β΄ γυμνασίου χρωματιστό

Σ χ ο λ ι κ ό Β ο ή θ η µ α

2014-2015

Β΄ Γυµνασίου

Μαθηµατικά

Βάκρινας Θέµης

Β΄ Γυµνασίου Μαθηµατικά Επιµέλεια : Θέµης Βάκρινας

Σ χ ο λ ι κ ό Β ο ή θ η μ α

Page 1

Κεφάλαιο 1ο (Εξισώσεις – Ανισώσεις) Έννοια της µεταβλητής –Αλγεβρικές παραστάσεις

Μεταβλητή ονοµάζεται ένα γράµµα το οποίο παριστάνει έναν οποιονδήποτε αριθµό. Οι µεταβλητές συµβολίζονται µε

γράµµατα της Ελληνικής ή Λατινικής αλφάβητου, για παράδειγµα α, β, γ, x, y...κ.λπ.Τις µεταβλητές τις χρησιµοποιούµε

για να διατυπώσουµε µε µαθηµατικό τρόπο διάφορες προτάσεις των µαθηµατικών.

��ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ��

• Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς λέγεται αριθµητική παράσταση.Το

αποτέλεσµα λέγεται τιµή της αριθµητικής παράστασης.

• Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µε αριθµούς και µεταβλητές λέγεται αλγεβρική παράσταση.

Το αποτέλεσµά της λέγεται τιµή της αλγεβρικής παράστασης.

Σηµαντική Ιδιότητα

Μια πολύ σηµαντική ιδιότητα πράξεων στα µαθηµατικά είναι η επιµεριστική ιδιότητα που διατυπώνεται µε

µεταβλητές ως εξής:

�� Ισχύουν επίσης :

i. � � ��

ii. � � ��

iii. ��

Παράδειγµα : Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α = 3(x + 2y) – 2(2x + y), όταν x = 1, y = –2.

Επίλυση : Κάνουµε προσεκτικά επιµεριστική στην παράσταση και έχουµε Α = 3x + 6y – 4x – 2y = -x + 4y

Στη συνέχεια κάνουµε αντικατάσταση όπου χ = 1 και y = -2 και έχουµε Α = -1 + 4(-2) = -1 – 8 = -9

Δεν ξεχνάμε τον κανόνα προσήμων

πολλαπλασιασμού :

(+)�� (+) = +

(-) � (-) = +

(+) � (-) = -

(-)�� (+) = -

Άσκηση : Να απλοποιήσετε την παράσταση Β = -3(2β – 3α) + 5(β – 2α) για α = 0,1 και β = -0,3

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

To τριπλάσιο

ενός αριθμού!!

Αν x ο αριθμός

τότε 3x!!



Page 2

Εξισώσεις α’ βαθµού

Εξίσωση α’ βαθµού λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο σε µοναδιαίο εκθέτη, έχει τη µορφή αx + β = 0 (α ≠ 0).

Βήµατα για τη λύση µιας εξίσωσης α’ βαθµού :

1. Απαλείφουµε αν υπάρχουν παρονοµαστές πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο και στα δύο µέλη µε το Ε.Κ.Π.

των παρονοµαστών αυτών.

2. Εκτελούµε τις πράξεις, συνήθως µε βοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας.

3. Χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους µε µεταφορά από το ένα µέλος στο άλλο.

4. Κάνουµε αναγωγή οµοίων όρων

5. Διαιρούµε µε τον συντελεστή του αγνώστου και τα δύο µέλη.

6. Απλοποιούµε τα κλάσµατα και βρίσκουµε τη λύση.

Σηµαντικό Σχόλιο

• Κάθε εξίσωση που έχει ή παίρνει τη µορφή 0x = α µε α ≠ 0 ονοµάζεται αδύνατη.(Δεν

επαληθεύεται για καµία τιµή του x)

• Κάθε εξίσωση που έχει ή παίρνει τη µορφή 0x = 0 ονοµάζεται ταυτότητα ή

αόριστη.(Επαληθεύεται για όλες τις τιµές του x)

�ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ�

• Αν η εξίσωση αx + β = 0 έχει λύση τον αριθµό ρ, τότε την επαληθεύει. Δηλαδή,

αρ + β = 0 και αντιστρόφως.

• Σε µια εξίσωση µπορούµε να µεταφέρουµε όρους από το ένα µέλος στο άλλο, αλλάζοντάς τους

όµως το πρόσηµο.

Παράδειγµα : Να λυθούν οι εξισώσεις α) 4x – 3(2x – 1) = 7x – 42

β) 2(3x – 1) – 3(2x – 1) = 4

γ) 2 ��

Επίλυση : α) 4x – 6x + 3 = 7x – 42 4x – 6x – 7x = -3 – 42 -9x = -45 x = 5

β) 6x – 2 – 6x + 3 = 4 6x – 6x = 4 – 3 + 2 0x = 3 ‘’ΑΔΥΝΑΤΗ’’

γ) 3 ��2x 3 � �� 3 � �� 3 � �� 6x – (5 – x) = -5 + 7x 6x – 5 + x = -5 + 7x

6x + x – 7x = 5 – 5 0x = 0 ‘’ΑΟΡΙΣΤΗ’’



Page 3

Προβλήµατα µε χρήση εξισώσεων α’ βαθµού

Βήµατα για τη λύση προβλήµατος µε χρήση εξισώσεων

1. Διαβάζουµε καλά το πρόβληµα και διακρίνουµε δεδοµένα και ζητούµενα.

2. Χρησιµοποιούµε το x συνήθως για να εκφράσουµε το άγνωστο που ζητάµε.

3. Εκφράζουµε όλα τα δεδοµένα µε τη βοήθεια του x.

4. Δηµιουργούµε και λύνουµε την εξίσωση του προβλήµατος.

5. Ελέγχουµε αν η λύση που βρήκαµε ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήµατος.

Παράδειγµα : Τρεις φίλοι µοιράστηκαν ένα χρηµατικό ποσό. Ο πρώτος πήρε το �� του ποσού, ο δεύτερος πήρε

το �� του ποσού και ο τρίτος πήρε το

�� του ποσού και 100 € ακόµη. Να βρείτε το αρχικό χρηµατικό

ποσό που µοιράστηκαν και το µερίδιο του καθενός.

Επίλυση : Έστω x το χρηµατικό ποσό που µοιράστηκαν οι τρεις φίλοι. Ο πρώτος πήρε �� του ποσού, ο δεύτερος

πήρε �� του ποσού και ο τέταρτος

�� + 100. Άρα η εξίσωση που πρέπει να λύσουµε είναι:

�� +

�� + �� + 100 = x 12 � �� + 12 � �� + 12 � �� + 12 � 100 = 12x

3x + 4x + 4x + 1200 = 12x

x = 1200.

Άσκηση : Να λυθεί η εξίσωση ��

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

Άσκηση : Η ηλικία µου είναι εντεκαπλάσια της ηλικίας της κόρης µου. Σε 6 χρόνια η ηλικία µου θα γίνει

πενταπλάσια της ηλικίας της κόρης µου. Ποια είναι η σηµερινή ηλικία µου και ποια της κόρης µου;

.....................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................



Page 4

Ανισώσεις α’ βαθµού

Ιδιότητες Ανισοτήτων

• Αν α ≠ β, τότε α < β ή α > β. (Σύγκριση Αριθµών)

• Αν α = β ή α < β, γράφουµε α ≤ β. (Διαβάζεται ‘’α µικρότερο ή ίσο του β’’)

Αν α = β ή α>β, γράφουµε α ≥ β. (Διαβάζεται ‘’α µεγαλύτερο ή ίσο του β’’)

• Αν α < β, τότε α + γ < β + γ και α – γ < β – γ. (Πρόσθεση κατά µέλη αριθµού σε ανισότητα)

• Αν α < β και γ > 0, τότε αγ < βγ και �� . (Πολ/σµός και Διαίρεση κατά µέλη µε θετικό)

• Αν α < β και γ < 0, τότε αγ > βγ και �� . (Οµοίως µε αρνητικό αλλάζει η φορά!!!!!!!)

