линейные краевые задачи интегродифференциальных уравнений вольтерра с функциональными запаздываниями

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Г. А. Шишкин

ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

Улан-Удэ2015


УДК 517.948 ББК 22.161.61

Утверждено к печати редакционно-издательским советом Бурятского государственного университетаШ 655

РецензентыА. С. Булдаев, д-р физ.-мат. наук, проф. Ж. Г. Дамбаев, д-р физ.-мат. наук, проф. А. И. Кожанов, д-р физ.-мат. наук, проф.

Шишкин Г. А.Ш 655 Линейные краевые задачи интегродифференциальных урав

нений Вольтерра с функциональными запаздываниями: монография. - Улан-Удэ: Издательство Бурятского госуниверситета, 2015. - 78 с. ISBN 978-5-9793-0724-4

В монографии изложены результаты исследования автора преобразований краевых задач для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с запаздывающим аргументом к разрешающим интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом. С помощью новой модификации функции гибкой структуры определены классы таких уравнений, рассмотрены возможности решения в замкнутом виде, а также вариант приближенного решения.

Монография будет полезна для специалистов, решающих задачи с отклоняющимся аргументом, а также для аспирантов и студентов, специализирующихся в области функциональных уравнений.

Shishkin G. A.The Linear Boundary Value Problems For Volterra Integer-

differential Equations with Functional Delays: monograph. - Ulan- Ude: Buryat State University Publishing Department, 2015. - 78 p.ISBN 978-5-9793-0724-4

In the monograph the author’s researches have been stated, they consider the transmission of boundary value problems for Volterra linear integer-differential equations with retarded argument to resolving integral equations with ordinary argument. The classes of such equations are defined, the possibilities of solution in the closed type with the help of one modification of function of flexible structure are considered, as well as the variant of approximate solution.

The monograph will be useful for specialists who solve the problem with deviating argument and also for postgraduate and undergraduate students, specializing in the field of functional equations.

ISBN 978-5-9793-0724-4 © Бурятский госуниверситет, 2015


Введение

Разработка теории интегродифференциальных уравнений с обыкновенным аргументом предположительно началась с работ Н. Бурбаки (1903). Термин «интегродифференциальные уравнения» впервые был введен Ж. А. Кондорсе (1771) в связи с решением геометрической задачи, поставленной еще Л. Эйлером (задача нахождения линии, подобной своей эволюте).

Первые результаты по интегродифференциальным уравнениям были опубликованы Вито Вольтерра в 1913 г. в работе [32]. Позже он публикует ряд других своих работ [33]-[38].

На протяжении 20-го столетия выходит множество работ, посвященных интегродифференциальным уравнениям Вольтерра, - [1]-[6], [9]-[15], [18]-[20] и др. В частности, Я. В. Быковым во введении к монографии [2] дан обзор журнальной литературы по инте- гродифференциальным уравнениям Вольтерра и Фредгольма. Естественно, в этот обзор, не претендующий на полноту, не вошли более поздние работы по интегродифференциальным уравнениямВ. В. Васильева [3]-[6], Л. Е. Кривошеина [12]-[15], Ю. К. Ландо [18]-[20] и др.

Издается ряд работ по дифференциальным и интегродифферен- циальным уравнениям с отклоняющимся аргументом, в том числе монографии А. Д. Мышкиса [22], Л. Э. Эльсгольца [28], С. Б. Норкина [25], Э. Пинни [39], Р. Беллмана и К. Л. Кука [30] и др., в которых излагаются основы теории этих уравнений.

В монографии Э. Пинни [39] рассмотрены вопросы существования и единственности решения начальной задачи для линейного интегродифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и запаздываниями.

Применению операционного метода к решению интегродиффе- ренциальных уравнений Вольтерра с постоянными коэффициентами и запаздываниями посвящены работы А. Г. Тёмкина [27] и Г. Ф. Яковлевой [29]. Однако методы операционного исчисления малоэффективны в случае переменных коэффициентов и функциональных запаздываний.

Л. Е. Кривошеиным в статье [12] с помощью произвольной фундаментальной системы функций Zi (x), i = 1, n дается решение

3


начальной задачи для интегродифференциальных уравнений Воль- терра с постоянными запаздываниями в случае n > m и n > k :

L m [ А Х ) ] - Р к [ У ( Х - h ) ] K ( X ’ t ) У (i) ( t ) d t = f ( X ) ’0 i=0

y (l> (a) = r , y ! (x) = ф (x), a - h < x < a, фг (a) = r Vi = 0, n -1, где Lm [у(x)] и Pk [y (x - h)] - линейные однородные дифференциальные операторы соответственно порядков m и к .

Используя функцию Грина вспомогательной однородной краевой задачи y (n)(x) = 0, Rj [у ] = 0, j = 1, n , в статье [12] он рассматривает для того же уравнения существование, единственность и структуру решения билокальной краевой задачи с начальными функциями:

у (г) (x) = ф (x) = у (г) (a)Z(г) (x), a - h < x < a, z (г )(a) = 1.В работе П. С. Громовой [7] дан обзор публикаций по интегро-

дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом, вариант классификации таких уравнений, рассмотрены вопросы качественной теории интегродифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, приведен пример уравнения, для которого начальная задача не имеет решения:

у'(x) + у (x - г ) + j y(t)dt = 0,0

у(x0) = у0, у(x) = ф(x) для x0 - г < x < x0, x0 Ф 0.Функции гибкой структуры, введенные Н. К. Куликовым [16]-

[17], а затем их модификации применялись при исследовании и решении дифференциальных, интегральных и интегродифференци- альных уравнений многими исследователями, в том числе и автором данной работы.

В работе [40] рассмотрен вопрос о возможности преобразования с помощью одной модификации функции гибкой структуры начальных и краевых задач для интегродифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом к разрешающим интегральным уравнениям типа Вольтерра-Фредгольма с обыкновенным аргументом.

В работе показано, что такое преобразование возможно для всех линейных уравнений запаздывающего типа. Получены условия,

4


накладываемые на некоторые коэффициенты внешнего и внутреннего дифференциальных операторов для уравнений нейтрального и опережающего типов.

В работах [41] и [42] для линейных дифференциальных и инте- гродифференциальных уравнений Вольтерра с переменными коэффициентами и с функциональными запаздываниями исследуется тот же вопрос о возможности преобразования начальных задач к разрешающим интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом.

Доказывается, что задача Коши для всех линейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры преобразуется к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра с обыкновенным аргументом, решение которого существует, и притом единственное, при условии ограниченности ядер и свободной функции в замкнутом квадрате.

Аналогично, как и для уравнений Фредгольма, для начальной задачи дифференциальных и интегродифференциальных уравнений Вольтерра исследуются условия таких преобразований для уравнений нейтрального и опережающего типов.

Далее рассматриваются возможные варианты решения начальных задач в замкнутом виде и дается вариант приближенного решения с выводом формул оценки погрешности решения как для разрешающего уравнения, так и для решения поставленной задачи. Приведены примеры рассматриваемых типов уравнений.

В работе [45] получена новая модификация функции гибкой структуры для решения краевых задач, и с ее помощью в работе [47] получены аналогичные результаты для линейных краевых задач дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и с функциональными запаздываниями. Только здесь, в отличие от начальных задач, разрешающее уравнение, модель первоначально поставленной задачи - интегральное уравнение смешанного типа Вольтерра-Фредгольма.

В работах [48]-[53] с помощью этой же новой модификации функции гибкой структуры получены аналогичные результаты для линейных краевых задач интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональными запаздываниями.

5


Глава 1Линейные интегродифференциальные уравнения

Вольтерра с запаздывающим аргументом

1.1. Классификациялинейных интегродифференциальныхуравнений

с отклоняющимся аргументом

Рассмотрим общий вид линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом:

Z Z f ( х ) У (° ( u j ( x ) ) + ^ j к ч ( х , г ) у ( i) ( u j ( г ) ) г = f ( х ) ( I )I=0 i=0 a

где M0 (х) = х, Uj (х) < х, Uj (х) = х Vj = 1, l, f i}. (х), f (х) и Uj (х)

непрерывны, ядра K ij (х,г)регулярны в квадрате a < х,г< b.При u j (х ) < х , j = 1, l уравнения вида (1) - уравнения с запаз

дывающим аргументом.Различные соотношения порядков внешнего и внутреннего диф

ференциальных операторов получим при равенстве нулю некоторых коэффициентов f ij. (х) и ядер K ij (х ,г ) при старших производных. Все рассуждения и выкладки проведем, считая порядок внешнего дифференциального оператора больше или равным порядку внутреннего. В противном случае, если порядок внешнего дифференциального оператора меньше порядка внутреннего, то уравнение можно предварительно продифференцировать достаточное число раз.

Проведем классификацию уравнений вида (1) по аналогии с классификацией дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и в соответствии с классификацией, данной для инте- гродифференциальных уравнений в работе [7].

Определение 1Уравнения запаздывающего типа получим из общего вида (1),

если аргументы U- (х) Vj = 1, l входят только в функцию и ее производные до (п-1)-го порядка включительно, т. е. в уравнение (1):

6


f n] (х) = 0 и K nj(х,ц ) = 0 Vj = 1,l , a f n0(x) = 0 и, следовательно,

можно считать, что f n0( х) = 1.Определение 2Уравнения нейтрального типа получим из общего вида (1), если

существует хотя бы один аргумент Uj (х) , j = 1, l , входящий в производную n-го порядка, и при этом есть член со старшей производной от аргумента х, т. е. в уравнении (1) f n0(х) = 0 и 3j Ф 0,

для которого f nj (х) = 0 и K nj (х ,^) = 0 одновременно или по отдельности.

Определение 3Уравнения опережающего типа получим из общего вида (1), если

аргументы Uj (х), j = 1, l , хотя бы для некоторых j, входят в производные более высокого порядка, чем аргумент х, т. е. в уравнении (1) f n0 (х) = 0 и 3J Ф 0 , что f nj (х) = °.

1.2. Функции гибкой структуры и их применение к решению различных задач

Любую непрерывную n раз дифференцируемую функцию можно представить с помощью функции гибкой структуры [16]-[17], следовательно, решение краевых задач, как и начальных, для уравнения (1) можем искать в виде одной из ее модификаций:

у(х) = D_1[ ^ у (*-1)(х0 )Д,(х - х^ + J An(х - ОМ*)dt], (2)5=1 х0

где D = D(r1, r2, ..., rn) - определитель Вандермонда, составленный из неопределенных параметров r1, r2, . , rn, которые определяются в ходе решения задачи, исходя из оптимальности ее решения:

1 1 . 1

r r2 rnD =

n-1 n-1 n-1r1 r2 rn

7


определитель As (x - 1), s = 1, n получается из определителя D заменой s-й строки строкой expr(x-t),expr,(x-t),..,expr,(x-t) и к (x) - новая неизвестная функция.

Для производных искомого решения, записанного в форме (2), получим следующие выражения:

у (<)(x) = D -l& y (s-1)( x0)AS')(x - x0) +s=1

i = 1, n - 1,

у(n) (x) = D-1E у(s-1) (x0 )ASn) (x - x0 ) +s=1

Как известно, функции гибкой структуры для достаточного числа раз дифференцируемых функций при определенных значениях параметров дают их разложение по всем известным формулам (Лагранжа, Тейлора, Маклорена), а также в ряды (степенные, тригонометрические, Фурье и т. д.). Так как параметры вначале не зафиксированы, то их величина, а следовательно, и окончательная форма представления решения устанавливаются в ходе решения задачи. Естественно, что таких форм бесконечное множество, и наша задача - сделать оптимальный выбор.

Причем параметры rp, p = 1, n можно брать и равными. При C As (x - 1)

этом отношения D-1 Qx : следует заменить их пределами

J ^ ° K t)dt] + к x). (4)xO

о An (x - 1)Cxi K )dt ], (3)

lim D 1 C A s (x - 1)--------:-----, в силу того, что при равных значениях уже двухCxiпараметров определитель D = 0, а рассматриваемые отношения имеют вполне определенные значения, вычисляемые по правилу Лопи- таля.

Применение функции гибкой структуры к различным уравнениям с отклоняющимся аргументом дает возможность преобразовать их к интегральным уравнениям, причем для ряда классов задач с неизвестными функциями от аргумента без отклонений.

Выясним, какие задачи для различных видов интегродиффе- ренциальных уравнений с помощью функции гибкой структуры могут быть сведены к разрешающим интегральным уравнениям без отклонений аргумента, и покажем, что эти разрешающие инте-

8


гральные уравнения специального вида и для краевых задач инте- гродифференциальных уравнений Вольтерра (запаздывающего, нейтрального и опережающего типов) практически мало отличаются друг от друга, что может быть использовано для составления единой программы приближенного решения таких задач на ЭВМ.

1.3. Применение функций гибкой структуры к преобразованию краевых задач

Пусть дано уравнение (1) и начальные функции:

y (i )(u, (x)) = у ( )(x° V ! )(u (x )) г = ° n - 1 x G EXn,, - -.,(iVv VV)' ° > V \ j (5)

где E x = ^ , E 1x - множество точек, для которых соответствую-j=°

щие Uj (x) < x при x > x° Vj = 1,l , а E ° = [a, x0].Рассмотрим уравнение (1) с линейными билокальными краевыми

условиями:

Z [аггУЬ)(x°) + P У )(xi )] = 7г, Т= 0, П - 1, a < x° < xi < Ь . (6)i=°

Предполагая, что решение задачи (1), (5), (6) существует и единственно, будем искать его решение на отрезке x е [ x°, b] . Обозначим через Cj наименьшие из корней Uj (x) = x° на отрезке

x е [ x°,b] , если же таковых нет, то полагаем соответствующие

cj = b.Далее разобьем интегралы в уравнении (1) на суммы от извест

ных и неизвестных частей в выражениях от запаздываний в соответствии с начальными функциями (5), считая при этом:

У(n)(Uj (x)) = У(n-1)(x°)p'n-1(Uj(x)), j = °,l, x e Exa,

+

Z Z [ (x)У (i)(Uj (x)) + Л^K j (x,r )y (i)(x °)q>i(Uj (r))d r +J=° = a

xЛ \K 4 (x ,r )y (i )(u; (r ))d r] = f(x). (1*)

c

9


Затем, используя начальные функции (5), краевые условия (6), функцию гибкой структуры (2) и ее производные (3)-(4), определим у (г)(х0) через новую неизвестную функцию ц(х) , при этом могут

возникнуть три возможные ситуации: 1) х0 < X1 < Cj Vj = 0,1;

2) х0 < Cj < X1 Vj = 0,l; 3) X1 таково, что 3j = 0, l , что для некото

рых выполняется X0 < X1 < Cj , а для других - X0 < Cj < X1.Рассмотрим подробно возможные варианты.1. Первый случай наиболее простой, так как, подставив x = X1 в

начальные функции (5) при j = 0 и затем значения y°(jq) =У!)(Х,Жх) в краевые условия (6), получим алгебраическую систему:

X У(') (х0 ) [агг + Ph V, (X1)] = Г,i г=0 (7)

т = 0, n - 1

для определения значений у (г)(X0).Обозначив через ю главный определитель этой системы:

® = det[ап + PhVi(X1)], г,т = 0,n - 1 и через алгебраические дополнения к элементам главного определителя, по формулам Крамера найдем:

У( i)(X0) = Ъ т * Т , г = 0, П - 1. (8)т=0И краевая задача в этом случае свелась к решению начальной за

дачи, рассмотренной в [41], только при ее решении в формулахфункции гибкой структуры значения у (i)(X0) следует заменить всоответствии с формулой (8). Тогда начальные функции для краевых задач примут вид:

n-1

V * (uj ( х ) ) = V (uj ( х ) ) ® -1 Х л ® т . (5*)т = 0

Также получим новые формулы и для функции гибкой структуры, пронумеровав их теми же номерами, что и первоначально выписанные формулы, но пометим их звездочкой:

у(х) = D-1 [X ® -1 X т®(,-1)тЛs(х - X0) + j Лn(х - t)v(t)dt], (2*)

10


n n-1y(i)(x) = D ‘[Z 0 Z yt(0(s-1) T ( x- x0) + J 5 a ^ ^ u(t)dt]

s=1 T=Q dx' (3*)

' =1 n - 1,

y (n) (x) = D 1 [ ± o -- s-dtA? (x - Xq) + J(n) - x ) + J 5 An (x t) n(t)dt] + u(x). (4*)dxns=1 T =Q

2. Во втором и третьем случаях, применив функцию гибкой структуры (2) и ее производные (3)-(4), выразим значения у (i X1),

i = Q, n - 1 через новую неизвестную функцию y(x) и начальныезначения искомой функции у ( )(xQ) :

n(i) ✓ Ч T-V-I rV1У(l)(xi) = D-1E у (s-1)(xq)AS')(xi - xq)

s=1

+ J 5 Д”(x; t) ju(t)dt], i = Q, n -1 .xq 5xl (9)

Подставив полученные выражения у (l)(x1) в краевые условия (6)n-1Z {а'тУ ( ' (xQ ) + P'TD-1 [Z У (S-1) (xQ )А} (x1 - xQ ) +'=Q s=1

? 5' Д я (x - 1)+5xl

u(t)dt]} = r T, T = Q, n -1

и перегруппировав слагаемые, придем к системе алгебраическихуравнений относительно у (l)(xQ):

Z [a'T + P1Td 1Д(+1(x1 - xQo)]y (')(xQ) =

= Гт

n-1 -nD 1 Z Pt J 5' An (xI - t)

5xlu (t)d t, T = Q, n -1 .

