лекция 13 демонстрация

Математические методы в финансовых и экономических расчетахУральский федеральный университет

Кафедры: «Ценообразование в строительстве и промышленности»

2011

«Экономика и управление строительством и рынком недвижимости»

им. первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 2

Тема 11. Определение основных параметров постоянных финансовых рентПлан Определение члена ренты; Определение срока ренты; Определение размера процентной

ставки; Метод секущей; Метод Ньютона-Рафсона;


Определение члена ренты Основные параметры ренты :член ренты R ─ это размер

отдельного платежа;период ренты t ─ это временной

интервал между последовательными платежами;

срок ренты n ─ это число лет, в течение которых предполагаются выплаты от их начала до конца;

процентная ставка i ─ это ставка сложных процентов, по которой производится их начисление.

Общая постановка задачи: Заданы современная стоимость потока платежей A или его наращенная сума S и все основные параметры, кроме одного, который и подлежит определению.


Определение члена рентыЗадача: Требуется найти член ренты R , если задана наращенная сумма S или современная стоимость A постоянной годовой ренты постнумерандо и все остальные основные параметры ренты (t, n, i ).Из формулы для наращенной суммы годовой постоянной ренты постнумерандо с начислением процентов в конце года:

выразим R. Получим:

(1 ) 1.niS Ri

,

.(1 ) 1n

n i

S iR Ss i


Определение члена рентыЕсли задана современная стоимость, то из формулы для современной стоимости годовой постоянной ренты постнумерандо:

получим величину члена ренты

Аналогичным путем можно получить расчетные формулы для определения величины R всех других рент.

1 (1 ) niА Ri

,

.1 (1 ) n

n i

A iR Aa i


Определение срока рентыМетод: Срок ренты определяется путем предварительного логарифмирования выражений для S или A с последующим решением полученных уравнений относительно срока n. Покажем на примере годовой постоянной ренты постнумерандо с начисление процентов в конце года:

Выразим член, содержащий n :(1 ) 1,n Si iR

(1 ) 1niS Ri


Определение срока рентыПрологарифмируем обе части:

откуда выразим n :

- формула для вычисления срока годовой постоянной ренты постнумерандо c начислением процентов в конце года.

ln(1 ) ln 1 .Sn i iR

ln 1.

ln(1 )

S iRni


Определение срока рентыПри заданном значении A аналогичным образом получим:

откуда

1 (1 )

(1 ) 1

ln(1 ) ln 1 ,

n

n

iА RiAi iR

An i iR

1

ln 1 ln 1.

ln(1 ) ln(1 )

A Ai iR Rn ni i


Определение срока рентыЧтобы срок ренты был конечным, выражение под логарифмом должно быть положительным, т.е. должно выполняться условие:

Откуда следует:

т.е. член ренты (размер годового платежа) должен быть больше, чем заданный процент от суммы долга.Если то долг не может быть погашен за конечное число лет.

1 0.A iR

1 ,A i R AiR

ln 0 n= ,R Ai


Определение размера процентной ставкиРасчет величины процентной ставки производится в случае определения доходности финансовой операции. В отличие от параметров R и n , размер процентной ставки нельзя выразить алгебраически.Существуют следующие методы определения размера процентной ставки:

Метод секущей (или иначе его называют метод линейной интерполяции);

Метод Ньютона-Рафсона.


Метод секущейСлучай 1. Дано S ,n, R, m, p, найти i. Из условия задачи найдем коэффициент наращения по формуле:

Как известно, для годовой постоянной ренты постнумерандо коэффициент наращения является функцией i вида:

Функция f1(i) является степенной при целом n, и так как n>0, то функция возрастает с возрастанием аргумента i.

, .n iSsR

, 1(1 ) 1 ( ).

n

n iis f ii


Метод секущейХарактерный график этой функции имеет вид:

Определим такие iн и iв , чтобы выполнялось условие:, , ,( ) ( ).n i н n i n i вs i s s i


Метод секущейКак видно, треугольник lm’n’ подобен треугольнику lmn. Из подобия треугольников следует соотношение:

откуда

- итерационная формула для вычисления размера процентной ставки по заданному коэффициенту наращения .

