задания для самостоятеьного изучения предмета математика

1

Министерство образования и науки ЛНР

ГОУ СПО ЛНР “Краснодонский промышленно-экономический колледж”

РАССМОТРЕНО на заседании

УТВЕРЖДАЮ

цикловой комиссии Заместитель директоракомпьютерных дисциплин по учебной работе«__»_________________г. _______________ О. Н. КарандаПротокол №_____________ «___»________________г.Председатель ЦК ______________Т. А. Матвеева

МЕТОДИЧСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ ПРЕДМЕТА

М А Т Е М А Т И К А

для студентов 1 курса специальностей«Экономика предприятия »

«Бухгалтерский учет»«Коммерческая деятельность»

Составил преподаватель:

Прилипа А.С.

Краснодон

2

Содержание

1. Пояснительная записка 3

2. Тематический план организации самостоятельной работы 4

3. Инструктаж по выполнению самостоятельной работы 7

4. Задания для самостоятельной работы 10

5. Формы и методы контроля самостоятельной работы 42

6. Литература 43

3

Пояснительная записка

Самостоятельная работа студентов – планируемая учебная и учебно-исследовательская работа обучающихся, выполняемая во внеаудиторное время по заданию, при методическом руководстве и консультативной помощи преподавателя, но без его непосредственного участия. Самостоятельная работа студентов проводится с целью:

систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических умений;

формирования умений использовать справочную литературу, интернет - ресурсы; развития познавательных способностей и активности студентов: творческой

инициативы, самостоятельности, ответственности, организованности; формирования способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и

самореализации; развития исследовательских умений; формирования общих компетенций.

Самостоятельная работа студентов по учебной дисциплине «Математика» включает в себя:

выполнение типовых контрольно-оценочных заданий; работу с библиотечным фондом (учебной литературой? периодическими

изданиями), информационными ресурсами сети «Интернет»; проработку конспектов занятий, учебной литературы ; подготовку к практическим занятиям с использованием методических рекомендаций

преподавателя.Объем времени, отведенный на самостоятельную работу, приводится в рабочем

учебном плане, рабочей программе по учебной дисциплине, календарно-тематическом планировании.

В данных методических рекомендациях обучающимся представлены домашние работы по каждому разделу учебной дисциплины «Математика» в виде выполнения типовых контрольно - оценочных заданий, теоретические вопросы для самоподготовки, усвоив которые, студент может выполнять контрольные работы. Для формирования мотивации к получению знаний, готовности обучающихся к самостоятельному труду в методических рекомендациях обозначены информационные ресурсы (список литературы, интернет-ресурсы и т.п.).

В методических рекомендациях представлены формы и методы контроля самостоятельной работы, который осуществляется в пределах времени, отведенного на обязательные учебные занятия по математике - контрольной работы по каждой теме в рамках программы учебной дисциплины.

4

Тематический план организации самостоятельной работы

Семестр 1 - 8 часов

Тема Темы (задания) для самостоятельного изученияКол.

часов на см. раб.

Формируемые

компетенции

ТЕМА 1 Развитие понятия о

числе.

Выполнение домашней работы №1 по теме: «Развитие понятия о числе» (выполнение типовых контрольно-оценочных заданий

2 123

Работа с библиотечным фондом (учебной литературой, периодическими изданиями), информационными ресурсами сети «Интернет».

1

ТЕМА 2Корни, степени и

логарифмы.

Выполнение домашней работы №2 по теме: «Корни, степени и логарифмы» (выполнение типовых контрольно-оценочных заданий)

1

123

Подготовка к практическим занятиям с использованием методических рекомендаций преподавателя.

1

Работа с библиотечным фондом (учебной литературой периодическими изданиями), информационными ресурсами сети «Интернет».

ТЕМА 3Основы

тригонометрии.

Выполнение домашней работы №3 по теме: «Основы тригонометрии» (выполнение типовых контрольно-оценочных заданий)

2 123Подготовка к практическим занятиям с

использованием методических рекомендаций преподавателя.

1

Семестр 2 – 28 часов

Тема Темы (задания) для самостоятельного изученияКол.

часов на см. раб.

Формируемые

компетенции

ТЕМА 4Функции, их

свойства и графики. Степенные,

показательные, логарифмические и тригонометрические

функции

Выполнение домашней работы №4 по теме: «Функции, их свойства и графики. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции» (выполнение типовых контрольно-оценочных заданий).

2 123


2

ТЕМА 5Начала

математического анализа

Выполнение домашней работы №5 по теме: «Начала математического анализа» (выполнение типовых контрольно-оценочных заданий)

2 123Проработка конспектов занятий, учебной

литературы (по вопросам к параграфам, главам 2

5

учебных пособий, составленным преподавателем) с целью подготовки к контрольной работе. Работа с базами данных, информационными ресурсами сети «Интернет».Подготовка выступлений, творческих заданий, рефератов.

3

ТЕМА 6Элементы

комбинаторикиЭлементы теории

вероятностей. Элементы

математической статистики.

Выполнение домашней работы №6 по теме: «Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики» (выполнение типовых контрольно-оценочных заданий)

2123

Проработка конспектов занятий, учебной литературы (по вопросам к параграфам, главам учебных пособий, составленным преподавателем) с целью подготовки к контрольной работе.

1

ТЕМА 7Прямые и плоскости

в пространстве.

Выполнение домашней работы №7по теме: «Прямые и плоскости в пространстве» (выполнение типовых контрольно-оценочных заданий)

1

123

Проработка конспектов занятий, учебной литературы (по вопросам к параграфам, главам учебных пособий, составленным преподавателем) с целью подготовки к контрольной работе.

1

Работа с библиотечным фондом (учебной литературой периодическими изданиями), информационными ресурсами сети «Интернет».

1

ТЕМА 8Многогранники.

Выполнение домашней работы №8 по теме: «Многогранники»(выполнение типовых контрольно-оценочных заданий)

1 123Работа с библиотечным фондом (учебной

литературой периодическими изданиями), информационными ресурсами сети «Интернет».

1

ТЕМА 9Тела вращения и поверхности тел

вращения.

Выполнение домашней работы №9 по теме: «Тела и поверхности вращения»(выполнение типовых контрольно-оценочных заданий)

1123

Проработка конспектов занятий, учебной литературы (по вопросам к параграфам, главам учебных пособий) с целью подготовки к контрольной работе.

2

ТЕМА 10Измерения в геометрии

Выполнение домашней работы №10 по теме: «Измерения в геометрии» (выполнение типовых контрольно-оценочных заданий)

1 123Проработка конспектов занятий, учебной с целью

подготовки к контрольной работе. 1

ТЕМА 11Уравнения и неравенства.

Выполнение домашней работы №11 по теме: «Уравнения и неравенства» (выполнение типовых контрольно-оценочных заданий)

2 23

6

Семестр 3 – 2 часа

ТЕМА 12Повторение

Выполнение домашней работы №12 по теме: «Повторение» (выполнение типовых контрольно-оценочных заданий)

2 12

Всего часов 38

7

Инструктаж по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы

Перед выполнением студентами самостоятельной работы преподаватель проводит инструктаж по выполнению задания, который включает цель задания, его содержание, сроки выполнения, ориентировочный объем работы, основные требования к результатам работы, критерии оценок.

Виды заданий самостоятельной работы:

1Выполнение домашней работы (выполнение типовых контрольно-оценочных заданий)

2Проработка конспектов занятий, учебной литературы с целью подготовки к контрольной работе.

3Подготовка к практическим занятиям с использованием методических рекомендаций преподавателя.

4Работа с библиотечным фондом (учебной литературой, периодическими изданиями), информационными ресурсами сети «Интернет».

Первый вид задания самостоятельной работы: Выполнение типовых контрольно-оценочных заданий (выполнение домашних

работ по каждой теме учебной дисциплины)Цели задания: систематизация и закрепление полученных теоретических знаний и

практических умений обучающихся по конкретной теме учебной дисциплины; развитие учебно-организационных умений - умение планировать свою

деятельность, осуществлять самоанализ; повышение культуры умственного труда, приобщение к творческим видам

деятельности, обогащение интеллектуальных способностей студентов. Содержание работы: освоение ключевых правил и законов, решение типовых

задач по данной конкретной теме учебной дисциплины, используя полученные на аудиторных занятиях теоретические знания и практические умения.

Срок выполнения: устанавливаются преподавателем в соответствии с календарно-тематическим планом учебной дисциплины.