Обозначив главный определитель системы (1Q) через ю:o = det \_ат + PitD -1 Д(+1 (xi - xq)] , ' , т = Q,n - 1,

(1Q)

(11)а алгебраические дополнения к элементам главного определителя через o iT, по формулам Крамера найдем:

11


n-1 X Я kУ(ijCx0) = X © [г, - D - X P , J

,=0 © k=GakAnU - Г)

Sxkp(t)dt] ,i = 0,n - 1. (12)

В соответствии с (12) начальные функции (5) и функции гибкой структуры (2), (3), (4) для краевой задачи в случаях 2 и 3 примут вид:

n-1 Xl Я кУ (u, (x)) = р (u, (x ))X © [Г, - D - X Ркт J

т=0 © к=0SkAnCx - 1)

Sxkp(t )dt ], (5**)

i = 0, n - 1, j = 0, l , x e Exn-1

у(и, (x)) = D -1 {X A, (uj (x) - Xg) X © [ У, -TT TT ©

- D ■ X P ,, Jx1 Sk A n (x, - 1)

Uj (x)

к=GkSx1

p(t)dt ] + J00

An (uj (x) - 1M tMtK

у (i ) (u , ( x )) = D - 1I Xd A s (u j (x ) - x o )

dx1 X©© [ r , -

(2**)

-1 xL ^k- D 1 ■X P , J

SkA_nU - 1) Sxk

Uj(x) S1A n (u, (x) - 1) p(t)dt]+ J - ^ j W '

Sx1p(t)dt}, (3**)

где i = 0, n - 1 ,, j = 0, l , x e [ c , , b],

, л , -U SnAs(u ,(x )- x0) n-1 ©У "' (u, (x)) = D -1IX -----‘ У , " X ©— [ r , -dx" ©

- Dn-1 x1

1 ■X Pk, Jk=G x0

S k A „ (x, - 1)kSx1

p(t)dt ] +

+u, (x)

Jx 0

Sn An (u, (x) - 1)Sxn

p ( t ) d t } + u ' " (x )p (u , (x )). j = 0 ,l . (4**)

Вышеполученные формулы начальных функций и функции гибкой структуры с ее производными для краевой задачи в случаях 2 и 3 помечены теми же номерами, что и первоначально выписанные формулы, но с двумя звездочками.

12


Подставим выражения функции гибкой структуры и ее производных (2**), (3**), (4**) в уравнение (1*):

X X f (*)»-‘{Хj=0 i=0 s=1

d ' As ( Ui (x) - Х0 ) n -" “jW — X — [г, -т=0 —

д' An (Uj (x) - 1)-1 xL- D 1 -X Pb J

д Aîxl - 1)дкк

u(t)dt ] + J

dx'

дх'u ( t )dt} +

+ X fn j (x)uj (x)u (w(x)) +x X X J K J (x ,^)% (uj r n X — [r-.■ - ■ - ,=0 —j =0 j=0 i=0 -1 xL лk

- D 1- X Pb Jд k A n (x1 - 1)

dxu(t )dt]dr/ +

I n x+ X X X S K j (x , r ) H X X — [r, -

j=0 i=0 c

-1 \ £\k- D 1 - X Pb J

xO

д Aîx1 - 1) дxk

4 r) д'A n(Uj ( r ) - 1) ju(t)dt] + J ------- j ------- M t)dt} +

д Г

+x X J Knj(x ,r) Wjn(r)u(Uj(r))dr = f (x).j=0 c

Далее перенесем все известные выражения, получившиеся при этом, в правую часть равенства и пронумеруем выражения, содержащие неизвестную функцию, под знаком интеграла:

X ifnj (x)ujn(r)u(Uj (x)) +X J Knj (x,r)u'jn(r)u(Uj (r))dr +j =0

{1}d ’A s ( u j ( x ) - x 0 ) n -1 — xf д A n ( x - 1)

+ X [ - f i j (x )D - X ~ s j X — X P , , Г T k > ( t ) d +,=0 — k=0 x dxl

{2}

+T д An (Uj (x ) - 1)

f u (x )D J --------- j ---------MOdt -xQ

{3}

дк!

k

0

13


a “-1 *x j K11 (XTj)q,, (ut (t ))X -JL D-1 X P j

a T=O a k=0 X

't $ A,, (X ,-1)a x

-q t)dtdv +

{4}x ujiTi a a n (Uj (T) - 1)

+ x j K j (x ,T )D 1 J ------- j ------- /u(t)d t-ат

{5}

-x j K j (x,T)D1£ri a As ( u j ( t ) X o)X a Ta

{6}-I xi Tska A, (x, - 1)

где F (x) = f (x) - X X

•X PkT j --- ---- ' ^ (t)dtdT } = F(x),

a A s(uj ( x ) - x0) ^ a

k=O

j=O 1=OCj

f j (x )D-i X -s=1 ax 1 Z 1st n +

T=O a

j n-1 a

+ x J K ,j (x, T q ( uj T ) )Z ~ ^ Td T +T=O a

c

0

x a As (Ui (t ) - 1) a ~+x J K ,j (x ,T)D X ------- j , ------ - Z - Y q T

J ат T=O a _s=1(13)

Проведем преобразования выражений под знаками интегралов, содержащих неизвестную функцию q(x), обозначенных цифрами {1}-{6}. В интеграле под номером {1} произведем замену переменной, положив Uj (т) = t , тогда т = Uj 1 (t), где Uj 1 (t) - обратные функции для функций Uj (т ) :

{1} j Knj (x,T)U j (T)q Uj (T))dT =cj

Uj(x) Uj(x)= j K n j (x ,Uj ->(t)U n(Uj-1(t)(Uj-1(t)) 'q (t)dt = j H j (x ,t)q(t)dt,

xO xO

где H j *(x ,t)= K nj(x ,Uj 1 (t)) U' n (Uj-1(t)(Uj-1(t))'.

14


В интегралах {2}, {4}, {6} и {3} для известных выражений введем обозначения:

„ " d 'A ( u . (х) - х„)g ; (х,t ) = -D -- (х) - E - ' 1( ) 0)

•E E p „ Г ” M W ,

1=0-1 xI 2)к

dx1

8 А„ (xi - 1),=0 к=0 8х:

G (x,t)=-D‘i I :=; G (^ (uj <"» | E-1 p“ nT1 «к, 8k f - ) d , ,

G " ( х ,t) = - D -2 G E K „ (х , , ) Ei=0

к=0 î

d A s(u , (л ) - х0)d ,

n-1 гл n-1

•2: E P,=0 W к8к A n (х - 1)

к, 8хd , ,

H 1 " ( х, t ) = E f (х)В, 8iAn (u (х) - t)

1=0 8хгТак как интегралы {-}, {4}, {6} имеют одинаковые пределы ин

тегрирования, то их можно суммировать, введя обозначения для суммы ядер суммируемых интегралов:

G , (х, о = g ; ^ , t ) + g ; ^ , t ) + g ; > , t). (14)Осталось упростить выражения в повторных интегралах {5},

в которых сначала поменяем порядок интегрирования в соответствии с их областью интегрирования:

15


J Z Ku (x^)D -1 ISiAn(u (T1) - 1)

p(t )dtdT =

Uj ( x)г Si An (U1 (t ) - 1) u (x)I MOdt J Z Kij(x,T)------ST------ d^ = I H/**(x,t)p(t)dt,

i=0 ‘ xUj ) j

TT * X , An (U1 T ) - t)лгде H j (x t ) = J Z К ч ( X,T)-------1 ------- d T .Uj ( t ) i=0 drf

Теперь суммируем ядра интегралов {1}, {3} и {5}: H }( x, t ) = H j* (x, t)+ H j- ( x, t ) + H j (x, t). (15)В результате в общем случае получили для краевой задачи (1),

(5), (6) разрешающее интегральное уравнение смешанного типа Вольтерра-Фредгольма с запаздывающим аргументом:

I x Uj(x)Z f (x)U'jn (v )K Uj (x)) + J Gj (x, t)4t)dt + A J Hj (x,t)M0dt} =F(x) .(16)j=0 xO xO

Исследуем далее вопрос о возможности преобразования краевых задач (1), (5), (6) к разрешающему уравнению вида (16) с обыкновенным аргументом. С этой целью вернемся к решению краевых задач для различных типов интегродифференциальных уравнений Вольтерра с запаздывающим аргументом в соответствии с классификацией, приведенной ранее в пункте 1.1.

1.4. Интегродифференциальныеуравнения Вольтерра запаздывающего типа

Уравнения запаздывающего типа получим из общего вида (1), если /щ (x) = 0 и Кщ (x,T) = 0 Vj = 1, l , а f nо(x) * 0, тогда уравне

ние (1) при f n 0( x) = 1 примет вид:l n-1

У » + Z Zj= 0 i=0

+a I K n 0( v T) y (n) (T)dT = f ( x), (11)

f (x) y(i) (Uj (x)) + a J Kj (x T) yW (Uj (T))dT +

16


гд е f n 0( x) = 1 .Как и в общ ем случае, разобьем интегралы в уравнении (17) на

сумму от известных и неизвестных выражений:l П—1

y(n) (x) + Z Z f (x)y(i) (uj (x)) + a | K tJ (x Г) Z 0 (xPV (uj (r ))drJ=0 i=0 a

x X0+a I K ij (x, r lZ 0 (uj (r )) drj] +a | Kn0 (x r M x >П-1 (r )dr +

+

+a I K n 0( x ,r ) y (n\ r ) d r = f ( x ) (1;)

и проделаем выкладки, аналогичные выкладкам пункта 1.3 при тех же начальных функциях (5) и краевых условиях (6). Подставим вы

ражения y (n)(х ) и y (i ) (u j. ( x )) в соответствии с формулами функ

ции гибкой структуры для краевой задачи в случаях 2 и 3, формулы

(2**), (3**), (4**) и y (i ) (х 0) в соответствии с формулами (12) в ис

ходное уравнение (1*):

/ \ у - . - w ' d As ( х X 0 ) n —1 o sr г

u(х) + D 1I ^ ---^ ^ Z ^ l [к-s=1 dX

— D 1 •

r=0 0

1 ^ „ } HtA ,(X — O ^ w ., , XClnA J x — t)Z а Яt=0

l n—1

An V л\ tCx1

) Г 1~ / u ( t ) d t ] + I - Cxn u ( t )d t} +

+ Z Z f ( х ) D - ' i Z ^ y j - ^ Z о к —J=0 i=0 s=1 Pd x о

1 ^ x\ дk A (x — t) J Ci An (U1 (x ) — t)— D 1 •Z Ptr I---- n x ~u(t)dt] + I ----- n d J ^ - ^ u (t)d t} +

t=0 J dx Jk=0 xa 1 xa Cxi

l n—1 °j n—1+a Z Z I K ij(x, r> i (uj (r ))Z — [Kr

r=0 0J=0 i=0n—1 x1 Д t

D^ Z Ar It=0 x0 dx1

д k A n (x1 — t)-------- -u(t)dt ] +

c

0

17


l n-1 *^ IV , чп- 1 д л *(U V ) - О П- 1 ,г

+AZ Z I K i j (x, v)D ^ Z — 1 ------- Z — [ , -j =0 i=0 c . I -=0 г=0 —

n-1 *4- D - Z P r I

k = 0 Xr.

д1 л nU (V) - 1)p (t)d t] + j ------- j ------- ju(t)dt} +1 j дkA, (* - 1)

д хк ' v ' J j dv. n-1 — .. .

+a I K n0(X VYpn (V)Z — [Yt - D - • Z Pkr Ir= 0 —

n-1 Xi

k=0

д A J j - 1)dx1k

p(t )dt ] +

+ A j K J xV D - '[ Z d ^ d p l Z [ , , -

- D 1 •1 x 1 * j dka , ( j - 1)Z Pk, j - . kk=0 t д *1

p(t)dt ] + jv яnдn An( v - 1)

d v np(t )dt} +

X

+A j K n 0( x,v)p(v)dp = f ( x).

Далее перенесем все известные выражения, получившиеся при этом, в правую часть равенства и пронумеруем выражения, содержащие неизвестную функцию, под знаками одноименных интегралов одним и тем же номером:

K x) + A j к , 0(x ,v )K v)d v - D -2Z ^ A^ ^ Z —

{1}

• Z A , j M d + D 1 j M )dt -X0{2} {3}

- Zj =0

n-1_ n ^ d l As (U1 ( x ) - X0 ) n-1 —Z f„ (X)D - Z У Z — •

-= 1 dx , =0 —n-1

i =0

к j д a ,, ( j - 1)■ ZPk, jk=0 jj

{2}д *

Uj (x) д 1 л , (u ( j ) - 1)

M(t)dt + Z f j ( x ) D j ----------1 --------- M(t)dt -i=0 cX1

{3}

X

0

18


bJ W- l x(uj (V)) D - Y j Pkz f

а 1-0 T=O 0 k=0 x

8 An (x - 1)

Xo{4}

&xp(t)dtdv +

Uj (v)x . n - i j 1 8 ' An ( U j ( v ) - 1 )

+ f Y K i J (x,v)D- f ------— -------Mt)d t -i=0 Xo

{5}

8V

-AfY (XV)D- Y 8A j vI xI Y to•c i=0 j= l u f I T=O W

{6}n-l Xl pk

Y Pzz f8 A n (Xi - 1),

z=o - 8xI-ц(t)dtdv] -

-Af Kn o(x,v)Vn (v) Y 0 L D -i Y p kTf 8An(xi - 1)k=0 xO

{4}8xlk p(t)dtdv +

+ 4 K n o ( x , v ) D 1 fUJ V) 8nAn (v - 1)

&vn^ (t )dt -

{5}

4 K,o( x,v)D- Y 88a Vp 8 y •nOx

{6}-i xi ak

Y Pl fk=O

8k Anixl - 1)8xk

dvn

ju(t )dtdv = F (x),

J=T ч f f \ n -i^ b d A s (x x0) nTiгде F (x) = f (x) - D Y ---- TTn------- - Y Vz -T i dx T=O о

I n-l- Y YJ=O i=O

f j ( x) D 1 Y8' As (Uj (x) - xo) W-1 COsz

— Y Vz +8x'

n-1CO

<• • • ‘ fi')+ A f K ' J (x , v M ( u j Cv)) Y ~ Vzd V +

T=O 0

O

T=O

c

19


X SiAs(u . (л) - t) a+4 J K (x ^ )D - Z ------- ' -------- Z - J - d V

I t ? S V -=0 a

X n-1 a-- 4 J Kn0 (x Л)Ф„-1 (n ) j - ^ ^ LYrd^ -

a -=0 a

4 K „ o( x ,n) D 1 Z s a ^ £ Z - ^ .Sv„ i=o a

(13i)

Проделав преобразования, аналогичные выполненным в пункте 1.3, и вводя обозначения для известных выражений и ядер в интегралах {2}, {4}, {6} и {3}, получим:

G*(x ,0 = - D - „ d ^ X - x l Z ° Е й , J A ^ t * -=0 a k=0dx„ Sxk

-D - Z-L f„( x) Z d A . > - xo) Z f t , Ji=0 s=1 -=0 a к=0 x0 sxL

GT (x,t)=-D-

J Z Ki■(xW ' 0 A i f z йa Ska „ (x - t)a rk,

k=0n У 1Sxk

-йц +

- 4 k „0 <x, vWn-i (л) Z-L a ^-1- D - z й ja ,=0 1 k=0 x

x n-1-2

s A (x.- t)Sxf

V(t)dtdv,

G7*<x,t ) = - D -2 Ki.(x,v) „c i=0 s=1

d A s (U' (л) - x0)й ц'

Z a - Z й s a „(x1 t) йл Z k ( )D-2 d„A s(ц -x0)Z — Z й — xxk— d V - 4 j K„0(x,i)D Z — s, „ •,=0 a k=0 Sx1 J 7=1 dv„

- a n-1 x- яk•Z — Z a , J,=0 a k=0

Sk A (x - 1) , . , , -----^-k----- n (t )dtdv

Sxx0 1

H 1 - (x, t )= D - ^ X x ' } + Z f . (x)DT' r7An(u' W -1)Sxn sx

20


где интегралы от слагаемых, не содержащих индексы i и j, нужно брать в пределах от х0 до x. Так как интегралы {2}, {4}, {6} имеют одинаковые пределы интегрирования, то их можно суммировать, введя обозначения для ядер суммарных интегралов:

Gj (х, t) = G* (х, t) + G**(x, t) + G ~ (x , t). (14!)Для ядер интегралов вида {1} и {5} также введем обозначения:

H j *(x t )= K n о ( x ,^ ),

*** Х -X CiAn(u,(rj)- t ) ХHj (x,t) = j Y K t j (x,r )----- C r-------dr + \Kno(x,r)

C1An (r)- t)

U -1Ct) г dr11dr.

