Unidad iii

UNIDAD IIIMODELO DE REDES Y ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS

MODELO DE REDES

EJERCICIO 1

Almacenes MB distribuye sus artículos en 5 ciudades, por lo regular dispone de 10 artículos insitu. Estos artículos deben ser enviados a 2 locales de construcción designados con el número 3 y 4.

En el local 3 se necesitan 3 artículos y 7 en el otro local.

Elabore:

El diagrama de Red El diagrama de capacidades y costos agregados La formulación de programación lineal (PL) de este problema. La matriz de incidencia (nodo-arco) La tabla de transporte

Desarrollo:

Minimizar:

Z=C12 X12+C23 X23+C24 X24+C25X 25+C34 X34+C43X 43+C53X 53

X12=10-X12+X23+X 24+X25=0−X 23+X 34−X 43−X53=−3−X 24−X34+X 43−X54=−7−X 25+X 53+X54=0

|

-7

-3

3

4

5

21

+10

U54

U43U34C34

C53

U53

U25

U24

U23

U12-7

-3

3

4

5

21

+10C23

C24

C25

C12

C43

C54


Matriz de incidencia

NODO (1,2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (4,3) (5,3) (5,4) VALOR1 1 0 0 0 0 0 0 0 102 -1 1 1 1 0 0 0 0 03 0 -1 0 0 1 -1 -1 0 -34 0 0 -1 0 -1 1 0 -1 -75 0 0 0 -1 0 0 1 1 0

Sumas 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ARCOS

Tabla de Transporte

3 4 OFERTA

ORIGEN

1 P13 P14 10

DEMANDA 3 7

DESTINO

Z=3 P13+7 P14

EJEMPLO 2

|

IG R

C

Q

L

A

CGR

CRACAL CLA

CAI

CLR

CRL

CQLCQL

CCI

CCQCQC

CRCCCR

XGR

XRA XAL XLA

XAI

XCI

XQLXLQ

XLR

XRL

XRCXRC

XQC XCQ

50 -8

-9

-3-12

-18


NODO1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

VALOR

G 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 50R -1 1 -1 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -8A 0 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 1 0 -9L 0 0 1 -1 0 0 -1 1 1 -1 0 0 0 0 -3Q 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 1 -1 0 0 0C 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 1 -18I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -12

G PGR PGA PGL PGC PGI 50

18

R A L I

DEMANDA 8 9 3 12

CORIGEN

DESTINOSOFERTA

Z=8 PGR+9PGA+3 PGL+18 PGC+12PGI

EL PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA

Se refiere a una red en la que cada arco (i,j) tiene asociado un número Cij que se interpreta como la distancia (Costo, Tiempo) que hay entre los NODOS i,j. El objetivo consiste en encontrar las rutas más cortas (económicas, rápidas) entre un nodo específico

y todos los demás nodos de la red.

ALGORITMO

PASO 1

Considere todos los nodos que estén directamente conectados con el origen, el componente de distancia de la etiqueta que se pone a cada nodo es la distancia desde el origen, el componente predecesor es el origen. Estas etiquetas se llaman temporales.

PASO 2

De entre todos los nodos con etiqueta temporal escoja uno cuyo componente de distancia sea mínima y etiquételo permanentemente.Todos los empates en cualquier punto del algoritmo se rompen arbitrariamente. Tan pronto como todos los nodos han sido etiquetados en forma permanente vaya al paso 4.

PASO 3

|


Todo nodo que no tenga etiqueta permanente no tiene etiqueta o su etiqueta es temporal. Considérese todas las etiquetas de los vecinos del nodo, para cada uno de estos nodos calcular la suma de su distancia más la componente de la distancia de la etiqueta. Si el nodo no está etiquetado asigne una etiqueta temporal que consta de esta distancia y la del predecesor.Si el nodo en cuestión ya tiene etiqueta temporal, cambie si y solo si la distancia recién calculada es menor que la distancia de la etiqueta actual y regrese al paso dos.

PASO 4Las etiquetas permanentes indican la distancia más corta desde el origen a cada nodo de la red también indican el nodo predecesor en la ruta más corta hacia cada nodo.

EJERCICIO 1

Una persona hace frecuentes repartos de cerveza a 7 sectores diferentes de Riobamba. Después de haber obtenido la información necesaria se establece el siguiente esquema a cada arco se asocia la distancia que hay entre los nodos conectados se piensa minimizar la totalidad de sus costos asegurando que cualquier reparto futuro se haga a través de la ruta más corta.

Se debe resolver en (n-1) pasos. (8-1)=7 pasos

|

7

4 6

5

3

2

1

T

1

3

3

2

3

1

1

1

2

7

8

4

61


NODO RUTA MÁS CORTA DESDE T DISTANCIA1 T-1 42 T-1-3-2 63 T-1-3 54 T-1-3-4 65 T-1-3-2-5 86 T-1-3-4-6 97 T-7 8

EJERCICIO 2

Una persona reparte harina en 5 lugares después de haber obtenido la información necesaria se establece el siguiente esquema. A cada arco se asocia la distancia que hay entre los nodos conectados. Se pide minimizar la totalidad de los costos asegurando que cualquier reparto seguro se haga a través de la ruta más corta.

|

7

4 6

5

3

2

1

T

1

3

3

2

3

1

1

1

2

7

8

4

61

(0,T)

(4,T)

(5,1)

(6,3)

(6,3)