Требования к результатам: освоение необходимого уровня учебного материала в соответствии с

требованиями к знаниям и умениям обучающихся, указанным в рабочей программе учебной дисциплины «Математика»;

умение применять теоретические знания при решении задач; оформление решения задач в соответствии с предъявляемыми требованиями:

Задание выполняется в письменной форме в установленные сроки согласно предложенному варианту. Критерии оценки результатов самостоятельной работы:При решении задач учитываются умения: правильно записать условие задачи; выбирать и правильно записывать формулу для решения задачи; пользоваться справочными таблицами; проверять наименование полученного результата и проводить необходимые

вычисления.Оценка «отлично» выставляется студенту, глубоко и прочно усвоившему

программный материал по данной теме учебной дисциплины. При этом обучающийся не

8

затрудняется с ответом при видоизменении задания, свободно справляется с задачами, вопросами, правильно обосновывает принятые решения.

Оценка «хорошо» выставляется студенту, твердо знающему программный материал по данной теме, который не допускает существенных неточностей в ответе на вопрос, правильно применяет теоретические положения при решении задач.

Оценка «удовлетворительно» выставляется студенту, который имеет знания только основного материала, но не усвоил его детали, допускает неточности, недостаточно правильные формулировки, нарушения последовательности в изложении программного материала и испытывает трудности в выполнении практических заданий.

Оценка «неудовлетворительно» выставляется студенту, который не усвоил значительной части программного материала по данной теме, допускает существенные ошибки, неуверенно, с большим затруднением решает задачи.

Второй вид задания самостоятельной работы:

Проработка конспектов занятий, учебной литературы с целью подготовки к контрольной работе.Цели задания: формирование умения осуществлять теоретическую самоподготовку к контрольной

работе; закрепление, систематизация знаний, применение полученных знаний для выполнения

контрольных заданий; формирование волевых черт характера, способности к самоорганизации.Содержание задания: теоретическая подготовка по предложенным вопросам, знакомство с тематикой контрольных работ для максимально лучшего выполнения контрольных заданий.Срок выполнения: устанавливаются преподавателем в соответствии с календарно-тематическим планом учебной дисциплины, теоретическая подготовка оценивается при выполнении контрольной работы. Объем работы: изучить теоретический материал, ответить в полном объеме на предложенные вопросы.Требования к результатам: освоение необходимого уровня учебного материала для качественного выполнения контрольной работы.Критерии оценки результатов самостоятельной работы:

умения сравнивать, анализировать, делать обобщения на основе теоретических знаний; самостоятельно оформлять результаты в соответствии с требованиями.

Третий вид задания самостоятельной работы:Подготовка к практическим занятиям с использованием методических рекомендаций преподавателя.Цели задания: формирование умения осуществлять теоретическую самоподготовку к практикуму по

решению задач; закрепление, систематизация знаний, применение полученных знаний для выполнения

практических заданий; приобретение твёрдых навыков решения задач.Содержание задания: теоретическая подготовка по предложенным вопросам, рассмотренным в текущей теме.Срок выполнения: устанавливаются преподавателем в соответствии с календарно-тематическим планом учебной дисциплины, теоретическая подготовка оценивается при выполнении заданий (тестов, проверочных работ и др.) в теме «Решение задач».

9

Объем работы: изучить теоретический материал, ответить в полном объеме на предложенные вопросы.Требования к результатам: освоение необходимого уровня учебного материала для качественного выполнения заданий текущего (тестового) контроля.Критерии оценки результатов самостоятельной работы: умения обосновывать каждый этап решения, исходя из теоретических положений

курса, сопоставлять, делать выводы на основе теоретических знаний; пользоваться различными приемами решения задач, оформлять результаты в

соответствии с требованиями.

Четвёртый вид задания внеаудиторной самостоятельной работы:

Работа с библиотечным фондом (учебной литературой, периодическими изданиями), информационными ресурсами сети «Интернет».Цели задания:

формирование у обучающихся навыков отбора и систематизации информации по заданной новой теме изучаемого раздела;

развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей в процессе приобретения знаний и умений по математике с использованием различных источников информации и современных информационных технологий;

воспитание убежденности в возможности познания математических законов; развитие познавательных способностей и активности обучающихся, творческой

инициативы, самостоятельности, организованности и ответственности. Содержание работы: самостоятельное выполнение хотя бы одного задания реконструктивного, поискового, исследовательского и творческого вида (подготовка доклада, создание презентаций и т.п.) по любой новой теме, предложенной в тематическом плане.Срок выполнения: устанавливаются преподавателем в соответствии с календарно-тематическим планом дисциплины. Объем работы: поиск и обработка информации для выполнения задания творческого характера.Требования к результатам: овладение опытом творческой, исследовательской деятельности при подготовке

работ (сообщений, докладов и т.д.); умения использовать нормативную, справочную и специальную литературу, интернет

– ресурсы; оформление материала в соответствии с предъявляемыми требованиями:

Сообщение. Объем не более трех страниц печатного текста.Выступление. Объем 3-7 страниц печатного текста.Доклад. Объем 7 -10 страниц печатного текста. При написании доклада по заданной теме следует составить план, подобрать основные источники.Критерии оценки результатов самостоятельной работы:

оформление материала в соответствии с требованиями; соответствие содержания творческой работы обозначенной теме; обоснованность и четкость изложения материала; глубина проработки материала; разнообразие использования источников;

уровень умения формулировать собственные выводы и аргументировать их.

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

10

Тема 1. Развитие понятия о числе.

Содержание1. Законы сложения и умножения действительных чисел2. Правила действий над рациональными числами3. Действия с рациональными числами

Литература Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.

Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.

Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003. Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В.

Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010. Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г.

Мерзляк, Д. А Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір: Харків «Гімназія» 2010.

Индивидуальная домашняя работа №1

Вариант №11. Найдите значение выражения

1 :( ac

−b2) при a =

23 , b = –

56 , c = 0,6.

2. Представьте обыкновенную дробь

37 в

виде десятичной периодической дроби.3. Число 0,000314 представьте в стандартном виде.4. Найдите произведение чисел a = 5,4(25) и b = 0,2468101… с точностью до десятых.5. Изобразите на числовой оси значения величины p, если известно |p – 12,4| < 0,8. Укажите погрешность вычисления величины p, найдите относительную погрешность в процентах с точностью до десятых.Ответы: 1. 2,4; 2.0,(428571); 3. 3,14 ·10-4;

4.1,4; 5.

231

;6,5 %

Вариант №3

1. Найдите значение выражения 1 : (а2–

bc

) при a =

12 , b = –

45 , c = 1,6

2. Представьте обыкновенную дробь

47 в

виде десятичной периодической дроби.3. Число 0,0000271 представьте в стандартном виде.4. Найдите произведение чисел a = 3,2(14) и b = 0,02345202…с точностью до сотых.5. Изобразите на числовой оси значения величины с, если известно |c – 3800|< 10. Укажите погрешность вычисления величины с, найдите относительную погрешность в процентах с точностью до сотых.

Ответы: 1.

43 ; 2. 0,(571428); 3. 2,71· 10 -5 ;

4. 0,07; 5.

138

; 0,26%

Вариант №2 Вариант №4

1. Вычислите

0 , 025 + 0,5 + 740

+ 1120

0 ,128 ⋅2 14

− 0 , 0345 : 325

⋅0 ,025

.

11

1. Вычислите

0 ,725 + 0,6 + 740

+ 1120

0 ,128 ⋅6 14

− 0 ,0345 : 325

⋅0 , 25

.2. Запишите числа в стандартном виде: а) 0,00018; б) 375000000.3. Найдите произведение чисел a = 2,0(352) и b = 0,012756… с точностью до 10–2.4. Изобразите на числовой оси значение величины q, если известно |q – 18,12| < 0,02. Найдите относительную погрешность вычисления величины q в процентах с точностью до десятых.5. Даны числа z1 = –2 + i, z2 = 2 – 3i.а) Вычислите модули, сумму, разность, произведение чисел z1 и z2.б) Изобразите в координатной плоскости числа: z1 + z2, z1 – z2.Ответы: 1.1; 3. 0,03; 4. 0,12%; 5. z1·z2 = -1 + 8i.

2. Запишите числа в стандартном виде: а) 0,00018; б) 375000000.3. Найдите произведение чисел a = 2,0(352) и b = 0,012756… с точностью до 10-2.4. Изобразите на числовой оси значение величины q, если известно |q – 18,12| < 0,02. Найдите относительную погрешность в процентах с точностью до десятых.5. z1 = –2 + i, z2 = 2 – 3i.а) Вычислите произведение и частное комплексных чисел z1 и z2.б) Вычислите модуль разности.в) Вычислите значение выражения z1

4−2 z22

.Ответы: 3. 0,03; 5в) 3.

