Homología Persistente - IX Jornadas Matemáticas - UMSS

HomologíaPersistente

RolandoEspinoza

Introducción

ComplejosSimpliciales

HomologíaSimplicial


Experimentación

Conclusiones

Homología Persistente

Rolando Espinoza La [email protected]

IX Jornadas MatemáticasCarrera de Ingeniería Matemática

FCyT – UMSS

28 de Noviembre 2014

1 / 68

mailto:[email protected]


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Introducción

Problema: Dado un conjunto finito A ⊂ Rd, llamado nube depuntos, muestra de un espacio topológico X ⊂ Rd,queremos estudiar las características topológicas de X soloutilizando la información de A.

X A

Figura 1: Ejemplo de un espacio X y una muestra A de X.

2 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Introducción

Estrategia: Representamos A como un complejo simplicialfiltrado, calculamos su homología persistente y estudiamosel código de barras asociado, que son la vida de los gruposde homología (y números de Betti) asociados a cadacomplejo simplicial en la filtración.

H0

H1

β0=9,β1=0 β0=1,β1=1 β0=1,β1=1 β0=1,β1=1 β0=1,β1=0

t0 t1 t2 t3 t4 t5

A1 A2 A3 A4 A5

⊂ ⊂ ⊂ ⊂

Figura 2: Una filtración de A y su respectivo código de barras.

3 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Primera ParteComplejos Simpliciales y Homología Simplicial

Complejos Simpliciales

4 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

SimplicialesSimplex

DefiniciónUn simplex (o simpliciales) de dimensión k o k-simplex σ esla cápsula convexa de una colección de k + 1 puntosafínmente independientes.

0-simplicial 1-simplicial 2-simplicial 3-simplicial

Figura 3: k-simpliciales básicos.

5 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

SimplicialesSimplex

Proposición(i) Todo k-simplex σ = 〈x0, . . . , xk〉 es la unión de los

segmentos que unen x0 con los puntos del simplexτ = 〈x1, . . . , xk〉.

(ii) Dado un simplex σ, existe uno y sólo un conjuntoafínmente independiente de puntos que lo generan. Esdecir, los vértices de un simplex quedan unívocamentedeterminados por el simplex.

6 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

SimplicialesSimplex – Caras

DefiniciónSea σ = 〈x0, . . . , xk〉. Todo simplex generado por unsubconjunto no vacío de {x0, . . . , xk } se dice que es unacara (o faceta) de σ. Las caras de σ distintas de σ se llamancaras propias. Las caras inmediatas de σ son las carasgeneradas por k − 1 vértices de σ.

7 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

SimplicialesSimplex – Caras

Figura 4: Caras inmediatas de un 3-simplex.

8 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Complejo Simplicial

DefiniciónUn complejo simplicial (geométrico) K, es un conjunto finitode simpliciales que cumplen:(i) Si σ ∈ K y τ es una cara de σ, entonces τ ∈ K.(ii) Si σ, τ ∈ K y σ ∩ τ 6= ∅, entonces σ ∩ τ es una cara de

σ y τ .

9 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Complejo Simplicial

(a) (b)

Figura 5: Ejemplo de un complejo simplicial (a) y un no complejo(b)

10 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Complejo Simplicial

TeoremaSea K un conjunto de simpliciales. Entonces K es uncomplejo simplicial si y sólo si:(i) Si σ ∈ K y τ es una cara de σ, entonces τ ∈ K.(ii) Para todo par σ, τ ∈ K, si σ 6= τ , entonces ◦σ ∩ ◦τ = ∅.

11 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Complejo Simplicial Abstracto

DefiniciónUn complejo simplicial abstracto K es un par (VK , SK)donde

VK es un conjunto finito de elementos llamados vérticesy,SK es una colección de subconjuntos finitos no vacíosde VK llamados símplices,

y satisfacen(i) cada elemento de VK pertenece a algún elemento de

SK y,(ii) si σ es un elemento en SK , entonces todo subconjunto

no vacío de σ también es un elemento de SK .