, ,

, ,

,н

n i n iнв н

в н n i n i

s si ilm m nlm mn i i s s

, ,

, ,

( ) .н

n i n iн в н в н

n i n i

s si i i i

s s


Метод секущейСлучай 2. Дано A ,n, R, m, p, найти i. Из условия задачи найдем коэффициент приведения по формуле:

Для годовой постоянной ренты постнумерандо коэффициент приведения является функцией i вида:

Функция f2(i) является степенной при целом n, и так как n>0, то функция убывает с возрастанием аргумента i.

, ,n iAaR

, 21 (1 ) ( ).

n

n iia f i

i


Метод секущей Характерный график этой функции имеет вид:

Определим такие iн и iв , чтобы выполнялось условие:, , ,( ) ( ).n i н n i n i вa i a a i


Метод секущейКак видно, треугольник lm’n’ подобен треугольнику lmn. Из подобия треугольников следует соотношение:

откуда

- итерационная формула для вычисления размера процентной ставки по заданному коэффициенту приведения .

, ,

, ,

( ) .н

n i n iн в н в н

n i n i

a ai i i i

a a

, ,

, ,

,н

n i n iнв н

в н n i n i

a ai ilm m nlm mn i i a a


Метод Ньютона-Рафсона Метод Ньютона-Рафсона позволяет определить корень нелинейной функции f(x)=0 на основе следующих выкладок:

по определению

производной

функции

Пусть xk+1 является корнем, тогда f (xk+1)=0

1( ) ( ) ( ).k k k kf x x x f x

0

1

1

1 1

( ) lim

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ).

x

k kk

k k

k k k k k

ff xx

f x f xf xx x

f x x x f x f x


Метод Ньютона-Рафсона

Откуда - итерационная формула для поиска корня f (x)=0.

1( )( )k

k kk

f xx xf x


Метод Ньютона-Рафсона Случай 1. Дано S ,n, R, m, p, найти i. Из условия задачи найдем коэффициент наращения по формуле:

Как известно, для годовой постоянной ренты постнумерандо коэффициент наращения является функцией i вида:

Приравняем правые частивыражений:

,(1 ) 1n

n iisi

, .n iSsR

(1 ) 1ni Si R


Метод Ньютона-РафсонаПеренесем в левую часть S/R и обозначим1+i=x , тогда получим:

Левая часть уравнения и есть функция f(x):

Для этой функции и следует искать корень по итерационной формуле. После определения xk+1 значение ставки будет равно ik+1=xk+1-1.

1( ) .1

nx Sf xx R

(1 ) 1 0

1 0.1

n

n

i Si R

x Sx R


Метод Ньютона-Рафсона Случай 2. Дано А ,n, R, m, p, найти i. Из условия задачи найдем коэффициент приведения по формуле:

Как известно, для годовой постоянной ренты постнумерандо коэффициент приведения является функцией i вида:

Приравняем правые частивыражений:

,1 (1 ) n

n iia

i

, .n iAaR

1 (1 ) ni Ai R


Метод Ньютона-РафсонаПеренесем в левую часть А/R и обозначим1+i=x , тогда получим:

Левая часть уравнения и есть функция f(x):

Для этой функции и следует искать корень по итерационной формуле. После определения xk+1 значение ставки будет равно ik+1=xk+1-1.

1( ) .1

nx Af xx R

1 (1 ) 0

1 0.1

n

n

i Ai Rx A

x R


Метод Ньютона-РафсонаАлгоритм поиска процентной ставки по методу Ньютона-Рафсона:

Рассчитать по заданным исходным данным коэффициент приведения или наращения;

Сконструировать нелинейную функцию f(x) для поиска корня f (x)=0 ;

По таблицам или методом пробного просчета найти значение ставки, которое дает близкое значение требуемого коэффициента, принять это значение за ik ;

Применить итерационную формулу;


Метод Ньютона-РафсонаАлгоритм поиска процентной ставки по методу Ньютона-Рафсона (продолжение):

Проверить, дает ли полученное значение ставки с требуемой нами точностью рассчитанное раннее значение коэффициента наращения (или приведения);

Если требуемая точность не достигнута, принять xk=xk+1 и снова применить итерационную формулу;

Процесс итераций продолжить до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность вычислений.


Спасибо за внимание

Design

лекция 13 демонстрация