ГлоссарийЧисла 1, 2, 3, 4, …… - множество натуральных чисел (N)Числа , ……. - множество целых чисел (Z)

Числа - множество рациональных чисел (Q)

Любое рациональное число можно записать в виде дроби

mn , где m Z , n N

Теорема. Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2

Законы сложения и умножения действительных чисел:

a+b=b+aa+ (b+c )= (a+b )+c

a ∙ b=b ∙ aa ∙ (b ∙ c )=(a ∙b) ∙ c

(a+b ) ∙ c=a ∙ c+b∙ c

Запомни!

Действия с рациональными числамиad

± bd

= a± bd

ab

± cd

= ad ± bcbd

a ± bc

= ac± bc

ab

=a :b a ∙ cb ∙ c

= ab

ab

∙ cd

= a ∙ cb ∙ d

Правила действий над рациональными числами:

a+b=c−a−b=−с ,

a ∙b=c−a ∙ (−b )=cа ∙ (−b )=−c

НА НУЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!а ∙0=0, а ∙1=а, а :1=а

12

a cd

= a ∙cd

ab

: cd

= ab

∙ dc

= a∙ db ∙ c

ab

: c= ab

∙ 1c

a : bc

=a∙ cb

13

Тема 2. Корни, степени и логарифмы.Содержание

1. Основные свойства арифметических корней n-ой степени.2. Логарифмом числа 3. Свойства логарифмов4. Зависимость между логарифмами чисел при разных основаниях




Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010. Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / Є. П.

Нелін: Харків «Гімназія» 2010. Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г.

Мерзляк, Д. А Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір: Харків «Гімназія» 2010


1. Найдите значения числовых выражений:

1. 3225,14

833

32

. 2. 33 92733 .

3. 375,6

271375,0

. 4. 333 100

2545,623

.

5. 3333 1084322425,0 . 6. 354528

.

7. 3

33

1225681

. 8. 244 82

234

.

9. 33333 4102252100 . 10. 4222535 .

11. 3241

3241

. 12. 6263

6263

.

13. 501218583 . 14. 333 4031352320 .

15. 21112111 . 16. 33 175175 .

17. 32123

. 18. 1313

1313

.

19. 288288 . 20. 246246 .

21. 2951229512 . 22. 37203720 .

23. 35

27174

1024243

. 24.

5

55

28855,4

16111

.

14

2. Вычислите без таблиц и вычислительных инструментов:

1. 3log4log 1212 . 2. 125lg8lg .

3. 16log64log

2

2

. 4. 8lg64lg4lg .

5. 167log7log 22

. 6. 130lg13lg .

7. 25,6log2log 55

. 8. 12log3log 66 .

9. 8lg16lg4lg . 10. 81

587log25log 33 .

11. 23log13log2 2121

. 12. 9lg81lg

.

13. 4log 45−log425

. 14. 2log16loglog3 5,042 .

15. 3

125 5log . 16. 2log72log 66 .

17. 3log4log 1212 . 18. 125lg8lg .

19. 16log64log

2

2

. 20. 8lg64lg4lg .

21. 167log7log 22

. 22. 130lg13lg .

23. 25,6log2log 55

. 24. 12log3log 66 .

Глоссарий

Корнем n-ой степени из числа а называется такое число, n-ая степень которого равна

а, т.е. (n√a )n=a .

Арифметическим корнем n-ой степени из числа а называют неотрицательное число, n-ая степень которого равна а.

Основные свойства арифметических корней n-ой степени.Для любых натуральных чисел n, m и k, больших 1, и любых неотрицательных чисел

a и b выполнены равенства:

1°. n√am=

nk√amk.

2°. n√ab=n√a⋅n√b .

3°.

n√ ab=

n√an√b

(b≠0 ).

4°. n√ k√a=nk√a .

5°. (n√a )k=n√ak

.

Для любых рациональных чисел r и s и любых положительных a и b справедливы равенства.

1°. srsr aaa .

15

2°. sr

s

r

aaa

.

3°. srsr aa .

4°. rrr baba .

5°. r

rr

ba

ba

.

Логарифмом числа N ( RN ) по основанию а ( 1 ,0 aa ) называется показатель степени х, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число N, т.е.

NaxN xa log .

Na Na log.

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов:

1°. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей:

NMMN aaa logloglog .

2°. Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя:

NMNM

aaa logloglog .

3°. Логарифм степени положительного основания равен произведению показателя степени на логарифм основания степени:

MnM an

a loglog .

4°. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, делённому на показатель корня:

Mn

M an

a log1log .

Десятичным логарифмом числа называется логарифм этого числа по основанию 10. Такой логарифм записывается следующим образом:

aa 10loglg

Натуральным логарифмом числа называется логарифм этого числа по основанию е, где е – иррациональное число, приближённо равное 2,718. Обозначение:

aa elogln

Зависимость между логарифмами чисел при разных основаниях:

1°. Формула перехода от логарифмов по основанию а к логарифмам по основанию b

aM

Mb

ba log

loglog

.

2°. Зависимость между основаниями a и b выражается формулой

16

ab b

a

loglog

1

.

3°. Имеет место соотношение

Mm

M aam log1log .

17

Тема 3. Основы тригонометрии.Содержание

1. Радианная мера угла.2. Основные тригонометрические тождества.3. Знаки, числовые значения и свойства чётности, нечётности и периодичности

тригонометрических функций.4. Формулы приведения.5. Тригонометрические функции алгебраической суммы двух аргументов (формулы

сложения).6. Тригонометрические функции удвоенного и половинного аргумента.7. . Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую

сумму.8. Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в

произведение.








Вариант №11. Выразите в радианной мере величины углов 640; 1600.2. Выразите в градусной мере величины

углов 53

,

431

.

3. Укажите знак числа: а) 754sin tg

; б)4cos3sin .

4. Дано: 54sin

, 00 270180 .

Найдите cos и ctg .


углов 1211

,

823

.

3. Укажите знак числа: а) 0

00

400sin300200cos tg

; б) 42cos tg .4. Найдите sin и tg , если известно, что

52cos

и не лежит во второй четверти.



sincoscossinsin

18

углов 65

,

612

.

3. Укажите знак числа: а) 953cos tg

; б)5cos4sin .

4. Дано: 2524cos

, 00 18090 .

Найдите sin и tg .

углов 127

,

421

.

3. Укажите знак числа: а)0

00

330220cos110sin

ctg

; б) 42sin ctg .4. Найдите cos и ctg , если известно,

что 54sin

и не лежит во первой четверти.

ГлоссарийОтношение длины дуги окружности l к длине её радиуса R называется радианной

мерой a этой дуги:

Rla

.Основные тригонометрические тождества:

1cossin 22 .0cos ,0sin ,1ctgtg .

0cos ,cos

11tg2

2

.

0sin ,sin

11ctg2

2

.

Знаки тригонометрических функций по четвертям приведены на рисунке

Наименьший положительный период для косинуса и синуса равен 2 , а для тангенса и котангенса он равен .

Формулами сложения называются формулы, выражающие тригонометрические функции углов через одноимённые функции углов и . Приведём эти формулы:

sincoscossinsin ;

sinsincoscoscos sinsincoscoscos

tgtg1tgtgtg

;

tgtg1tgtgtg

.

ctgctg

1ctg ctgctg

;

19

ctgctg

1ctg ctgctg

.Формулы для тригонометрических функций удвоенного аргумента позволяют

выразить функции аргумента 2 через функции аргумента : cossin22sin ;

2222 sin211cos2sincos2cos ;

2tg1

2tg2tg

;

ctg21ctgctg2

2

;Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

применяются формулы

sinsin21cossin

;

coscos21coscos

;

coscos21sinsin

. Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение

Для преобразования алгебраической сумм тригонометрических функций в произведение используются формулы

2cos

2sin2sinsin

;

2sin

2cos2sinsin

2cos

2cos2coscos

2sin

2sin2coscos

;

coscos

sintgtg

.

coscossintgtg

;

20

Тема 4. Функции, их свойства и графики. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

Содержание1. Степенная функция. Свойства и график в зависимости от показателя степени k.2. Показательная функция. Основные свойства.3. Логарифмическая функция.4. Основные свойства логарифмической функции.5. Тригонометрические функции.








