IÁ INTEGRAT DEFINIDA

1.- Hallar la suma de Reimarur asociada u f(")= x2 +3-r en el intervalo [0,8], dondeJo =0, xt=1, x2=3, xt=7,y x+:Srydonde ct=1, cz--2, ct:5, co=8.

Ru'2/ (x;)61;¡: l-

Ru= f (c,)nx,-+f (c')lx,+f(¿r)axr+ f (c")Ax,

Rs.'rC') (r -) + ¡[.) (l--r; + r(s)(+-=) + r(l) (t-+)

Ru= q(t)|t-'(.)"t-(.r)*¡¡(,-) = L{+¿.r +i6<l+!:

2.- }Jallar l,a suma de Reimann asociada " f(*)- senx en el intervalo f1,2r'1, donde

fo =0,xr=fi14, xz=lf 13, xz=fr, Y xo=277,'y donde 1=fi16, cr=r13,cz = 21tr 13, y co = 3t 12.

Ro'

Rs=

Ru=

Ro-

L r(y-) lxi

r k)41,-+¡(cJAlr + f(¿r) lX, * ¡(c.') nx*

r(ol.) (r1",-4 + / (rr fr) (rr h-rr l') *f (zir l')h-rri:) t

i f r\ . r[¡ f ¡1\ * -fi, {-zr'\ u (-') (ri);\'{) . \:-z/ L r' r /

f:ofVJ ^r( - -L+- '7L'l

f ( r,i¡.) [."'-rr)

3.-'En los siguientes ejercicíoscalcule su valor:

a) n*T G-,Y Lx,; a=1-,b=3' 1_el-+o fr, ' ,

exprese eI límíte dado como una integral definida y

lp\-,-:-o ?: Ali _--; t:r¡ a>(' b-ar 1- I L

il-

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n-

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n--¡7S

f (+,) ¡:.. +

f'

¡* I r (x')L

nx [ (y,_)L'

.r (r,) ^x

+ .r (x¡) nx +

rr(x,.) tr(r¡)+--- -+ f (Y-

+ r (x*) ax

'* $r)'* (xr)'*--' -- + (x-)

.l)f

e-l'lI

J

.)-lr * .\.4x/ .ln--126

nx[ ['+nx)]*('*zar)]+ ('n.o*i'+ --- - + (

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nx (-r+ i¡x +¡¡t' + ¡)r3 + I + Ga). + -r¿n* + la¡'+ r-+l Ax+ ¿+Ayi +z+ali+-- -+ ra l>,AX +3h¿ax+-,'lrt)

lx[r- + 3a,q(tu.+3+--t'^) + 3nx'(r+r+1t .-')+ A1, (r+¡ +¿++- -- +*'t)lJ

il-\L/r¡,f\-tcB

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Ax.., + 3^t' (úr')) + At' ttt$.!._-) * o*' !'r')-¡'

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f (r,)Ax+lCx')Ax+f (x.)Nxt--- * + y'[x'\ N;q

o^L.F(r-1 + f(x") +.c[xo)+--- + ,r(x-)l

Nxl(5'-,a,')'+ (5*-x,)'* (5"-Xo)"a - --* * (s"^''u-)tl

o* Lr. 5..-' (*t' * x.' + Xr'. - - + X"')l

a* [- 5"*'L (o+ lx)'+ (o 'r.nr*)'+

(o+ ]ax\'+ - - - + ( o+r^' ax)

A*L-i^'(Af + ¿'a)('+r'a-f +---- + ]-r¿ ^-')]

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4.- En los siguientes ejercicios calcule las integrales definidas:

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!

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- | | ¡(-.)- I (r) + b (-r.-) +¡( z.r"!=l.e]zls s s : -l s"t (t \x'l'- r I a\ xt/'/

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1r))))'1-!olL

q{c.lt- . I

z\[\*\ax-3 lxdxJJ.L

( ,oJ\-Xl +

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X!tA¿x

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,(¿x-\)-t

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,, u I+1. \=

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¡ [*) " 15.". z*l

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ü ll'u"z*la*

r( _-.**," Jo\Llo

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I I SqnzÁI*

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'ir l¡rr '-'-|,'-----\it"\fi"..-x)Jx)"*J

_nlq ) \.fl

^?Po^ * r\q

u

I *g.^¡

¿

dx

5.- En krs siguientes ejercicíos usar eI primer teorema

determinar F'(x):.f

fundamerrtal del Cálculo Para

b) F(r) = fsect.tant.dt. rl3.?J p("). I \ ,".T l*T )T

df. ¿'t, rrl l¡

nt'(*) . 5 o. -A T*^ a' ll

x+2

d)F("r)= l$t +t@r

/ F(1.1= ¿ i-t.rrr)<)T.dx dx;

[:(*)" q (*+c) + | - frx+-Ll

F'(*)= 8 llvt*- t'

0 r(") = lt-ú,1t -rr

i r(*)= d il r' ¿.dx d:' J -¡'+L-

!

