esto se debe a que la fórmula que usamos es para un cilindro compacto, y nosotros usamos cilindros no compactos.

5. ¿cuál de los cuerpos en consideración posee mayor momento de inercia ¿a qué cree usted a que se deba?

I cilindro> I sincilindro

Sabemos que la inercia aumenta mientras que la masa este más alejada al centro de rotación por ello concluimos este resultado y también se demostró haciendo los cálculos respectivos.

6. Demostrar las ecuaciones para calcular el valor del memento de inercia de la polea y del

cilindro que se plantean en el modelo teórico de esta experiencia.

Momento de inercia de un disco

Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R, respecto de uno de sus diámetros.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud 2y de anchuradx. La masa de este rectángulo es

El momento de inercia del disco es

Haciendo el cambio de variable

y=R·cosθx=R·senθ

Llegamos a la integral

R = D/2

Ic = 18 MD2

Momento de inercia de un cilindro

Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L,

I = ∫r 2. ∂ M

I = ∫−l/2

l /2

r2 . ∂M

I = ∫−l/2

l /2

r2.ML.∂r

I = ML ( r

3

3¿.∫

−l/2

l /2

.

I= ML. L

3

3

I = ML2

12

7. Deducir explícitamente la ecuación 5, a partir de las ecuaciones de movimiento

(segunda ley de Newton) para el sistema.

ρ=∂M∂V

; ρ=MV

;

∂V=A .∂ r

∂M =ρ ∂V

∂M=MV. A . ∂ r

∂M ¿Mπ r2 L

π r2 . ∂ r

∂M ¿ ML .∂r

Para determinar experimentalmente El momento de inercia de lo cuerpos, aplique un toque o

momento de fuerza a los cuerpos, y mida la aceleración angular resultante.

Dado que

I / ……. (Ω)

Donde es la aceleración angular y es el torque El torque depende de la fuerza aplicada y de

la distancia entre el punto donde el objeto pivota y el punto donde se aplica el impulso, es decir:

r F

Donde r es la distancia desde el centro del aro o del disco hasta el punto donde se aplica la

fuerza y F es la fuerza aplicada. El valor de r x F es r F sin ø donde ø es el ángulo entre r y la

dirección de F, la fuerza aplicada. El impulso es máximo cuando r y F son perpendiculares. En

este caso, la fuerza aplicada es la tensión (T) de un hilo atado al aparato giratorio. La gravedad

tira de una masa suspendida m atada al hilo. El valor de r es el radio de la polea del aparato. El

radio es perpendicular a la fuerza aplicada (Tensión). En consecuencia, el torque es:

r T

Aplicando la segunda Ley de Newton para

la masa en suspensión, m, resulta:

F T(cos0°) + mg(180°) ma(cos180°)

F T mg m(a)

Resolviendo para la tensión:

T m (g a)

El torque es:

rT rm (g a) ……..(α)

La aceleración tangencial a de la masa en suspensión es la aceleración tangencial (a t), del

dispositivo que gira. La aceleración angular está relacionada con la aceleración tangencial como

sigue:

= atr …….. (β)

Reemplazando (α) y (β) en (Ω) resulta:

I / rm(g−a)at /r

= rm(ga)ra t

En el punto en que se sobresale la caída del hilo atado a las masas, consideramos que la aceleración tangencial (at) y la aceleración de la aceleración del sistema vendrían a ser las mismas.mgr2at

– mar2

at mr2 (g /a t – 1)

14 mD2 (𝑔/ a t – 1)

8.- ¿Qué relación existe entre el momento de inercia y los tensores?

9.- ¿Qué predice el teorema de Steiner?

El Teorema de Steiner (o teorema de los ejes-paralelos) a menudo simplifica los cálculos.