Вариант №1 1. Найдите область определения функции

у=√16−х2

2. Найдите область значений функции у = cos x +23.Проверьте функцию на четность у = х4+ cos x

4. Найдите нули функции у=х √ х−15. По графику некоторой функции у= f (x) найдите промежутки возрастания

6. Найдите наименьший положительный

период функции у=ctg x

2

Вариант №3 1. Найдите область определения функции

и у=√81−х2

2. Найдите область значений функции у = sin x -23. Проверьте функцию на четность:

y= tgxx2−1

4. Найдите нули функции y= x

5+ 3

55. По графику некоторой функции у= f (x) найдите промежутки возрастания

6. Найдите наименьший положительный период функции у = tg 4x

Вариант №2 Вариант №4

21

1. Найдите область определения функции

у=√4−х2

2. Найдите область значений функции у = cos x +43.Проверьте функцию на четность у = 2х4+ cos x

4. Найдите нули функции у=√х−15. По графику некоторой функции у= f (x) найдите промежутки убывания

6. Найдите наименьший положительный

период функции у=tg x

2

1. Найдите область определения функции

и у=√9−х2

2. Найдите область значений функции у =4 sin x -23. Проверьте функцию на четность:

y= tgx2 x2−1

4. Найдите нули функции y= x

55. По графику некоторой функции у= f (x) найдите промежутки убывания

6. Найдите наименьший положительный период функции у = tg 8x

ГлоссарийСтепенная функция

Функция вида kxy , где k действительное число, называется степенной функцией с

показателем k.Свойства и график степенной функции существенным образом зависят от показателя степени k.

Рассмотрим различные варианты:1. Показатель степени nk 2 – чётное натуральное число. (рис. .1)2. Показатель степени 12 nk – нечётное натуральное число. (рис. 2).

Рис. .1 Рис. 23. Показатель степени nk 2 – натуральное число. (рис. 3)

4. Показатель степени 12 nk – натуральное число. (рис. 4).

Рис. 3 Рис. 4

22

5. Показатель степени k – положительное действительное нецелое число. (рис. 5).6. Показатель степени k – отрицательное действительное нецелое число.(рис. 6).

Рис. 5 Рис. 6Показательная функция

Функция вида xay , где основанием служит заданное число 0a , 1a , называется

показательной функцией.Область определения – множество R всех действительных чисел.

Множество значений показательной функции – множество всех положительных чисел 0y .

Показательная функция xay является возрастающей при 1a (рис. 7) на множестве всех

действительных чисел и убывающей при 10 a (рис. 8).

Рис. 7 Рис. 8Логарифмическая функция

Функция )1 ,0 ,( log aaRxxy a называется логарифмической функцией.

Логарифмическая функция xy alog является обратной по отношению к показательной

функции xay .

Основные свойства логарифмической функции:

1°. Область определения: RyD .

2°. Множество значений функции: RyE , т.е. вся числовая прямая.

3°. Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: 1log ,01log aaa .

4°. Функция xy alog ( 1a ) возрастает в промежутке 0x (рис. 9).

5°. Функция xy alog ( 10 a ) убывает в промежутке 0x (рис. .10).

Рис. 9 Рис..10

Функция xy sin

Основные свойства функции:1. Область определения функции – множество всех действительных чисел.

2. Множество значений – отрезок 1;1 .3. Функция является периодической с периодом 2T .

4. Функция xy sin нечётная.

23

Применив данные свойства можно построить график функции xy sin (рис11)

Рис. 11Функция xy cos

Основные свойства функции:1. Область определения функции – множество всех действительных чисел.

2. Множество значений – отрезок 1;1 .3. Функция является периодической с периодом 2T .4. Функция xy cos чётная. График функции симметричен относительно оси Оу.Применив данные свойства можно построить график функции xy cos (рис. 12)

Рис.12Функция xy tgОсновные свойства функции:

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел Znnx ,

2

.2. Множество значений – множество всех действительных чисел.3. Функция является периодической с периодом T .

Рис. Функция xy сtgОсновные свойства функции:1. Область определения функции – множество всех действительных чисел Znnx , .2. Множество значений – множество всех действительных чисел.3. Функция является периодической с периодом T .4. Функция xy сtg нечётная. Применив данные свойства можно построить график функции xy сtg (рис. 4.8)

24

Тема 5. Начала математического анализа.

Содержание1. Производная, её геометрический и механический смысл.2. Основные правила дифференцирования.3. Производная сложной функции.4. Критические точки функции. Возрастание и убывание функции.5. Правило нахождения экстремумов функции с помощью первой производной.6. Построение графиков функций.7. Неопределённый интеграл и его свойства. 8. Формула Ньютона-Лейбница.







Индивидуальная домашняя работа №5Вариант №1

1. Найдите первообразную функции f(x) = х2 – 5, график которой проходит через точку (3;4). 2. Найдите общий вид первообразных f(x)

= − 1

(6 х + 1)2.

3. Точка движется прямолинейно, ее скорость выражается формулой v = t +3t2. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени t = 0 координата точки равнялось числу 1.4. Найдите общий вид первообразных для

функций f(x) = 8 sin

х2 cos

х2 .

Вариант №31. Найдите первообразную функции f(x) = 2х2 + 3, график которой проходит через точку (-2;5 ). 2. Найдите общий вид первообразных f(x)

=

1(7 х − 3 )2

.3. Точка движется прямолинейно, ее скорость выражается формулой v = t +3t2. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени t = 0 координата точки равнялось числу 1.4. Найдите общий вид первообразных для

функций f(x) = cos2

х2 - sin2

х2 .

25

5. Дана функция f(x) = excosx. Найдите f1(x), f1(0).

6. Дана функция g(x) =

16 ln(-2x). Найдите

g1(x), g1(-

18 ).

7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = ех, у = 1, х = 2.8. Исследуйте на возрастание (убывание ) и на экстремумы функцию f(x) = 2x lnx.

5. Дана функция f(x) = 2xcosx. Найдите f1(x), f1(0).

6. Дана функция g(x) = 6ln(

12 x). Найдите

g1(x), g1(

12 ).

7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = е-х, у = 1, х = -2.8. Исследуйте на возрастание (убывание )

и на экстремумы функцию f(x) =

2 ln xx .

Вариант №21. Найдите первообразную функции f(x) = 4 - х2, график которой проходит через точку (-3;10 ).2. Найдите общий вид первообразных f(x)

=

1(8 х − 3 )2

.3. Точка движется прямолинейно, ее скорость выражается формулой v = -4sin3t. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени t = 0 координата точки равнялось числу 2.4. Найдите общий вид первообразных для

функций f(x) = 1 - 2 sin2

х2 .

5.Дана функция f(x) = exsinx. Найдите f1(x), f1(0).

6. Дана функция g(x) =

16 ln(-3x). Найдите

g1(x), g1(-

19 ).

7. Вычислите площадь фигуры,

ограниченной линиями у =

1х , у = 1, х = 4.

8. Исследуйте на возрастание (убывание ) и на экстремумы функцию f(x) = x ех .

Вариант №41. Найдите первообразную функции f(x) = 3х - 5 , график которой проходит через точку (4;10 ).2. Найдите общий вид первообразных f(x)

= − 1

(10 х + 2)2.

3. Точка движется прямолинейно, ее скорость выражается формулой v = t - 2t2. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени t = 1 координата точки равнялось числу 3.4. Найдите общий вид первообразных для

функций f(x) = 2 sin

х2 cos

х2 .

5. Дана функция f(x) =

4х

х2. Найдите f1(x),

f1(-1).

6. Дана функция g(x) = lоg3 (

12 x). Найдите

g1(x), g1(

12 ).

7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х, у = 1, х = 2.8. Исследуйте на возрастание (убывание ) и на экстремумы функцию f(x) = 2x – 2 lnx.

Глоссарий

Производная, её геометрический и механический смыслПроизводной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в

этой точке к приращению аргумента, если он существует.

xxfxxfxf

x

)()(lim)(0

26

Физический смысл производной):v(t) = s'(t)

Таблица производных

1. (const { )'=0¿ .

2. ( xn )'=nxn−1.

3. ( x )′=1

4.(√ x )′= 1

2√x

5.( 1

x )′=− 1

x2

6. (ex )'=e x.

7. (ax )'=ax ln a .

8. (sin x )′=cos x .

9. (cos x )′=−sin x .

10.(tgx )′= 1

cos2 x .

11.(ctgx )′=− 1

sin2 x .

12.( loga x )′= 1

x ln a

13.(ln x )′= 1

x .

k=tg α= y ' ( x0 ) -геометрический смысл производнойy= y0+ y ' ( x0) ( x−x0 ) - уравнение касательной

Основные правила дифференцирования1. (u+υ ) '=u'+υ' ;

2. (uυ )'=u ' υ+uυ' ;

3. (cυ) '=cυ ' (c=conct ) ;

4.( uυ ) '=u'υ−uυ

υ2 . '

Производная сложной функции uufy .

Критические точки функции. Возрастание и убывание функцииВнутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю

или не существует, называются критическими точками.

Возрастание и убывание функции xfy характеризуется знаком ее производной: если в

некотором промежутке 0 xf , то функция возрастает в этом промежутке; если же 0 xf , то функция убывает в этом промежутке.Исследование функций на максимум и минимумТочки минимума и максимума функции называются экстремальными точками, а значения функции в этих точках – минимумом и максимумом функции.