• Αν α < β και γ < δ, τότε α + γ < β + δ. (Πρόσθεση ανισοτήτων ίδιας φοράς)

• Αν α < β < γ, τότε β > α και β < γ. (Συµπεράσµατα από διπλή ανισότητα)

Ανίσωση µε έναν άγνωστο λέγεται η ανισότητα που περιέχει µια µεταβλητή και αληθεύει για ορισµένες

τιµές της µεταβλητής.

Για να λύσουµε µια ανίσωση, κάνουµε τα ίδια βήµατα µε τις εξισώσεις και τη φέρνουµε στη µορφή αx < β

ή αx > β. Προσέχουµε µόνο όταν διαιρούµε µε τον συντελεστή του αγνώστου όταν αυτός είναι αρνητικός

αριθµός διότι αλλάζει η φορά. Όταν λύσουµε µια ανίσωση καλό είναι να παρουσιάζουµε το διάστηµα των

λύσεων της σε άξονα των πραγµατικών αριθµών.

��ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ��

Για να βρούµε τις κοινές λύσεις δύο ή περισσότερων ανισώσεων, ακολουθούµε τα βήµατα:

1. Λύνουµε κάθε ανίσωση χωριστά και παριστάνουµε γραφικά τις λύσεις καθεµιάς στην ευθεία των αριθµών.

2. Σε άλλη ευθεία αριθµών παριστάνουµε γραφικά τις λύσεις όλων των ανισώσεων.

3. Από το σχήµα βρίσκουµε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων (αν έχουν).

Παράδειγµα : Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων

3 � � ! (1) και 2 �� ≤ � �� (2)

Επίλυση : Η (1) γίνεται 3x – x < 5 + 1 2x < 6 x < 3.

Η (2) γίνεται (επί 2) 4 – x ≤ 2x + 1 -2x – x ≤ -4 + 1 -3x ≤ -3 x ≥ 1.

Άρα η λύση 1 ≤ x < 3.

-∞ 0 1 2 3 +∞



Page 5

Κεφάλαιο 2ο (Πραγµατικοί Αριθµοί) Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθµού

Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθµού α, λέγεται ο θετικός αριθµός ο οποίος όταν υψωθεί στο τετράγωνο,

δίνει τον αριθµό α. Η τετραγωνική ρίζα του α συµβολίζεται µε "#. Ορίζουµε ως "$ $ αφού 02 = 0.

Ιδιότητες Τετραγωνικής Ρίζας

1. Ισχύουν:

• Αν "# = x όπου α ≥ 0, τότε x ≥ 0 και x2 = α.

• Αν α ≥ 0, τότε "# ≥ 0.

• Αν α ≥ 0, τότε �"#�� # και "#� #% • Αν x2 = α, τότε x = "# ή x = "#.

• Αν x2 = 0, τότε x = 0.

• Αν α, β ≥ 0, τότε "# � &'.

• Αν α, β ≥ 0, τότε "# � � &' &# � '��(#)�� "�&� *��. (Δεν ισχύει για το άθροισµα και την διαφορά ριζών)

2. Δεν ορίζεται ρίζα αρνητικού αριθµού, γιατί δεν υπάρχει αριθµός που το τετράγωνό του να είναι αρνητικός αριθµός.

3. Χρήσιµο είναι να γνωρίζουµε τα τετράγωνα µερικών αριθµών, οπότε βρίσκουµε και τις τετραγωνικές ρίζες.

Παράδειγµα : Να αποδείξετε ότι *2 � &2 � "+ = 2.

Επίλυση : Σε αυτές τις περιπτώσεις ξεκινάµε από την ρίζα που βρίσκεται δεξιότερα οπότε έχουµε

*2 � &2 � "+ = &2 � "2 � 2 = &2 � "+ = "2 � 2 = "+ = 2.

Άσκηση : Να βρείτε την άγνωστη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου

................................................................................................................................ 21 x = ;

.................................................................................................................................

20

Δεν ισχύει "2! ! αν και

(-5)2 = 25 διότι κάθε ρίζα

ισούται µόνο µε θετικό

αριθµό ή το µηδέν!!!



Page 6

-∞ -5 -4 -3,2 -3 -2 -�� -1 0 �� 1 2 3 " $ 4 5 +∞

Άρρητοι αριθµοί

• Ένας αριθµός ονοµάζεται άρρητος όταν δεν είναι ρητός.

• Πραγµατικοί αριθµοί ονοµάζονται όλοι οι ρητοί και άρρητοι αριθµοί.

• Ευθεία ή άξονα των πραγµατικών αριθµών ονοµάζεται η ευθεία που:

o κάθε σηµείο της αντιστοιχεί σε ένα πραγµατικό αριθµό και

o κάθε πραγµατικός αριθµός αντιστοιχεί σε ένα µόνο σηµείο της.

‘’Γνωστά Σύνολα Αριθµών’’

Φυσικοί αριθµοί: 0 1 2 3 …

Ακέραιοι αριθµοί: … -2 -1 0 1 2 …

Ρητοί αριθµοί λέγονται οι αριθµοί που µπορούν να γραφούν µε τη µορφή κλάσµατος ,-, όπου µ, ν ακέραιοι και ν ≠ 0.

�� , - �� , -2 1,3 , 5,77 …

Άρρητοι αριθµοί λέγονται οι αριθµοί που δεν είναι ρητοί. Ένας άρρητος δεν µπορεί να γραφεί σαν κλάσµα µε ακέραιο

αριθµητή και παρονοµαστή. "2, -"3 , π, ...

Πραγµατικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που είναι ρητοί ή άρρητοι.

Άσκηση : Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:

α) x2 + 5 = 9 β) 3x2 = 75 γ) 105 – x2 = x2 – 345 δ) 2x2 – 5 = 5

..................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................



Page 7

Κεφάλαιο 3ο (Συναρτήσεις) Συνάρτηση λέγεται μια σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών x, y(συνήθως) όπου κάθε τιμή της μεταβλητής x

αντιστοιχίζεται σε μία μόνο της y. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η y δίνεται συναρτήσει της x.

Τύπος μιας συνάρτησης είναι η ισότητα μέσω της οποίας γίνεται αυτή η αντιστοίχιση των τιμών.

π.χ. y = 2x – 1, y = -5x, y = ��x + 3 κ.λπ.

Πίνακας τιμών μιας συνάρτησης είναι η διάταξη μέσα στην οποία τοποθετούμε τις αντίστοιχες τιμές.

π.χ. Για την συνάρτηση y = 2x – 1

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Κάθε σηµείο στο επίπεδο έχει µια συγκεκριµένη θέση η οποία προσδιορίζεται από ένα διατεταγµένο ζευγάρι

αριθµών γενικά (x, y) όπου x λέγεται τετµηµένη και y τεταγµένη του σηµείου γενικά συντεταγµένες του.

y

Σχηµατικά : y M(x, y)

x’ 0 x X

y’

x 1 2 3 4

y 1 3 5 7

Άσκηση : Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιµών της συνάρτησης f(x) = x2 – 2x + 3.

x -2 -1 0 5 10

y



Page 8

Οι άξονες είναι κάθετοι µεταξύ τους και αριθµηµένοι µε ίδια µονάδα µέτρησης.

Ο άξονας x’x λέγεται άξονας τετµηµένων ενώ ο y’y άξονας τεταγµένων.

Τα σηµεία του x’x είναι Μ(x, 0) ενώ του y’y είναι Μ(0, y).