Просуммируем теперь ядра интегралов {1}, {3} и {5}:H t (x, t) = H t * (x, t)+ H t ** (x, t) + H t *** (x, t) (15i)

и, подставив новые обозначения ядер в соответствующие им интегралы, получим разрешающее интегральное уравнение Вольтерра- Фредгольма того же вида, что и в общем случае, но с обыкновенным аргументом:

l x uj(x)u(x) + Y j Gj (x, t)p{t)dt+ X j Hj (x, t)u(t) dt\ = F(x). (161)

j=° Lxi xПроделанные выкладки для краевых задач интегродифференци-

альных уравнений Вольтерра запаздывающего типа показывают, что все формулы (14*) и (15*) могут быть получены из соответствующих формул (14) и (15), если в них подставить нулевые значения функций и ядер для уравнений запаздывающего типа.

Вывод. Линейная краевая задача с начальными функциями (5) и билокальными краевыми условиями (6) для всех интегродиф- ференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа (11) с помощью функции гибкой структуры (2**) и ее производных (3**), (4**) преобразуется к разрешающему интегральному уравнению специального вида смешанного типа Воль- терра-Фредгольма (161) с обыкновенным аргументом.

21


1.5. Уравнения нейтрального типа

Интегродифференциальные уравнения Вольтерра с запаздывающим аргументом нейтрального типа по классификации, приведенной в пункте 1.1, получим, если в уравнении (1) выполняются условия f n0( x) Ф 0 и Bj Ф 0 , для которых f nj(x) Ф 0и K ijj(x,r ) Ф 0одновременно или по отдельности. Если же f n0( x) = 0, тоB K . ( x , r ) Ф 0 для j Ф 0 . В общем случае нетрудно увидеть, чторазрешающее уравнение для таких уравнений также получается с отклоняющимся аргументом.

Рассмотрим два возможных вида уравнений нейтрального типа, которые можно преобразовать к разрешающему интегральному уравнению с обыкновенным аргументом.

а) Пусть /П0(x) Ф 0, f . (x) = 0 Vj = 1, l и Bj = 1, l , что

K j. (x,r ) Ф 0, т. е. имеем уравнение нейтрального типа приf n 0( x) = 1 следующего вида:

Проделаем выкладки, аналогичные пунктам 1.3 и 1.4 для задачи (12), (5), (6). Для этого разобьем интегралы в уравнении(12) насуммы от известных и неизвестных частей в выражениях от запаздываний в соответствии с начальными функциями (5), считая при этом:

l n-1

J (n)(x) + X Z f j (x)y (i)("j (x)) +j=0 L i=0

+X\ Z Kj (x,r ) У° )(Uj (r ))dr = f (x). (12)

У(n) (u. (x)) = y (n-1) (x0)pn (u. (x)),

Vn (uj (x)) = v'n-1 (uj (x)) j = 0, l, x e Ex0,

y(n) (x) + Ki j (x, r) y{i) (x0 )v (u. (r))<T ++

x

+ lj Kij (x,r) y(i) (u. (r)) dr]} = f(x). (12)c,

22


Подставим выражения y (" х) и у (г )(и. (х)) в соответствии с формулами функции гибкой структуры для краевой задачи в случаях 2 и 3, формулы (2**), (3**), (4**) и у (г)(х0) - в соответствии с

формулами (12) в исходное уравнение (12) :


23


I +

- D-2 Z

u(x) + XZ J Knj (x,r) u'”(r)u(u.(r))dr3 =0 Cj

{1}

d ' A-(x - Го)- Е a Z a J s a X T tW +dxn =O a k=0 X x1

+D- J - 1)Sx1

ju(t)dt - Zj=oL <=o

{2}”-1 „ ” d 'A (u.(x)- x0)”-1 aZY (x D 2Z 7(Z o)Z— •7=1 dx .=0 a

{3}n-1 x Sk A” ( ¾ - 1) j(x),

•Z a . J-k=0 xo{2}

ex.

^ -j S A (u.(x)- 1)U(t)dt + Z f j (x)D- J ---------------- u(t)dt -

xO{3}

-1 xISjk

Sxi

-X J Z k 7(x,r)4,i(uj r Z a a d - z a ji=0 .=0 ы k=0 x axI1 Sk A (x - 1)1 n X1----u(t)dtdr +

{4}U ( r )

- n . S1 An (u. (r ) - 1)+ XJ Z K . (x,r)D-1 J ------- — ------u (t)d t-

Cj '=0 x0{5}

S r '

xJZk, (x.rD2 Z s a J - x0I Z o •7=1 .= 0t=0

{6}-1 xI Л k

•Z a . J*0

Sk Aj^ - 1) Sxk

u(t )dtdr] = F (x),

Т7Г \ f t \ n -1 V d A s (x x0) nT1 a 7.где F (x) = f (x) - D Z — — “ Z r . -O=T dx .=0 aI I n-1

^ J f t \ n -^T SA7 ( u j (x) x0) nT1 a ..- Z i Z A j (x)D Z ------- T ~ t--------- Z r . +3=0 11=0 3 0=1 Sx .=0 a

+ x Z J Kv (x^ W uj (r ))Z JLr .dr* .=0 a

+c

24


+ j Ktj (x,q)D 1£а1 а , (Uj (q) - t)

drf(132)

Проведем преобразования выражений под знаками интегралов, содержащих неизвестную функцию /л( x), обозначенных цифрами {1}-{6}. В интеграле под номером {1} произведем замену переменной, положив Uj. (q) = t , тогда q = Uj 1 (t), где Uj 1 (t) - обратныефункции для функций Uj (q) :

{1} j K nj (x ,q)U' jn ( q ) q ( Uj ( q ) ) dq =Cj

Uj(x) Uj (x)= j Knj (x,Uj 1(O)Un (Uj-\t)(Uj-1(t))'q(t)dt = j H j* (x, t)q(t)dt,

x0 xгде H j * (x , t ) = K ni (x , n - \ t ) ) U j n (U;- 1(t)(U ;- 1(t))'.

Вводя обозначения для известных выражений и ядер в интегралах {2}, {4}, {6} и {3}, получим:

g ; (x, t ) = - D --x -d "As(x - xo) -1 —n-1 „ n-1 xI Csk

dxn X — T h ja An (x - 1)

,=0 — k=0 ax*■ju(t)dt -

n-1-О - X f,j (x) X

i=0 s=1d As(Uj (x) - x0)

dxln-1X —(s-1), X h j a An (x1 t),=0 — k=0 x

V t1 ^ M t d axk

G (x,t)= - D 1

j X Ktj(x q)^ (u (q))X — X-1 a a A n(x1 - t)dq,=0 — p*, ax* h

d A, U (q ) - x0)

,=0 — ^ Hk*k=0

G;“ (x,() = - D -2 Л | £ K ,j(x ,q) Xc. t=0 s=1 d q 1

c

25


«-1 а п-1

Z Z к ,т=0 ® к=0

Sk a n (X1 - t)SXjk

d v ,

j SiAn (Uj (x) - t)Sn A (x - 1) n-iH j " (х, t) = D 1 n (х ’ + Z f (x)D ,

j Sxn Z j dx1где интегралы от слагаемых, не содержащих индексы i и j, нужно брать в пределах от X0 до х. Так как интегралы {2}, {4}, {6} имеютодинаковые пределы интегрирования, то их можно суммировать, введя обозначения для ядер суммарных интегралов:

Gj (х, 0 = G* (х, t) + G ;(x , t) + G;*(x, t). (142)Для ядер интегралов вида {5} также введем обозначения:

X ^ S1 An (u, (v) - 1)Hj (x,t) = j Z k ij(x,v) л Г и Z v.

UjZ 1=0 j SvПросуммируем теперь ядра интегралов {1}, {3} и {5}:

H 1 (х, 0 = H 1 * (х, 0 + Hj." (X, 0 + H 1 *** (х, t) (152)и, подставив новые обозначения ядер в соответствующие им интегралы, получим для краевой задачи (19), (5), (6) разрешающее интегральное уравнение Вольтерра-Фредгольма того же вида, что и в общем случае, но с обыкновенным аргументом:

J х Uj(х)/и(х) + Z j Gj (х^)/и()ск+X j Hj (х,0и(0dt]= F(%). (162)

j=° х, хо

б) Пусть fn j (х ) = 0 Vj = a I - 1, Jnl (х) = 1 и K nо(x ,v ) * а тогда имеем уравнение нейтрального типа следующего вида:

У(n )(UJ(х)) + Zj=0Z f (х) y (i )(uj(х))

+ X j Z K j (x, v ) y (i) (u j (v ))dv = f (х).a i=0 _

Разобьем интегралы в уравнении (13) на сумму:хj Kj (х ^ ) У 0 )(Uj (v))dv =

(1з )

+

26


I K V)% (u j (V))dV + j K Л)У(г) (uJ ( V) ) d V.a Cj

Подставим выражения функции гибкой структуры и ее производных для краевых задач (2**), (3**), (4**) в уравнение (13) :

(х м и , (x)) + D -1{£ « [Гт _s=1 dx т=0 «

_ D р j f,m ]+ - f * ± Ш _ й w +l=0 dxn

+ Z Z f , ( x ) D « [ r , _J=0 i=0 s=1 dx' r=0

. ^ xb dl A (x _ t) T Si An U (x) _ t)_ D 11 Pir I f i - t - M O d t ]+ j nJ J M(t)dt} +

l=0 J ox. Jl=0 xA 1 xa Oxi

I n cJ n_1

J=0 i=0+a Z Z j K ii(x, d)№. (u j (V))Z — [ r _

■ ■ ■ ■ r=0 «

k t )dt ]dv +-D Z P r ] ° l An(x- t ) -k =0 Ox11

c

0 0

I n x( V P ч п _ 1 d A s ( U J V ) _ t ) Пг 1 « Sr v

+a Z Z I K n ( x , v ) D ^ Z — J i -------Z — [г* _J=0 i=0 c . I s =0 5 V r=0 «

-1 x1 al- D Z P r j

k =0

dl A J xl _ t) dx.1

ujV OiAn(Ui (v) _ t)M t )dt ] + j — j — M t) d tI +

+a Z j K nj(x, V) U'n (vM uj (V))dV = / (x).J=0 Cj


27


uT (х)/и(щ (x)) + K n] (x ф ] п (IJ)Miuj (j ))d j +j =° Cj

{1}

- D 2 ZdnA, (ui(x) - x°) Z ^ Z xI BkAn(x - t)M(t)dt +

dxn t=° a k=° x0 3xI{2}

+D-' Xx°

{3}

4 x) Bn An (u, (x) - 1)Bxn

M(t )dt -

l n-1 n- Z Z f j (x) [ D " Z

j=° i=° =1

d As (uj (x) - x°)dx1

BkA„ (x - 1)Bxlk

M(t )dt +

{2}

uj (x)

+d - Xx°

{3}

3 A n ( u j ( x ) - t )

Bx1M(t) dt ] +

--x Zj=°

Cj n n-1 a n-1 xI p k

X Z K i j (x V i (uj (J ))Z — D - Z h r Xя i=° r=° ® k=° x

BkAn (x, - 1) /-----Bxk— LMi(t)dtd1 +

{4}uj (J)r B1 An (uu, (j ) - 1)

+ X] Z K j (x , j ) D - X -------- j ------- M(t)dt -Cj i=° x°

{5}

B J

, f W , ЧГ,-2^ B A (uj - x°) n-1 ®ux X Z K.j(x,J D Z — ь — Z •Cj to t ! Bj u=° a

{6}

28


и-1 xi ak' I Л jk=0

Ck AjlCxl - t) dx!

ju(t )dtdr] = F (x),

где

F (x) = f (x) - D - ' I -s =1 dX O

I П-1r I лп-1^ C As (UJ (X) - X0) l -1 Os,

- I l I f u (x)D I ------- Ъ --------- I — Y, -j=0 I i=0 s=1 Cx ,=0 °s=1c

+ ^ Ii=0

j I - ' Oj K ij(x, r/M (uj (r I — Y, d r +

,= 0 O

+x " ff A s (U1 (r) - 1) Ii-I оj k H ( x ,r )D I ------- j ------ -1 — Y,d rc T l Cr ,=0 O

(13з )

Проведем преобразования выражений под знаками интегралов, содержащих неизвестную функцию /л(x), обозначенных цифрами { 1} -{ 6}. В интеграле под номером { 1} произведем замену переменной, положив Uj (r) = t , тогда r = Uj _1(t), где Uj _1(t) - обратные

функции для функций Uj ( г ) :x

{1} j k I (x ,r)Uj (r )V (Uj (r )) d r =cj

Uj(x) Uj(x)= j K nj (x, U1 ->(t ))j (Uj-1(t )(Uj-1(t ))'ju(t )dt = j H j ( x, t )r(t)d t,

x0 x0

где H 1 *(x ,t ) = K n i (x,Uj-l(t)) U'n (U, 1(t)(U, 1(t))'.

В интегралах {2}, {4}, {6} и {3} для известных выражений введем обозначения:

d A s (Uj (x) - x0)G* (x, t ) = - D --1 f . (x) ' I -

dx1

0

29


• Z®(S—1,

a

n—1 x1Z P*,Ik=0 xЛ0

Sk A, (X1 — t)Sx1*

fa (t )dt,

n—1

Gf(x,t)= -D-1 I L Kj (xfaM <"j faK n—1 Pk, SfA# — >dfa,(x,t)= -D-1

g ;“ ( x, t ) = — в -j x j z K 11 (x, fa) L

Sxf

d As 0 , fa) — X0)

k=0 ^1j i .

dfa, —1 a , —1 я*

Z a ^ z p , B f a X ~ t) dn,,=0 a k= S x f

H 1 " ( x, t ) = Z f (x)D1 SiA, (u, (x)—t)

Sxi

Так как интегралы {2}, {4}, {6} имеют одинаковые пределы интегрирования, то их можно суммировать, введя обозначения для суммы ядер суммируемых интегралов:

Gj (x, t) = G*( x, t) + G;; (x, t) + G;;;(x, t). (143)Осталось упростить выражения в повторных интегралах {5}, в

которых сначала поменяем порядок интегрирования в соответствии с их областью интегрирования:

x я “jfa) S iA n(u ,fa) — t)I Z K 1J(x,fa)D— I ------- — ------W )dtdfa =c, г=0 xo arI

uJ(x) x n SiA (u fa) — t) uJ(x)= I n(t)dt I Z K,, (x,fa)---"sfa-,-------dfa= I И ,***(x,t)fa(t)dt,

xo uj~\t) i=0 fa x,x ^ SiAn (u, (fa) — t)

где H j (x, t) = I Z Кч (x,fa)------------------dfa•1 uj-‘(t) i=0 1 Sfa

Теперь суммируем ядра интегралов {1}, {3} и {5}:H j (x, t) = и ; (x, t) + ИJ - (x, t) + И ™ (x, t). (15з )

C

30


В результате в общем случае получили для краевой задачи (1), (5), (6) разрешающее интегральное уравнение смешанного типа Вольтерра-Фредгольма с запаздывающим аргументом:

U,x1 Uj (x)

( x M u ( x ) ) + j G (х,Ш ) Л + я J H j (x,t)/u(t)dt} = F(x), (163)X0 xQ

которое легко преобразуется к уравнению с обыкновенным аргументом, если ввести новую переменную z = U1 (x ), тогда x = ujl (z),где U11 (z) - обратная функция для функции U1 (x ) .