(8,2)

(9,4)

(8,4)


NODO RUTA MÁS CORTA DESDE H

DISTANCIA

A H-A 1B H-A-B 6C H-A-C 5D H-A-D 4E H-A-D-E 7

|

H

E

D

C

B

A

11

3

6

7

5

23

4

510

1

H

E

D

C

B

A

11

3

6

7

5

23

4

510

1

(0,H) (1,H) (5,A)

(4,A)

(6,A)

(7,D)


EJERCICIO 3

NODO RUTA MÁS CORTA DESDE Y DISTANCIAA Y-A 1B Y-A-B 6C Y-A-C 5D Y-A-D 4E Y-A-E 3

PROBLEMA DEL ÁRBOL EXÁNDIDO MÍNIMO (ENLACES DE COMUNICACIÓN)

La tarea consiste en construir un árbol que conecte todos los NODOS de la red con un costo total mínimo. Esto se conoce como árbol expandido mínimo o árbol de expansión mínima como sabemos un árbol es el conjunto n-1 arcos (pasos) en una red de nodos en una red con n nodos que conecte todo par de nodos.

ALGORITMO GLOTÓN

Este algoritmo resuelve el problema en un extremo simple, existen 2 formas que son:

El Método Gráfico El Método Tabular

Método Gráfico

|

Y

C

D

E

B

A

(0,y)(1,y)

(3,A)

(4,A)

(5,A)

(6,B)

1

2

3

7

4

5

6

8


1. Comience en cualquier nodo, escoja el arco más barato que parta de cada nodo, este es su primer enlace y se conoce como segmento de conexión entre dos nodos, los demás nodos se llaman nodos desconectados.

2. Considere todos los arcos que parten del segmento de conexión a los nodos a los nodos desconectados. Seleccione el más económico como siguiente enlace. Rompa arbitrariamente los empates, esto agrega un nuevo nodo al segmento de conexión Repita este paso hasta que todos los nodos estén conectados, es decir, requiere de n-1 pasos.

Método Tabular

1. Empiece arbitrariamente con cualquier nodo, se designa este nodo como conectado y coloque un visto a lado de la fila correspondiente a este nodo y tache el índice de la columna que corresponde a este.

2. Considere todas las filas que tenga el visto, busque el valor mínimo en las columnas cuyo índice no han sido tachados y encierre ese valor en un círculo. Si existe empates rompa arbitrariamente, la columna que tenga ese elemento encerrados en un círculo designe al nuevo nodo conectado. Se tacha el índice de la columna y coloque una marca en el renglón correspondiente a este nodo. Repita este paso hasta cuando todos los nodos estén conectados.

3. Una vez que todos los nodos hayan sido conectados identifique el árbol de expansión mínima mediante los elementos encerrados en el círculo.

Se llama algoritmo glotón debido a que en cada paso se hace la mejor elección posible. Este es uno de los pocos problemas de la ciencia administrativa donde se garantiza que el algoritmo glotón nos dará la solución óptima.

EJERCICIO:

Se desea instalar una red de comunicación entre 12 ciudades, los costos entre pares permisibles directos aparecen en el siguiente diagrama, cada unidad de costo representa $1000.00. Recuerde la red identifica enlaces directos posibles.

|

1 22

6

12117

109

5 7 85

33

44

46 6

4 5 2

55

3 1

1

9

3

7

7

2

1

2


Para este ejemplo se ha empezado en el NODO 1:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 4 12 4 6 33 6 6 74 6 15 1 4 96 3 4 5 77 7 5 2 28 1 2 29 9 5

10 7 5 311 2 3 112 2 1

|

1

1211109

5 6 7 8

2 3 44 6 6

1

9

5

4

3

25

7 1

2

3

7

1

2


FLUJO MÁXIMO

Aquí encontramos un solo nodo fuente (un solo nodo de entrada) y un solo nodo destino (un solo nodo de salida) el objetivo consiste en encontrar la máxima cantidad de flujo total (petróleo, agua, mensajes, tránsito) que puede circular a través de la red en una unidad de tiempo.

La cantidad de flujo por unidad de tiempo en cada arco está limitado por las restricciones de capacidad por ejemplo el diámetro del oleoducto del petróleo, el púnico requerimiento es que para cada nodo se cumpla la siguiente relación:

Flujo que sale del nodo=flujo que entra al nodo.

En términos formales siendo 1 la fuente y m el destino debe cumplirse lo siguiente:

MAX f

∑ X ij−X ij=−f ; i=n0 en otros casos

i≠n0≤ X ij≤U ij ; i− j destino

Origen

|

1

1211109

5 6 7 8

2 3 46

1

5

4

3

25

1

3 1

2


FLUJO FACTIBLE

1. No se excede la capacidad de ningún arco del camino.2. El flujo en cada nodo debe satisfacer la condición de conservación.3. La cantidad máxima se puede fluir de la fuente al destino a lo largo de un camino

es = o < de las capacidades de los arcos de dicho camino.

EJEMPLO 1

|

1

5131

412

61

6 0

0

20

4R

63

02 0

2

0

6

0

0

10

1

5131

412

61

60

0

20

4R

63

02 0

2

0

6

0

0

10

2+4+2 2+4+2

4

2 0 2 0

2

0

42 4

4

2

2

1

0 0

6

6

4

2 0


|

1

53

42

6

6

4R

42

22

6

8 8

Career

Unidad iii