Οι δύο κάθετοι άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε 4 ηµιεπίπεδα(τεταρτηµόρια) όπως φαίνεται παρακάτω :

y

2ο(-,+) 1ο(+,+)

x’ 0 X

3ο(-,-) 4ο(+,-)

y’

Στα τεταρτηµόρια ισχύει για το πρόσηµο των x και y ότι :

Στο 1ο ισχύει ότι x > 0, y > 0. Στο 2ο ισχύει ότι x < 0, y > 0.

Στο 3ο ισχύει ότι x < 0, y < 0. Στο 4ο ισχύει ότι x > 0, y < 0.

Απόσταση 2 Σηµείων

Αν Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δύο σηµεία στο επίπεδο τότε για να βρω την µεταξύ τους απόσταση

χρησιµοποιώ τον τύπο :

(ΑΒ) = &� � ��

Παράδειγµα : Αν Α(3, -2) και Β(5, -1) να βρεθεί η απόσταση του Α από το Β.

Επίλυση : Έχουµε τον τύπο (ΑΒ) = &� � �� = &�! 3�� 2�� ="2� � � "!

Άσκηση : Να τοποθετήσετε πάνω σε σύστηµα αξόνων τα σηµεία y

Α(-2, 3), Β(1, 0), Γ(-3, -1), Δ(0, 4), Ε(2, -3)

x΄ Ο x

y΄



Page 9

Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Αν ενώσουµε µερικά από τα σηµεία από τα οποία επαληθεύεται µια συνάρτηση τότε αυτό θα µας δώσει µια

εικόνα της στο επίπεδο όπως φαίνεται παρακάτω :

y

Σχηµατικά : y M(x, y)

x’ 0 x X

y’

Ανάλογα Ποσά

Δύο ποσά x, y λέγονται ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιµές του ενός ποσού µε έναν αριθµό τότε

πολλαπλασιάζονται και του άλλου µε τον ίδιο αριθµό. Όταν τα ποσά x, y είναι ανάλογα τότε ο λόγος �� είναι

σταθερός αριθµός. Η συνάρτηση που αντιστοιχεί σε δύο ανάλογα ποσά είναι η y = αx όπου γραφικά είναι µια

ευθεία η οποία περνάει από την αρχή των αξόνων και ο αριθµός α ονοµάζεται κλίση της ευθείας.

y ε (αν α > 0)

Σχηµατικά :

x’ 0 X

y’ ε’ (αν α < 0)

Παράδειγµα : Ο παρακάτω πίνακας αναφέρεται σε ανάλογα ποσά. Παρατηρούµε ότι το πηλίκο των

τιµών είναι σταθερό µε �� = 2. Άρα η εξίσωση της ευθείας είναι y = 2x.

x 2 4 5 10

y 4 8 10 20



Page 10

Η Συνάρτηση y = αx + β

Παριστάνει ευθεία η οποία είναι παράλληλη στην y = αx που δεν περνάει από την αρχή των αξόνων αλλά από

ένα σηµείο του y’y µε συντεταγµένες M(0, y).Το α ονοµάζεται πάλι κλίση της ευθείας. Δύο ευθείες είναι

παράλληλες όταν έχουν την ίδια κλίση!!!!

y

Σχηµατικά :

M(0, y)

x’ 0 X

y’

Για να βρούµε τα σηµεία τοµής µιας ευθείας µε τους άξονες κάνουµε τα εξής :

• Για τον x’x βάζουµε στην ευθεία όπου y = 0

• Για τον y’y βάζουµε στην ευθεία όπου x = 0

Οι ευθείες που είναι παράλληλες µε τον x’x έχουν µορφή y = κ ενώ αυτές που είναι παράλληλες µε τον y’y, x = κ.

Μια διαφορετική εκδοχή της y = αx + β είναι η αx + βy = γ η οποία παριστάνει ευθεία όταν α ≠ 0 ή β ≠ 0.

Αντιστρόφως Ανάλογα Ποσά

Είναι τα ποσά x, y στα οποία το γινόµενο των αντιστοίχων τιµών του παραµένει σταθερό δηλαδή, y�x = σταθερό. Η

συνάρτηση που αντιστοιχεί σε δύο ανάλογα ποσά είναι η y = �. που ονοµάζεται υπερβολή και η γραφική της παράσταση

αποτελείται από δύο κλάδους.

Άσκηση : Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει ηλεκτρονικούς υπολογιστές µε κόστος 200 € το τεµάχιο. Επίσης, πληρώνει

100 € την ηµέρα για την ενοικίαση µιας αποθήκης, για να αποθηκεύει τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές.

α) Να εκφράσετε το συνολικό ηµερήσιο κόστος y του εργοστασίου ως συνάρτηση του αριθµού x των

ηλεκτρονικών υπολογιστών που κατασκευάζει ηµερησίως.

β) Να σχεδιάσετε σε σύστηµα ορθογωνίων αξόνων τη συνάρτηση αυτή.

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................



Page 11

Παράδειγµα : Ο παρακάτω πίνακας αναφέρεται σε αντιστρόφως ανάλογα ποσά. Παρατηρούµε ότι το γινόµενο

τιµών είναι σταθερό y�x = 24 άρα η εξίσωση της υπερβολής είναι y = /0. .

y

Σχηµατικά : α > 0

x’ 0 X

y’

y

α < 0

x’ 0 X

y’

Η υπερβολή έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή Ο(0, 0) και άξονες συµµετρίας τις ευθείες y = x και y = -x αντίστοιχα.

x 2 3 4 12

y 12 8 6 2

Άσκηση : Δίνονται οι συναρτήσεις y = 2x και y = 1� .

α) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αυτών στο ίδιο σύστηµα αξόνων.

β) Να βρείτε τα σηµεία τοµής των δύο γραφικών παραστάσεων.

..................................................................................................

..................................................................................................

....................................................................................................



Page 12

Κεφάλαιο 4ο (Περιγραφική Σταστική) Βασικές Έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσµός - Δείγµα

Στατιστική είναι ο κλάδος των µαθηµατικών που συγκεντρώνει στοιχεία, τα ταξινοµεί και τα παρουσιάζει σε κατάλληλη µορφή, ώστε να µπορούν να αναλυθούν και να ερµηνευτούν για την εξυπηρέτηση διαφόρων σκοπών.

Πληθυσµός ονοµάζεται το σύνολο των στοιχείων το οποίο εξετάζουµε ως προς ένα ή περισσότερα

χαρακτηριστικά.

Μεταβλητή ονοµάζεται το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο εξετάζεται ένας πληθυσµός.

Άτοµα ονοµάζονται τα στοιχεία του πληθυσµού

Δείγµα είναι ένα υποσύνολο (µέρος) του πληθυσµού

Πλήθος ή Μέγεθος δείγµατος ονοµάζεται ο αριθµός των ατόµων του δείγµατος

Αντιπροσωπευτικό δείγµα ονοµάζεται αυτό που γίνεται µε τέτοιο τρόπο ώστε τα συµπεράσµατα να µπορούν να

γενικευτούν για το σύνολο του πληθυσµού.

Δειγµατοληψία ή δηµοσκόπηση είναι η τεχνική της επιλογής ενός δείγµατος, ώστε το δείγµα να είναι αντιπροσωπευτικό.

Απογραφή ονοµάζουµε την εξέταση όλου του πληθυσµού ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά.

Παράδειγµα : Να υπολογίσετε τα παρακάτω ποσοστά : α) το 5% του 70

β) το 20% του 120 γ) το 35% του 160

δ) το 65% του 320

Επίλυση : α) Κάνουµε την πράξη ��22 � � 70 =

��2�22 = 3,5

β) Κάνουµε την πράξη �2�22 � ��120 =

��22�22 = 24

γ) Κάνουµε την πράξη ��22 � ��160 =

��22�22 = 56

δ) Κάνουµε την πράξη ��22 � ��320 =

�2122�22 = 208

(3) Το παρακάτω εικονόγραµµα µας πληροφορεί για τον αριθµό των αυτοκινήτων που πούλησε µια αντιπροσωπεία αυτοκινήτων τα έτη 2008, 2009, 2010, 2011 και 2012.