Правило нахождения экстремумов функции с помощью первой производной:1. Найти производную f'(x).

2. Приравнять ее нулю и найти действительные корни – критические точки 0x функции у = f(x) (при мнимых корнях экстремум функции не существует).

3. Исследовать знак производной f'(x) в промежутках, на которые найденные критические точки

делят область определения функции xfy .

4. Критическая точка 0x есть точка максимума, если она отделяет промежуток, в котором 0 xf слева от точки 0x , от промежутка, в котором 0 xf справа от точки 0x , т. е. производная

меняет знак с (+) на (-) при переходе через точку 0x .

27

5. Критическая точка 0x есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором 0 xf слева от точки 0x , от промежутка, в котором 0 xf справа от точки 0x , т. е. производная

меняет знак с (-) на (+) при переходе через точку 0x

Если в промежутках, разделенных критической точкой 0x , знак производной не меняется, то

точка 0x экстремума не имеет.6. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Построение графиков функцийОбщая схема построения графиков функций:1. Найти область определения функции.2. Выяснить, чётность, нечётность функции, периодичность.3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).4. Найти асимптоты графика функции.5. Найти промежутки монотонности функции и её экстремумы.6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.7. Построить график, используя полученные результаты исследования.

Совокупность первообразных для функции xf или для дифференциала dxxf называется

неопределённым интегралом и обозначается символом dxxf )(. Таким образом:

CxFdxxf, если dxxfCxFd

Свойства:

10 CxFxdF )()(.

20. ;)()( dxxfdxxfd

)()( xfdxxf

.

30. wdxvdxudxdxwvu )(

40. dxxfCdxxfC )()(.

Интеграл Значение Интеграл Значение

1 dx x+C 11 tgxdx −ln|cos x|+C

2 xn dx xn+1

n+1+C , n≠−1 12 ctgxdx ln|sin x|+C

3 dxx ln|x|+C 13 dx

a2+x21a

arctg xa

+C

4 ax dx(a>0a≠1)

ax

ln a+C 14 dx

x2−a21

2 aln|x−a

x+a|+C

5 ex dx e x+C 15 dx√ x2±a2 ln|x+√ x2±a2|+C

6 sin xdx −cos x+C 16 dx√a2−x2 arcsin x

a+C

7 cos xdx sin x+C 17 1cos x

dx ln|tg ( x2

+ π4 )|+C

8 1cos2 x

dx tgx+C 18 1sin x

dx ln|tg x2|+C

9 1sin2 x

dx −ctgx+C 19 ln xdx x ln x−x

28

10 kxdxsin

(k≠0 )− 1

kcos kx+C 20 cos kx

(k≠0 )1k

sin kx+C

Для вычисления определённого интеграла от функции xf в том случае, когда можно найти

соответствующий неопределённый интеграл xF , служит формула Ньютона-Лейбница:

aFbFxFdxxfa

bb

a

.

Тема 6. Комбинаторика, статистик а и теория вероятностей.

Содержание1. Комбинаторика 2. Формула для числа перестановок 3. Формула для числа размещений из n элементов по k 4. Формула для числа сочетаний из n элементов по k 5. Знать определения основных понятий: случайное событие, достоверное событие,

невозможное событие, несовместные события, полная группа событий;6. Иметь представление о понятиях попарно несовместных событий.







Индивидуальная домашняя работа №6Элементы комбинаторики

Вариант №11. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?1) 30 2) 100 3) 120 4) 52. В группе 32 обучающихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?1) 128 2) 35960 3) 36 4)467883. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?1) 10 2) 60 3) 20 4) 304. Вычислить: 6! -5!

Вариант №31. Сколькими способами можно

расставить 4 различные книги на книжной полке?

1) 24 2) 4 3) 16 4) 202. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?1) 30 2) 21 3) 14 4) 73. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?1) 22 2) 11 3) 150 4) 110

4. Сократите дробь:

12 !−11 !3 !

1) 1 2) 3) 4)

29

1) 600 2) 300 3) 1 4) 10005. В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?1) 2) 3) 4)6. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?1) 2) 0,5 3) 0,125 4) 7. В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?1) 0,02 2) 0,00012 3) 0,0008 4) 0,002

5. Какова вероятность, что при одном броске игрального кубика выпадает число очков, равное четному числу?1) 2) 0,5 3) 4) 0,256. Катя и Аня пишут диктант. Вероятность того, что Катя допустит ошибку, составляет 60%, а вероятность ошибки у Ани составляет 40%. Найти вероятность того, что обе девочки напишут диктант без ошибок.1) 0,25 2) 0, 4 3) 0,48 4) 0,27. Завод выпускает 15% продукции высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% - второго сорта, а все остальное – брак. Найти вероятность того, что выбранное изделие не будет бракованным. 1) 0,8 2) 0,1 3) 0,015 4) 0,35

Вариант №21. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?1) 100 2) 30 3) 5 4) 1202. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?1) 3 2) 6 3) 2 4) 13. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.1) 10000 2) 60480 3) 56 4) 394504. Вычислите: 23!-22!1) 22 2) 56 3) 30 4) 23 5. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Какова вероятность, что эта карта – туз?1) 2) 3) 4) 6. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?1) 0,25 2) 3) 0,5 4) 0,1257. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжих. Какова вероятность того, что выбранный гриб белый или рыжий?1) 0,5 2) 0,4 3) 0,04 4) 0,8

Вариант №41. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?1) 5 2) 120 3) 25 4) 1002. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте?1) 12650 2) 100 3) 75 4)100003. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры. Которых нечетные и различные.1) 120 2) 30 3) 50 4) 604. Упростите выражение: 15!-14!+5!1) 0,5 2) 3) 4) 45. Какова вероятность, что ребенок родится 7 числа?1) 2) 3) 4) 6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем попадания первого стрелка составляет 90%, второго – 80%, третьего – 70%. Найдите вероятность того, что все три стрелка попадут в мишень? 1) 0,504 2) 0,006 3) 0,5 4) 0,37. Из 30 учеников спорткласса, 11 занимается футболом, 6 – волейболом, 8 – бегом, а остальные прыжками в длину. Какова вероятность того, что один произвольно выбранный ученик класса занимается игровым видом спорта?1) 2) 0,5 3) 4)

Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики.Вариант №1

Устройство состоит из трёх элементов, Вариант №3

Заводом послана автомашина за различными

30

работающих независимо. Вероятности безотказной работы первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7;08. Найти вероятность того, что безотказно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.

материалами на 4 базы. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 0,9; на второй – 0,95; на третьей – 0,8; на четвёртой – 0,6. Найти вероятность, того что только на одной базе не окажется нужного материала.

Вариант №2Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для – второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Вариант №4Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4; при втором – 0,5 и при третьем – 0,7. Найти вероятности следующих событий: А = {ровно одно попадание}; В = { хотя бы одно попадание}; С = { хотя бы два попадания}.

ГлоссарийКомбинаторика (комбинаторный анализ) – раздел математики, основное внимание в

котором сконцентрировано на задаче размещения объектов в соответствии со специальными правилами и нахождении числа способов, которыми это может быть сделано.

Формула для числа перестановок Рn = n!,Замечание: символ n! (читается как факториал) есть сокращенное обозначение

произведения 1 2 3…(n – 1) n. Принимается, что 1!=1, 0!=1.

Формула для числа размещений из n элементов по k Ank

=

n !(n−k ) !

Формула для числа сочетаний из n элементов по k Cnk

= Ank

/k! =

n !k ! (n−k ) !

Случайным называется событие наступление, которого нельзя гарантировать.Рассмотрим основные понятия теории вероятности:Испытанием называется совокупность условий, при котором может произойти данное

случайное событие.Событие – это факт, который при осуществлении определенных условий может

произойти или нет. События обозначают большими латинскими буквами А, В, С…Опр: Событие, всегда осуществляющееся при проведении испытания, называют

достоверным событием.Опр: Когда событие не может произойти в результате испытания, его называют

невозможным.Опр: Под случайным событием, связанным с некоторым опытом, понимается всякое

событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит, либо не происходит.Опр: События называются несовместными, если в результате данного испытания

появление одного из них исключает появление другого. Опр: События называются совместными, если в результате данного испытания

появление одного из них не исключает появление другого.Опр: События называются равновозможными, если нет основания считать, что одно из

них происходит чаще, чем другое.

Опр: Два несовместных события А и A (не А) называются противоположными, если в результате испытания одно из них должно обязательно произойти.

Вероятность события – это число, характеризующее степень возможности появления событий при многократном повторении события.

Классическое определение вероятности

31

Р (А)=

mn , где m – число благоприятных исходов, n – число всех исходов.

