Fractales Y Teora Del Caos 1206488967823111 5

FRACTALES Y TEORÍA

DEL CAOSFRACTALES Y TEORÍA

DEL CAOS

Para entender los fractales es necesario conocer algunos concepto de antemano.

•Dimensiones •Recursividad•Autosemejanza

FRACTALES

El concepto de dimensión en nuestro contexto tradicional referencia las extensiones del universo en las que existimos.

DIMENSIONES

Video Sagan (22:53)

DIMENSIONES

Según la relatividad especial existimos en un universo tetradimensional conformado por la suma de las dimensiones del espacio mas el tiempo, conformando un ente denominado espacio-tiempo.

Fenómeno donde algo se define en términos de si mismo.

RECURSIVIDAD

La parte contiene al todo

RECURSIVIDAD

RECURSIVIDAD

RECURSIVIDAD

RECURSIVIDAD

RECURSIVIDAD

La frase de abajo es verdaderaLa frase de abajo es verdadera

La frase de arriba es falsaLa frase de arriba es falsa

Recursividad indirecta

RECURSIVIDADComo se define la función factorial :n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)…1

Ejemplo:5!=5*4*3*2*1=120

int Factorial( int n ) {int i, res=1;for(i=1; i<=n; i++ ) res = res*i; return(res); }

Tradicionalmente la solución de los

problemas se encuentra en

algoritmos externos al problema

i res1 1

2 2

3 6

4 24

5 120

RECURSIVIDADSi analizamos con atención el ejemplo constatamos que: 5!=5*4*3*2*1=120

4!=4*3*2*13!=3*2*12!=2*11!=1

Y según esto podemos afirmar que:

5!=5*4!4!=4*3!3!=3*2!2!=2*1!1!=1*0! Por definición; 0!=1

LA CONDICIÓN DE FINALIZACIÓNPor definición; 0!=1LA CONDICIÓN DE FINALIZACIÓN

RECURSIVIDADEsto nos conduce a una nueva definición del factorial mucho más determinística pero también de mucho menos sentido común:

Si n=0 entonces n!=1sino n!=n*(n-1)!

int Factorial( int n ) {if(n==0) return(1);else return(n*Factorial(n-1)); }

Los modelos recursivos encuentran

la solución al problema en el mismo

problema

n Return

5 5*4!

4 4*3!

3 3*2!

2 2*1!

1 1*0!

0 1

RECURSIVIDAD TORRES DE HANOI

Esta técnica puede agregar más confusión que beneficio en problemas sencillos, pero resulta muy útil en problemas esencialmente recursivos.

static void hanoi(int height) { int[] HeightStack = new int[height]; int SP = -1;

while (height > 0) {

SP++; HeightStack[SP] = height; height--; } while (SP >= 0)

{ height = HeightStack[SP]; SP--; moveDisk(height); height--; while (height > 0)

{ SP++; HeightStack[SP] = height; height--;

} }

}

void Hanoi( n, inicial, aux, final ){ if( n>0 ) { Hanoi(n-1, inicial, final, aux ); printf("Mover %d de %c a %c", n, inicial, final ); Hanoi(n-1, aux, inicial, final ); } }

AUTOSIMILITUDPerfecta :Perfecta : Cada porción de un objeto tiene las mismas características del objeto completo.

AUTOSIMILITUDEstadistica: Estadistica: cada área conserva, de manera estadísticamente similar, sus características globales.

AUTOSIMILITUD

Teoría matemática encargada de analizarsistemas con comportamientos impredecibles y aparentemente aleatorios.

TEORIA DEL CAOS

Algunos sistemas caóticos•Un río: Es una entidad cambiante e impredecible, relativa a su interacción con el medio ambiente. Hecho ya conocido por Heráclito

•Tráfico Vehicular: Sistema dinámico basado en las decisiones individuales de varios conductores.

•BIG-BAN: Explosión que dio origen al universo y la subsiguiente interacción de los cuerpos celestes producidos.

PARADOJA DEL CAOS (Orden subyacente)

El rio tiende a conservar su forma, pero experimenta una renovación permanente. El ser humano experimenta el mismo fenómeno

•El tráfico vehicular es claramente caótico vistodesde dentro de los autos. Pero una visión aérea nos revela formas y figuras claramente definidas.


