Параллельный перенос и поворот в координатах

Параллельный перенос:

Параллельным переносом на вектор а называют такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1 ,что вектор ММ1 равен вектору а. * Параллельный перенос является движением.

Параллельный перенос:

Передвинем систему координат XОY в плоскости так, чтобы оси OX и OY оставались параллельны самим себе, а начало координат О сместилось в точку О' ( a, b ). Получим новую систему координат X'O'Y' (рис. 1):

Координаты точки  Р  в новой и старой системе координат связаны соотношениями:

Следствия: 1) При a=b=0 параллельный перенос совпадает с тождественным преобразованием. Каждая точка плоскости — неподвижная точка преобразования. 2) Если a2 + b 2 > 0, то параллельный перенос не имеет неподвижных точек.

Задача

Координаты точки относительно некоторой системы координат x = 2, y = -1. Чему будут равны координаты этой точки, если сохраняя направления осей, перенести начало координат в точку (7, -4).

x = 2, x0 = 7, y = -1, y0 = -4, получаем x1 = 2 - 7; y1 = -1 - (-4), отсюда новые координаты точки x1 = -5; y1 = 3

Решение

Ответ: (-5,3)

В системе декартовых координат дана прямая р, определяемая уравнением: 3х+2у-6=0. При параллельном переносе плоскости точка А(-3,1) переходит в точку В с координатами (1,3). Найдите уравнение прямой р1, являющейся образом прямой р при данном отображении.

РешениеНаходим координаты вектора, на который перенесли плоскость:Х=1-(-3)=4У=3-1=2

Подставляем:3(х-4)+2(у-2)-6=03х-12+2у-4-6=03х+2у-22=0

Значит, уравнение прямой р1: 3х+2у-22=0

Поворот плоскости вокруг начала координат:

Поворотом плоскости вокруг точки О на угол Ф называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1, что ОМ=ОМ1 и угол МОМ1 равен Ф.

* Поворот является движением.

Поворот вокруг начала координат:

Повернем систему координат ХОУ в плоскости на угол : (рис.2)

Установим связь между координатами Р в старой и новой системах координат.

Как видно из рис. 13:

Доказательство:

Очевидно, что а0=ф+а, тогда x=р*cos(а0), y=p*sin(а0); х1=p*cos(a), у1=p*sin(a); Таким образом:

X=p*cos(а0)=p*cos(ф+а)=р*(cos(a)*cos(ф)-sin(a)*sin(ф))=р*cos(a)*cos(ф)-р*sin(a)*sin(ф)=х1

(cos(ф)-у1 (sin(ф)

Y=p*sin(а0)=p*sin(ф+а)=р*(cos(a)*sin(ф)+sin(a)*cos(ф))=Р*cos(a)*sin(ф)+р*sin(a)*cos(ф)=х1 (sin(ф)+у1 (cos(ф)

aa1

Пусть Р некоторая точка плоскости, ОХ и ОУ старые, а ОХ1 и ОУ1 новые оси координат.Обозначим угол поворота ф, ОР р угол ХОР а, а угол РОХ1 а1.В старой системе координаты Р (Х, У), а в новой (Х1, У1).

Наша цель – установить формулы, выражающие Х1, У1 через ХУ

Задача

Какой вид примет уравнение равносторонней гиперболы x2 - y2 = a2, если оси координат повернуть на угол φ = -45°?

Решение.

Так как то

Подставляя эти значения x и y в уравнение гиперболы x2 - y2 = a2, будем иметь

или

Задача:

Предположим, что осуществляется поворот осей координат на угол против часовой

стрелки относительно начала координат (см. рис. 14). Пусть и — старая и

новая системы координат. Требуется выразить новые координатные орты и через

орты и .

Решение. Любой вектор плоскости может быть выражен через координатные орты

и . В частности, можно предположить, что:

= + ó = { , } — в системе координат ;

= + ó = { , } — в системе координат .

Поскольку = =1, имеем

= = , = = ,

= , = = ;

Т. е. в системе координат :

= { , }, = { , }.

Отсюда

ó = .

The End.

Презентацию породилГореликов Андрюша