Свойства вероятности1. Р(А)= 0, если А – невозможное событие2. Р(А)=1, если А – достоверное событие3. Вероятность случайного события: 0≥P( A )≥1

Случайной величиной, связанной с данным испытанием, называется переменная величина X, принимающая различные числовые значения в зависимости от случая.

Дискретная случайная величина X считается заданной, если заданы все ее значения и известен закон распределения вероятностей.Тема 7. Прямые и плоскости в пространстве.

Содержание1. Аксиомы стереометрии 2. Определение параллельных прямых. 3. Определение прямой параллельной плоскости; признак параллельности прямой и

плоскости.4. Определение параллельных плоскостей; признак параллельности двух плоскостей.5. Определение прямой, перпендикулярной плоскости; признак перпендикулярности

прямой и плоскости.6. Теоремы о трех перпендикулярах7. Определение перпендикулярных плоскостей; признак перпендикулярности двух

плоскостей.8. Свойства точек, равноудаленных от всех вершин или сторон многоугольника.9. Определение величины угла между двумя скрещивающимися прямыми.

Литература Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч.

закл.– К.: Школяр, 2004, Освіта, 2001 Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В.

Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.


Вариант №1Выполните чертеж к задаче. Прямые а, в, и с имеют общую точку О, но не существует плоскости, в которой лежат все эти три точки.Выполните чертеж к задаче. Плоскость α проходит через середины сторон АВ и АС ΔАВС и не содержит вершины А.Выполните чертеж куба. По чертежу укажите: а) прямые параллельные для прямой АД; б) прямые скрещивающиеся с прямой ; в) плоскости параллельные прямой АВ.Прямая АВ пересекает плоскость α в точке О, расстояние от точки А до плоскости

Вариант №3Выполните чертеж к задаче. Прямые СД и СК пересекают плоскость β в разных точках.Выполните чертеж к задаче. Прямая АВ параллельна плоскости γ, а прямая АТ пересекает ее в точке Т.Выполните чертеж куба . По чертежу укажите: а) прямые параллельные для прямой СД; б) прямые скрещивающиеся с прямой ; в) плоскости параллельные прямой ВС.Прямая АВ пересекает плоскость α в точке О, расстояние от точки А до плоскости равно 4 см. Найдите расстояние от точки В

32

равно 4 см. Найдите расстояние от точки В до плоскости, если точка О середина АВ.

до плоскости, если точка А средина ОВ.

Вариант №2Выполните чертеж к задаче. Прямые а, в, и с имеют общую точку О и лежат в одной плоскости.Выполните чертеж к задаче. Прямая а параллельна каждой из параллельных плоскостей α и β.Выполните чертеж куба. По чертежу укажите: а) прямые параллельные для прямой АВ; б) прямые скрещивающиеся с прямой ; в) плоскости параллельные прямой АД.Прямая АВ пересекает плоскость α в точке О, расстояние от точки А до плоскости равно 4 см. Найдите расстояние от точки В до плоскости, если точка В середина ОА.

Вариант №4Выполните чертеж к задаче. Две вершины ΔАВС лежат в плоскости γ, а вершина С не лежит в плоскости γ. Прямая d пересекает стороны СВ и СК соответственно в точках М и Т, а плоскость α в точке К.Выполните чертеж к задаче. Плоскость α пересекает три параллельных прямых соответственно в точках А, В, и С, лежащих на одной прямой.Выполните чертеж куба. По чертежу укажите: а) прямые параллельные для прямой ВС; б) прямые скрещивающиеся с прямой ; в) плоскости параллельные прямой АВ.Прямая АВ пересекает плоскость α в точке О, расстояние от точки А до плоскости равно 4см. Найдите расстояние от точки В до плоскости, если ОА =8 см, АВ=6 см.

Глоссарий

1. Аксиомы стереометрии (три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых, плоскостей).

1) Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

2) Если две различные точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

3) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

2. Определение параллельных прямых. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3. Определение скрещивающихся прямых; признак скрещивающихся прямых.Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.Признак: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

4. Определение прямой параллельной плоскости; признак параллельности прямой и плоскости.

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.Признак: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

5. Определение параллельных плоскостей; признак параллельности двух плоскостей.Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.Признак: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

6. Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями.

33

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.7. Определение прямой, перпендикулярной плоскости; признак перпендикулярности

прямой и плоскости.Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости.Признак: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

8. Теоремы о трех перпендикулярах.Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.

9. Определение перпендикулярных плоскостей; признак перпендикулярности двух плоскостей.

Определение: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90ºПризнак: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

10. Свойства точек, равноудаленных от всех вершин или сторон многоугольника.Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то она проецируется на плоскость этого многоугольника в центр описанной окружности.Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то она проецируется на плоскость этого многоугольника в центр вписанной окружности.

11. Определение величины угла между двумя скрещивающимися прямыми.Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, параллельными данным.

а∸b ;а ' ‖ а ;а' ∩ b=О ; угол β−искомый

34

Тема 8. Многогранники.Содержание

1. Многогранники.2. Призма. Параллелепипед и его свойства3. Пирамида.4. Понятие о правильных многогранников





1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды – 10 см. Угол между плоскостями боковой грани и основания = 600. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.2. Высота правильной призмы KMPK1M1P1 = 15 см. Сторона её основания 8 Вычислите периметр сечения призмы с плоскостью содержащей прямую PP1 и середину ребра KM.3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной m и острым углом . Угол между меньшей диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания = ß. Вычислите S поверхности. 4. Найти высоту правильной шестиугольной призмы, если сторона её основания = а, а меньшая из диагоналей призмы = b.

Вариант №31. Высота правильной четырехугольной пирамиды = 8см, сторона основания = 12см. 2. Вычислите: а) длину бокового ребра, б) S бок поверхности.Ребро МА пирамиды МАВС ┴ основанию. AB = AC= a. Угол BAC=2Y. Угол между плоскостями основания и грани MBC = Y. Вычислите: а) расстояние от вершины пирамиды до прямой BC; б) S полной поверхности пирамиды. 3. Найдите высоту правильной шестиугольной призмы, если сторона ее основания равно = a, а большая из диагоналей призмы = b.4. Найдите сторону основания и высоту правильной четырех угольной призмы, если ее боковая поверхность = 8см2, а полная = 40см2.

Вариант №21. Высота правильной треугольной пирамиды =6см. Радиус окружности, описанной около ее основания =4√3см. Вычислите а) длину бокового ребра; б) площадь боковой поверхности пирамиды. 2. Основанием пирамиды МАВСД является квадрат, сторона которого = а. Боковое ребро МД основанию пирамиды. Угол между плоскостями основания и грани МАB = у. Вычислите а)расстояние от вершины пирамиды до прямой АС; б) S поверхности пирамиды.3. Найдите сторону основания и высоту правильной четырёхугольной призмы, если площадь её полной поверхности = 40 см2, а боковая поверхность = 32 см2.

Вариант №41. Площадь основания прямой треугольной призмы = 4 дм2. Найдите площадь сечения призмы, проведённую через сторону одного основания и II ей среднюю линию другого основания, если известно, что сечение образует с плоскостью основания угол в 45º.2. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона её основания = а, а апофема e. 3. Найдите величину двугранного угла при основании правильной четырёхугольной пирамиды, если её боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 30º.4. Найдите высоту правильной

35

4. Площадь основания прямой треугольной призмы = 4 . Найдите площадь сечения призмы, проведённого через сторону одного основания и параллельную ёй среднюю линию другого основания, если известно, что сечение образует с плоскостью основания < = 300 .

треугольной пирамиды, у которой площадь основания 27 см2 а полная поверхность 72 см2.

Глоссарий

Многогранник – это тело, граница которого состоит из кусков плоскостей (многоугольников).

Призма – это многогранник (рис.1), две грани которой ABCDE и abcde (основания призмы ) – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани ( AabB, BbcC и т.д. ) – параллелограммы, плоскости которых параллельны прямой

Пирамида – это многогранник, у которого одна грань (основание пирамиды) – это произвольный многоугольник (ABCDE, рис.2), а остальные грани (боковые грани) – треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пирамиды.

Высота любой грани называется апофемой правильной пирамиды.Многогранник называется правильным, если все его грани – равные

правильные многоугольники и все многогранные углы равны (таков, например, куб). Из этого определения следует, что в правильных многогранниках равны все плоские углы, все двугранные углы и все рёбра.

36

Тема 9. Тела и поверхности вращения.

Содержание1. Цилиндр. Сечение цилиндра. Конус. Сечение конуса. Усеченный конус2. Шар и сфера.