12 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Complejo Simplicial Abstracto

EjemploUn tetraedro sin el interior:

VK = { a, b, c, d }SK = {{ a } , { b } , { c } , { d } ,

{ a, b } , { a, c } , { a, d } , { b, c } , { b, d } , { c, d } ,{ a, b, c } , { a, b, d } , { a, c, d } , { b, c, d }}

13 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Realización Geométrica

Si K es un complejo simplicial geométrico en Rm, estedetermina un complejo simplicial abstracto tomando losvértices de K como conjunto de vértices del complejoabstracto.

Recíprocamente, si K es un complejo simplicial abstracto,este determina un complejo simplicial geométrico de lasiguiente manera:

Si n es la dimensión de K, elegimos un conjunto depuntos (uno por cada vértice deK en posición generalen Rm, con m ≥ 2n+ 1, y definimos por cada simplexabstracto de K el simplex geométrico que se obtienetomando la cápsula convexa de los puntos correspon-dientes al simplex.

14 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones


a a a a

b b b

c c

d

{a} {a, b} {a, b, c} {a, b, c, d}

Figura 6: Correspondencia entre simpliciales geométricos yabstractos.

15 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones


TeoremaUn complejo simplicial (abstracto) K de dimensión n tieneuna realización geométrica R2n+1.

16 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Lema del Nervio

DefiniciónSea F una colección finita de conjuntos. El nervio consisteen todas las subcolecciones cuya intersección de conjuntosno es vacía,

NrvF ={G ⊂ F :

⋂G 6= ∅

}.

17 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Lema del Nervio

ProposiciónEl nervio de F es un complejo simplicial abstracto.

U

V

Nervio

U

U∩VNervio

UU

V

NervioU

V

W

U∩V

U

V

WU∩W

V∩W

Figura 7: Construcciones de nervio del espacio S1.

18 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Lema del Nervio

Teorema (Lema del Nervio)Sea F una colección finita de conjuntos cerrados tal quecada intersección entre sus elementos es vacía o contraíble.Entonces NrvF tiene el mismo tipo de homotopía de

⋃F .

RemarcaSupongamos que queremos representar algún espaciotopológico X de manera combinatoria. Cubrimos X poralguna colección de conjuntos F y luego construimos sunervio.

19 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Lema del Nervio

'

Figura 8: Ilustración del Lema del Nervio.

20 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Construcción de Complejos Simpliciales

Estos son algunos complejos que han sido construidos paradiferentes aplicaciones:

Complejo de C̆echComplejo de Vietoris–RipsComplejo de Delaunay*Complejo Alpha*Complejo Witness*Complejo Inducido por Grafo*

21 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Complejo de C̆ech

C̆echS(r) = {σ ⊆ S : ∩x∈σ B(x, r) 6= ∅ }

Figura 9: Complejo de C̆ech.

22 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Complejo de Vietoris–Rips

VRipsS(r) = {σ ⊆ S : B(x, r) ∩B(y, r) 6= ∅, ∀x, y ∈ σ }

Figura 10: Complejo de Vietoris–Rips.

23 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Complejo de Vietoris–Rips

Teorema (Lema de Vietoris–Rips)Sea S un conjunto finito de puntos y r ≥ 0, entonces

C̆echS(r) ⊆ VRipsS(r) ⊆ C̆echS(√

2r).

RemarcaEl Complejo de C̆ech satisface el Lema del Nervio mientrasque el Complejo de Vietoris–Rips no.

24 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Complejo de Delaunay

El Complejo de Delaunay es isomorfo al nervio del diagramade Voronoi.

DelaunayS = {σ ⊆ S : ∩x∈σ Vx 6= ∅ } .

Figura 11: Complejo de Delaunay.

25 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Complejo Alpha

AlphaS(r) = {σ ⊆ S : ∩x∈σ {B(x, r) ∩ Vx} 6= ∅ } .

Figura 12: Complejo Alpha.

26 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Complejo Alpha

RemarcaEl complejo Alpha es isomorfo al nervio de las celdas deVoronoi.El complejo Alpha es un subcomplejo del complejo deDelaunay, y en consecuencia un subcomplejo delcomplejo de C̆ech.El complejo Alpha tiene el mismo tipo de homotopía quela unión de las bolas B(x, r).El complejo Alpha es muy utilizado en aplicacionesdurante los últimos años.