Άσκηση : Το αθλητικό σωµατείο «Γ.Σ.Ε.Σ. Αριστοτέλης» έχει τµήµατα χειροσφαίρισης καλαθοσφαίρισης και

σκάκι. Είναι εγγεγραµµένα 350 αγόρια και 150 κορίτσια. Στο τµήµα χειροσφαίρισης είναι

εγγεγραµµένα 175 παιδιά.

(α) Ποιο είναι το ποσοστό των αγοριών σ’ αυτόν τον αθλητικό σύλλογο;

(β) Ποιο είναι το ποσοστό των παιδιών που παίζουν µπάσκετ;

............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................



Page 13

Γραφικές παραστάσεις

Πολλές φορές θέλουµε να παρουσιάσουµε στατιστικά στοιχεία τα οποία έχουµε συγκεντρώσει από την εξέταση

κάποιου πληθυσµού ή δείγµατος ως προς µια ή περισσότερες µεταβλητές. Η παρουσίαση των στοιχείων αυτών

µπορεί να γίνει µε γραφικές παραστάσεις (διαγράµµατα) δηλαδή εικόνες ή σχήµατα, όπου φαίνονται µε σύντοµο

και εντυπωσιακό τρόπο οι πληροφορίες που έχουµε συγκεντρώσει.

Είδη γραφηµάτων που χρησιµοποιούµε στη Στατιστική

1) Εικονόγραµµα

2) Ραβδόγραµµα

3) Κυκλικό διάγραµµα

4) Χρονόγραµµα

Εικονογράµµατα είναι τα διαγράµµατα στα οποία οι πληροφορίες δίνονται µε την επανάληψη της

εικόνας του αντικειµένου στο οποίο αναφερόµαστε.

Αγορές αυτοκινήτων

2008 ��

2009 ��

2010 ��

2011 ��

�=1.000 αυτοκίνητα

Τίτλος διαγράµµατος είναι η πρόταση που µας κατατοπίζει για το είδος και τη µεταβλητή της έρευνας.

Κλίµακα εικονογράµµατος ονοµάζουµε τον αριθµό των αντικειµένων που παριστάνει η εικόνα.

Τίτλος στήλης ή γραµµής ονοµάζουµε το όνοµα της τιµής της µεταβλητής.

Σε κάθε εικονόγραµµα πρέπει να υπάρχει ο τίτλος, η κλίµακα και ο τίτλος κάθε στήλης.

Ραβδογράµµατα είναι τα διαγράµµατα τα οποία οι πληροφορίες δίνονται µε ορθογώνια ή ευθύγραµµα τµήµατα (ράβδους). Τα ορθογώνια ενός ραβδογράµµατος µπορεί να είναι τοποθετηµένα κάθετα ή οριζόντια.

Τίτλοι αξόνων είναι αυτοί που µας δείχνουν τι παριστάνουν οι δύο άξονες.

6000

5000

3000

2000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

2008 2009 2010 2011

Αυ

τοκ

ίνη

τα

Έτη

Πωλήσεις αυτοκινήτων



Page 14

Σε κάθε ραβδόγραµµα πρέπει να υπάρχει ο τίτλος, η κλίµακα και οι τίτλοι των αξόνων.

Κυκλικά διαγράµµατα είναι αυτά που το δείγµα παριστάνεται µε ένα κύκλο(πίτα) και οι τιµές της µεταβλητές

παριστάνονται µε κυκλικούς τοµείς διαφορετικού χρώµατος.

Για τον υπολογισµό της γωνίας θ ενός κυκλικού τοµέα χρησιµοποιούµε τον τύπο: θ = 34,ή�,63��783ή9,έ�6;<9�=6ί�,�3<9 � 36$<

Χρονογράµµατα είναι τα διαγράµµατα που παριστάνουν την διαχρονική εξέλιξη ενός φαινοµένου.

2008

2009

2010

2011


2008

2009

2010

2011

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

2008 2009 2010 2011


ο135

ο112,5

ο67,5

ο45



Page 15

Παράδειγµα : Στο παρακάτω κυκλικό διάγραµµα φαίνεται πως κατανέµονται οι 150 µαθητές των τριών τάξεων του

Αριστοτελείου Γυµνασίου. Η γωνία 108ο αντιστοιχεί στην Α΄ Γυµνασίου, η 120ο στην Γ΄ Γυµνασίου ενώ

η 132ο στην Β΄ Γυµνασίου.

(α) Ποια τάξη έχει περισσότερους µαθητές;

(β) Οι µαθητές που αντιστοιχούν στη Γ Γυµνασίου είναι:

(γ) Το ποσοστό των µαθητών της Α Γυµνασίου είναι:

Α Β Γ Δ

10,8 % 30 % 50 % 108 %

Επίλυση : α) Η τάξη στην οποία αντιστοιχεί η µεγαλύτερη γωνία. Δηλαδή η Β΄ Γυµνασίου.

β) Για να βρούµε τους µαθητές της Γ΄ Γυµνασίου στους οποίους αντιστοιχεί γωνία 120ο παίρνουµε

τον τύπο θ = 34,ή�,63��783ή9,έ�6;<9�=6ί�,�3<9 � 36$< � 120ο =

��2 � 36$< � x = ��2��2��2 � x = 50.

γ) Οι µαθητές της Α΄ Γυµνασίου είναι y = 45 άρα το ποσοστό είναι ��2 � $$@ = 30%

132ο

120ο

108ο

Μαθητές Γυμνασίου

Β΄ Γυμνασίου

Γ΄ Γυμνασίου

Α Β Γ Δ Ε

40 45 50 55 60

Α΄ Γυμνασίου

Για να βρούµε ένα ποσοστό βρίσκουµε το

κλάσµα Ποσοστό = ,6A4BC�,έ�6;<9<74BC�,έ�6;<9 � 100%

Άσκηση : Σε µία αποθήκη υπάρχουν τέσσερις τύποι κινητών τηλεφώνων Α, Β, Γ, Δ

σε ποσοστό 10%, 30%, 40%, 20% αντίστοιχα.

α) Να παραστήσετε τα δεδοµένα µε κυκλικό διάγραµµα.

β) Να βρείτε πόσα κινητά τηλέφωνα υπάρχουν από κάθε τύπο, αν ο συνολικός τους αριθµός είναι 400.

............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................



Page 16

Κατανοµή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων

Παρατηρήσεις λέγονται οι πληροφορίες που παίρνουµε από την εξέταση ενός δείγµατος ως προς µια µεταβλητή.

Τιµές δείγµατος λέγονται οι δυνατές τιµές της µεταβλητής του δείγµατος.

Διαλογή είναι η ανάγνωση µε τη σειρά των παρατηρήσεων και η καταγραφή κάθε παρατήρησης µε συµβολικό τρόπο, µε µια

γραµµή (|) για την αντίστοιχη τιµή της µεταβλητής. (Για ευκολία στην καταµέτρηση σχηµατίζουµε πεντάδες (||||).

Συχνότητα είναι το πλήθος εµφάνισης µιας τιµής της µεταβλητής.

Κατανοµή συχνοτήτων είναι η αντιστοίχιση σ’ ένα πίνακα των τιµών της µεταβλητής µε τις αντίστοιχες συχνότητες.