Индивидуальная домашняя работа №9Вариант №1(1 уровень)

1. Радиус основания цилиндра равен 5 см, а высота цилиндра равна 6см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4см от нее.2. Радиус шара равен 17см . Найдите площадь сечения шара, удаленного от его центра на расстоянии 15см.3. Радиус основания конуса 3м , а высота 4м, найдите образующую и площадь осевого сечения.

Вариант №3(2 уровень)

1. Осевое сечение цилиндра- квадрат, диагональ которого 4см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.2. Радиус основания конуса равен 8 см, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60о . Найдите площадь сечения, проходящего через 2 образующие, угол между которыми равен 45о и площадь боковой поверхности конуса.3. Диаметр шара равен d . Через конец диаметра проведена плоскость под углом 450 к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью


1. Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси цилиндра.2. Радиус сферы равен 15см . Найдите длину окружности сечения шара, удаленного от центра сферы на расстоянии 12см.3. Образующая конуса n наклонена к плоскости основания под углом 30о 4. Найдите высоту конуса и площадь осевого сечения.


1. Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания цилиндра равна 16π см2 . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 900 . Найдите площадь боковой поверхности конуса.3. Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через конец диаметра по д углом 300 к нему, равна 75π см2. Найдите диаметр шара.

Глоссарий

Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями

37

Цилиндр называется прямым или наклонным, смотря по тому, перпендикулярны или наклонны к основаниям его образующие.Сечение прямого кругового цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, есть круг.

Конусом называется тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по, одну сторону от вершины, и плоскостью, пересекающей все образующие по ту же сторону от вершины .

Усечённый конус. Так называется часть полного конуса, заключённая между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Сферическая поверхность – это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) в пространстве, равноудалённых от одной точки O, которая называется центром сферической поверхности (рис.90). Радиус AO и диаметр AB определяются так же, как и в окружности.

Шар (сфера) – это тело, ограниченное сферической поверхностью. Можно получить шар, вращая полукруг (или круг) вокруг диаметра. Все плоские сечения шара – круги (рис.90). Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара.

38

Тема 10. Измерения в геометрии.

Содержание1. Площадь поверхности и объём призмы.2. Площадь поверхности и объём пирамиды.3. Площадь поверхности и объём цилиндра.4. Площадь поверхности и объём конуса.5. Площадь поверхности и объём шара.





1. В цилиндр вписан шар. Найдите, во сколько раз объем цилиндра больше объема шара?2. Вычислите объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна 13, диагональ основания равна 5, а одна из сторон основания равна 3.3. Вычислите объем и площадь поверхности конуса, разверткой боковой поверхности которого является полукруг с радиусом, равным 2.

Вариант №3

1. В шар, радиус которого равен 4, вписан цилиндр. Высота цилиндра равна радиусу шара. Найдите, во сколько раз объем шара больше объема цилиндра?

2. У прямоугольного параллелепипеда в

основании квадрат со стороной 5√2 . Диагональ параллелепипеда наклонена к основанию под углом 60°. Найдите площадь поверхности и объем параллелепипеда.

3. Осевое сечение конуса – равносторонний треугольник со стороной 2. Найдите объем и площадь поверхности конуса.

Вариант №2

1. Найдите радиус сечения шара плоскостью, которая проведена на расстоянии от центра, равном трети радиуса шара от его центра. Радиус шара равен a.

2. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат, площадью 18. Вычислите площадь его осевого сечения. Ответ укажите с точностью до десятых.

3. Конус получен вращением прямоугольного равнобедренного треугольника вокруг оси симметрии. Под каким углом к основанию конуса проходит плоскость, содержащая вершину конуса и хорду основания, отсекающую дугу в 90°?

Вариант №41. Три точки, лежащие на поверхности шара, являются вершинами прямоугольного треугольника с гипотенузой 12. На каком расстоянии от центра шара находится плоскость треугольника, если радиус шара равен 10.2. Из четверти круга, радиусом a, сделали воронку в форме конуса. Во сколько раз образующая конуса будет больше радиуса основания?

3. Осевое сечение цилиндра – квадрат. Найдите отношение площади осевого сечения цилиндра к площади сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и отстоящей от нее на расстояние, равное половине радиуса.

39

Глоссарий

Площадь боковой поверхности произвольной призмы ( Sбок . пр . ) равна произведению

периметра ( р ) перпендикулярного сечения на длину бокового ребра: Sбок . пр . = p*l

Для прямой и правильной призмы перпендикулярным сечением является основание призмы, а боковое ребро совпадает с высотой, поэтому Sбок . пр .= p*h,

где р – периметр основания, h – высота призмыПлощадь полной поверхности призмы вычисляется по формуле:

S = S + 2*Sосн . , где Sосн . - площадь основания призмыОбъем ( V ) произвольной призмы равен произведению площади

перпендикулярного сечения ( S ) на длину ( l ) бокового ребра:V = S*lДля прямой призмы объем вычисляется по формуле: объем равен произведению

площади основания на высоту, V = Sосн . * hПлощадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению

полупериметра основания на апофему Sбок . пир . =

12 P*h

Площадь полной поверхности правильной пирамиды равна: S = Sбок . пир + Sосн .Объем пирамиды (любой) равен одной трети произведения площади основания (S

осн . ) на высоту (H): V =

13 Sосн . *H

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности

основания на высоту (Н):Sбок . = 2RH

Полная поверхность равна S = Sбок .+ 2Sосн . = 2RH +2R2

= 2R( H + R )

Объем цилиндра равен произведению площади основания (Sосн . ) на высоту (Н) :

V = Sосн . *H = R2

H

Площадь боковой поверхности конуса равна: Sбок . к . = RL.Полная поверхность конуса вычисляется по формуле:

S = Sбок . к . + Sосн . = RL +R2

= R(L + R)

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания (площади круга)

на высоту (Н):V =

13 R

2H

Поверхность сферы равна:S = 4 R2

= D2

40

Объем шара равен:V =

43 R

3=

16 D

3

Тема 11. Координаты и векторы.

Содержание1. Равенство векторов.2. Правило сложения любого числа векторов. 3. Виды векторов.4. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.

5. Разложение вектора по базису i⃗ , j⃗ , k⃗ . 6. Понятие координат вектора. 7. Длина (модуль) вектора, заданного своими координатами.8. Условие коллинеарности двух векторов, заданными своими координатами. 9. Дать определение скалярного произведения двух векторов. Его свойства. 10. Нахождение угла между двумя векторами.





1. Даны векторы a⃗ {2; - 4; 3} и b⃗ {-3; 1/2;

1}. Найдите координаты вектора c⃗= a⃗+b⃗ .

2. Даны векторы a⃗ {1; -2; 0}, b⃗ {3; -6; 0} и c⃗ {0; - 3; 4}. Найдите координаты вектора

p⃗=2a⃗− 13

b⃗−c⃗.

3. Найдите значения m,при которых

векторы a⃗ {6; n;1}, b⃗ {m; 16; 2} коллинеарны.4. Вычислите угол между прямыми

AB и CD, если A(√3 ; 1; 0), В(0; 0; 2√2 ),

С(0; 2; 0), D( ; 1; 2 ).

Вариант №3

1. Даны векторы a⃗ {1; -3; -1} и b⃗ {-1; 2; 0}.

Найдите координаты вектора c⃗= a⃗− b⃗ .

2. Даны векторы a⃗ {2; 4; -6}, b⃗ {- 3; 1; 0} и c⃗ {3; 0; - 1}. Найдите координаты вектора

p⃗=−12

a⃗+2 b⃗− c⃗.

3. Найдите значения т и п, при

которых векторы a⃗ {- 4; т; 2} и b⃗ {m; - 6; 2} коллинеарны.4. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если A(6; -4; 8), B(8; -2; 4), С(12; -6; 4), D(14; -6; 2).

Вариант №2

1. Найдите координаты вектора A⃗B , если A(5; - 1; 3), В(2; -2; 4).

2. Даны векторы b⃗ {3; 1; -2} и c⃗ {1; 4; -3}.

Найдите |2 b⃗− c⃗|.3. Изобразите систему координат Oxyz и постройте точку A(1; - 2; - 4). Найдите расстояния от этой точки до координатных

Вариант №4

1. Найдите координаты вектора C⃗D , если С(6; 3; -2), D(2; 4; -5).

2. Даны векторы a⃗ {5; - 1; 2} и b⃗ {3; 2; -4}.

Найдите | a⃗−2 b⃗ |.3. Изобразите систему координат Охуг и постройте точку B(-2; -3; 4). Найдите расстояния от этой точки до координатных плоскостей.

41

плоскостей.

4. Даны векторы a⃗=2 i⃗−3 j⃗+k⃗ и b⃗=4 i⃗−2 k⃗ . Вычислите a⃗⋅⃗b .