•El BIG-BAN a pesar de ser una explosión, los sistemas astrales generados ostentan un nivelextraordinario de orden subyacente.


Teoría del caos - orígenes

En los años 60 el meteorólogo Edward Lorenz probaba un sistema de ecuaciones parapredicción climática basado en tres variables; velocidad del viento, presión de aire y temperatura.

Las ecuaciones se retroalimentaban con sus valores resultantes con el fin de obtener valores futuros.

En un primer experimento los cálculos se realizaron con una precisión de 6 decimales, en una segunda versión sistematizada del experimento, los cálculos fueron realizados con 3 decimales de precisión, por limitantes de la arquitectura de su máquina, lo cual debería introducir un pequeño margen de error en los resultados.

Los resultados obtenidos fueron radicalmente diferentes!el pequeño factor de error se vio amplificado por el carácter retroalimentado del experimento.

“Un sistema no lineal”


Pequeñas variaciones en las condiciones iniciales del sistema pueden producir grandes variaciones en el comportamiento del mismo...

Este comportamiento no es un defecto en el experimento, al contrario, es una imagen fiel del sistema climático.

El sistema climatológico, es un sistema retroalimentado no lineal donde pequeñas variaciones de presión o temperatura pueden causar grandes alteraciones climáticas.


El efecto mariposa

“Provoca el aleteo de una mariposa en Brasil, un tornado en Texas ?”

Las predicciones climáticas realizadas hoy día ignoran demasiadas mariposas como para poder ir mas lejos de tres días en el futuro

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas, posee dimensión fraccionaria y extensión infinita

FRACTALES

Fractales - origenes

En la década de los 70, Benoit Mandelbrot expone su teoría de fractales basándose en la siguiente pregunta:

Cuánto mide la costa del Reino Unido?

INFINITO !!!

•La longitud de su perímetro es infinitaCaracterísticas:

•Son autosemejantes•Poseen dimensión fraccionaria

Demo...Demo...

FRACTALES

Complejos: Por ecuaciones dinámicas no lineales

Se generan por ecuaciones retroalimentadas

TIPOS DE FRACTALES

Lineales: Sistemas L

Se generan por patrones auto replicados.

TIPOS DE FRACTALES

Lineales: IFS (Iterated Function System)

Se generan por coeficientes de funciones retroalimentadas seleccionados aleatoriamente.

TIPOS DE FRACTALES

CaóticosTIPOS DE FRACTALES

Código fuenteHelecho IFS

X := 0; y := 0 ; Repeat r := Random(100); If (r <= 1) Then Begin a := 0; b := 0; c := 0; d := 0.16; e := 0; f := 0; End Else If (r <= 86) Then Begin a := 0.85; b := 0.04; c := -0.04; d := 0.85; e := 0; f := 1.6; End Else If (r <= 93) Then Begin a := 0.2; b := -0.26; c := 0.23; d := 0.22; e := 0; f := 1.6; End Else Begin a := -0.15; b := 0.28; c := 0.26; d := 0.24; e := 0; f := 0.44; End; newx := (a * x) + (b * y) + e; newy := (c * x) + (d * y) + f; x := newx; y := newy; PutPixel(x * ProporcionX, y * ProporcionY);Until KeyPressed; Demo...Demo...

TIPOS DE FRACTALES

Algunas aplicaciones prácticas:

•La dimensión fractal de algunos materiales es relativa su dureza

•Predicción de fracturas de materiales.

•Diagnóstico de osteoporosis.

•Obtener mejores medida

•Música fractal

Demo...Demo...

APLICACIONES FRACTALES

Arquitectura Fractal



Imagen de un Pulmón humanocon características fractales

Algunas aplicaciones computacionales:

•Compresión de imágenes. (Transformación fractal)

•Simulación de figuras naturales. (montañas, ríos, nubes, árboles, terrenos)

•Efectos gráficos, texturas, terrenos fractales.

•Demoscene


Benoit Mandelbrot

Thank you Doctor Benoit Mandelbrot

Muchas pero muchas GraciasMuchas pero muchas Gracias

Fractales y teoría del CaosJimmy Campo

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