Σχετική συχνότητα είναι το πηλίκο της συχνότητας προς το πλήθος των παρατηρήσεων πολλαπλασιαζόµενο επί 100.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ένας πίνακας µε στήλες:

Τιµές, Διαλογή, Συχνότητες, Σχετικές συχνότητες

��ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ��

� Το άθροισµα των συχνοτήτων ισούται µε το πλήθος του δείγµατος

� Το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων ισούται µε 100

Παράδειγµα :

Ο αριθµός των µηνυµάτων που στείλαµε τον µήνα Γενάρη, είναι:

4 5 2 1 5 4 0 3 4 5

0 4 6 3 5 2 3 6 2 0

2 2 5 3 2 3 6 7 0 0

1 5 6 1 5 3 1 2 3 5

3 2 2 4 2 5 5 0 0 0

Παρατηρήσεις είναι ο παραπάνω πίνακας αριθµών

Τιµές δείγµατος είναι οι αριθµοί: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων

Τιµές ∆ιαλογή Συχνότητα Σχετική συχνότητα(%)

0 |||| ||| 8 16

1 |||| 4 8

2 |||| |||| 10 20

3 |||| ||| 8 16

4 |||| 5 10

5 |||| ||| 10 20

6 |||| 4 8

7 | 1 2

Σύνολο 50 100



Page 17

Αν µας ζητηθεί να γίνει κυκλικό διάγραµµα τότε προσθέτουµε µια στήλη στην οποία συµπληρώνουµε τις µοίρες που

αντιστοιχούν οι τιµές. Ο υπολογισµός των µοιρών γίνεται πολλαπλασιάζοντας την συχνότητα µε το 360 και διαιρώντας το αποτέλεσµα µε το πλήθος των συχνοτήτων.

Τιµές ∆ιαλογή Συχνότητα Σχετική συχνότητα Μοίρες

0 |||| ||| 8 16 57,6

1 |||| 4 8 28,8

2 |||| |||| 10 20 72

3 |||| ||| 8 16 57,6

4 |||| 5 10 36

5 |||| ||| 10 20 72

6 |||| 4 8 28,8

7 | 1 2 7,2

Σύνολο 50 100 360

Μέση τιµή – Διάµεσος

Μέση τιµή (ή µέσος όρος) ενός συνόλου παρατηρήσεων είναι το πηλίκο του αθροίσµατος όλων των

παρατηρήσεων προς το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Διάµεσος ενός συνόλου παρατηρήσεων (αφού έχουµε τοποθετήσει τις τιµές σε αύξουσα σειρά), είναι

� η µεσαία παρατήρηση, αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθµός.

� ο µέσος όρος των δύο µεσαίων παρατηρήσεων, αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθµός.

Άσκηση : Σε µια έρευνα που έγινε σε 25 µαθητές ως προς την οµάδα αίµατος, έγιναν οι παρατηρήσεις:

Ο, Α, Α, Α, Ο, ΑΒ, Α, Β, Α, ΑΒ, Β, Ο, Α,Ο, Β, Β, Β, Α, Α, ΑΒ, Β, Ο, Α, Α, Α.

α) Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό.

β) Ποιο είναι το ποσοστό των µαθητών που έχουν οµάδα Α ή Β;

γ) Ποια οµάδα αίµατος εµφανίζεται λιγότερο στο δείγµα;

...............................................................................................................

..............................................................................................................

..............................................................................................................

Άσκηση : Να βρείτε τη µέση τιµή και τη διάµεσο των παρατηρήσεων 120, 100, 130, 135, 145, 140, 120, 100

............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................



Page 18

Κεφάλαιο 5ο (Εµβαδά – Πυθαγόρειο) Εµβαδά επίπεδων σχηµάτων

i. Εµβαδόν Τετραγώνου πλευράς α: Ε = α2

α α

α

ii. Εµβαδόν ορθογωνίου µήκους α και πλάτους β: Ε = α�β

β β

α

iii. Εµβαδόν παραλληλογράµµου: Ε = β�υ

β

• Επειδή το παραλληλόγραµµο έχει δύο βάσεις το εµβαδόν µπορεί να υπολογιστεί µε δύο τρόπους

και ως ύψος θα παίρνουµε κάθε φορά το ύψος που αντιστοιχεί σε κάθε βάση.

• Η διαγώνιος του παραλληλογράµµου το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα µε ίσα εµβαδά.

iv. Εµβαδόν τυχαίου τριγώνου: Ε = ��D/

β

• Επειδή κάθε τρίγωνο έχει τρεις βάσεις και τα τρία αντίστοιχα ύψη αυτών τότε το εµβαδόν του

µπορούµε να το βρούµε θεωρώντας όποια βάση θέλουµε.

υ

υ

Μονάδες Μέτρησης

1m2

100dm2

10.000cm2

1.000.000mm2

1km2 = 1.000.000m2

1 στρέµµα = 1.000m2

� $$ E $$



Page 19

v. Εµβαδόν ορθογωνίου τριγώνου: Ε = ��

β

γ

vi. Εµβαδόν τραπεζίου: Ε = ��F/ � D

β

Β

Πυθαγόρειο θεώρηµα

Το Πυθαγόρειο θεώρηµα αναφέρεται στα ορθογώνια τρίγωνα και ειδικότερα µας δίνει µια σχέση µεταξύ των

πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Πιο συγκεκριµένα:

‘’Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο µε το άθροισµα των

τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών’’

Β Δηλαδή ισχύει η σχέση:

α2 = β2 + γ2

γ α Η οποία µπορεί να αναλυθεί στις εξής σχέσεις:

β2 = α2 – γ2 και γ2 = α2 – β2

Α β Γ

υ

Άσκηση : Ένα τετράγωνο και ένα τραπέζιο έχουν ίσα εµβαδά. Αν οι βάσεις του τραπεζίου είναι 12 cm και 20

cm και το ύψος του είναι 4 cm, να υπολογίσετε το εµβαδόν του τετραγώνου.

............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................



Page 20

Δ

16

x

Παράδειγµα : Στο διπλανό σχήµα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο Β

µε ΒΓ = 20 και ΑΓ = 16.

α) Να υπολογίσετε το µήκος x της πλευράς ΑΒ.

β) Να υπολογίσετε το ύψος ΑΔ. Α Γ

Επίλυση : α) Για να βρούµε την κάθετη πλευρά ΑΒ του ορθογωνίου τριγώνου εφαρµόζουµε Π.Θ. στο ΑΒΓ τρίγωνο :

(ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 = (ΒΓ)2 �� x2 + 162 = 202 �� x2 = 400 – 256 �� x2 = 144 �� x = "G00 = 12 β) Για να υπολογίσουµε το ύψος ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ πρέπει να χρησιµοποιήσουµε το εµβαδόν του τριγώνου

Ε = G/ΑΒ�ΑΓ = 96 τ.µ. αλλά ισχύει επίσης ότι Ε =

G/ΒΓ�ΑΔ �� G/20�ΑΔ = 96 �� ΑΔ = 9,6

Αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήµατος

Εκτός από το Πυθαγόρειο θεώρηµα υπάρχει και το ‘’Αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήµατος’’ µε την βοήθεια του

οποίου µπορούµε να διαπιστώσουµε αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή όχι. Πιο συγκεκριµένα:

Αν σε ένα τρίγωνο, το τετράγωνο της µεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο µε το άθροισµα των

τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο.

Σύµφωνα µε το παραπάνω θεώρηµα, αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι : α2 = β2 + γ2 τότε το τρίγωνο αυτό είναι

ορθογώνιο, µε HI �J$2.

Παράδειγµα : Οι πλευρές ενός τριγώνου έχουν µήκη 3, 4, 5 τότε για να βρούµε το είδος του τριγώνου εργαζόµαστε ως εξής:

βρίσκουµε το τετράγωνο της µεγαλύτερης πλευράς, 52 = 25,

βρίσκουµε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών:

32 + 42 = 9 + 16 = 25

Επειδή λοιπόν είναι 52 = 32 + 42, συµπεραίνουµε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Άσκηση : Να εξετάσετε αν είναι ορθογώνια το τρίγωνα µε πλευρές α) β=10,α=6,γ=8 β) α=11, β=7, γ=12

............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................