['(")* i llx.+r ll

F'(*)=i(..u/

a) r(x)= I'{,*8

)'I F(*)= ¿ \',1-'¿rdx d*

'o

¡, t/F (x) - 'lX lt

c) r(x)= [t.costdt0

F(")= ¿ \t*t'*)'1.,-

t'c*). xC"x /

F'c*l ' t¡)

6.- Calcular:

a^I cosx'dx:l

a) lim o

' x-+0 X

[(wr'tan*l a*

_ t*. C.o."{t.x*o

. r{.( f 8 -¿tx rI _l

(,o, -)'= L/

[r* {*'* (n^l*t").;¡--es X

e) r(r) = ['llat0

5rmx\ ,\ \ r!_ rr*1. ¿ \ rli Jtdx d-r. )

r'c*1,;llF T--=

g) F(x)= JV1 +t'dt0

.¡*,) F(*)= -!- \ L--r' Jf

I

d+ df 'o

q rt¡=jia,

, + ?-+11

I -r \ I | . rT() lLdl. ¿_ \ , dn-

dx dt L ¡-Z

.z tl_ r_il- .l I

¿l¿*¿

G.x'Jxl\u-Krrn

)l{o dxdx

\ tn^l**)-a*¿

dxb)liml-----. r+@ r1x, +t

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f\il-}*¡n

)A-+6

1-¿ ri x'+.Ldr

If*la/

,l _1_,1-l-\xux'=I ll/\J{.

,

L^- (fuJ**)' -

d+ó -- LX

¿rff*t

/,.I R *V"^ ¡,- \'\ / lA')trt'Ie:'v

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¡{*1= &á*.x

( AJ*x)' =

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t'x \2I l"-'d*llJ I

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1""'fuU

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' I i ^x l. I. I ox.Jx | ó \C C*l

'¿- \d*t" IL

zXC-t.z\/\t^Y-\\., I d l(J oxl-\Jx "" t

Y---t¡ó XL

_¿_ ( -L*

dx J5-'/\

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*+a>

dx

t}-

*+{f} ¿

dx

1:A

= "/

- )''(-

|]-)Ufr

[,.f-g-i1

14

t_sYt.r-46 et' (¿*)

7.- En los siguientes ejercicios, decidir si la afirmación es correcta o no. Si no lo es,

explicar por qué o exhibir un ejemplo que muestre su falsedad:

a) si F'!c) = c'(") en el intervalo \o,bl,entonces F(b)- F(o\ = G(b)- clol

f'(*)'G(¡t [") = q(*)

5h(rlrcn)¿x' \q(*)J*J' /r)

*O F(.-): cLu)- t'(*)

; \lJ."i-*

b) Si /es continua enfa,bl,entonces /esintegrable en lo,bl.

(- n\ ltxl\)ú

I

rJ oax

dxl:f,c- .9-a "nj-¿!..j!c!r(r€r *$.*.*^Po* "fA ar<\

1+l ^.{.r^l, tr

;-c.\'o}\LL

rf*\r/*+\zd*'J)

IL

t¿ ll+ x | + tx IIt la

/\+ (r-1.¡ + o

o

o oo" Fc L5o,llI

c) La función f(*)=i;^" .iit* es cons'tarite para -r > 0 '

,,1{x\F'(*)=¿(i r rr+f ' Jt)d* t{ -i'tr J r-'+t /

J- +l

+(¿ *:l¿*l¡ : \Y\ = o

f'C")" o

)l.¡l_ -2.

x"+ -l- )( trt,l-,f, L, ,

*- t x t-'-

x" x'

tll+ |

t'- F¡e5c,

* | ij,-, { r I uc.il L ;,ql ¡ l*t*rl ['i c.^rl

f I oc.tll;c.ü * ; I ,^(*)\t^'*ü= f Lut")l Iu c.-il -r[^t*'¡l ["ic"r \

.. \-J'-t""-lbló

continua en la,bl,entonces I J f {.)atl = I I f(t)¿tla I a

e) Si /es

< PL*\ : l'ec")l

: \rt")Jx: f \rc")\¿v.)' )

t

*,

: Ipc,^\d*= \\fc'¡1¿*)J

I iu-*r.] [ i'o.lLJ' JL,,)( I!

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I"o-.*-* [. \ t [-" /,- \

(t/')'\ = [ ('t-.. -')- (t-,--')J I i-''--/'

r ([-.I= [.t-^¿ -L *,-l Ll*'l

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* t¡C*) \ ¿x

lrc*) l¿x

J é\!,\.ún{t/3-\-/

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7

J I tl",..)'-L*

( l-") l', l"

Q.^rl

g¡ # *..o ¿uá¡int.*uto, tiende a iofinito.