4. Даны векторы a⃗=5 i⃗−2 j⃗+4 k⃗ и

b⃗=3 j⃗+2 k⃗ . Вычислите a⃗⋅⃗b .

Глоссарий Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется

вектором. О всяком отрезке А⃗В из этого множества говорят, что он представляет вектор а⃗ (получен приложением вектора а⃗ к точке А ).

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.

Векторы, параллельные одной и той же прямой, называются коллинеарными. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину.

Если вектор А⃗В имеет координаты ( х ; у ; z ) , т. е. задана прямоугольная система координат в пространстве, его можно записать так:

А⃗В=x⋅⃗i + y⋅ j⃗ +z⋅⃗k ,

Координаты вектора А⃗В ( х ; у ; z ) находятся по формулам:х=х2−х1 ; у= у2− у1 ; z=z2−z1 ,

Расстояние между точками А и В, имеющими координаты соответственно (х1 ; у1 ; z2) и (х2 ; у2 ; z2 ), определяются по формуле

AB=√( x2−x1 )2+( y2− y1 )2+( z2−z1)2

.

По этой же формуле определяется длина отрезка АВ или модуль вектора А⃗В .

Координаты (хср ; уср ; zcр) средины отрезка АВ определяются по формулам:

хср=х1+х2

2 ; уср=

у1+ у2

2 ; zср=

z1+z2

2 .Для операций сложения, вычитания и умножения вектора на число справедливы

следующие соотношения:a⃗+b⃗= с⃗ (a1+b1 ; a2+b2 ; a3+b3 ) ;a⃗− b⃗= d⃗ (a1−b1 ; a2−b2; a3−b3 );

λ a⃗= g⃗ ( λ a1 ; λ a2 ; λ a3 ),

где с⃗ =a⃗+b⃗ ; d⃗ =a⃗− b⃗ ; g⃗ =λ a⃗ .

Скалярным произведением a⃗⋅⃗b векторов a⃗ и b⃗ называется число

a⃗⋅⃗b =|a⃗|⋅|⃗b|cosϕ ,

где ϕ – угол между векторами a⃗ и b⃗ . Отметим следующие свойства скалярного произведения:

1) a⃗⋅⃗b = b⃗ ¿ a⃗ ; 2) а⃗⋅( b⃗+ с⃗ ) =a⃗⋅⃗b +a⃗⋅⃗c ; 3) ( λ a⃗) b⃗= λ ( a⃗ , b⃗ ).

42

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, выражается формулой

a⃗⋅⃗b =a1 b1+a2 b2+a3 b3 .

Косинус угла между векторами a⃗ (a1 ; a2 ;a3) и b⃗ (b1; b2 ;b3) определяется по формуле

cos ϕ= a⃗⋅⃗b|a⃗|⋅|⃗b|

=a1 b1+a2b2+a3b3

√a12+a2

2+a32⋅√b1

2+b22+b3

2.

43

Тема 12. Уравнения и неравенства.Содержание

1. Показательные уравнения и неравенства2. Логарифмические уравнения и неравенства3. Тригонометрические уравнения








Решите уравнения и неравенства:

1. log2 (2x-1) <3

2. 2 log3 2- log3 (х-1) = 1 + log3 5.

3. 2 log0,32

х – 7 log0,3 х - 4 = 0

4. 27 1- х ≤

181

5. 128 . 16 2 х + 1 - 8 3- 2х = 0

6. ( 1

3 )2 х

+ ( 13 )

х−2−1 62

= 0

Вариант №3Решите уравнения и неравенства:

1. log0,5 (3x-1) > -3

2. 2 log3 (2х + 1) = log3 13 +1.

3. log12

2

х +3 log12 х + 2 = 0.

4. 128 . 16 2 х + 1 - 8 3- 2х < 0

5. 7х + 2 − 14⋅7х

= 5

6. 22 х + 1 − 5⋅2х − 8 8 = 0


1.

12 log2 (3x-2) ≤ 3

2. -log7 (5-х) = log7 2 -1

3. 2 log0,32

х – 7 log0,3 х - 4 = 04. 16 . 8 3 х + 2 >1

5. 7х + 2 − 14⋅7х

= 5

6. ( 1

6 )2 х

− 5⋅( 16 )

х− 6

= 0


1.

13 log3 (2x+1) ≤ 1

2. lg (5х + 2) =

12 lg36 + lg2

3. 3 log12

2

х +5 log12 х - 2 = 0.

4. ( 1

5 )х

≤ 25√5

5. 5х + 1 + 5 х + 5х − 1

= 31

6. 22 х − 6⋅2х + 8 = 0

.ctg

,ctg

, tg,tg,cos ,cos ,sin ,sin

axaxaxaxaxaxaxax

44

ГлоссарийПоказательные уравнения и неравенства

Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

При решении показательных уравнений вида xgxf aa (где 1 ,0 aa )

используется следующее свойство: xgxfaa xgxf

Преобразование показательного уравнения к виду xgxf aa выполняется

следующими способами:1. Способ уравнивания оснований2. Преобразование к квадратному уравнению3. Способ группировкиПоказательные неравенства

Неравенства вида )()( 21 , , xgxgxx xfxfcaca , где 0a , 0 ,1 ca называются простейшими показательными неравенствами.

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма или в основании логарифма, называется логарифмическим.

Решение логарифмического уравнения вида log a f ( x )=loga g ( x ) основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f ( x )=g ( x ) при дополнительных условиях f ( x )>0 , g ( x )>0 .

Неравенства вида log ,log cxcx aa , где 0a , 1a , называются простейшими логарифмическими неравенствами.

Тригонометрические уравненияПростейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида

ax sin , ax cos , ax tg , ax ctg

Рассмотрим уравнение видаax sin .

Zkkax k ,arcsin1 .Рассмотрим уравнение вида

ax cos .Znnax ,2arccos .

Поэтому уравнение

Znnax ,arctg .Уравнение, являющееся или сводящееся к квадратному относительно одной

тригонометрической функции, решается вначале как квадратное, а затем сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения.

Однородными называются тригонометрические уравнения, у которых левая часть является однородным многочленом относительно xsin и xcos , а правая часть равна нулю. Такие уравнения сводятся к уравнениям относительно xtg .

Тригонометрические неравенстваПростейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства

ax tg

45

Решить простейшее тригонометрическое неравенство – значит найти множество всех значений аргумента (углов), которые обращают данное неравенство в верное числовое неравенство.

Для решения простейших тригонометрических неравенств используют единичную окружность или графики тригонометрических функций.

Формы и методы контроля самостоятельной работы

Контроль выполнения обучающимися самостоятельной работы включает в себя оценку хода выполнения заданий и получаемых промежуточных результатов с целью установления их соответствия запланированным целям обучения.

Задачи контроля самостоятельной работы: обучение приемам взаимоконтроля и самоконтроля; выявление достижений, успехов обучающихся, определение затруднений и

проблем; воспитание у студентов ответственности за выполнение самостоятельной работы,

проявление инициативы.

Контроль самостоятельной работы обучающихся соответствует принципам объективности, валидности (соответствие предъявляемых заданий тому, что предполагается проверить) контрольно-измерительных материалов.

№п/п Вид самостоятельной работы

Формы контроля самостоятельной работы

1Выполнение домашней работы(выполнение типовых контрольно-оценочных заданий)

Проверка выполнения типовых контрольно-оценочных заданий преподавателем до урока «Контрольная работа».

2

Проработка конспектов занятий, учебной литературы с целью подготовки к контрольной работе.

Текущий контроль усвоения знаний на основе выполнении контрольной работы.

3Подготовка к практическим занятиям с использованием методическихрекомендаций преподавателя.

Организация взаимопроверки и самопроверки выполненного задания на уроке «Решение задач».

4


Защита творческих работ на уроке, в рамках изучения новой темы (творческих конкурсов, семинаров и т.п.)

46

Литература

Основная

1. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І. Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.

2. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І. Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.

3. Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В. Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.

4. Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / Є. П. Нелін: Харків «Гімназія» 2010.

5. Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г. Мерзляк, Д. А Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір: Харків «Гімназія» 2010.

6. Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закл.– К.: Школяр, 2004, Освіта, 2001

7. Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В. Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.

Дополнительная

1. Математика / М.И.Башмаков/ - М. : Вища школа, 1994.2. Практичні заняття з математики / М.В. Богомолов / - К. : Вища школа,1997.

Интернет-ресурсы

1. krapek.lg.ua сайт Краснодонского прмышленно-экономического колледжа2. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс] : Режим

доступа: www. school - collection . edu . ru - Загл. с экрана.3. "Сеть творческих учителей" [Электронный ресурс] : – Режим доступа:www.it-n.ru -

Загл. с экрана.

Design

задания для самостоятеьного изучения предмета математика