MÉTODOS NUMÉRICOS

M É T O D O S C E R R A D O S Y S U S I N T E R P R E TA C I O N E S G E O M É T R I C A S ( B I S E C C I Ó N Y R E G L A FA L S A ) .

M A E S T R O : T U TA N K A M É N B O B A D I L L A O C H O A

E Q U I P O # 2

R A M I R E Z E G U R R O L A M A R I S O L

B O J O R Q U E Z H E R N A N D E Z I S I D R O

S A L A Z A R C E S A R A L B E R T O

Q U I H U I S FA V E L A A L E J A N D R O

H . N O G A L E S . S O N O R A A 1 3 D E S E P T I E M B R E D E L 2 0 1 2

Instituto Tecnológico de Nogales

MÉTODO DE BISECCIÓN

Conocido también como de corte binario, de partición en dos intervalos iguales o método Bolzano, es un método de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.

PASOS MÉTODO DE BISECCIÓN

Paso 1.- Elegir los valores iniciales inferior Xl y superior Xu de forma que la función cambia de signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que f(Xl) f(Xu) < 0.

Paso 2.- La primera aproximación a la raíz , se determina como:

Paso 3.- Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintevalo cae la raíz.

a) Si f(Xl) f(Xu) < 0 entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo. Por lo tanto, tome Xu = Xl y continúe en el paso 2.

b) Si f(Xl) f(Xu) > 0 entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior . Por lo tanto resuélvase Xl=Xr y continúe en el paso 2.

c) Si f(Xl) f(Xu) = 0. la raiz es igual a Xr; termina el cálculo .

EJEMPLO 5.3

Use la aproximación grafica para determinar el coeficiente de razonamiento c necesario para que un paracaidista de masa m=68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s después de una caída libre de t =10 s. La aceleración de la gravedad es 9.8 m/s² .

Varios valores de c pueden ser sustituidos en el lado derecho de esta ecuación para calcular C F( c )

4 34.115

8 17.653

12 6.067

14 1.569

16 -2.269

20 -8.401

La aproximación grafica para determinar las raíces de una ecuación.

GRAFICA DEL EJEMPLO

SOLUCIÓN

En el siguiente calculo el producto del valor de la función de un limite inferior y un punto medio es:

F(12) f (14) = 6.067 (1.569) = 9.517

La raíz debe estar localizada entre 14 y 16

Єt= 1.5 %

F(14) f (16) = 1.569 (-0.425)= -0.666

Por lo tanto la raíz esta localizada entre 14 y 15.

Єt= 1.9 %

Así después de 6 iteraciones el valor de Ea es menor que Es y el calculo puede terminar

Iteración

Xf Xu Xr Ea% Es%

1 12 16 14 5.279

2 14 16 15 6.667 1.487

3 14 15 14.5 3.448 1.896

4 14.5 15 14.75 1.695 0.204

5 14.75 15 14.875 0.840 0.641

6 14.75 14.875 14.8125

0.422 0.219

ALGORITMO DE BISECCIÓN

MÉTODO DE LA REGLA FALSA

La falsa posición es una alternativa basada en una visualización grafica.

Este método alternativo que aprovecha la visualización grafica es la de unir f(Xl) y f(Xu) con una línea recta. La intersección de esta línea en el eje de las x representa una mejor estimación de la raíz. El echo de que se remplace la curva por una línea recta de una “posición falsa” de la raíz . También a este método se le conoce como de interpolación lineal.

Usando triángulos semejantes la intersección de la recta en el eje x puede ser estimado como:

5.6

Por lo tanto (5.7)

Esta es la formula de la falsa posición

GRAFICA MÉTODO DE LA REGLA FALSA

DESARROLLO DEL MÉTODO DE FALSA POSICIÓN

Multiplicando en cruz la ecuación:

f(Xl) – (Xl – Xu) = f(Xu) – (Xr – Xl)

Reagrupando términos y ordenando

Xr [(Xl – Xu) ]= Xu f(Xl) - Xl f (Xu)

Dividiendo entre f(Xl) – Xl f(Xu)

Separamos los términos

-

Sumando y restando a Xu en el lado derecho

Agrupando términos:

O

EJEMPLO 5.6

Como en el ejemplo 5.3 iniciar el calculo con los valores iniciales Xi =12 y Xu=16

Primera iteración:

Xl= 12 f(Xl)= 6.0699

Xu=16 f(Xu)= -2.2688

Xr= 16

El cual tiene un error relativo verdadero de 0.89%

Segunda iteración

f(Xl)f (Xu) = -1.5426

Por lo tanto la raíz se encuentra en el primer subintervalo.

Xl= 12 f(Xl)= 6.0699

Xu=14.91113 f(Xu)= - 0.2543

Xr= 16

ALGORITMO PARA EL MÉTODO DE FALSA POSICIÓN Se puede desarrollar directamente un algoritmo para la falsa posición a

partir el algoritmo del método de bisección mostrado en la figura anterior. La única modificación en la de sustituir la ecuación (5.7). Además la prueba de cero sugerida en la ultima sección también se debe de incorporar en el código.

DEVENTAJAS DEL METODO DE LA FALSA POSICION

Aunque el método de la falsa posición parecía ser siempre la mejor opción de los que usan intervalos hay casos donde funcionan deficientemente .

Por lo común no es posible hacer generalizaciones relacionadas con los métodos de obtención de raíces. Aunque un método con el de la falsa posición por lo general es superior al de la falsa posición, hay algunos casos que violan conclusiones generales,. Por lo tanto los resultados se pueden verificar sustituyendo la raíz en la ecuación original y determinando si el resultado se acerca a cero.

En consecuencia , tenemos confianza en que al satisfacer la ecuación, la raíz se conocerá con mayor exactitud, superado la tolerancia establecida.