Page 21

Κεφάλαιο 6ο (Τριγωνοµετρία)

Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Οξείας γωνίας Γ

KLFM � �NέO�OPQ�RάSKPT�NUKDVά�PTW�FMNVXYRKίZKOT�RάSKPT�NUKDVά�PTW�FM � [\[F ωωωω

TZFM ��NέO�OPQ�RάSKPT�NUKDVάDNXPKίOXDY� � [\F\

YDOFM �NVXYRKίZKOT�RάSKPT�NUKDVάDNXPKίOXDY� �[FF\ Α Β

Σχόλια:

1. Οµοίως θα γράφαµε και τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της οξείας γωνίας�].

2. Οι αριθµοί ηµω, συνω, εφω συνδεόνται µε την σχέση: KL_ � TZ_YDO_ .

3. Επίσης ισχύουν οι σχέσεις: 0 < ηµω < 1 και 0 < συνω < 1 .

4. Το ύψος και το εµβαδόν ενός ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α δίνονται από τους τύπους

D ��"`/ και a ��/"`0 αντίστοιχα.

5. Ισχύει για κάθε γωνία ω η σχέση: TZ/_��YDO/_ G�%

Μεταβολές Ηµιτόνου, Συνηµιτόνου και Εφαπτοµένης.

Όταν µια γωνία αυξάνεται, τότε:

• αυξάνεται το ηµίτονο και η εφαπτοµένη της,

• ελαττώνεται το συνηµίτονο της.

Αξίζει επίσης να επισηµάνουµε:

• Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα ηµίτονα τότε είναι ίσες.

• Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα συνηµίτονα τότε είναι ίσες.

• Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσες εφαπτοµένες τότε είναι ίσες.



Page 22

A

B Γ

20

Δ

Χρήσιµος Πίνακας των Γωνιών `bcd 0ec�fgh�ibc Γωνία 3$< +!< 6$<

Ηµίτονο 2 "22

"32

Συνηµίτονο "32 "22

2

Εφαπτοµένη "33

"3

Παράδειγµα 1: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε : ΑΒ = 10, ΒΓ = 20, j = 30ο .

Να υπολογίσετε : α) το ύψος ΑΔ,

β) το εµβαδόν του ΑΒΓ.

Επίλυση : α) Έχουµε ότι ηµΒ = klkm � ηµ30ο =

kl�2 � �� =

kl�2 � ΑΔ = 5

β) Έχουµε ότι Ε = �� ΑΔ�ΒΓ =

�� 5 � 20 = 50

Παράδειγµα 2 : Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης

Α = (4ηµ30ο – εφ45ο)2015 + (2ηµ245ο – 4συν60ο)2014

Επίλυση : Αντικαθιστούµε στην σχέση και έχουµε Α = (4� �� – 1)2015 + [2� n"�� o� - 4� ��]2014 = 12015 + (-1)2014 = 1 + 1 = 2

Άσκηση : Δίνεται το διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = 6, ΑΓ = 6"3 Α

και ΑΔ = 3"3 , να βρείτε :

α) τη γωνία Β β) τη γωνία Γ Β Δ Γ

γ) την πλευρά ΒΓ δ) το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................



Page 23

Κεφάλαιο 7ο (Μέτρηση Κύκλου)

Εγγεγραµµένη Γωνία Α

Λέγεται µία γωνία όπου η κορυφή της είναι σηµείο

ενός κύκλου και οι πλευρές τις τέµνουν τον κύκλο. B Γ

x y

Το τόξο στο οποίο βαίνει(κοιτάει) µια εγγεγραµµένη γωνία λέγεται αντίστοιχο τόξο της και είναι σε µοίρες διπλάσιο από την

εγγεγραµµένη.

Άλλες ιδιότητες που ισχύουν είναι οι εξής :

• Κάθε εγγεγραµµένη γωνία που βαίνει σε ηµικύκλιο είναι ορθή.

• Δύο εγγεγραµµένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι ίσες.

Επίκεντρη Γωνία

Λέγεται µια γωνία που η κορυφή της είναι

στο κέντρο ενός κύκλου.

x y

Το τόξο στο οποίο βαίνει(κοιτάει) µια επίκεντρη γωνία λέγεται αντίστοιχο τόξο της και είναι σε µοίρες

ίσο µε την επίκεντρη.

Άλλη ιδιότητα που ισχύει είναι ότι µια επίκεντρη είναι διπλάσια από µία εγγεγραµµένη αν βαίνουν στο ίδιο τόξο.

ω

Ο

Άσκηση : Σε ηµικύκλιο διαµέτρου ΑΒ = 6cm δίνεται σηµείο του Γ Γ

έτσι ώστε H]p 2j]p . Να υπολογίσετε τις πλευρές και

τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Α Ο Β

............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................



Page 24

Ο

Κανονικά Πολύγωνα

Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό αν έχει όλες τις πλευρές και τις γωνίες του ίσες µεταξύ τους. Για παράδειγµα :

Το άθροισµα των γωνιών ενός ν-γώνου είναι (2ν – 4) ορθές.

Σε κάθε κανονικό πολύγωνο µπορούν να σχεδιαστούν δύο κύκλοι ένας εγγεγραµµένος και ένας περιγγεγραµµένος.

Τα βασικά στοιχεία του είναι :

• Η κεντρική του γωνία ω = ��2q- .

• Η απλή γωνία φ = 180ο – ω

• Είναι παραπληρωµατικές οι δύο γωνίες του.

Κύκλος µο

A. Μήκος Κύκλου : L = 2πρ Α D Β B. Μήκος Τόξου : l =

rA,�12q C. Εµβαδόν κύκλου : Ε = πρ2

D. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα : Ε = rAs,��2q

Στον παραπάνω κύκλο το τόξο που θα ψάχνουµε το µήκος του είναι το Hjp και ο κυκλικός τοµέας είναι το

κοµµάτι που περιέχει µέσα το γράµµα D.

Τετράγωνο Ισόπλευρο

Κανονικό

Πεντάγωνο

Άσκηση : H γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι τα �� της ορθής. Να βρείτε τον αριθµό των πλευρών του

πολυγώνου.

............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................



Page 25

Α

Β Γ

2x+3 x+5

2x+1

Eξισώσεις :

1) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις :

α) 2(2x – 1) + 11 = 4(x + 1) + 5 β) x + 18 – 4(x + 6) = 3(6 – x) γ) 4(x – 1) – 8x + 1 = 10(x – 9) – 9(x – 8)

δ) 8x – 4(3x – 1) = 1 – (4x + 1) ε) 4(5x + 12) – 2(19x + 6) = 18(2 – x)

2) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις :

a) .�// /�.0 . e .�/t β)

e.�/G/ � .�G0 /.�G` γ) e.�GG/ `.�G0 e�/.i

δ) /.�`/ .�`0 `.�G0 G ε) �.�`��0/ G�/�.�`�` i�`�.�`�0 στ)

.�G` `.�/e G�/.Gb .�/Ge

3) Να λυθεί η εξίσωση : G/ uv . /n./ � eow ui `./ � `�. e�w � e b

4) Στο διπλανό σχήµα δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τα µήκη των πλευρών του.

α) Αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές µε βάση ΒΓ να βρείτε την περίµετρο του.

β) Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ µπορεί να είναι ισοσκελές µε βάση ΑΓ.