Далее, поделив разрешающее уравнение (163) на u[n(x) Ф О, введем новые обозначения для известных функций и ядер:Tj (z,t) = U1T rnu (z))G (Ui-1 (z),tX Qj (z t ) = Ui'(-n)(z)Hj (uГ1(z),t),

R(z) = U ) (z)F (U1 (z)) и, положив Vj (z) = Uj (Ul 1 (z)), получим:

M z) + Jj=0

-H jv“'j Tj (z, t)y (t)dt + Я j Qj (z, t)^ (t)dt] = R(z). (17)0

Вывод. Линейная краевая задача с начальными функциями (5) и билокальными краевыми условиями (6) для интегродифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом нейтрального типа (I2 ) и (1з ) с помощью функции гибкой структуры (2**) и еепроизводных (3**), (4**) преобразуется к разрешающему интегральному уравнению специального вида смешанного типа Вольтерра- Фредгольма (162 ) и (17) с обыкновенным аргументом.

1.6. Уравнения опережающего типа

Рассмотрим теперь краевую задачу для уравнений опережающего типа, положив f nl (x) = 1, f nj (x) = 0 Vj = 0, l - 1, Knq(x, ) = 0,

тогда имеем уравнение:

y(n) (Ui(x))+ S E f (x) y i) (Uj (x))+j=0 i=0

31


(14)+AJ I I K i (x V) y (,) (u J (V))dV = f ( x)-a J=1 i=0

Разобьем интегралы в уравнении (I4) на сумму:

J Kj (x,v) у (г )(u] (v))dv =

I K j (x,vM (Uj (v))dv + J K j (x,v)у (i)(Uj (v))dv .

Подставим выражения функции гибкой структуры и ее производных для краевых задач (2**), (3**), (4**) в уравнение (14) :

,п( ч ^ d nAs(U1 (x )- x0) n - $ , гUn (x )K u (x)) + D 1I — — - I — [r, -

dx ,=0 $s=1

-D -1 I A , J-uJ(x)

k=0*n\ 1Sx/

-1 ' S‘ An(x- - ' W d ] + J S n A n ( u (x) - ' )x 0

+ I I f „ ( x ) D - ' ( I dA j ^ I $ , [ „ -

l n-1

j= 0 i=0 dxiuj(x)

Sxn

n-1 $

,= 0 $

^ ( t )dt +

, ^ xb SkA (x - 1) e Si An ( u (x) - t)- D 1 -I Ak, J -----]+ J ---------------------- nV w M(t )dt} +

k~0 J Sx1 Jk=0 x„ 1 x„ Sxi

I n J n-1 $+a I I J K ij(x vM U (v ))I — [r,

$sj =1 i=0 a ,=0 $

-1 x1 Яk ,D -1 - I A , J Sk An (x1- 1)

k=0 x0 sx^p(t )dt ]dv +

l n x+a I I J K 1i (x v D j I

S A s(u, (v ) -1 ) n-! $

I =1 i=0

n-1 Ад k

1 I ^ -------

s =0

n-1I $ k -,=0 $

-D -11 P , Jk =0

Sk An(x - 1)sx1k

U1 (v)j

^ (t )dt ] + J

s v

S A n U v -1)

S vp.(t )dt} +

0

32


+aZ I K nj(x V) uJ (V )K uJ (v))dv = f (x).I =0 c,


i x(x)K(ui(x)) + a Z { K nj(X v Y j" (V)K(uj (V))dV -V

J=1{1}

- D 2 Zd nA, (ui(x) - X0)Z J Z I SkAn(x - 1)

dx t=0 J k=0u,( x)

Sx1p ( t )dt ] +

Sn An (ui (x) - 1)dxn

Л0

l n-1- Z Z f., ( x)j=0 i=0

D-2 Z

+ I -----^ / ^ — -ju(t)dt -

n-1_ ^ Z=0 J k=0

di A, (u, (x) - Z j z ^ I Kf d +.-=Z ■ ' j5=1 dxi Sxlxo "

{=}

+, uj(rx) SiAn (u. (x) - 1)

D J - Z A l j K f )d<] -Sxi

-A Zj=1

{3}n-1 xl

I Z Ka (x v)q>i (uj (V))Z— D Z P l I=0 J k=0

{4}

Sk An (x - 1)Sxf

Kf)dtdv +

+ AI Z K u (x,V)D 1 Iuj(v) Si An (u. (V) - 1)

SviK(t)dt -

{5}x n n <-AjZ К,- (x,v)D-2 Z-c '=0 ,=1

S'A, (u,- (v) - x0 ) Z j,-2 v 1 ^ sv * ^ u _ _ 0 d . Z -L . Sv' L=0 j

{6}

u

c

33


' I P r J dkA n(x' - г )k=0 dxk

ju(t )dtdv ] = F (x),

. . . . ^ T ^ d n A (Ul (x) - x0) П-1 aгдеF (x) = f (x)- D-11 ---- л ‘\> 0,I ~ ^ y T -t=1 dx t~0 a

l n-1- I I f (x)D -'I gA - j >- Xo)I a Г' -

j=0 i=0 s=1 t=0 aI n

+ ^ I Ij =1 i =0

j n-1 aJ K ij(Х Vfy (uj V ))I — YrdVa r=0 a

+

0

+Х _ ” дг A s (u (V) - 1) nz-1 a "J K ij(x ,V)D I ------- j ------ -1 a r Yrd VJ dV r=0 as=1

(1З4)

Проведем преобразования выражений под знаками интегралов, содержащих неизвестную функцию /л(x), обозначенных цифрами {1}-{6}. В интеграле под номером {1} произведем замену переменной, положив Uj (v) = t , тогда V = Uj-_1(t), где Uj _1(t) - обратные

функции для функций Uj (V) :

{1} J K nj(x ,V>'jn(v M uj (V))d V =cJ

Uj (x) Uj(x)= J K nj (x ,Uj-> (t))j(U j-1(t)(Uj :(t)) 'p (t)dt = J H / (x, t)iu(t)dt,

x0 x0где H j*(x,t)= K n](x ,U r1(O) u '„ (Uj-1W(Uj-1W ) '.

В интегралах {2},{4},{6} и {3} для известных выражений введем обозначения:

G * (x, t)n n

D -21 fi] (x ) ' Ii=0 s=1

d 'A s (uj (x) - x0)dx1

' Ia (s-1)r

a

n-1 x1I A - Jk=0 x0

дkA„ (x - 1) dxk

^(t )d t,

34


j x ,t) = -D -1 J S Ki j (uj (d))S 0 S Д дкА»(X1 - 0Jkrк=0 dxk dn,

G -*(x , t) = - D -2 a J S K , j (x ,n) S1=0

d a , U Ц ) - x0)

dtf

•2 ; 0 S Pk, A ^ fx-z O d V ,=0 0 к=0

H j *' (x, t ) = 2 . f j (x)D

dx 'k1 DiAn (Uj (x) - 1)

1=0 Dx1Так как интегралы {2},{4},{6} имеют одинаковые пределы ин

тегрирования, то их можно суммировать, введя обозначения для суммы ядер суммируемых интегралов:

Gj (x, t) = G* (x, t) + G**(x, t) + G~ ( x , t). (144)Осталось упростить выражения в повторных интегралах {5}, в

которых сначала поменяем порядок интегрирования, в соответствии с их областью интегрирования:

x « ujiZl"1 DAn(Uj(ц) - 1)f S K j (x,n)D l J ------- j -------iu(t)dtdv =

i=0juj (x)

дЦ

r x ” D1 An (u7. (ц) - 1)J K t)dt J S K , j(x,d) — j i— d Z =

u f U t ) i=0

u j(x)

дЦ

J H / " ( x, t)p (t)dt,

где * x , ^ An (UJ Ц ) - 1 hH j (x t) = J S K ,j(x ,d)------ j i--------dd •

UfUt) i=0 дЦ

Теперь суммируем ядра интегралов {1}, {3} и {5}:Hj (x, t) = Hj * (x, t)+ Hj ** (x, t) + Hj *** (x, t). (154)

В результате для рассмотренного вида уравнений опережающего типа получили для краевой задачи (1), (5), (6) разрешающее интегральное уравнение смешанного типа Вольтерра-Фредгольма с запаздывающим аргументом:

35


x1 Uj (x)u'" (x )^ (u l (x)) + J Gj (X t)/i(t)dt + я J H j (x,t)p(t)dt] = F (x), (164)

xQ %которое, как и для уравнений нейтрального типа в пункте 1.5 б), легко преобразуется к уравнению с обыкновенным аргументом, ес

ли ввести новую переменную z = U1 (x ) , тогда x = U11 (z) , где

U11 (z) - обратная функция для функции U (x ) .

Далее, поделив разрешающее уравнение (163) на Uт (x) Ф О, введем новые обозначения для известных функций и ядер:

Tj ( z , t) = Ui - " ' U (z))Gj(U-1 (z),t), Q (z,t) = U''-"'( z ) H j(U-1 (z),t),

R (z) = W'-" )(z) F ( U - \ z ) ) и, положив Vj (z) = Uj (U11 (z)), получим:

K z) +Xj =Q

Vj ( z )

J Tj (z, t)v ( t)dt + Я J Oj (z, t)p ( t) d t] = R(z). (18)О О

Вывод. Линейная краевая задача с начальными функциями (5) и билокальными краевыми условиями (6) для всех интегродиф- ференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом опережающего типа (I4) с помощью функции гибкой структуры(2 **) и ее производных (3 **), (4**) преобразуется к разрешающему интегральному уравнению специального вида смешанного типа Воль- терра-Фредгольма (18) с обыкновенным аргументом.

36


Глава 2Решение разрешающих

интегральных уравнений

2.1. Таблицы-схемы результатов преобразований краевых задач

Все краевые задачи для интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием, рассмотренные в главе 1 в пунктах 1.4, 1.5 и 1.6, с помощью новой модификации функции гибкой структуры (2**), (3**), (4**), выведенной для решения краевых задач, преобразуются к разрешающим интегральным уравнениям одного и того же вида.

Для всех уравнений запаздывающего типа (11) — уравнение (161) и для уравнений нейтрального типа вида (12) — уравнение(162) имеем разрешающее уравнение вида:

M * ) + Zj=o

Uj (х)I Gj (х, t)M(t)dt + Л I H j (х, t)ju(t) dt] = F (х). (16*)

Аналогично для всех уравнений нейтрального типа вида (13) —

х

уравнение (17) и для уравнений опережающего типа (14) ние (18) имеем разрешающее уравнение вида:

M( z) + Zj = о

Vj ( z )

I Tj (z, t)M(t)dt + Л I Q j (z , tM(t)d t] = R(z).о

уравне-

(17*)

Поэтому при дальнейших исследованиях и решении краевых задач для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием в их общей постановке:

Z Z U i j ( х ) У (° ( u j ( х ) ) + Л 1 K i j ( х Г1) У ( i) ( u j ( V ) ) d V ] = f ( x ) , (1)j = 0 i=0 a

где щ (х) = х, Uj (х) < х, Uj (х) # х Vj = 1,l , f t] (х), f (х) и Uj (х)

непрерывны, ядра K ij (х ,^ ) регулярны в квадрате a < х,ц < b с начальными функциями:

37


y <l\ u M )) = У(г)(хо )ф(г)(«Лх)), г = О, n -1 , x G E x0 (5)„(г-)i ,(г)

и линейными билокальными краевыми условиями:

Y X a ^ y (i)( Х0) + ЬгУ (i)( Х1)] Ух, т = 0, n - 1, а < Xo < X1 < b, (6)г=0

будем рассматривать наиболее общий вид разрешающих интегральных уравнений с обыкновенным аргументом z вида (17*) .

Для удобства использования этой формы разрешающих уравнений при дальнейшем их изучении и практическом решении, а также при составлении программы их решения на ЭВМ, поместим результаты исследований главы 1 в таблицы-схемы:

Таблица 1Уравнения

запаздывающего типа (1) :

y(n)(x)+Y Y f (x )y f)(uj (x))+j=0 г=0

x+Aj K , j(x r ) y (г) (uj (r )) dr\ +

а

+a ] K n 0( x, r ) y (n) (r )dr = f (x)а

Вид уравнений

нейтрального типа (12) :

y (n) (x)+ Y Y f y(x)y (г) (uj (x))+j=0 L г=0

+ A jY K j (x,r) У(г )(Uj (r))dr =а i=0 _

= f (x)

Коэффициенты в уравнении (1) :

f n 0( x) = 1, f nj (x) = 0 и

K nj (x ,r ) = 0 Vj = 1,/

Коэффициенты в уравнении (12 ) :f n0 (x) = 1, f nj (x) = 0 Vj = 1/ и

3j = 1, / , что K nj (x, r) ^ 0Формулы в разрешающем

уравнении (17*) :

z = x, Vj (z) = Uj (x).Свободная функция уравнения R( z) = F (x) находится по форму

ле (13j). Ядра определяются по

формулам (14j) : Tj (z, t) = Gj (x, t)

и C151) Q (z, t) = H j (x, t)

Формулы в разрешающем

уравнении (17* ) :

z = x, Vj (z) = U j (x).Свободная функция уравнения R(z) = F (x) находится по фор

муле (132). Ядра определяются по

формулам (142) : Tj (z,t) = Gj (x,t) и (152) Qj (z, t) = H j (x, t)

38


Разрешающее уравнение:l "x vj (z)

Mz) + XI Tj (z, t)u(t)df + J Qj (z,t)u(t) dt] = R(z) (17* )J=0 _x -xC

Таблица 2Вид уравнений

нейтрального типа (13):У n)(Ui (x)) +

X X f i j(x)y(i) (uj(x))+J=0 L i=0

+4 X Kij (x, )y,i(Uj(rj))dTi = f(x)a '=O _

Вид уравнений опережающего типа(14) :

У(и) (U (x))+X X fa (х)У(,) (Uj (x)) +j=0 i=0

+1JX X Kj (x,T)y(i)(u j (T))dT =a J=1 '=O

= f (x)Коэффициенты в уравнении

(1з ):f„i (x) - 1, fjj (x) - 0 Vj = 0, l -1

и K„ 0 (x,T) * 0

Коэффициенты в уравнении(14 ):

f nl (x) -1 , f n] (x) - 0vJ = ^ l - 1 и k ^(FT) - 0

Формулы в разрешающем уравнении (17*) :

z =U1 (x), x=u-'(z) Vj (z) = U1 (ui-1(z)Свободная функция R (z ) :R (z) = u\ (-n)(z)F (Uj1(Z)),

где F (u-1(z)) = F (x), и F (х)по формуле (133). Формулы ядер:Tj (z, t) = u j^ V ^ G j (ui-1(z),t), где Gj (u-1 (z), t) = Gj (x, t) в(14з ) , и Qj (Z, t) = uj(-n) (Z)Hj (u-1 (z), t), где Hj (u-1 (z), t) = Hj (x,t) в (15з )

Формулы в разрешающем уравнении (17*) :

z =ui (x) x =U- '(4 Vj (z) = uj (u-1(z)Свободная функция R (z ) :R (z) = и’У n )(z) F (uj [(z)),

где F (u- 1(z)) = F (x), и F (х)по формуле (134). Формулы ядер:Tj (z, t) = uj(-n)(u-1 (z)) Gj (u- 1(z),t), где Gj (u-1 (z), t) = Gj (x, t) в(144 ) , и Qj (z, t) = и’У n) (z)Hj (u-1 (z), t), где Hj (u- 1 (z),t) = Hj (x,t) в (154 )

39


2.2. Существование и единственность решений разрешающих уравнений

Докажем, применив метод последовательных приближений для уравнения (17*), существование и единственность решения этого уравнения при условиях: Vz и V t ы< z, t < / , R(z)| < A,

Tj (z,t)| <M j < B, lQj (z, t)| < Nj < B, где B = max(M, ,Nj ).