27 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Complejo Witness

Complejo desarrollado por Vin de Silva y GunnarCarlsson. Tiene una construcción más elaborada,enfocada en reducir la complejidad computacional alcalcular la homología persistente.De una muestra puntual A de un espacio métrico,tomamos una submuestra L ⊆ A y construimos elcomplejo sobre L en lugar de A.Dado un k-simplex σ con vértices L y unos puntosw ∈W , decimos que w es un α-testigo (witness) de σ silos vértices de σ estan dentro todos dentro dk(w) + α dew, donde dk(w) es la distancia de w a sus k + 1-ésimosvecinos más cercanos en L. Luego se hace unaexpansión de Vietoris–Rips.

28 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Complejo Inducido por Grafo

El complejo inducido por grafo, desarrollado por Dey,Fan y Wang, también utiliza la idea del submuestreo yes más útil para capturar la topología e inclusogeometría de una variedad.La ventaja sobre el complejo Witness es que estecomplejo no es necesariamente un subcomplejo delcomplejo de Delaunay y por lo tanto contiene mássimpliciales que ayudan en la inferencia de la topología.Dado el grafo vecindad de una nube de puntos Pequipado con una métrica, podemos construir sucomplejo inducido por un grafo en una submuestraQ ⊆ P armando un simplejo de un conjunto de vérticesV ⊆ Q si un conjunto de puntos en P , cada uno siendoel más cercano a un vértice de V , forman un clique (todopar de puntos en P estan conectados por una arista).

29 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Primera ParteComplejos Simpliciales y Homología Simplicial

Homología Simplicial

30 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Complejos de cadenas

Definición (simplicial orientado)Un simplicial orientado es una ordenación de los vértices delsimplicial. Dos simpliciales tienen la misma orientación si lapermutación de sus índices tiene signo positivo.

Definición (p-cadena)Sea K un complejo simplicial y p una dimensión. Unap-cadena c es la combinación lineal de simplicialesorientados, c =

∑aiσi donde σi son p-simpliciales

orientados y ai ∈ Z son coeficientes. DenotamosCp = Cp(K) al grupo de p-cadenas en K.

31 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones


Definición (operador frontera)Definimos el operador ∂p : Cp(K)→ Cp−1(K) por

∂p[v0, . . . , vp] =

p∑i=0

(−1)i[v0, . . . , v̂i, . . . , vp]

para un simplicial orientado [v0, . . . , vp].

ProposiciónPara cualquier λ, µ ∈ Z,

∂p(λx+ µy) = λ∂p(x) + µ∂p(y).

32 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones


∂2

v0

v1

v2 v0

v1

v2

Figura 13: Frontera de un simplicial.

33 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones


Ejemplo

∂2[v0, v1, v2] = [v1, v2]− [v0, v2] + [v0, v1]

∂1[v0, v1] = v1 − v0

Ejemplo

(∂1 ◦ ∂2)[v0, v1, v2] = ∂1[v1, v2]− ∂1[v0, v2] + ∂1[v0, v1]

= (v2 − v1)− (v2 − v0) + (v1 − v0)= 0

34 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones


Definición (complejo de cadenas)El complejo de cadenas es una secuencia de grupos decadenas conectados por homomorfismos de frontera.

· · · ∂p+2−→ Cp+1∂p+1−→ Cp

∂p−→ Cp−1∂p−1−→ · · ·

Teorema (Lema fundamental de la Homología)Para cada entero p ≥ 1, la composición

∂p ◦ ∂p+1 : Cp+1 → Cp

es el homomorfismo nulo.

35 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Ciclos y Fronteras

Definición (p-ciclo)Un p-ciclo c es una p-cadena con frontera vacía, es decir,∂ c = 0. Denotamos por Zp = Zp(K) al grupo de p-ciclos.

Definición (p-frontera)Una p-frontera c es una p-cadena que es una frontera de una(p+ 1)-cadena, es decir, c = ∂ d con d ∈ Cp+1. Denotamospor Bp = Bp(K) al grupo de fronteras.

