OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN LINEAL

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Cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general del modelo de PL es un problema de PL:

1.- variables de decisión

2.- función objetivo

3.- restricciones

4.- parámetros


La empresa WYNDOR GLASS CO. Produce artículos de vidrio de altacalidad, tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacenen la planta 1, los de madera en la planta 2, la planta 3 produce elvidrio y ensambla los productos.

Debido a la reducción de ganancias la alta dirección ha decididoreorganizar la línea de producción de la compañía. Se descontinuaranvarios productos no rentables y se dejara libre una parte de lacapacidad de producción para emprender la fabricación de dosproductos nuevos cuyas ventas potenciales son muy prometedoras:


PRODUCTO 1: Puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio

PRODUCTO 2: Ventana corrediza con marco de madera de 4 pies x 6

El producto 1 requiere de parte de la capacidad de producción en las plantas1 y 3 y nada en la planta 2. El producto 2 solo necesita de trabajo en lasplantas 2 y 3.

La división comercial ha concluido que la compañía puede vender todos losproductos que se puedan fabricar en las plantas. Sin embargo, como ambosproductos competirán por la misma capacidad de producción en la planta 3,no esta claro que mezcla de productos sea la más rentable para lo cual hanformado un equipo de IO para estudiar el problema.


El grupo de IO comenzó por identificar los objetivos del estudio y comoconsecuencia desarrollo la siguiente definición del problema:

Determinar cual es la tasa de producción que debe tener cadaproducto con el fin de maximizar las utilidades totales, sujetas a lasrestricciones impuestas por las capacidades de producción limitadasdisponibles en las tres plantas (Cada producto se fabricará en lotes de20 unidades de manera que la tasa de producción esta definida comoel número de lotes que se producen a la semana), se permite cualquiercombinación de tasas de producción que satisfaga las restricciones,incluso no fabricar uno de los productos y elaborar todo lo que seaposible del otro.


El equipo de IO identifico los datos que necesitan reunir:

1. Número de horas de producción disponibles por semana en cada plantapara fabricar estos nuevos productos. (Casi todo el tiempo de estasplantas esta comprometido con los productos actuales, lo que limita lacapacidad para manufacturar los nuevos productos).

2. Número de horas de fabricación que se emplea para producir cada lotede cada articulo nuevo en cada una de las plantas.

3. Las ganancias por lote de cada producto nuevo. (Se escogió la gananciapor lote producido como una medida adecuada, la ganancia total decada uno es aproximadamente la ganancia por lote que se producemultiplicada por el número de lotes. (No existe economía a escala)


PLANTA TIEMPO DE PRODUCCIÓN LOTE/h TIEMPO DE PRODUCCIÓN DISPONIBLE SEMANA/hPRODUCTO

1 2

1 1 0 4

2 0 2 12

3 3 2 18

GANANCIAS POR LOTE S/. 3,000 S/. 5,000


De inmediato el equipo de IO reconoció que se trataba de un problemade PL y procedió a la formulación del modelo matemáticocorrespondiente:

X1 = Número de lotes del producto 1 que se fabrican por semana

X2 = Número de lotes del producto 2 que se fabrican por semana

Z = Ganancias semanal total que generan estos dos productos

Por lo tanto X1 y X2 son variables de decisión del modelo


Por lo tanto:

Z = 3 X1 + 5 X2

El objetivo entonces, es elegir valores de X1 y de X2 que maximicen laexpresión Z = 3 X1 + 5 X2 sujeta a las restricciones impuestas por lascapacidades de producción limitadas de que disponen las tres plantas.


Cada lote del producto 1 que se produce por semana emplea 1 hora deproducción en la planta 1 y solo se dispone de 4 horas semanales, entérminos matemáticos la restricción se expresa mediante ladesigualdad:

X1 < 4

De igual manera la planta 2 impone la restricción: 2 X2 < 12

La planta 3 impone la siguiente restricción: 3 X1 + 2 X2 < 18

Por último como las tasas de producción no pueden ser negativas serestringen las variables a: X1 > 0 y X2 > 0


En el lenguaje matemático el problema se plantea entonces, de lasiguiente manera:

Determinar los valores de: X1 y X2

Para maximizar la expresión: Z = 3 X1 + 5 X2

Sujeta a las siguientes restricciones:

X1 < 4

2 X2 < 12

3 X1 + 2 X2 < 18 y

X1 > 0 y X2 > 0


El equipo de IO utilizó este procedimiento para encontrar que lasolución óptima deseada es: X1 = 2, X2 = 6 y Z = 36. esta solución indicaque WYNDOR GLASS CO. Debe fabricar los productos 1 y 2 a una tasade 2 y 6 lotes respectivamente. Con una ganancia total resultante de s/.36,000 semanales.

MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

TERMINOLOGIA COMÚN DE PROGRAMACIÓN LINEAL

EJEMPLO MODELO PROBLEMA GENERAL

CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN DE LAS PLANTAS3 PLANTAS

FABRICACIÓN DE PRODUCTOS2 PRODUCTOSTASA DE PRODUCCIÓN DEL PRODUCTO j, xj

GANANCIA Z

RECURSOSm RECURSOS

ACTIVIDADESn ACTIVIDADESNIVEL DE ACTIVIDAD j, xj

MEDIDA GLOBAL DE DESEMPEÑO Z


Z = MEDIDA GLOBAL DE DESEMPEÑO

xJ = NIVEL DE LA ACTIVIDAD j (Para j = 1, 2, ……………, n)

cJ = INCREMENTO DE Z QUE SE OBTIENE AL AUMENTAR UNA UNIDAD

EL NIVEL DE LA ACTIVIDAD j

bi = CANTIDAD DE RECURSO i DISPONIBLE PARA ASIGNARSE A LAS

ACTIVIDADES (Para i = 1, 2, ………….., m)

aij = CANTIDAD DE RECURSO i CONSUMIDO POR CADA UNIDAD DE LA

ACTIVIDAD j


RECURSO CONSUMO DE RECURSO POR UNIDAD DE ACTIVIDAD

CANTIDAD DE RECURSO DISPONIBLE

ACTIVIDAD

1 2 …… n

1 a1 1 a1 2 ..... a1 n b1

2 a2 1 a2 2 ….. a2 n b2

. …… …… ….. ….. .

. …… …… ..… ….. .

m am 1 am 2 ….. am n bm

CONTRIBUCIÓN DE Z POR UNIDAD DE ACTIVIDAD

C1 C2 .…. Cn


Ahora se puede formular el modelo matemático para asignar recurso alas actividades, este modelo consiste en elegir valores para X1, X2, ………, Xn

de modo que maximice:

Z = C1X1 + C2X2 + ……….. + Cnxn

Sujeta a las restricciones:

a1 1 x1 + a1 2 x2 + …… + a1n xn < b1

a2 1 x1 + a2 2 x2 + …… + a2n xn < b2

....….. ………. …… ..………….

am 1 x1 + am 2 x2 + …… + amn xn < bm y X1 > 0, X2 > 0, ………, Xn > 0


Para formular el modelo en una hoja de calculo es necesario primerocontestar tres preguntas:

1. ¿Qué decisiones deben tomarse? (Maximizar la tasa de producción)

2. ¿Cuáles son las restricciones de esas decisiones? (Número de horasde producción)

3. ¿Cuáles son las medidas globales de desempeño? (Ganancia total)


WYNDOR GLASS Co.

PUERTAS VENTANAS

GANANCIAS POR LOTES (MILES) 3 5

HORAS USADAS POR LOTE PRODUCIDO DISPONIBLES

PLANTA 1 1 0 4

PLANTA 2 0 2 12

PLANTA 3 3 2 18

PUERTAS VENTANAS GANANCIA TOTAL (MILES)

LOTES PRODUCIDOS 0 0 0


LOTES PRODUCIDOS: C12:D12

HORAS DISPONIBLES: G7:G9

HORAS UTILIZADAS: E7:E9

HORAS USADAS POR LOTE PRODUCIDO: C7:D9

GANANCIAS POR LOTE: C4:D4

GANACIA TOTAL: (CELDA OBJETIVO) G12


E7: =SUMAPRODUCTO(C7:D7,C12:D12)



F7: Alt60,Alt61

F8: Alt60,Alt61

F9: Alt60,Alt61

G12: =SUMAPRODUCTO(C4:D4,C12:D12)

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