Προβλήµατα µε Εξισώσεις

1) Αν στο διπλάσιο ενός αριθµού προσθέσουµε το �� του αριθµού αυτού βρίσκουµε 35. Ποιος είναι ο αριθµός αυτός;

2) Ο Ανδρέας πλήρωσε για ένα εισιτήριο, µε έκπτωση 60%, 50 €. Πόσο κοστίζει το εισιτήριο;

3) Οι ηλικίες ενός πατέρα και της κόρης του έχουν άθροισµα 36. Σε έξι χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια από

της κόρης. Να βρείτε τις σηµερινές ηλικίες τους.

4) Από τους µαθητές ενός τµήµατος της Β΄ Γυµνασίου οι µισοί πηγαίνουν στο σχολείο µε τα πόδια, το �� χρησιµοποιεί ποδή-

λατο, το �x πηγαίνει µε το λεωφορείο και δύο µαθητές τους πηγαίνουν οι γονείς τους µε αυτοκίνητο. Να βρείτε πόσους

µαθητές έχει το τµήµα αυτό.



Page 26

Ανισώσεις α΄ Βαθµού

1) Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις σε ευθεία των αριθµών :

α) 9 – (x + 19) ≤ 2(x – 8) β) 21 – 3(x + 1) > 3x γ) 2(18 – x) ≤ 7(x + 1) + 2

δ) G�/�.�`�` �.�`��0/ � `�.�`��i0 ε) i .�/` ≤ .�G/ � `�.0 στ) G .i � .0 � /�.`

2) Δίνεται η ανίσωση �� ≤ �� .

α) Να λύσετε την παραπάνω ανίσωση.

β) Να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθµών και να βρείτε τις ακέραιες αρνητικές λύσεις της ανίσωσης.

3) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων :

α) 3(x – 9) < 2x – (3 + 2x) και 3(2x + 1) – 2x > 2x + 17

β) i .�/` � .�G/ .�`0 και .�`/ .�G0 ≥ .�0`

γ) G`�./ .�/` ≤ `�.0 και `. � .�i` ≤ e. /

4) Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων:

α) 16x – 2(4 – x) < 3(7 – x) – 1 και 2(3x – 1) – 5(8 – 3x) > 3(x – 8)

β) .�`/ tGv � G�.0 .�eGv και / � .�it `.�0/ � 0.�``

δ) `.�e/ e � / � .�G`` � /�/�.�t και

G�`.Gb � 0 `�/.`

Τετραγωνική Ρίζα Θετικού Αριθµού

1) Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις :

α) Α = " 7 � 7 � "$ � |"!}� β) Β = "2! J � " 6 � J &�8�� γ) Γ = *"� � "Gi � 0

δ) Δ = �7 � *2 � & � "J *+& + � "+ ε) Ε = "��s"��s � "��&��s στ) *2 � &2 � "+

2) Να βρείτε τους θετικούς αριθµούς x που ικανοποιούν τις παρακάτω εξισώσεις :

α) x2 = 81 β) 2x2 = 32 γ) x2 + 5 = 2(x2 – 10) δ) 3 – x2 = -166



Page 27

2

2

x

1 4

9

1

x

3) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις που ακολουθούν :

α) Α =� $ � *3 � & 7 � "6+ �&"8 &" 6)

β) Β = *27&" 6 � "2! *3&7 � "+

4) Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε το x.

α) β)

Άρρητοι Αριθµοί

1) Να συγκρίνετε τους αριθµούς :

α) 4 και " 7 β) 7 και "!$ γ) "3 και "7 δ) 3, "3, "6

2) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες έχουν νόηµα οι παρακάτω παραστάσεις :

α) Α = " � "3 β) Β = *�� *�� 2

Έννοια της Συνάρτησης

1) Να συµπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες τιµών :

α) y = x + 1 β) y = 2x – 3 γ) y = �� x + 3

x -1 0 2 3

y

δ) y = 2x2 ε) y = x2 – 5x + 6

x -1 0 2 3

y

x -4 -2 0 4

y

x -2 -1 1 4

y

x -3 -1 1 4

y



Page 28

2) Δίνεται η συνάρτηση y = 2x.

α) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιµών της συνάρτησης αυτής.

β) Να βρείτε την συνάρτηση που εκφράζει πως µεταβάλλονται οι τιµές του y όταν οι αντίστοιχες τιµές του x

ελαττωθούν κατά 2.

3) Να βρείτε τη σχέση που εκφράζει τη νέα τιµή ενός αυτοκινήτου, ως συνάρτηση της παλαιάς τιµής του αυτοκινήτου :

α) Η τιµή αυξήθηκε κατά 500€.

β) Η τιµή αυξήθηκε κατά 5%.

γ) Η τιµή αυξήθηκε κατά 5% και σε αυτήν προστέθηκε φόρος 150€.

δ) Η τιµή µειώθηκε κατά 10% και σε αυτήν προστέθηκε φόρος 200€.

4) Το ορθογώνιο του σχήµατος έχει µήκος x + 2 και πλάτος x.

α) Να εκφράσετε την περίµετρο Π ως συνάρτηση του x.

β) Να εκφράσετε το εµβαδόν Ε ως συνάρτηση του x.

γ) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιµών.

δ) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου όταν η περίµετρος του είναι ίση µε 20cm.

Καρτεσιανές Συντεταγµένες – Γραφική Παράσταση

1) Δίνονται τα σηµεία Α(1, 3), Β(-2, 3), Γ(4, -1) και Δ(-1, -2).

α) Να τοποθετήσετε τα σηµεία σε ένα σύστηµα αξόνων.

β) Να βρείτε τα συµµετρικά των σηµείων Α, Β ως προς τον άξονα x΄x.

γ) Να βρείτε τα συµµετρικά των σηµείων Γ, Δ ως προς τον άξονα y΄y.

x -2 -1 0 1 2

y

x 1 2 3 5

Π

Ε



Page 29

2) Να βρείτε τις αποστάσεις των σηµείων Α, Β στις παρακάτω περιπτώσεις :

α) Α(4, 0), Β(0, -3) β) Α(-1, -7), Β(5, 1) γ) Α(1, 13), Β(-8, 1)

3) Δίνεται η συνάρτηση y = -x2.

α) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιµών.

β) Να εξετάσετε ποια από τα σηµεία Α(-1, -1), Β(3, -9), Γ(-4, 16), Δ("2 , -21) ανήκουν στην γραφική παράσταση.

γ) Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Η Συνάρτηση y = αx

1) Τα ποσά x, y είναι ανάλογα.

α) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιµών.

β) Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x.

γ) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση αυτή.

2) α) Να βρείτε την κλίση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σηµείο Α στις παρακάτω περιπτώσεις :

i) A(-1, 3) ii) A(-2, 4) iii) A(-1, 4) iv) A(3, 1)

β) Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας κάθε φορά και να την σχεδιάσετε.

3) Δίνεται η ευθεία y = αx η οποία διέρχεται από το σηµείο Α(1, -3).

α) Να βρείτε την τιµή του α.

β) Να κάνετε την γραφική παράσταση της ευθείας.

γ) Να εξετάσετε αν τα σηµεία Β(1, 3) και Γ(�� , -1) ανήκουν στην παραπάνω ευθεία.

x -2 -1 0 1 2

y

x -3 0 2 -4

y 2 -2 8



Page 30

4) Δίνεται η ευθεία y = - ��x.

α) Να βρείτε την κλίση της ευθείας.

β) Να εξετάσετε αν η ευθεία διέρχεται από τα σηµεία Α(9, -12) και Β(3, 4).

γ) Να κάνετε την γραφική της παράσταση.

δ) Να βρείτε την τιµή του α ώστε η ευθεία y = (α - �� )x να έχει την ίδια κλίση µε την δοσµένη.