В соответствии с уравнением (17*) выпишем рекуррентную формулу для последовательных приближений:

Vj (z)

Mk (z) = R( z) - Xj =0

k = 1, 2, ... .За начальное приближение примем M0 (z) = R(z) и оценим по

следовательные приближения по модулю:

j T1 (^ t )Mk-i(t)dt + X j Q1 (^ t)Mk-i(t)d ] (19)

|m( z)| = R( x) - Xj=0

V, ( z )j Tj (z,t)Mo (t)dt + X j Qj (z,t)Mo(t)dt]

< R ( z)|+ Xj=0

v, (z)j Tl (z, t) R(t)| dt +1X j Qj (z, t)||R(t)| dt] <

< A + Xj=0

V, (z)j M jAdt + IX j NjAdt ]<

_ x 0 x 0

< A + (l + 1)BA(x1 - x0) + (l + 1)BA Vj (z) - x0 <

<

x

0

< A[1 + (l + 1)B|x — X0 j + (l + 1)B|x—X0 |J << A[1 + 2(l + 1)B|b - x01J,

где B = max(M., N ■), и в силу соотношений:j=0,l J JVj (z) = Uj (iu-1 (z)) = Uj (x) < x , и a < x < b,

функция V, (z) в верхнем пределе интегралов заменена на х, а затем x на b :

40


& ( ц R z) - Zj=0

X Vj(z)I Tj (z, t)jUi (t)dt + j Qj (z, Om (t) dt] <x0 Xo

I< A + Z

J =0 Vj ( z )

j Tj (z,t)A[1 + 2(/ + 1)B|b - x01] dt +

+ I Qj (z, t) A[l + 2(/ + 1)B |b - x01] dt 11

= A + A[1 + 2(/ + 1)B|b - x0 |]Z<j=0

VI (z)I Tj (z, t )dt + j Qj (z, t) dt j}:

X

M (z)| <A.| 1+2(/ + 1)B|b- x0| +[2(/ + 1)B|b- x0|J +... + [2(/ + 1)B|b- x0|] } ,.......

.......................................................................................................... (20)Откуда следует, что процесс будет сходящимся с гарантией при

выполнении условия 2(/ + 1)B |b - X01 < 1 .Далее рассмотрим ряд:

M z) + [^2(z) - M z)] + - + [Mk(z) - Mt-1(z)] + - , частичная сумма которого равна Mk (x). Тогда, по критерию Вейер- штрасса, этот ряд сходится абсолютно и равномерно в силу оценок (20), т. е. имеет непрерывную сумму:

M(z) = Iim Mk (z).к

Остается доказать, что эта непрерывная функция м(х) является решением уравнения (17*). Для этого в равенстве (19) перейдем к пределу:

M( z) = Jim Mt = R( z ) - ZX1

j T(z, t)}im Mk-1(t)dt+X0

Vj ( z )+ j Qj (z, t) Iini Mk-1(t) dt],

X0т. е. окончательно получим:

41


M z) = R( z) - XJ=o

V, ( z )

j Tj (z,t)M(t)dt + j Qj(z,t)M(t)dt]. (21)

Существование решения уравнения (17*), а следовательно, и задачи (1), (5), (6) для рассмотренных типов и видов уравнений доказаны.

Далее докажем единственность, применив метод от противного. Предположим, что существует другое решение разрешающего уравнения (17*), v(x) Ф м(х), тогда выполняется тождество:

v( z) = R( z) - XJ=0

V, ( z )j TJ (z, t)v(t)dt + j Qj (z, t)v(t) dt]. (22)

Вычтем из тождества (21) тождество (22) и оценим по модулю эту разность:

I Г х, vJ (z) ]M(z)-v(z)| = X j j Tj (z,t)[Mt) - v(t)]dt + j Qj(z,t)M(t) - v(t)]dt j

j=0

I< X j Tj (z, t)||M(t) - v(t) dt +

vj ( z )j \Qj (z, t)||M(t) - v(t) dt

Xo Xo]< . (23)

В силу непрерывности функций ju(z) и v(z), модуль разностиM(z) - v(z)| имеет максимум на отрезке [а ,р ] , значение которого обозначим через в :

max M(z) - v(z)| = в.хе[а,р]Так как неравенство (23) выполняется для любых а < z, t < р , то

оно выполняется и для максимальных значений:в < (I +1)Вв |х - х0j + (I +1)Вв jvj(z,t) - х01 < 2(I + 1)Вв |b - х0j,

так как в Ф 0, поделим это неравенство на в :1 < 2(I + 1)В в b - х0|.

Как видим, последнее неравенство противоречит ранее полученному:

2(I + 1)B|b - х0| < 1при доказательстве существования решения. Противоречие снимается, если положить v (х) = м (х ). Единственность доказана.

42


Вывод. Краевые задачи для интегродифференциальных уравнений Вольтерра с запаздывающим аргументом для всех уравнений запаздывающего типа (I1), нейтрального типа вида (I2) , (I3) и опережающего типа вида (I4) с начальными функциями (5) и билокальными краевыми условиями (6) с помощью новой модификации функции гибкой структуры (.2**), (3**), (4**), полученной для решения краевых задач, преобразуются к разрешающим интегральным уравнениям типа Вольтерра-Фредгольма (17*) с обыкновенным аргументом. Единственное решение последнего существует при выполнении условий ограниченности входящих в него функций Vz и V t а< z, t < ft, |R(z)| < A, Tj (z, t)| <Mj , Qj (z, t)| < Nj и

Vj (z) < x < b. Эти условия автоматически выполняются, если все функции в краевых задачах непрерывны.

2.3. Исследование возможностей решения краевых задач в замкнутом виде

Проведем исследования, опираясь на результаты, размещенные в таблице-схеме:

а) Решение в замкнутом виде получим, если в уравнении (17 ) параметры р , i = 1, n удается определить так, что R(z) = 0. Тогда решение однородного уравнения (17*) будет ju(z) = 0 (в силу единственности решения при выполнении условий ограниченности функций R(z)| <A, T (z,t)|<Mj , Qj (z,t)|<Nj и Vj (z) в рассматрива

емом квадрате а < z < ft). Решение первоначально поставленной краевой задачи найдется для случая 1. x0 < X1 < C1- V j = 0,l по формуле (2*):

У( x) = D 4 [Ё ® Ё Уга ( s (x “ x0) (24)s=1 г=0и для случаев 2. x0 <Cj< x1 Vj = 0,l и 3. x1 таково, что 3j = 0,l для некоторых x0 < x1 < Cj и x0 < Cj < x1 по формуле (2**):

43


(25)У( x) = D Z A, (uj (x) - xo) Z — ?*.s=1 T=O

б) Другой возможный вариант решения в замкнутом виде получим, если параметры Ti , i = 1, n определить так, что ядра

Tj (z, t) = 0 и Qj (z, t) = 0 Vj = 0, l . Тогда решение разрешающего

уравнения (17*) найдем, положив u( z) = R( z). Соответственно, для случаев 1, 2, 3 получим решение краевой задачи по формулам (2*)и (2**):

У(x) = D-1 [ Z ® Z Yt®(s-1)tA,(x - Х0) + I Ап(x - 1)R(t)dt], (26)s=1 T=0 x

1 n-1 ft)У(x) = D-1IZ A s(Uj(x)- X0) Z - s [ Xt -

T=0 ft, x t Uj(x)n -1 x, pfk а (x - t) r

D- - Z Pt I ---- rnTxI— ~R(t)dt ]+ I A n (u; (x) - t)R(t)dt}. (27)k=0 x cxL

0

в) Если параметры Ti , i = 1, n можно определить так, что ядра

Qj (z, t) = 0 Vj = 0, l , то разрешающее уравнение (17*) будет интегральным уравнением Фредгольма:

U(z) + Z | Tj (z,t)u(t)dt= R (z ), (28)j=0 x

для которых известны классические методы получения решений в замкнутом виде. И затем, подставив полученное решение в формулы (2 ) или (2 ), найдем решение краевой задачи.

г) Аналогично, как и в пункте в, если параметры Ti , i = 1, n мож

но определить так, что ядра Tj (z, t) = 0 Vj = 0, l, то разрешающее уравнение (17*) будет интегральным уравнением Вольтерра:

Vj (z)u (z) + I Qj (z, t)u(t)dt = R (z), (29)

x>для которых также известны классические методы получения решений в замкнутом виде. И затем, подставив полученное решение в формулы (2*) или (2**) найдем решение первоначально поставлен-

44


ной краевой задачи.Можно привести множество более частных видов уравнений,

которые решаются в замкнутом виде, но ограничимся приведенными выше.

К сожалению, не всегда возможно определить параметры для получения точного решения, поэтому в таких затруднительных случаях можно искать приближенное решение поставленной краевой задачи. При этом, решая разрешающее уравнение (17 ) аналогично, как и в случае определения замкнутых решений, можно оптимизировать выбор параметров, сокращая объем выкладок и ускоряя процесс приближенного решения.

2.4. Приближенное решение разрешающих интеграл ьн ых уравнений

Для решения смешанных интегральных уравнений типа Воль- терра-Фредгольма (17 ) применимы методы и способы приближенного решения интегральных уравнений (такие как представление решения рядами Тейлора, Неймана, Фурье; методами последовательных приближений, осреднения функциональных поправок, сплайн-интерполяционными методами и др.). Наличие параметров в структуре функций и в разрешающем уравнении (17 ) дает возможность ускорить сходимость любого из известных приближенных методов за счет оптимального выбора этих параметров.

Применив метод последовательных приближений к уравнению (17 ) и приняв за начальное приближение функцию Ho(z) = R(z), в пункте 2.2 мы выписали рекуррентную формулу для последовательных приближений:

M (z )=R( z) - ' Zj=0

X1 Vj (Vi

I Tj (z t)Mk-1(t)dt + j Qj (z 0 ^ -:(0 dt]• (19)X0 X0

k = 1, 2, ... .

Для доказательства сходимости метода и существования решения рассмотрели функциональный ряд:

Ф ) +[M(z ) - M (z)]+\P2(z)- M(z)]+ ...+[Mk (z) - Mk-1(z)] +... (30)

45


при условии ограниченности функций |^Х)| — A, Tj (z,t)

Qj (z,t) — Nj Xj = 0,7 в квадрате CL< z , t < [ и V (z) < x < b .

— Mj

Частичная сумма ряда (30) равна Jlk (z) . Тогда в силу равномерной и абсолютной сходимости этот ряд имеет непрерывную сумму:

J (z) = Jim Jik (z).кПримем за приближенное решение искомой функции ji(z)ее

k-е приближение Jik (z ) :

J l(z) * Jlk(z) . (31)Затем, переходя к пределу при k в неравенстве (20), полу

чим неравенство:

\jJ zj[ <A| 1+2(7+Г^о - xOl +[2(7+1b IzO - xOl J +...+[2(7+ Щ ^ -¾) J +..j,(32)

из которого следует, что погрешность приближенного решения не превосходит остатка ряда в неравенстве (32). Обозначим это гарантированное значение погрешности через Sj :

Sjk < [2(7+ l)B |z0 - xOI] + [ 2(7+ l)B |z0 - xO 1 ] + ... (33)

Ряд в (33) составлен из членов геометрической прогрессии и поэтому сходится при:

2(7 + 1)Bz0 - xOl < 1 (34)Если условие (34) выполняется, то погрешность приближенного

решения Sj может быть вычислена по формуле:

s < [2(7 + l)B|z0 - xO|] Jk < 1 - 2(7 + 1)B J z0 - X0 (35)

Рассмотрим еще один возможный вариант приближенного решения. За счет выбора части параметров минимизируем ядра Tj (z, t), аостальные параметры далее используются для ускорения метода последовательных приближений. Если удалось сделать эти ядра до

46


статочно малыми (что иногда выполняется автоматически), то мы можем рассматривать разрешающее уравнение типа Вольтерра:

i vJ(z)N(z ) + X j Q (z , t)N(t)dt = R (z). (36)

3 =0 X0Рекуррентная формула для последовательных приближений бу

дет:i vJ(z)

Nk(z) = R (z )_ X j Q(z,t)цк_j(t)dt,k = 1,2,... , (37)3=0 X0

и при тех же ограничениях для членов ряда (30) получим оценки: |n0(z)| = |R(z)| < A и при Qj (z,t)| < Nj У/ = 0,1 в квадрате

а < z, t < P ,

k ( z) _ n (z =

V/( z )

X j Q3 (Z, tN ( t )d t3 =0 X0

< 1 rX j3 =0 X0

N A d t < A x - xJN ,

i

где N =X N i , и в силу соотношений Vj (z)= uj (ui (z)) =uj (x) <X-,3=0

функции V/ (z) в верхних пределах интегралов заменены на X, затем X на b :

N2(z) _ N ( z)i vJ(z)

X jj=0 X

Q3(z, t)[M(t) _ N>(t)]dt <

< X j N jA N 11 - X0 1 dt3=0 X0

< a n '-2 Ix _ X02

2

Nk(z) _ Nk_i(z)| < ANkx - X0

к !

|k

47


Мажорирующий ряд для ряда (30), построенный из полученных оценок при a < x < b, будет:

A 1+N | b - x01 +N2|b - x0 12

2!+ . . . + N k

|b - x0 |k

k!+ ... (38)

Ряд (38) по признаку Даламбера всегда сходится, так как:, ,. ANk+11 b - x0 |k+1 -k!l = lim--------------- ;----------- T-

^ (k + 1)!- ANk | b - X0 |кlim N |b -к к + 1

0 < 1.

Следовательно, ряд (30), по критерию Вейерштрасса, всегда сходится равномерно и абсолютно, и для решения уравнения (36) получаем оценку:

| ju(z) |< A eNb x0L (39)Оценку погрешности Sp k-го приближения решения уравнения

(36) для отрезка z e [a ,P ] при a < x < b, воспользовавшись формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, получим в виде:

S < |b x0 | AN k+1eNeb-xo1 Мк~ (к +1)!

0 < в< 1 (40)

Приближенное решение первоначально поставленной задачи получим, воспользовавшись формулой функции гибкой структуры (2**) для краевой задачи в случаях 2 и 3:

П-1y (x) * Yk(x) = D -1IZ a , (x - x 0) Z — [ У, -TT TT —

-1 X1 я кD -1- Z P,, f

s k a , (X1 - 1)*n\ 1dx!

P k (t)dt] + J A n (x - t)pk (t)dt} . (2**)k=0 x *1x0 1 --0

Откуда следует, что гарантированная погрешность приближенного решения Sy найдется как максимум модуля разности

У (x) - Yk (x)|

48


Syt - maX y( x) - Ук (x) = max/к a-x-b' ' a-x-b D--i Z A,(x - X o)£f [rT -s=1 T=Q f

n-1 X pk-D-1 -X Ркт j

d A n (X1 - 1)к=Q Sx1к

Xo 1n-1

u(t)dt] + J a n (x - 1)u(t)dt] -X

n -1 xI pk t-D-1IX A s(x- xq) X f [K - D 1 - X Pt J 5 a^ x XU (t)dt] +

к=QA

+jAn (x - 1 )u (t )dt} = maxa-x-bn-1

D 2X a s(x - xq) X —fJLT =Q f

n-1 x-XPt J

S An (x1 - Of Sxf

\u(f) - Hk (t)l dt\ + maxi D 1 JAn (x - 1) \u(t) - и (t)] dt|L J a-x-bI J-

- S11 maxu a-x-b D 2X as(xn-1 ю n-1

- x, ) X T X Pt JT=Q f к=ISk An (x - 1)

dxfdt +

+D-1 J An (x - 1)d t .x„

Итак, гарантированную погрешность приближенного решения краевых задач для уравнений вида (1) можно вычислить по формуле:

S y - Su maxУк U a -x -b

D 2 Xs=1

n - 1 n - 1

As (x - xq )X X P t Jt = Q f к = Q

Х1 гцкS AjXxl-O Sx/

dt +

+D 1J An (x - 1 )dtxQ

(41)

Из оценок ряда (3Q) членами мажорирующего ряда (38) следует, что последовательные приближения сходятся к искомому решению тем быстрее, чем меньше величина N, которая является функциейпараметров r , i = 1, n . Следовательно, необходимо определить параметры, минимизируя функцию N(ri, r2, ..., rn). Наименьшее значение этой функции существует, так как N p1, r2, ..., rn) > Q. Величина параметров влияет только на скорость сходимости последователь

49


ных приближений, поэтому их можно определить приближенно, если возникли затруднения с точным определением. Погрешность первоначальной задачи Syt можно посчитать, воспользовавшисьформулами (40) и (41).

2.5. Уравнения первого порядка

Выпишем общий вид уравнений первого порядка:

Z Z Л (х) у (° U (x)) = f (x), (11)1=0 1=0

где U 0 (х ) = х , U j (х ) < х V j = 1, l с начальными функциями на

начальном множестве E :х 0

у U (х)) = у (x0 M uj (х)) (51)и краевыми условиями:

а у (х0) + р у (х1) = y , а < х0 < х1 < b. (61)

При решении конкретных краевых задач необходимо записать выражения определителей D и А1(х — t), а также производных:

5А1(х — t) dA1(uj (х) —1) —------------- и ------------------ Vj = 1, l .