ProposiciónSe tiene que Zp = Ker ∂p y Bp = Im ∂p+1.

36 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Ciclos y Fronteras

RemarcaTodo p-frontera es tambien un p-ciclo, o equivalentemente,Bp es un subgrupo de Zp.

Figura 14: La secuencia de complejos de cadena, ciclos y gruposde frontera conectados por homomorfismos.

37 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Grupos de Homología

DefiniciónLos p-ésimo grupos de homología es el p-ésimo grupo deciclos módulo el p-ésimo grupo de fronteras,

Hp = Zp/Bp.

El p-ésimo número de Betti es el rango del grupo,

βp = rangoHp.

38 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones


EjemploEl círculo se puede representar como un complejo simplicialde dimensión 1 de vértices v0, v1, v2. Escogemos laorientación [v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], entonces

∂1(c) = ∂1(λ0[v0, v1] + λ1[v1, v2] + λ2[v2, v0])

= λ0(v1 − v0) + λ1(v2 − v1) + λ2(v0 − v2)= (λ2 − λ0)v0 + (λ0 − λ1)v1 + (λ1 − λ2)v2.

es nulo si solo si λ0 = λ1 = λ2.

39 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones


Ejemplo (cont’d)Por lo tanto

Ker ∂1 = {λ([v0, v1] + [v1, v2] + [v2, v0]) : λ ∈ Z } ≈ Z

Por otro lado, Im ∂2 = 0. Luego

H1(K) = Z1/B1 = Ker ∂1/ Im ∂2 ≈ Z.

40 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones


Ejemplo (cont’d)Dado que ∂0 = 0, entonces Ker ∂0 ≈ Z3.Además

Im ∂1 = {µ0v0 + µ1v1 + µ2v2 : µ2 = −(µ0 + µ1) y µ0, µ1 ∈ Z }

Por lo tanto Im ∂1 ≈ Z2. Luego

H0(K) = Z0/B0 = Ker ∂0/ Im ∂1 ≈ Z

41 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones


Ejemplo (cont’d)Concluimos que los grupos de homología del círculo son

H0(K) = Z,H1(K) = Z,Hp(K) = 0, p ≥ 2.

RemarcaPara complejos de dimensión mayor, el problema se reducea calcular el rango de la matriz asociada al homomorfismode frontera.

42 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Segunda ParteHomología Persistente y Experimentación

Homología Persistente

43 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Filtración

Definición (filtración)Sea K un complejo simplicial, una función f : K → Rmonótona creciente, es decir, f(σ) ≤ f(τ) si σ es una carade τ . Definimos el conjunto de nivel, K(a) = f−1(−∞, a], unsubcomplejo de K para cada a ∈ R. Sea m el número desimpliciales en K, obtenemos n+ 1 ≤ m+ 1 diferentessubcomplejos, que ordenamos como una secuenciacreciente

∅ ⊆ K0 ⊆ K1 ⊆ · · · ⊆ Kn = K.

Llamamos a esta secuencia de complejos una filtración de f .

44 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Filtración

Definición (aplicación de inclusión)Para cada i ≤ j definimos una aplicación de inclusión de elespacio subyacente Ki al espacio Kj

f i,jp : Hp(Ki)→ Hp(Kj),

para cada dimensión p.

RemarcaPor lo tanto a cada filtración le corresponde una secuenciade grupos de homología conectados por homomorfismos

0 = Hp(K0)f0,1p−→ Hp(K1)

f1,2p−→ · · · fn−1,np−→ Hp(Kn) = Hp(K),

para cada dimensión p.45 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Persistencia

Definición (Grupos de homología persistente)Los p-ésimo grupos de homología persistente son lasimágenes de los homomorfismos inducidos por la inclusión,H i,jp = Im f i,jp , para 0 ≤ i ≤ j ≤ n. Los correspondientes

p-ésimo números de Betti persistente son los rangos deestos grupos, βi,jp = rangoH i,j

p .

RemarcaNotese que H i,i

p = Hp(Ki) y H i,jp ⊆ Hp(Kj).