, A:l . A}¡ a)^¿ Ny;ffi

¡1"^"".o- ¿. L p*S-;;t* T*3^ klnó\ -a-rLr\é^

ll p lt , 4ho ot-,-t'*. .,o^ 'mL!J F 1'*-*o p* T* $*, [*,. J- ."r *J;\J" Ll^

A'* i--'-o o ¡-, &o-n l\ p ll-t. -.-) &-[^

"'- V,,JJ o,*

a3 )r-- i "* .1*-.\ ;J'^'*\o

h) Si l/k@, 0, entonces f es no negativa para toda r en [a b].

F(*) z *

5.* o\:o ,b'. I f{*)'f

b

i) Si f es cerrtirma y f(x) > 0 para toda r m [a b], entonceu ff(t]at > O.

-----

brJ F(*) axz o

1.o-3;-;

br¡2 1-zJl\x-dx = x I = L -J t l¡ 1o

I rr*l/x > e :) f - g.'h ¡"^.-tL x o^ L^,tl) ' '" - '

Pr^"- )L= o

FC*) = o

J. Fsr-5o

5-r^ f **.^ h*o-- r...-o^ -t'** T-t* "-.^ [^,bl

Pt o- f"*

l(t) á* z, a

",bl ftx):o- F ar-5o

I F[*)= 5"-x

x'(lz ,F(*)=

t"' F ''!".o

!"

J

L

-_+r-

il Si i/kW = 0, entonces f(4 = 0 para toda r en [a' b]'

a

' .il

5 "o' ot-- -'\\ ' z

't\lL

fJ 5"^* d*= o

-ñ11

S= r( l¿

0"^a. p* .*

- +b b b

k) si Jñr!* t Js(')'to, entonc* Jt/(')- s{')h'04AA

hb( ( /\t s(+) á* z \ qC*) dxr r_,_ ) J,)

*rb

I tt-*)J*- f .c*)¿*t,) ) J

a

( .1 r\ [ tr*\ '-oC*) \ dx 7| | / \''a

¿ \'J'J *ry

99

r) J{*' + bx2 +_99

q-{I / -\I t 1¡.I 6iX ldx, ) ':,',

-qq (\I

I*go"'

o

.99

"xfu = 2ltx'¿xU

11 q.l

r ,tl . (+ \ b8.¡2lx + \

| \, IJ;J-.rn

\ - ".

v

Pcin

q1.f , Z1+ z\ bxdx)

c1^ ( 'vlJx¿i;Jx - z \ l

I

\--{

J*p*

70

q

bx'dx+,ó :

q(

Ja(-

ql(\

L\o

q1.L,' , dx\--'JX= ¿\ b)A)

\ \l t I\ -t'do+u,¡5.

8.- Demuestre que: i fC xpx = i¡UY-r.- Supóngase que /integrable en [a,á] cona-b

*< f(*)<Mpatatodox enla,bl, m>\yM > 0. Demostrarque:

D

*(b-'¡s!f&\ñsM(b-a)-q

\\(.)))Ar.."- "\t A^,-.* b+ At ,nl ,

*llrÁ" \.^ *; '*l*3-T' 1: (:.,+w¡l¡uu\s

A,**&,-A*1,},.N[ . A''-* WsWA: o:j-f'*:ü"m.{ N\\\l - L ._..^,i V//l G^

I,,.a,(/us

1-10.- Enuncie y demuestre el segundo teorema fundamental del Cálculo.

I'

., \ lI i( -r \ a)-], =

¿\-

r(r,)* r (*)

t

D'*...i*..-,r,\ rr \ -rrLb)-i-Lo*r-

r(uJ - F (*)

r (x --,) -t (v*-.)* + F ix) - p(x') tt'(v')- r tx¡

o[,i, b.--') I (*..'.1* -!itrJ-rlv')l -['(-t')-r(vJl

x '-,) I

\,,1 .- ,'r,.!,,. ,l ,

1 . . (.',\') /

\ /:_-, \F [Y; ) .

I

+

,F \¡L; ) -

(x,,11

r. (¡rr)-[ (yt-,)ltL

i r -1.

r [x-)- r (x-)

rLx-.)-[(x.')+[rtxi-r (x-,)l

2, L t tYi) r (

F(/,,) Ay r .

lrrJ\., A, .. ....\ o- \ ¡. .'r .'.....{

,t/ \ ilr'.. fe.¡t (<. 1 : \ r-rl-' \

b- c*,

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l-- (1X; {: \. *;-, , Ot) / F {-,y,)--l (:-l

Y-; ---l;-'

A)A;

F (Y;l - F (v' ')

- -. a)(

*;-, )(;

ay = x; - )A ¡--L

a*+- - --+..:-{- {'

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r(u)- f (")l

F(L)- r ('')

L,G..Ll"D

(x,) Ay; .

2 t (x;)Ax; -