Η Συνάρτηση y = αx + β

1) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει κλίση λ και τέµνει τον άξονα y΄y στο σηµείο Α(0, β) στις περιπτώσεις :

α) λ = -1, Α(0 , 3) β) λ = �� , Α(0 , 1) γ) λ =

�� , Α(0, -2)

2) Να σχεδιάσετε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ, του οποίου οι πλευρές ανήκουν στις ευθείες x = 1, y = 1, x = -3 και y = -2.

Να βρείτε : α) τις συντεταγµένες των κορυφών του, β) το εµβαδόν του, γ) τα µήκη των διαγωνίων του

Η Συνάρτηση y = �. (Υπερβολή)

1) Στον παρακάτω πίνακα τα ποσά x, y είναι αντιστρόφως ανάλογα.

α) Να συµπληρώσετε τον προηγούµενο πίνακα.

β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x, y.

γ) Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης που προκύπτει από το (β).

2) Δίνεται η συνάρτηση y = �� , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σηµείο Α(2, 1).

α) Να βρείτε την τιµή του α.

β) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιµών:

γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της.

δ) Ποιο είναι το κέντρο συµµετρίας και ποιοι οι άξονες συµµετρίας της παραπάνω υπερβολής;

x -4 -2 -1 4

y -2 4 2

x -4 1 4

y -1 -2 1



Page 31

Δ 14 Γ

Α Ζ Ε Β

30 30

50

Εµβαδόν Επίπεδων Σχηµάτων

1) Σε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ = 6cm και ΑΔ = 10cm. Το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά ΑΒ είναι 5cm.

Να βρείτε το δεύτερο ύψος του παραλληλόγραµµου.

2) Πόσο είναι το ύψος ενός τραπεζίου, το οποίο έχει εµβαδόν 150cm2 και οι βάσεις του έχουν µήκος 10cm και 15cm;

3) Ένα παραλληλόγραµµο έχει το ίδιο εµβαδόν και την ίδια περίµετρο µε ένα ορθογώνιο που έχει διαστάσεις 7cm και 8cm.

Αν η µία πλευρά του παραλληλογράµµου είναι 5cm, να υπολογίσετε τα ύψη του.

4) Πόσα τετράγωνα µε εµβαδόν 1cm2 έχουν άθροισµα των περιµέτρων τους ίσο µε την περίµετρο ενός τετραγώνου που

έχει εµβαδόν 16cm2.

5) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

6) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Πυθαγόρειο Θεώρηµα

1) Το τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές.

α) Να αποδείξετε ότι ΑΖ = ΕΒ = 18.

β) Να υπολογίσετε το ύψος του τραπεζίου.

γ) Να υπολογίσετε το µήκος της διαγωνίου ΑΓ.

δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν Ε του τραπεζίου.

m2 1,300107

dm2 5.800,12

cm2 3.221,2

mm2 3.722.500

m2 7.527

km2 0,327

στρέµµατα 513



Page 32

Α

Β Γ

10 x

21

8

17

y

Λ 9 Δ 4 Μ

Κ

2) Στα παρακάτω σχήµατα να βρείτε τα x και y.

α) β)

3) Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = ΑΓ = 10cm και ΒΓ = 16cm. Να υπολογίσετε το:

α) το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ,

β) ύψος ΒΕ του τριγώνου ΑΒΓ

4) Να αποδείξετε ότι στο διπλανό σχήµα τα ευθύγραµµα τµήµατα ΚΛ

και ΚΜ είναι κάθετα µεταξύ τους.

5) Ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. Διπλασιάζουµε τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ και σχηµατίζουµε νέο τρίγωνο

ΚΛΜ. Να αποδείξετε ότι και το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ορθογώνιο.

Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί

1) Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓ, µε HI = 90ο, είναι ΑΓ = 12cm και εφΒ = �� . Να βρείτε :

α) την πλευρά ΑΒ,

β) την εφαπτοµένη της γωνίας ],

γ) την υποτείνουσα ΒΓ,

δ) το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

8 10

6



Page 33

10

Α Γ

Β 2) Στο διπλανό σχήµα είναι ΒΓ = 10 και ηµφ =

��. Να βρείτε :

α) την πλευρά ΑΒ,

β) τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας Β

γ) το εµβαδόν του τριγώνου.

3) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(HI = 90ο), συνΒ = 0,6 και ΒΓ = 20. Να υπολογίσετε :

α) το ηµΒ, β) την περίµετρο του τριγώνου,

γ) το εµβαδόν του τριγώνου, δ) το ύψος ΑΔ.

4) Δίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓΔ µε ΑΒ = 8, ΒΓ = 10 και j = 30ο. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του παραλληλογράµµου.

5) Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, HI = 90ο, είναι ΑΒ = 5 και ΒΓ = 10. Να βρείτε τις γωνίες Β και Γ.

6) Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων :

α) 4ηµ30ο � συν60ο β) 2συν230ο – συν60ο

γ) 2εφ45ο – 4ηµ260ο δ) /KL`bXG�KL/`bX

Εγγεγραµµένες – Επίκεντρες Γωνίες

1) Να προσδιοριστούν οι ζητούµενες γωνίες σε καθένα από τα σχήµατα :

φ



Page 34

Γ

Β Α

2) Οµοίως τις γωνίες :

3) Στο διπλανό σχήµα δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο µε την πλευρά

ΒΓ να είναι διάµετρος του κύκλου και ΑΚ το ύψος του τριγώνου. Αν είναι

γνωστό ότι ΟΑ = ΟΒ = ΑΒ και ΑΚ = "3 , να προσδιορίσετε :

α) το µήκος της πλευράς ΑΒ

β) το µήκος της πλευράς ΑΓ,

γ) το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

Κανονικά Πολύγωνα

1) Σε ποιο κανονικό πολύγωνο η γωνία του είναι 3-πλάσια από την κεντρική του γωνία;

2) Να εξετάσετε αν υπάρχουν κανονικά πολύγωνα µε γωνία 130ο, 150ο, 160ο.

Κύκλος

1) Ένας κύκλος έχει περίµετρο 18, 84 cm. Να βρείτε την ακτίνα του και το εµβαδόν του.

2) Ένας κύκλος έχει εµβαδόν 78, 5 cm2. Να βρείτε την ακτίνα του και την περίµετρο του.

3) Στον διπλανό κύκλο οι χορδές ΑΒ = 10cm, ΑΓ = 8cm και ΒΓ = 6cm. Να υπολογίσετε

την ακτίνα του κύκλου, το εµβαδόν του και την εφω.

ω



Page 35

Α

Β

Γ Ε

Δ

Ο

4) Το τετράγωνο έχει πλευρά 6cm. Να βρείτε το εµβαδόν του κύκλου και το εµβαδόν

του µέρους του τετραγώνου που είναι έξω από τον κύκλο.

5) Ο κύκλος έχει ακτίνα 2"2 cm. Να βρείτε το εµβαδόν του κύκλου και το εµβαδόν

του µέρους του κύκλου που είναι έξω από τον τετράγωνο.

6) Σε κύκλο διαµέτρου δ = 17 cm είναι εγγεγραµµένο ορθογώνιο ΑΒΓΔ µε ΒΓ = 15 cm.

α) να υπολογίσετε την πλευρά του ΑΒ.

β) να βρείτε το συν(H]j).

γ) να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του µέρους του κύκλου που βρίσκεται έξω από το ορθογώνιο είναι 427, 46 cm2.

7) Δίνεται το παραπάνω ηµικύκλιο µε διάµετρο ΒΓ = 15 cm και το τετράγωνο

ΑΒΕΔ µε εµβαδόν 144 cm2. Να βρείτε:

α) την χορδή ΑΓ.

β) την εφ(]jH�. γ) το µήκος του ηµικυκλίου.

δ) το εµβαδόν του µέρους του ηµικυκλίου που είναι έξω από το τρίγωνο.

.

Business

β΄ γυμνασίου χρωματιστό