46 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Persistencia

Definición (nacimiento y muerte de clases)Sea γ una clase en Hp(Ki), decimos que nace en Ki siγ /∈ H i−1,i

p . Si γ nace en Ki entonces muere entrando en Kj

si se une con una clase anterior avanzando de Kj−1 a Kj , esdecir, f i,j−1p (γ) /∈ H i−1,j−1

p pero f i,jp (γ) ∈ H i−1,jp .

Figura 15: La clase γ nace en Ki y muere entrando en Kj .47 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Persistencia

Definición (persistencia)Si γ nace en Ki y muere entrando en Kj entonces llamamosa la diferencía, en el valor de la función, la persistencia,pers(γ) = aj − ai. A la diferencia de los índices j − illamamos el índice de persistencia. Si γ nace en Ki peronunca muere entonces su persistencia es infinito.

48 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Diagramas de persistencia

Definición (nacimiento y muerte de clases depersistencia)Definimos µi,jp el número de clases p-dimensionales nacidasen Ki y que mueren entrando en Kj , es decir,

µi,jp = (βi,j−1p − βi,jp )− (βi−1,j−1p − βi−1,jp ),

para todo i < j y todo p.

Definición (diagrama de persistencia)Dibujando cada punto (ai, aj) con multiplicidad µi,jp ,obtenemos el p-ésimo diagrama de persistencia de lafiltración, denotado por Dgmp(f).

49 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones


(ai, aj)

ai

aj

Figura 16: Un diagrama de persistencia con un solo par (ai, aj).

50 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones


Teorema (Lema fundamental de la HomologíaPersistente)Sea ∅ = K0 ⊆ K1 ⊆ · · · ⊆ Kn = K una filtración. Para cadapar de índices 0 ≤ k ≤ l ≤ n y cada dimensión p, el p-ésimonúmero de Betti persistente es

βk,lp = βk,np +∑i≤k

∑j>l

µi,jp .

RemarcaEl diagrama codifica toda la información de los grupos dehomología persistente.

51 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Espacio de Códigos de Barras

Definición (código de barras)Un código de barras es un conjunto finito de intervalosacotados por abajo. Para un diagrama de persistencia, losintervalos estan definidos por los pares (ai, aj).

H0

H1

β0=9,β1=0 β0=1,β1=1 β0=1,β1=1 β0=1,β1=1 β0=1,β1=0

t0 t1 t2 t3 t4 t5

A1 A2 A3 A4 A5

⊂ ⊂ ⊂ ⊂

Figura 17: Una filtración y su respectivo código de barras.

52 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Segunda ParteHomología Persistente y Experimentación

Casos de Estudio

Homología del ToroCuarteto de AnscombeFisher’s Iris Dataset

53 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Experimentación: Homología del Toro

−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40−10

−5

0 5

10

−40−30

−20−10

0 10

20 30

40

x

y

z

●●●

●

●● ●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●● ●●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●● ●

● ●

●

●

●

●

●● ●●●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

●

●

●

●

●● ●●●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●●

●

● ●

● ●

●● ●●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

● ●●

●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

● ●●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●●

●

●

●●

●●

● ●

●

● ●

● ●

● ●

● ●●

● ●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●● ●●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●●

●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

●

●

●

●

● ●

● ●●

● ●

●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●● ●●●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●● ●

● ●

●

●

●

●

●

●●

● ●

●

●● ●

● ●● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

● ●

● ●●

●

●

●● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●

●● ●●●

●

●

●●

● ●

●●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

● ●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

● ●

●

● ●

● ●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●

● ●

●●

●

●

●● ●

●

●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●● ●

●

● ●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●● ●●●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●●

●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●● ●

●

●

●

●

●

● ●

●●

●

●

●●

●

●

●

●

● ●

●●

● ●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●● ●●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●●

●●

●

●

●

●

●● ●

●●●

●●

●●●●●●●●

●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●●● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●● ●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●● ●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●● ●

● ●●

●

●

●

●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●● ●●

●

●

●

●

● ●

● ●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●●

●

●

● ●

● ●

●●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

●●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●● ●●

●

●

●

●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

●● ●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

●

●

●

●●● ●●

●

●

●

●

●●

● ●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●● ●●

● ●

● ●

● ●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●● ●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●●

●

●

●●●●

●

●●●

Figura 18: Una nube de puntos sobre la superficie del Toro.