дх

D = 1, А1( х — t) = e

дх_ ar(х—t) дА1(х t) = rer(х—t)

, дх ,* / / \ ,4 r(Uj (х)—t) дА1(иу (х) t) ' r(Uj (х) —)A1 (Uj (х) — t) = e 1 , -------—-------= ruj (х)е 1 .

Решение задачи (1Д (5Д (6Д как было доказано в пункте 2.2,при условиях ограниченности функций, входящих в условия краевой задачи, существует и единственно. Будем искать ее решение на отрезке [х0, b] используя начальные функции (5j), краевые условия(6j), функцию гибкой структуры (2) и ее производную. Для этого определим у(х0) через новую неизвестную функцию ц(х), при этом при определении корней Cj уравнений Uj (x) = x 0 на отрезке

50


x e [X0,b], как и в общем случае, возникают три возможных ситуации:1) Xo < Xi < Cj V j = 0, l ; 2) Xo <Cj < Xi Vj = 0,l ; 3) Xi таково, что

3j = 0, l , для которых X0 < X1 < C/ и для некоторых X0 < C/ < X1. Рассмотрим подробно эти варианты.1. В первом случае, подставив X = X1 в начальные функции (5Д

при j = 0 и затем значение y(X1) = y(X0) P(X1) в краевые условия (61) , получим уравнение:

У( X0)[« + Р р ( Xi)] = У, (7i)откуда найдем y (x0):

У ( X0)У

а + Р<р( X1)(8i)

В этом случае краевая задача свелась к решению начальной задачи, для которой выражения для функции гибкой структуры и ее производной в соответствии с формулами (2) и (4) для аргумента х примут вид:

X

y (X) = y( X0) Al (X - X0) + J АД X - 1 )p(t) dt =X0

Уа + Р<р( X1)

Ai( X - X0) + JX0

А1 (X - 1 )^(t )dt =

У'( X)

____у____er (X-X0)а + /Зр( X1)

+ J er (X-t У t )dt,X0

ry er(X-X0)а + /Зр( X1)

+ r J er(X У ( t)dt + ju(x).X0

Подставив вместо X запаздывания, найдем значения функции гибкой структуры от отклонений:

У(и j (X)): УUj (X)

еГ(uj (x)-X0 ) + er ( j X)-t W )dt,a + PP( X1) X0

а производные определим непосредственным дифференцировани-ем:

51


ryu'j (x) Uj (x)r(uj (x)-Xo) + ru'j(x) j e (Uj(x>-} (t)dt + u'j(x)^(x).У'(иj (x)) = / p \ ' ) e

a+ p p( X1) X02. Во 2 и 3 случаях начальные значения определятся уже через

интеграл от неизвестной функции, поэтому, проделав выкладки, аналогичные пунктам 1.3 и 2.5, получим выражения для значений y(x0). Для этого вначале найдем у(хр, воспользовавшись формулой функции гибкой структуры (2) при n = 1:

Xy (x) = y( X0) А1 (x - x0) + J АД x - 1 )p(t )dt,

X0x

y (X1) = y( X0)A1( X1 - X0) + J А1( X1 - 1 )p(t )dt =X0

y (X1) = y( x0)er(X1-X,) + J er (x-t)^(t)dt.

Подставив полученное значение y (x1) в краевые условия:

OK x0) + p y ( x0)er (x - + j er (x-t )1u(t )dt = Y,

найдем:

Y - P j er (X1 -t ( t )dt

y (x0) = ■ a + p e r (X1 -X0)В соответствии с этим выражением для y(x0) функции гибкой

структуры (2), (4) для краевой задачи примут вид:

y (x) = y(x0)er(x x,) + J er(x t) (t)dt

x

0

x

0

X1Y - P J er (X1 -t ( t )dt

_____X0___________ er (x-x0a + p e r (x -X0)

+ J er (x-t ( t )dt,x0

52


7 - e (х1 -t ) (t )dt

y'(x) =a + p e r (х-Xo)

re r ( x -x 0) + r I e (x t) (t)dt +^(x).

Для дальнейшего решения краевой задачи, как и ранее, следует в выражении функции гибкой структуры аргумент x заменить запаздываниями, и все найденные значения подставить в исходное уравнение.

При небольшом количестве коэффициентов, что характерно для уравнений первого порядка с одним-двумя запаздываниями, разрешающее интегральное уравнение выгоднее строить непосредственной подстановкой функции гибкой структуры и ее производных в дифференциальное уравнение, учитывая при этом краевые условия.

2.6. Уравнения второго порядка

Выпишем общий вид уравнений второго порядка:l 2

Z Z f (x) у (i) (uj (x ))= f (х),j=0 i=0

где u0 (х) = х , u . (х) < х Vj = 1, l с начальными функциями:

у 0 )(и , (х)) = у ( )(х0 У г )(u , (x)), i = 0,1 х G Е х,, _ -,,(i)/ ,(i)

и краевые условия:

Z [аггУ0) (х0 ) + РггУ (х1 )] = Yt , Т = 0,1.

(12)

(52)

(62)

Производная нулевого порядка есть искомая функция.При решении конкретных начальных задач, в том числе (12),

(52), (62), потребуется расписать выражения, необходимые для построения функции гибкой структуры, определения ядер T. (z, t),

Qj (z, t) и свободных функций R( z) разрешающего уравнения, равно как и при непосредственной подстановке функций гибкой структуры в исходное уравнение.

Для уравнений второго порядка определитель D будет равен:1 1

D =

х

0

1 '2

53


тогда:

A j( x - t ) =

Д2( х - 1) =

r (х-t) r>(х- t)- r2e 1 - re 2 :

eri( х-t) eh( х-t)= еГ (х-t) - er (х-t)

SA1 (х t) = rr r( х-f) - еГ2(х-0), дД2(х t) = rer2( X-t) - rer( X-t),дх дх

^ -?) = r V ^ -r1r22er2(х-t), ~t} = V j - V j ,д х 2 д х 2

A U (х)-t) = r2eri(“2(хИ) - r ^ j 0, 4 (u ;(х)-t) = er2(u(х)-t) ^ (х)-t)- e

= rir2(er1(Uj (х)-t) r2 (uj (х)-t)- e ))uj (х ):дД1(и;- (х) - 1)

дхдА2(и;. (х) - 1)

дх

д A1(uj (х) - О _ (J2„ J1(uj (х)-0 „„2J2(uj (х)-)\„,12,

= (êr2(uj(х)-) - r eri(uj(х)-° )u' (х).

дх2■ = O1V 1 j 2 2 - rrV 2 j 2 2V 2(х) +

+ rir2(e r1(uj ( х ) - 0 r2 (uj (х)-0\„,ГГ- e K (х),

д A 2(uj (х) 0 _ 2 r2(uj(х) t) 2 ri(uj(х) tV ,2дх2

= (r22e 21 jW 2 - r12e 11 jW > ' 2(х) +

+ (r2er2(uj(х)-t) - r1eri(uj(х)-t))uj(х).Выражения функции гибкой структуры и ее производных при

различных значениях параметров r1 и r2 примут вид:

У( х) = D -1 S У( "-1) (х<))-А, (х - х 0 ) + J А 2 ( х - 1 ) v ( t ) d t

х= (V1 - r ) -1 [y( Xo)(r2e''('~х•) - r / 2‘ - х0)) + y '( Xo)(e

+J (er2(х~') - erl(х~'))^(t)dt ],

„r2(х-хо) - eri(х-хо)))+

У ( х) = D- ' S У -1)( х0)d A s(х - х0) х дД2(х - 1)

dх J ' дх-^(t )dt

V - Vi)-1 [y(хо) • rxr2(e« х-хо) - er2(х-хо)) + у'(Xo)(r2er2(х-хо) - V х-хо)) +

eri( х- ) erl( *-t)

r r 2

1 1

54


+ J (r2eT2 (x-t) - rieTl(x-t))^ (t)d t ],x0

У (X) = (Г2 - ri)- ' [ У(Хо) • r!r2(rier2(X-X0) - Г2еГ1(Х-Х0)) +

+У (x0)(r2e2„ r2(x-x0) ~2 ri(x-x0)) + J (r22er2(x-t) - r12e'l(x-tV ( t )dt] + ju(x),*0Л'2- - r i e

У(п1 (x)) = ( r - ri)-1 [ уК ) ^ ^ 1(x)-x0) - rie'"2(“' (x)-x0)) +U1 ( x)

+y ,( x0)(e r2(uj (x)-x0) - e ri (uj (x)-x0) ) + J (e r2(uj (x)-t) - e ri (uj (x)-t) )^ ( t )dt

У (u j ( x ) ) = ( r 2 - r i ) - i u j ( x ) У(x0 ) r i r 2 ( e

ri ( u j ( x ) - t ) - er2(uj ( x ) - t )) ) +

uj(x)+УХ x0)(r2er2(x-x0) - re ri(x-x0) 0/V'2w tXc ) + J (r2e

r2(uj ( x)-t) - r eri(uj ( x)-t)ri e )^ ( t )dt

0

0

УЛ(М-(x)) = (Г2 - 2(x) У(Хо)rlr2(rlerl(UJ (x)-t) - f ie 2"1 (x)-t)) +

,(x)+У (x0)(r2 e

2 <2(ui (x)-xi) 2 ri(uj(x)-x0)- rf e ^ x)-x0)) + J (r x0

+u j 2( x)p(u. (x)).

2V 2(ui(x)-t) -Fi2 eri(u(x)-tV ( t )dt 1 +V ( t )dt ]-

Если для оптимальности решения начальной задачи (40), (4i) необходимо взять T1 = r2 = r , то следует воспользоваться правилом Лопиталя при вычислении пределов:

D 1A1Cx - 1) = lim

D 'A2(x - 1) = lim

r 2e Ti (x -t) - r i e T2(x - t)

T2 - r ier2(x-t) _ eri(x-

r2 - ri

= (i - ri( x - t))eri( x-t)!

t)- = (x - 1 )eri( x-t),

D-1 AiOx-t) = l i m -er2(x-t^ =-ri2(x- t)er.(x-t),dx Ti t1 t, - r

r

55


D = = (1 + rj (x _ t)y ^ ,

D

dx г -* 1 r2 _ T1

1 d2A1 (x _ t) ,. r2r?eT(x_t) _ r1r2eri(x_t)1 = lim 12 12dx2 r2 _ r1

= _T!2(1 + r (x _ t))er1 x_t),D 1 д 2A2 (x _ t ) = lim r2 e rr (x_ ) _ r 2/ 1 t =

dx2 r2 * r1 r2 _ T1

= r1(2 + r1( x _ t ))er1( x _t),D-1A1 (Uj (x) _ t) = (1 _ r (Uj. (x) _ t ))er (u' (x t,

D^lA2(Uj(x) _ t) = (Uj(x) _ t)eri<'Uj(x) t).

Вычислим при r2 = r следующие выражения:

„_1 dA1(Uj(x) _ , ) , . ) - (x)D ------ --------- = lim------------------------------ -----

dx r

„r1(Uj (x)_t)= _t1u' (x)er1(Ui(x) ‘) + r (1 _ r1(UJ. (x) _ t)er'1'Ui (x) ,)u' (x) =

= J u ' . (x')(u. (x) _ t)er (Uj (x) t),

D _1 dA2(Uj. (x) _ t) = ^ r / * ' w ) _ У ' w ))U-- (x) =

4

dx

r1(U' (- )-t) + rÛ, (x) _ t)e1

r 2 _ r 1

= (1 + T1 (u . (x) _ ,))u'■ (x)e

r1(Ui (x)_ t)

T1(Uj (x)_t)u (x ) =

D-1d A1(ui (x) - t)

dx2

= limr2 * r1

(T12r2er1 (Ui (x)_t) _ r1r22er2 (u' (x)_ ) )u '2 (x)- +

+ r1r2(eri _ e O j x)

1 - / 2 T1 (u. (x ) - t ) Л r2(u. (x ) - t)= lim Kr e ' _ 2r1r2e 'r7 L

r2 _ r1

r2 r1

r2 r1

56


- ^ 2 2 (Uj ( x ) - t) / l (U j(x ) ttWf(X) +

+ (f/'-i(Uj(xyt) - f[er2(Uj(xyt) - rir2(uj (x) - tV liuj ixyttK i x)'2 Vйj i '

= - r12 [(1 + Г1 (Uj (x) - t))U'j (x) + (Uj (x) - t)U"j (^ {Ui (x) t) ,

D-1 d2 Д2(Uj(x) - 1)

dx2

= l i mr2 —r1

+

( r 2 e Г2 (Ui (x ) - t ) - r 2 e rI (Ui (x)- t) ) U '■ 2Y - ( x ) ■ +Г2 - Г1

(r2e2(Ui(x)-t) - reri(Ui (x)-t) )Ui( x)

= lim [(2r2er2(uJ(x)-e) ■ ^ ' 2r2 — Л L

= eri(Ui (x)-t)

+ r2 (Uj(x ) - t))U'i (x) +

- r2 (Uj (x)-t))U i ( x) | ='2(uj( x) 1 )e )Ui ( x)J_

[r (2+r (Uj. (x ) - ф ]2 (x) + (1+r (Uj. (x ) - t ) U (x)].

+ (er2(Uj (x)-t) + r2(Uj (x) - t)e

Тогда выражения функции гибкой структуры и ее производных при равных значениях параметров r2 = r1 = r примут вид:

y ( x) = Z y(s-1)( x0) lim,• Д (x - xo) , Г,- W (x - 0D

J lim-J r ——r D - W )d t =

Д2(x - x0) x Д2(x - 1)= y (xo) lim Al(x xo) + y'(xo) lim + J

r2 —r. D r2—r1 D j D- w(t )dt =

: [ y (xo)(1 - r(x - xo)) + y (xo)(x - xo)] er(x-x>) + J (x - t)er( )dt,

(-1) n-1 dДs(x - xo)У( x) = Z У("-1)( xo) !imD dx

+

+ J lim D* r —r_1 5Д2 (x - 1)

dxW(t)dt =

r2 r1

57


= y ( x0) lim D 1 d Д ( 1 - xo) + y ( X0) lim D- ' d Д ( x " x0)r —п d x

г(X l / f j , ( t ) d t =

d x

л д Д 2 ( x - 1)d x

- [ lim DJ <2 —4 xo

[ - y (Xo)r2(x - Xo) + y (Xo)(1 + r(x - Xo))]XI (1 + r (x - 1 )er (x-t U (t )dt,

e y o ) +

2 n-1 d 2Д* (x - x0)У (x) = X У ("-1)( xo) lim D dx2

+

x

+ 1 lim D* r ——r

л d 2Д 2( x - 1)

d x 2j u ( t ) d t + j u ( x ) =

= [ - y ( x o ) r 2(1 + r ( x - x o ) ) + y ( x o ) r ( 2 + r ( x - x o ) ) ] e

x

+ I r ( 2 + r ( x - 1 ) e r (x- t } u ( t ) d t + u ( x ) ,

r (x-xo) +

Дs ( U j ( x ) - x o )y ( U j ( x ) ) = X y^-4 (xo) lim

~1 <2—r1 D

Uj ( x)' 2 ( U j+ J lim Д 2 ( U j ( ? - '> u ( t ) d t =

J n — rx D

Д 1 ( и ( x ) - x o) ' Д2 ( u j ( x ) - x o)= y ( x o) lim ------ -------------+ y (xo ) l im- J

r2 — r1 D r2 — r1 D

j( x)f Д 2(и (x) - t)+ J -- D---u(t)dt =

y (xo)(1 - r ( u j (x) - xo)) + У (xo )(uj (x) - x o )uj (x)

+ J (Uj (x) - t)er(Uj{xyt}ju(t)dt,

r(uj (x ) -x o) +

* . u , d Д s ( u , ( x ) - x o )

y ( U j (x)) = X y s ( x o ) h m D — ,-----------+r2 —r1 d x

o

+

o

58


U1 (х)+

с dA2(u,. (х) - 1)j lim D - --------j ---------ju(t)dt =J r —r дх

= [- y(x0 V i uJ (x) - xo) + У (xo)(1 + r(uj (x) - xo))]uj(x)

+ j (1 + r(uj (x) - t)e (uj(x) ‘>(t)dt,

er(uj (x)-xo) +

У (uj (x)) = X У("-1) (xo) IimD-i d 2A, (uj (x) - x0)

dx2+

u j(x)+ j lim D -

J r ——r1 d A2 (u j (x) - t)

dx2ju(t)dt + u J 2(x )^ (u i ( x)) =

: {- y (xo)r 2 [(1 + r(uj (x) - xo))u J2 (x) + (uj (x) - xo)uJ(x)] +

+У (xo ) [r(2 + r(uj (x) - xo ))u J2 (x) +

+(1 + r (uj (x) - xo))uJ(x)]} er

uj(x)+ j [ r (2 + r (uj (x) - 1))uj2(x) +

J (uj(x)-xo)

+(1 + r (uj (x) - 1))u j (x)] e (uj(x) -) (t)dt +

+uJ2( xM u i(x)).

o

o

Формулы функций гибкой структуры для краевых задач можно получить, вычислив, как и ранее, значения y (x0), y '(x0) и подставив в вышеприведенные, как и в пункте 1.3.

