Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la Educacion

Instituto Politecnico Santiago Mariño Barcelona-Edo Anzoategui

Funciones de Varias Variables

Profesor:Pedro Beltran

Alumno: Jose David Coello

El deseo de abordar problemas del mundo real, nos conduce a tomar en cuenta que,

en general, cualquier situación o fenómeno requiere de más de una variable para su

precisa descripción. Por ejemplo, el volumen de un cilindro depende del radio de la

base y de su altura; la posición de un móvil en un momento determinado requiere

para su exacta especiación, además del tiempo, de las tres coordenadas espaciales.

Si adicionalmente se requiere la velocidad a la cual se desplaza, tendremos una

función vectorial f que a cada vector de cuatro componentes (ubicación espacial y

tiempo) le asigna la velocidad.

Funciones de varias variables

V del móvil en ese punto y en ese instante:

f(x; y; z; t) = v

Observamos entonces que de acuerdo con la situación especifica

que queramos describir, requerimos el tipo de función adecuada.

Según si el dominio D y el rango R son subconjuntos de R; R2 o

R3 las funciones se clasifican de la siguiente forma:

Función Nombre

En cada caso, donde aparece R3 lo podemos sustituir por R2 y el nombre se

conserva.

Las denominaciones escalar o vectorial se refieren a si la imagen de la

función es un

numero o es un vector.

Ejemplo: la función g esta definida por

g (x, y, z) = x2+y2-z

entonces el paraboloide circular z= x2+y2, mostrado en la figura, es la

superficie de nivel de g en 0. La superficie de nivel de g en el numero k tiene

la ecuación z + k = x2 + y2 , un paraboloide circular cuyo vértice es el punto

(0,0 –k) sobre el eje z. en al figura muestra las superficies de nivel para k

igual a -4,-2, 0, 2 y 4

Definición 1

(Función de varias variables) Sea D un subconjunto de Rn . Si a cada

(x1, . . . , xn) D le corresponde un único número real ∈

f (x1, . . . , xn)

se dice que f es una función de las variables x1, . . . , xn.

Ejemplo 2

Las funciones definidas anteriormente

A (b, h) = b · h I (x1, x2) = p1 · x1 + p2 · x2 f (x, y)

= C · x a · y 1−a

son funciones de dos variables

Definición 3

(Dominio y recorrido) El conjunto D de la definición anterior se llama

dominio de f, y el conjunto de valores f (x1, . . . , xn) correspondiente a

dicho dominio se llama recorrido de f.

Ejemplo 4

f (x, y) = x 2 + y 2 La función f está definida para todo (x, y) R2 y por ∈

tanto el dominio de f es D = R2 . Como f puede alcanzar cualquier valor

no negativo, el recorrido es R = {z R : z ≥ 0}. f (x, y) = log xy Para que ∈

la función f esté definida es necesario que xy > 0 entonces x > 0 y > 0 o

bien x < 0 y < 0 así el dominio de f será el siguiente conjunto

Observación 5

Si f y g son funciones de n variables, es decir,

f : R n → R y g : R n → R entonces las siguiente operaciones nos

dan lugar a nuevas funciones de n variables:

Suma y diferencia: (f ± g) (x1, . . . , xn) = f (x1, . . . , xn) ± g (x1, . . . ,

xn)

Producto: (fg) (x1, . . . , xn) = f (x1, . . . , xn) g (x1, . . . , xn)

Cociente: Si g (x1, . . . , xn) = 0 entonces f g (x1, . . . , xn) = f

(x1, . . . , xn) g (x1, . . . , xn)

Método para hallar el dominio

Para hallar el dominio despejamos (y) y analizamos

el comportamiento de (x). Al hacer este despeje podemos considerar

tres casos:

1.La (x) hace parte del denominador de una fracción.

Dé un ejemplo.

R: Sea la relación R = {(x, y) / 2xy - 3y - 5 = 0} definida en los Reales.

2. Despejar(y)

¿Qué valores debe tomar (x) (en el denominador) para que

sea diferente de cero?

R/:

Cómo se halla el dominio de una relación, cuando la (x) queda en el

denominador al despejar (y).R: Si al despejar (y) en una expresión (en una

relación), encontramos que la (x) hace parte del denominador de una

fracción, entonces para determinar el dominio de dicha relación hay que

hacer que el denominador sea diferente de cero y se despeja la (x).

Método para hallar el Rango

Sea la relación R = {(x, y) / 3x2 + 4y2 = 12}, para ésta hallar el dominio y

rango.Con sólo observar la ecuación diga ¿qué clase de relación real

representa? ¿Por qué?

R: Representa una elipse. Porque los coeficientes de x2 y de y2 son positivos y

diferentes.

Hallar el dominio.

Vemos que la (x) hace parte de un radical par

Solucionamos una desigualdad cuadrática

Bibliografia

• http://www.monografias.com/trabajos78/funciones-dominio-rango-curva-nivel/funciones-dominio-rango-curva-nivel2.shtml

• https://www.uam.es/personal_pdi/economicas/abautist/Asignaturas/Otros/notasam.pdf