Premisa: Supongamos que conocemos el momento de inercia con respecto a un eje que pase por el centro de masas de un objeto

Teorema: Entonces podemos conocer el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo al primero y que se encuentra a una distancia D

Procedemos ahora la demostración del Teorema:Tomemos un elemento de masa dm situado en las coordenadas (x,y). Si ahora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa serán (x',y')

Calculamos el momento de inercia respecto del eje Z que es paralelo al eje que pasa por el centro de masas:

Como el segundo sistema de referencia tiene como origen el centro de masas:

La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el CM. La última integral es la masa del sólido, y magnitud que multiplica a esta integral es la distancia al

cuadrado entre los dos ejes. Por tanto:

V. CONCLUSIONES

Por el modelo teórico, se puede concluir que el momento de inercia depende

principalmente del diámetro del cuerpo si es que se trata de solidos circulares o

de la longitud, si se trata de varillas o cilindros.

Se puede observar según los cálculos que el momento de inercia de la polea

presenta un porcentaje de error bajo, esto quiere decir que la diferencia es

mínima comparado con su valor teórico.

Se puede observar, sin embargo, que el momento de inercia del cilindro presenta

un porcentaje de error muy alto, la causa de ello podría ser el uso de un cilindro

con hueco, ya que según la formula teórica, el cilindro debería ser compacto.

VI. RECOMENDACIONES

Tanto la polea como el cilindro deben estar correctamente posicionados para

obtener mejores resultados.

Debemos anticipar que el hilo se tense por completo cuando se suelta las

masas amarradas a ella, ya que esto puede dañar la polea.

Evitar que el hilo se enrede durante el experimento.

La persona que maneja el XPLORER debe apretar el botón play un segundo

antes que se suelte las masas, luego escogerás la gráfica que tiene forma de

una línea con pendiente positiva con la opción “CONNOTACION DE

PUNTOS” en el XPLORER.

VIII. ANEXOS

APLICACIONES DE LA INERCIA EN LA VIDA DIARIA

En física se le conoce como inercia a la capacidad que tiene la materia de mantener su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme mientras no exista una fuerza que actúe sobre ella.

Esta propiedad de la materia se encuentra expresada en La Primera Ley de Newton, se podría decir que se trata de la resistencia que opone a modificar su estado dinámico, un sistema de partículas. Existe también otro tipo de inercia llamado térmica, que se refiere a la dificultad que tiene un objeto de cambiar su temperatura.

Entre más difícil sea cambiar el estado de un objeto, ya sea de temperatura, de reposo o movimiento rectilíneo uniforme, se dice que tiene mayor inercia.

La inercia se puede separar en varios grupos o tipos de inercia.

La inercia mecánica se divide en 5 tipos:

Inercia dinámica. - se relaciona con los cuerpos que se encuentran es estado de movimiento.

Inercia estática. - Esta es aquella que está vinculada con los cuerpos en estado de reposo.

Inercia traslacional.- Es la vinculada con la masa total de un cuerpo.

Inercia rotacional. - Se trata de aquella que representa la propiedad de los cuerpos para resistir los cambios de su estado de movimiento rotatorio, se le identifica con el símbolo I.

La Inercia térmica. - Se le llama así a la propiedad que nos indica la cantidad de calor que pueden conservar los cuerpos, así como la con que estos pueden absorber el calor o cederlo.

Ejemplos:

Cuando se empuja un auto que está en reposo, al principio cuesta trabajo debido a la inercia que se opone al movimiento, una vez que se empieza a mover es más fácil empujarlo, gracias a la inercia ahora tiene movimiento.

El rápido descenso de la pendiente que se da en una montaña rusa que le permite acumular la energía potencial suficiente para elevarse de nuevo, esto es producida por la inercia.

Quitar un mantel y que quede lo que está arriba apoyado en la mesa, en el mismo lugar: un truco clásico de magia basado en la inercia; para que salga bien hay que tirar el mantel hacia abajo y el objeto debe ser más bien liviano.

XI. BIBLIOGRAFIA

-PASCO scientific (1999) Momento de inercia. Recuperado de: http://downloads.gphysics.net/pasco/P22-Momento-de-Inercia.pdf

- Dinámica de rotación (2015) Recuperado de : http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/teoria/teoria.htm