54 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Experimentación: Homología del Toro (cont’d)

0.00 0.78 1.56 2.34 3.12 3.90

H0

Figura 19: Código de barras correspondiente al grupo dehomología H0 del Toro.

55 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones


0.00 0.78 1.56 2.34 3.12 3.90

H1


56 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones


0.00 0.78 1.56 2.34 3.12 3.90

H2


57 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones


●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●

0 1 2 3 4

01

23

4

Persistence Diagram

Interval Start

Inte

rval

End

● 012

Figura 22: Diagrama de persistencia de la nube de puntos.

58 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Experimentación: El Cuarteto de Anscombe

2

4

6

8

10

12

14

y

dataset = I dataset = II

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20x

2

4

6

8

10

12

14

y

dataset = III

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20x

dataset = IV

Figura 23: El Cuarteto de Anscombe

59 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Experimentación: El Cuarteto de Anscombe(cont’d)

0.0 2.4 4.8 7.2 9.6 12.0

Dataset I − H0

0.0 2.4 4.8 7.2 9.6 12.0

Dataset I − H1

0.0 2.4 4.8 7.2 9.6 12.0

Dataset II − H0

0.0 2.4 4.8 7.2 9.6 12.0

Dataset III − H0

0.0 2.4 4.8 7.2 9.6 12.0

Dataset IV − H0

Figura 24: Códigos de barras asociados al Cuarteto de Anscombe60 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Experimentación: El Cuarteto de Anscombe(cont’d)

●●●●●●●●●●

●

0 2 4 6 8 10 120

24

68

12

Dataset I

Interval Start

Inte

rval

End

● 01

●●●●●●●●●●

●

0 2 4 6 8 10 12

02

46

812

Dataset II

Interval Start

Inte

rval

End

● 01

●●●●●●●●

●

●

●

0 2 4 6 8 10 12

02

46

812

Dataset III

Interval Start

Inte

rval

End

● 01 ●●●●●●

●●●

●●

0 2 4 6 8 10 120

24

68

12

Dataset IV

Interval Start

Inte

rval

End

● 01

Figura 25: Diagramas de persistencia asociados al Cuarteto deAnscombe

61 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Experimentación: Fisher’s Iris dataset

Figura 26: Matriz de dispersión del dataset Iris.

62 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Experimentación: Fisher’s Iris dataset (cont’d)

0.00 0.34 0.68 1.02 1.36 1.70

H0 Barcode for Iris Data

0.00 0.34 0.68 1.02 1.36 1.70

H1 Barcode for Iris Data

Figura 27: Códigos de barras del dataset Iris.

63 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Experimentación: Fisher’s Iris dataset (cont’d)

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●

0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Persistence Diagram of Iris Data

Interval Start

Inte

rval

End

● 01

Figura 28: Diagrama de persistencia del dataset Iris.

64 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Conclusiones

Conclusiones

65 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Conclusiones

De manera general, el método se aplica de la siguientemanera:

1 obtenemos los datos a analizar;2 asociamos una estructura topológica para generar una

filtración de complejos simpliciales;3 estudiamos las propiedades topológicas mediante la

homología persistente;4 intepretamos las propiedes topológicas: ¿qué significa

tener agujeros de dimensión 2 en nuestros datos? ¿haydiferencias topológicas entre dos conjuntos datos? ¿cómo la evolucación de las propiedades topológicos enel tiempo?

66 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Conclusiones (cont’d)

No siempre se pueden sacar conclusiones directas delcódigo de barras y diagrama de persistencia cuandoaplicamos el método a un conjunto de datos reales.Es necesario complementar con otras técnicasadicionales de análisis de datos, por ejempo: análisismultivariante, reconocimiento de patrones, aprendizajeautomático, etc.

67 / 68


RolandoEspinoza

Introducción




Experimentación

Conclusiones

Gracias por su atención.

68 / 68

Data & Analytics

Homología Persistente - IX Jornadas Matemáticas - UMSS