2.7. Уравнения порядка n ( n > 3 )

Функция гибкой структуры для n > 3 строится, как и для n < 3. При этом возникает больше возможностей варьировать значениями параметров, но возрастает и объем вычислений. Поэтому при n > 3 имеет смысл для сокращения объема вычислений неко

59


торые параметры взять равными нулю, а оставшиеся определять по ходу решения задачи, исходя из условий его оптимальности.

Параметры, приравненные нулю, будут равными, и для вычисления произведений D4 A1. (Uj. (x) — t) необходимо применять правило Лопиталя, как это было проделано в пунктах 2.5 и 2.6.

Оставленные ненулевые параметры можно считать различными, а если будет необходимость взять их равными, то пределы возникших неопределенностей можно вычислить и по ходу решения задачи.

2.8. Примеры решения краевых задач интегродифференциальных уравнений Вольтерра

с функциональным запаздыванием

П р и м е р 1 . Рассмотрим краевую задачу для интегродифференци- ального уравнения Вольтерра второго порядка запаздывающего типа:

y"( x) + 2 У'(x) — y ^ 2 J — I y'(^)d^ = 3 — x,

<y(0) + y ' (1) = 0,2 y '(0) — y '(1) = 1.

Для данной задачи x0 = 0, x1 = 1 и начальное множество

E0 = Eq U E0 = [0] состоит из одной точки. Следовательно, краевая задача в этом случае ставится так же, как и для уравнений с обыкновенным аргументом, без задания начальных функций. Выпишем коэффициенты, ядро и остальные данные задачи:f 20(x) = 1 f1o(x) = 2 f 11 (Х) = — 1

f (х) = 1, Kw(x,v) = —1, Uo(x) = x, U (х) = у 2 , a = 0,b = 1a = 0,b = 'Решаем уравнения x = 0 и x/2 = 0. Откуда c0 = 0, C1 = 0, следова

тельно, для уравнения запаздывающего типа имеем второй случай,т. к. выполняются условия x0 < Cj < x j, т. е. 0 < 0 < 1.

Воспользовавшись формулами функции гибкой структуры (2)- (3)-(4) для записи вида искомого решения при n = 2, x0 = 0 и для сокращения объема выкладок, положив r1 = 0, найдем:

60


X i I xУ(x ) = У(0) + y '(0 )--------- + — j [ e r2(x-t) - 1] p (t)dt,

r rf2 '2 0

y '( x ) = y '(0 )er2 x + j er2( )M(t) d t ,0

xy ”( x ) = y '(0) r2 er2 x + r2 j er2( x-t )^ ( t ) dt + ju( x ).

0Откуда получаем:

Z 2 Л I 1y (1) = y (0) + y '(0 )---------+ — j [ er2(1-t) - 1] d (t)dt,

r2 r2 01

y '(1) = y '(0)er2 + j er2°-t )p ( t )dt.0

Подставив полученные выражения для y (1) и y f(1) в краевые условия:

1y (0) + y '(0 ) e r2 + j e r2(1-1 ( t) dt = 0,

01

2 y '(0 ) - y '(0 )e r2 - j e r2(1-‘)ju(t)d t ,

наидем:1

1 + j er2(1-t )^ (t )dt

y ' (0) = - j V - J2------- , y (0) = 1 - 2 y ' (0)2 - e 2

er2 + 2 j er2(1-t V t )dt 02 - e r 2

Затем, подставив полученные выражения y(0) и y ’(0) в формулы (2)-(3)-(4), получим формулы функции гибкой структуры (2**), (3**), (4**) для рассматриваемой краевой задачи:

61


Z2 X l л Xy (x) = y (0) + y (0)--------- + — J[V 2(x-t) - 1 ] v (t)dt

er rf2 '2 0 2 - er

22 - er

J er2(1-t )1u(t )dt +er2x -1

r2 (2 - er2)1 + J er2(1-t )1u(t )dt +

I x+ - J [ > (x-t) - 1] /u(t)dt,

'2 0X Г2 X 1

y '( x) = y '(0)er2X + r2 J e r2( x-t )M(t )dt = - ^ 7 - 1 + J er2(l-t )M(t )dtJ 2 - e 2 J

+

+ J er2( x-t ) ( t )dt,0

xy" (x) = y " (0)r2er2X + r2 J er2( x-t ) ( t )dt + ju( x) = ju( x) +

01 x

1 + J er2(1-t )ju(t )dt + r2 J er2( x-t )ju(t )dt.2 - er

Подставим полученные выражения функции гибкой структуры и ее производных данной краевой задачи в исходное уравнение:

r x r e 2 x M x) + r ^ + -r ^ - 2 - er2 2 - er2

J er2(1-t )1u (t )dt + r2 J er2( x-t )1u (t )dt +2 e r2 X

2 - e r+

+ -2e X

2 - erJ er2 (1-t )M(t )dt + 2 J er2 ( x-t M(t )dt

2(2 - er2)

2(2 - e r2) 0

xJ e M (t)dt - J

J er2(1-t )M(t )dt

1 Г r2(- -t)- I e2

e ^ e +

2 - er2 2 - erJ er2 (1-t )M(t )dt +

x<2~ 2 2e

x'2222 1e

62


+J er2(q-t V t )dt 0

} erqВычислив интеграл J —--- — dq =

dq = — - x . 2

r2- \ e rx - 1)2 - er

изменив порядок

интегрирования в двойных интегралах:Х ^ 1

J -т -Т К d ^ J e r2(1-t ) ^ ( t ) d t2 - e ' 20 0

W1 x

- J e r2(1- t ]q(t )dt J - -e ^ dq 0 e

r2- 1 ( e r2x - 1 )

0 2 - er2 ■ 2 - er2 0J er2(1-t t )dt,

x Ц

J dqJ er2(q-t }q (t )dt = J e~r2‘q (t )dt J er2qdq = r2-1 J|^1 - e-2t) j /u(t )dt,0 0 0 0 0

и перенеся известные выражения в правую часть равенства, придем к разрешающему интегральному уравнению:

x

/и( x) + (/'2 + 2)e— ê----- 1J er2(1-t V t )dt + (2 + r2 )J er2( x-}q (t )dt -2 - e 2 0 0

-1 r>x2 r2 (x --J e 2 Jq(t)dt - rr2-1(er2x-1)

2 - er2Jer2(1 t)q(t)dt - r2 1 J | V e r2t) J ju(t)dt = B(x).

Теперь за счет выбора параметра r2 минимизируем свободную функцию:

В ( x ) =er2 - 1 - r 2er2x - 2 re r2x + r e ^ + er2x -1

r2( 2 - e r2)

минимум которой достигается при r2 = 0 , так как:

lim В( x) = lim — limr2 0 r2 0 2 - er2 r2 0

1 ,. er2 - 1 - r erix - 2r2er2x + r2e 2 + er2x - 1

q

x

r2

63


er2 - 1 r 2ev - 2r ev + r2e 2 2 erx - i= lim ---------- lim —----------------------------- + lim ---------

r2 r2 r2

x

2

0.

Следовательно, разрешающее уравнение однородное и его решение будет fi(x) = 0, тогда решение поставленной краевой задачи найдется:

У ( х )e r2 е Г2Х - 1

--------- 1--------------2 - e r2 r 2 ( 2 - e r2 )

l i mr2 0

e r2x - 1 - r 2e r2

r 2 ( 2 - e r2 )

1 e r2X - 1= l i m — --------l i m e ------------- 1 -

r2 0 2 - e r2 r2 0 r 2

Ответ: y (x) = x - 1.Сделаем проверку, подставив

l i m e r2r2 0

x - 1 .

найденную функцию y (x) x -1в данное уравнение:

0 + 21

2

3 3 3— x ^ — x = — x 2 2 2

и в краевые условия:1 + 1 = 0

2 - 1 = 1 ’которые также выполняются.

П р и м е р 2 . Найти решение краевой задачи для уравнения второго порядка опережающего типа:

4 У " ф + У ( x ) + } У '(Л) ^Л = x \2 0

У(0) - У(1) = - 1T, У(0) - 2У(1) = °.2

Р е ш е н и е : Начальное множество состоит из одной точки

= [ 0].Для уменьшения объема выкладок воспользуемся возможным

64


вариантом решения T1 = r2 = r = 0 и выпишем функции гибкой структуры для этих значений параметров:

к™ Л1(x - x0) Л2( X - Х0) , } Л 2 (X - Оy (x) = y (x0) lim 1V* ~0' + у (X0) Iim 2У" 0 + I 2 ~ ’’ M )dt =D r2 D j D

: [У(X0)(1 - r(x - X0)) + у (X0)(x - X0)] er(X-X0) + 1 (x - 1 )er(x-tM(t)dtX0

X= [ y (0)(1 - rx) + y (0)x) ] Cr + 1 (X - 1 )er(X-tM(t)dt =

0

= y (0) + у (0)x + 1 (x - 1 )Mt)dt.0

Используя полученную форму функции гибкой структуры, выпишем выражения функций и их производных, которые потребуются для решения данной задачи:

y (x) = У(0) + y (0)X + I (X - 1 )M )d t ,0

Xy ,(x) = у (0 )+ 1 M(t)dt, у"(x) = M xX

X , X r Xу ( - ) = у (0 ) + у (0) - + I ( - - 1 M t )dt,

2 2 O 2

y'(f ) = у (0 )2 + 2 1 M(t)dt, ) = 2 мф .2 2 2 4 2

Теперь вычислим значение у (1) и, используя краевые условия, определим у(0) и у'(0) :

У(1) = У(0) + У'(0) + I (1 - 1 M t )dt,0

65


1 IЖ > + j (I - t )K(t )dt = - - ,

0 2I

-y(0) - 2 y (0) - 2 j (I - 1 K (t)dt = 0,

откуда:1 1 1

y (0) = - - - j (1 - 1 )K(t)dt, y '(0) = - - - j (I - 1 )K(t)dt.2 O 4 2 0

Подставив теперь значения y(0) и y f(0) в формулу функции гибкой структуры для данной задачи, найдем:

y (X) = y(0) + y (0)X + j (X - 1 ) K )dt =

I r I l r— j (l - 1 ) K )dt + x ------- j (l - 1 K (t )dt4 2-

+

x

j (x - 1 K (t )dtl

+j (x -0

тогда:

= - 1 + — - (X + 1) j (l - 1 K (t )dt + j (x - 1 K (t)dt,2 0 02 4 2

y '(x) = - - 2 j (1 - 1 K (t)d t + j K )dt,

y (—) = - 1 + —- (—+ r) j (1 - 1 M t )dt+ j (— - 1 K (t )dt,' 2 8 4 ' i, 2

,,x. 1 1 r , 21 „,x, 1 ,x.y (2 ) = ^ - - j (1 - 1 K (t)dt+ j 2 K tЖ y (2 ) = - (2 ) .

,xNПолученную функцию У ^ )и ее производные y '(x) и y "(^)

подставим в исходное уравнение:

K x ) - (x +1) j (1 - 1 K (t )dt + j (x - 1 )K(t )dt ++ j ( x - j0

66


1120 ^ 0

+1 — I (1 - 1 )u(t)dt + j u ( t )dt dц — X2 - — + — + J —dц,4 2 { 4

i ix x e e Xe 1ju(—) - ( — + 1)1 (1- t)/u(t)dt + 2j (x - t)/u(t)dt + — I (1 - t)/u(t)dt — x2 + —,J J J J 2 J 20 0 0

1

u(—) - j (1 - 1 )u(t)dt + 2 j (x - 1 )u(t)dt 2 0

x

— — + 2 '

Произведя замену переменной — — z, x — 2z , получим разре

шающее интегральное уравнение с обыкновенным аргументом:1 2 z 1

u (z ) - j (1 - 1)u (t)dt + 2 j (2z - 1)u (t)dt — 4z2 + —0 0 2

с единственным решением u (z) — 1.Подставив это значение ц(z) — 1 в выражение функции гибкой

структуры, полученное для данной краевой задачи, найдем решение первоначально поставленной задачи.

x 2Ответ: y(x) — —— 1. Нетрудно проверить, что условия краевой

задачи выполняются.

П р и м е р 3 . Найти решение краевой задачи для уравнения первого порядка нейтрального типа:

x е4 у ' Ы + 2j (х - ц) У,(ц ¥ ц — x,

\ y(x) — y ( 0 ) 2 , y ( | ) — y (0)-4-,

3 y(0) + y(1) — 1

на отрезке x е0 -2

с точностью а — 0 ,00001 .

1

67


Р е ш е н и е . В данной краевой задаче X0 = 0, X1 = 1,

и0( X) = X,X

(x) = —, C0 = 0, C1 = 0, E^ = [0]. Так как начальноеM1 мно

жество состоит из одной точки, совпадающей со значением нижнего предела интегрирования, то начальные функции на значения интеграла влиять не будут. Выпишем функцию гибкой структуры по формулам (2) пункта 1.2 и ее значение для y (X1), учитывая условия краевой задачи:

X 1y (X) = y(0)erX + J er(X-t)lu(t)dt, y (1) = y(0)er + j er(1-t)lu(t)dt.

0 0Можно было воспользоваться и формулой (4**), но применение

этой формулы, выведенной для общего случая, сильно усложнит выкладки. Поэтому повторим на примере ее вывод, подставив полученное выражение для y (X1) при X1 = 1 в краевые условия задачи, найдем:

1r (1-t),1 1

У(0) = -----у - -----у j e"(1-t V t)dt.Ч -1 - О Ч -I- О J3 + er 3 + e 0

Затем, подставив это выражение для y(0) в функцию гибкой структуры, найдем ее выражение в соответствии с условиями краевой задачи:

y (X) =e e

3+ er 3+ er

1 Xj er(1-t)iu(t)dt+ j er(X-t)iu(t)dt и

X e 2У (-) =

e 2 2 r(X-t)Jer<1-t) ju(t)dt + Je 2 /u(t)dt.

2 3+e 3+e

. , X . r e 2 r e 2У (—) = -------------------------

2 2 3+ e r 2 3+ e r

2 ,XJer(1-t) (t)d t+ r Je 2 jd(t)dt+ 1 /u(X).M— I e 2 u(t)dt+ — li(X)

2 2 20 ^0 С целью сокращения объема выкладок положим r = 0, тогда

выражения функции гибкой структуры и ее производных упростятся:

X

X

68


1 i 1 X x 1 1 2y(x) = - - - j M(t)dt + j (t)dt и y (f ) = - 4 - - 4 J (t)dt + J v(t)dt,

4 4 O 0 2 4 4 O 0

y ' ( x ) = ц ( х \ у ' ( 2 ) = 2 M ( 2 ) .

Подставив полученные выражения функции гибкой структуры и ее производных для данной краевой задачи в исходное уравнение, получим разрешающее уравнение:

M( f ) + J (x- OMt d t = x •2 Oo 2

Запишем рекуррентную формулу последовательных приближений к решению поставленной задачи:

"x _ X

J J = 2

Возьмем M0 (X) = 0 , тогда:

Mkл

J (x - t)Mk- i ( t )d t•

M-x

= f - J (x -x

M2x x

2

0 2 1 - \ /

X X 3 X3 X3 = 2

X3 X 23" 2 2 6 = 2 6

M2 ( t )=4 3t — t3. 3

Посчитаем погрешность второго приближения

шающего уравнения по формуле (40) при x G

решения разре-

0’2

A = max0< x < — 2

- I l -= - , Q 0 = m M F - Ц = - , Q- = 0 :

4 0 < x <4 20 < x <—2

-N = max(Qo, Q-) = ^ xo = 0, l = -, k = 2.

- ( - Y ,-.3 - - - ^ ea M < -\ - I (2)3- e 2 42 = M2 4 \ 2 J 3! 43 44 - 6

!,00752-536

i 0,00066.

23

x2

69


Найдем второе приближение к решению исходной задачи по формуле (37):

У 2 (x ) = D 1 E y ( ( x) + J а 2(х - 1 , )dts=l 0

= 1 + J (x - 1)0

f 4t3 1t -----3

dt =

:1 +Jl= 1 + J l xt -0

4xt3 2 4t4 ^-------- 1 + —

3 3x3 x5 x3 4 x5 x3 x5+------:= 1 + ---- —

2 3 3 15 6 15

По формуле (41) посчитаем погрешность второго приближения к решению исходной задачи:

x xmax J D 1A г ( x - t) dt = a,, maxИг 1 J (x - t) dt0 < x <—г 0 0 < x <г 0

x - 1 1= a max J------L = _ а ~ 0,°°°°82 > 0,00001.Иг 1 Л Q Иг0<х<- г 82

Как видим, требуемая точность по условию задачи не гарантирована. Найдем третье приближение к решению разрешающего уравнения:

................................................................. £ .43

x 1 x xrx - 1) |

/■ 4 31dt =x x

Nf 4 3- I ( t - t I - J xt -— t3 - 1г +г J г J0 V 3 J г J I0V 3

x x3 x5 4 x5 x x3 x5 x г3 f x Y г5— — + — — = --■ - ' +----- = — ---• +-----•г 6 3 15 г 6 15 г 6 V г J 15

/ ч 4 3 32 5И (x ) = x — x +---- xW 3 15

и затем третье приближение к решению исходной задачи:

У3(x ) =xг

t ) ,3 (tx

t)f 4t3 32t51 dt == 1 + J (x - f)dt = 1 + J(x - t - +

0 0 V 3 15 Jx„ Гf 4xt3 32 xt5 4t4 32t61dt == 1 + J xt + - t 2 + —

J0V 3 15 3 15 Jx3 x5 32 x7 x3 4 x5 32 x7

1+x3 x5 x7

1 + ---- -----+ — — — I — — = — +г 3 15 6 3 15 15 7 6 15 630

5

70


3 5 7, . , x x xОтвет: y(x) « 1H-----------1-------.6 15 630

Гарантированную погрешность этого решения посчитаем по формулам (40) и (41):

а < FQ4(/ +1)41 - xL eQ ( ^ а ) =^ ^ ^ 4 1 5

= 1 L • 24~L~4 2 4 44•4!1П2 D-1 ,2 20 _ ,20

245760,000041,

а У3 < а,,ft max0 < x <b

D 1 1 А2 (x - 1)dt0

x

= а ,, maxМ3 1

I (x - 1 )dt0 < x < -

2 0

I |2x - t= a , mar ----- — « 0,000005 < 0,00001.

М3 2Что удовлетворяет условию задачи.

71


З а к л ю ч е н и е

В работе исследованы возможности построения модели с обыкновенным аргументом для краевых задач интегродифференциаль- ных уравнений Вольтерра с функциональными запаздываниями. Для всех уравнений запаздывающего типа с помощью новой модификации функции гибкой структуры, полученной для краевых задач, вопрос построения модели решен положительно. Для уравнений нейтрального и опережающего типов — лишь частично, а именно для уравнений, в которых на коэффициенты наложены некоторые ограничения.

Имеется довольно много работ по теории и методам решения дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Некоторые из них приведены в списке литературы, который не претендует на полный охват публикаций в данной области. Названные источники затрагивают некоторые вопросы, рассматриваемые в монографии, но мало работ, которые бы поднимали и решали проблему преобразования начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом к разрешающим уравнениям с обыкновенным аргументом.

Построенные автором функции гибкой структуры для краевых задач дают возможность получить аналитические выражения модели начальной задачи с обыкновенным аргументом и затем оптимизировать нахождение ее точного или приближенного решений за счет оптимального выбора параметров функции гибкой структуры и разработать программу решения поставленных задач на ЭВМ. Последнему и будут посвящены дальнейшие исследования и разработка программ.

72


Л и т е р а т у р а

1. Быков Я. В. К теории линейных интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра / Я. В. Быков // Труды физ.-мат. фак. Киргиз. гос. ун-та. - Фрунзе, 1953. - Вып. 2. - С. 67-83.

2. Быков Я. В. О некоторых задачах теории интегродифференциальных уравнений / Я. В. Быков. - Фрунзе, 1957. - С. 327.

3. Васильев В. В. Решение линейных обобщенных интегродифференциальных уравнений / В. В. Васильев // Прикладная математика и механика. - Москва, 1951. - Вып. 15.

4. Васильев В. В. Решение задачи Коши для одного класса линейных интегродифференциальных уравнений / В. В. Васильев // Доклады Академии наук СССР. - 1955. - Вып. 100, № 5.

5. Васильев В. В. К вопросу о решении задачи Коши для одного класса линейных интегродифференциальных уравнений / В. В. Васильев // Известия высш. учеб. завед. - 1961. - № 4. Математика. - С. 8-24.

6. Васильев В. В. Решение одного класса линейных интегродиффе- ренциальных уравнений / В. В. Васильев // Труды Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - Иркутск, 1968. - Т. 26. - С. 3-17.

7. Громова П. С. Некоторые вопросы качественной теории интегродифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / П. С. Громова // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. - Москва, 1967. - Т. 5. - С. 61-76.

8. Забрейко П. П. Интегральные уравнения. Справочная математическая библиотека / П. П. Забрейко, А. И. Кошелев, М. А. Красносельский,С. Г. Михлин, Л. С. Раковщик, В. Я. Стеценко. - Москва : Наука, Физматлит, 1968.

9. Каменский Г. А. К общей теории уравнений с отклоняющимся аргументом / Г. А. Каменский // Доклады Академии наук СССР. - 1958. - Вып. 120, № 4. - С. 697-700.

10. Канторович Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович, В. И. Крылов. - Москва : Наука, 1962.

11. Краснов М. Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию / М. Л. Краснов. - Москва : Наука, Физматлит, 1975.

12. Кривошеин Л. Е. Об одном методе решения некоторых линейных интегродифференциальных уравнений / Л. Е. Кривошеин // Известия высш. учеб. завед. - 1960. - № 3. Математика. - С. 168-172.

13. Кривошеин Л. Е. Приближенные методы решения обыкновенных интегродифференциальных уравнений / Л. Е. Кривошеин. - Фрунзе, 1962.

14. Кривошеин Л. Е. К решению одного класса интегродифференци- альных уравнений / Л. Е. Кривошеин // Исследования по интегродиффе- ренциальным уравнениям в Киргизии. - Фрунзе, 1962. - Вып. 2. - С. 211219.

73


15. Кривошеин Л. Е. К решению краевой задачи для интегродиффе- ренциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Л. Е. Кривошеин // Исследования по интегродифференциальным уравнениям в Киргизии. - Фрунзе, 1965. - Вып. 2. - С. 237-249.

16. Куликов Н. К. Инженерный метод решения и исследования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. К. Куликов. - Москва : Высшая школа, 1964. - 207 с.

17. Куликов Н. К. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой / Н. К. Куликов // Сборник Моск. технол ин-та пищев. пром-сти. - Москва, 1974. - С. 47 -57.

18. Ландо Ю. К. Краевая задача для линейных интегродифференци- альных уравнений типа Вольтерра / Ю. К. Ландо // Ученые записки Минск. гос. пед. ин-та. - Минск, 1956. - Вып. 6. - С. 257-269.

19. Ландо Ю. К. Функция Грина краевой задачи для интегродиффе- ренциальных уравнений типа Вольтерра / Ю. К. Ландо // Ученые записки Минск. гос. пед. ин-та. - Минск, 1958. - Вып. 9. - С. 65-70.

20. Ландо Ю. К. Краевая задача для линейных интегродифференци- альных уравнений типа Вольтерра в случае распадающихся краевых условий / Ю. К. Ландо // Известия высш. учеб. завед. - 1961. - № 3. Математика. - С. 56-65.

21. Ловит У. В. Линейные интегральные уравнения / У. В. Ловит. - Москва : Гос. изд-во, 1957. - 266 с.

22. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А. Д. Мышкис. - Москва : Гостехиздат, 1951.

23. Мышкис А. Д.. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / А. Д. Мышкис, Л. Э. Эльсгольц // Успехи матем. наук. - 1976. - Вып. 22, № 2. - С. 21-27.

24. Некрасов А. И. Об одном классе линейных интегродифференци- альных уравнений / А. И. Некрасов // Труды ЦАГИ. -1934. - Вып. 190.

25. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом / С. Б. Норкин. - Москва : Наука, 1965.

26. Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям / А. Д. Полянин, А. В. Манжирова. - Москва : Физматлит, 2003.

27. Тёмкин А. Г. Решение нелинейного интегродифференциального уравнения деформирования / А. Г. Тёмкин // Труды Куйбышев. гос. инду- стр. ин-та. - Куйбышев, 1957. - Вып. 67.

28. Эльсгольц Л. Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Л. Э. Эльсгольц, С. Б. Норкин. - Москва : Наука, 1971. - 296 с.

29. Яковлева Г. Ф. О построении решений одного класса интегродиф- ференциальных уравнений с запаздывающим аргументом/ Г. Ф. Яковлева

74


// Исследования по дифференциальным уравнениям в Киргизии. - Фрунзе, 1961. - Вып. 1. - С. 166-176.

30. Belman R. Differetial-difference equations / R. Belman, K. L. Cook. - New York; London : Acad. Press, 1963.

31. Buscham W. Die Zuruckfuhrung von spezielen linearen / W. Buscham // Integra-Differential gleichungen auf gewohuliche Integralgleichungen. Zeitschrift. Angew (Math. Mech), 1952. - № 32.

32. Volterra V. Lecons sur les eguations integrals et les eguations integro- differentielles / V. Volterra. - Paris, 1913.

33. Volterra V. Varigzioni e fluttuazioni del numero d’indivindin specie animali conviventi // R. Comit Tallass. - Jt Met, 1927. - № 31.

34. Volterra V. La teoria deifunzionali appiata aifenomeni ereditari / V. Volterra // Atti congr. lut. Mat. - Bolongna, 1928. - V. 1.

35. Volterra V. Theory of functionals and of integral and integro-differential equations / V. Volterra. - London-Grasqon, 1930.

36. Volterra V. Teorie of functionals and of integral and integro-differential equations / V. Volterra. - London, 1931.

37. Volterra V. The general eguations of biological strife in the case of historical actions / V. Volterra. - Proc. Edinburgh Math, 1939. - № 6. - P. 4-10.

38. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование / В. Вольтерра; пер. с фр. О. Н. Бондаренко. - Москва : Наука, Физматлит, 1976.

39. Pinney E. Ordinary difference differential equations / E. Pinney. - Los Angeles, Berkeley : Univ. Californ. Press, 1958.

40. Шишкин Г. А. Линейные интегродифференциальные уравнения Фредгольма с запаздывающим аргументом / Г. А. Шишкин. - Улан-Удэ : Изд-во Бурят. гос. ун-та, 2006. - 52 с.

41. Шишкин Г. А. Линейные интегродифференциальные уравнения Вольтерра с функциональным запаздыванием / Г. А. Шишкин. - Улан-Удэ : Изд-во Бурят. гос. ун-та, 2009. - 64 с.

42. Шишкин Г. А. Исследование и решение начальных задач для линейных дифференциальных уравнений с функциональным запаздыванием / Г. А. Шишкин. - Улан-Удэ : Изд-во Бурят. гос. ун-та, 2011. - 67 с.

43. Шишкин Г. А. Исследование и решение задачи Коши для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием / Г. А. Шишкин // Дифференциальные уравнения. - 2011. - Т. 47, № 10. - С. 1508-1512.

44. Shishkin G. A. Analysis and Solution of the Cauchy Problemfor Linear Volterra Integro-Differential Equations with Functional Delay / G. A. Shishkin // Differential Equations. - 2011. - Vol. 47, No. 10; Original Russian Text Shishkin G. A. Differentsial’nye Uravneniya / G. A. Shishkin. - 2011. - Vol. 47, No. 10. - P. 1508-1512.

75


45. Шишкин Г. А. Функция гибкой структуры и её модификация при решении краевых задач для уравнений с функциональным запаздыванием / Г. А. Шишкин // Вестник Бурятского государственного университета. - 2013. - Вып. 9. - С. 144-147.

46. Shishkin G. A. Modeling of boundary value problems of differential equations with functional delay / G. A. Shishkin // Abstracts: The Fourth International Conference on Optimization, Simulation and Control. - Ulaanbaatar, 2013. - P. 90.

47. Шишкин Г. А. Краевые задачи дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Г. А. Шишкин. - Улан-Удэ : Изд-во Бурят. гос. ун-та, 2013. - 72 с.

48. Шишкин Г. А. Краевые задачи для интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием // Вестник Бурятского государственного университета. - 2013. - Вып. 1. - С. 41-45.

49. Шишкин Г. А. Дифференциальные уравнения с функциональными запаздываниями. Линейные начальные задачи: монография / Г. А. Шишкин. - Саарбрюкен: Lap Lambert Aсademic Publishing, 2014. - 50 с.

50. Шишкин Г. А. Об одной краевой задаче интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием / Г. А. Шишкин // Вестник Бурятского государственного университета. - 2014. - Вып. 1. - С. 46-49.

51. Шишкин Г. А. Краевые задачи интегродифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа / Г. А. Шишкин // Вестник Бурятского государственного университета. - 2014. - Вып. 9(2). - С. 8588.

52. Шишкин Г. А. Построение новой модификации функции гибкой структуры для решения краевых задач дифференциальных уравнений с функциональными запаздываниями / Г. А. Шишкин // Математика, ее приложения и математическое образование: материалы международной конференции. - Улан-Удэ, 2014.

53. Шишкин Г. А Моделирование одной краевой задачи дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Г. А. Шишкин // Геометрия многообразий и ее приложения: материалы 3-й научной конференции с международным участием. - Улан-Удэ : Изд-во Бурят. гос. ун-та, 2014. - С. 110-115.

76


ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение............................................................................................ 3

Глава 1. Линейные интегродифференциальные уравнения Вольтерра с запаздывающим аргументом

1.1. Классификация линейных интегродифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом..................................... 6

1.2. Функции гибкой структуры и их применение к решению различных задач..................................................................... 7

1.3. Применение функций гибкой структуры к преобразованию краевых задач............................................................. 9

1.4. Интегродифференциальные уравнения Вольтеразапаздывающего типа................................................................... 16

1.5. Уравнения нейтрального типа...................................................... 221.6. Уравнения опережающего типа.................................................... 31

Глава 2. Решение разрешающих интегральных уравнений

2.1. Таблицы-схемы результатов преобразований краевых задач........ 372.2. Существование и единственность решений разрешающих

уравнений.................................................................................... 402.3. Исследование возможностей решения краевых задач

в замкнутом виде........................................................................ 432.4. Приближенное решение разрешающих интегральных

уравнений..................................................................................... 452.5. Уравнения первого порядка.......................................................... 502.6. Уравнения второго порядка.......................................................... 532.7. Уравнения порядка n (n > 3 )..................................................... 592.8. Примеры решения краевых задач интегродифференциальных

уравнений с функциональным запаздыванием............................. 60

Заключение....................................................................................... 72Литература........................................................................................ 73


Научное издание

Геннадий Александрович Шишкин

ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

Монография

Дизайн обложки В. В. Болотов Редактор А. Д. Танхаева

Компьютерная верстка Н. Ц. Тахинаевой

Свидетельство о государственной аккредитации № 1289 от 23 декабря 2011 г.

Подписано в печать 26.02.15. Формат 60х84 1/16. Усл. печ. л. 4,53. Уч.-изд. л. 3,48. Тираж 500. Заказ 24.

Цена договорная.

Издательство Бурятского госуниверситета 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а

riobsu@gmail. com

Отпечатано в типографии Издательства БГУ 670000, г. Улан-Удэ, ул. Сухэ-Батора, 3а



Шишкин Геннадий Александрович (1937 г. р.)

Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика» Бурятского государственного университета, заслуженный работник образования Республики Бурятия, отличник народного просвещения РСФСР. В 1960 г. окончил

Бурятский государственный педагогический институт, в 1972 г. защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата наук в Иркутском государственном университете. Сфера научных интересов - дифференциальные, интегральные и интегро- дифференциальные уравнения с обыкновенным и отклоняющимся аргументом. Автор более 120 печатных работ, в том числе 7 монографий, 10 учебных пособий, 5 учебно-методических пособий, 16 статей по методике преподавания математических дисциплин и более 82 статей непосредственно в области научных исследований.

ISBN 978-5-9793-0724-4

78597 9'3072449

Улан-Удэ2015


Career

линейные краевые задачи интегродифференциальных уравнений вольтерра с функциональными запаздываниями