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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario de Tecnología Antonio José de Sucre
Extensión San Felipe
Grupo Nº 4
Rene Guevara CI 24.542.617
Maxi Parra CI 24.797.941
Jairo Rojas CI 23.570.161
Esc. 70
Prof. Marienny Arrieche
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y
RESPUESTA EN FRECUENCIA
Grupo Nº 4
La función de respuesta de frecuencia
Es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vs fase vs
frecuencia. Por eso una gráfica verdadera de ella necesita tres dimensiones, lo
que es difícil de representar en papel. Una manera de realizar esto es la
llamada gráfica de Bode, que consiste en dos curvas, una de amplitud vs
frecuencia, y una de fase vs frecuencia. Otra manera de ver la función es de
resolver la porción de fase en dos componentes ortogonales, una parte en fase
(llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase (llamada la parte
imaginaria o parte de la cuadratura).
A continuación vamos a ver una forma muy común de representar las
funciones de transferencias: los diagramas de Bode. Veremos su
definición, el por qué de su uso, y sus posibles aplicaciones.
Diagramas de Bode
Ya hemos visto las representaciones gráficas del módulo y del argumento en
función de la pulsación. Otro tipo de gráficas que son muy útiles son los
diagramas de Bode en los que se usan escalas logarítmicas en y en ω.
Estos diagramas tienen la misma información, pero son más sencillos de
escribir, ya que se pueden aproximar mediante líneas rectas.
Si tenemos la magnitud:
Tomaremos logaritmos neperianos con el fin de acabar con los exponentes de
forma que tendremos:
Aqui se convertido en una suma de una parte real (dependiente sólo del
módulo y una imaginaria (función sólo de la fase).
La transformación de ln a log es: dB = 8,6859 x neperios
Aplicación
Si tenemos la función de transferencia
si tomamos ln:
a) si ω << z:
b) si ω >> z: Tendremos una recta de pendiente 20 dB/década y se corta
con la recta de 0 dB cuando
Las frecuencias entre el punto B y el punto A abarcan una década. La
desviación máxima entre la aproximación y la real es de 3dB.
En cuanto a la parte imaginaria de :
Se representa como dos rectas: una a 0º para ω << z y otra a 90º para ω
>> z, unidas por una recta de pendiente 45º/década, que pasa por el punto
(log z, 45º)
Construcción de los diagramas de Bode
Debido a las escalas empleadas en los diagramas de Bode, éstos pueden ser
construidos en forma aproximada mediante trazos rectos. La figura C.1 muestra
los diagramas de Bode aproximados para funciones sencillas de orden 1.
La figura C.2 muestra los diagramas de bode para funciones de orden 2; en
estos casos, las aproximaciones pueden ser bastante lejanas de los diagramas
exactos, dependiendo del factor de amortiguamiento . Por esta razón se han
trazado los diagramas exactos para una función de segundo orden (para el
primer caso de la figura C.2), en las figuras C.3 y C.4
Para funciones de transferencia más sofisticadas que las de las
figuras C.1 y C.2 se descompone la función de trasferencia como productos de
términos más sencillas, se trazan los diagramas de bode estas de funciones y
luego se suman punto a punto para obtener los diagramas de la función original
Ejemplo A.1 Considérese la función de transferencia
Esta función puede descomponerse como el producto de cuatro funciones de
transfenecia más sencillas:
Cada una de las funciones , , y son de la forma que
se muestra en las figuras C.1 y C.2. Pueden trazarse los diagramas de bode
aproximados de estas funciones, y luego sumarlos punto a punto para obtener
los diagramas de
Ejemplos de funciones de
transferencia
La representación de H(ω) implica 2 gráficas (módulo |H(ω)| y fase ((ω)). Son
magnitudes reales → tienen significado físico.
Forma de H(ω): Cociente de dos polinomios en ω (jω)
Factorizando los polinomios:
Representaremos el módulo y la fase de
H(ω) factorizada
Por comodidad, se escoge una representación logarítmica:
Módulo:
eje Y: A(dB)=20log(|H(ω|) (decibelios)
eje X: ω en escala logarítmica
Fase:
eje Y: [H(ω)] en escala lineal
eje X: ω en escala logarítmica
(gráfica semilogarítmica)
Cada una de estas representaciones gráficas representa el Diagrama de Bode
de Módulo y de Fase, respectivamente.
Aplicando logaritmos podemos representar el módulo de H(ω) como suma y
diferencia de factores
Utilidad de los diagramas de Bode
Representación gráfica del comportamiento en frecuencia de un circuito.
Permiten representar un rango de ω mucho mayor. Cuando los polos y ceros
de H(ω) son reales (o están muy cerca del eje R), la gráfica de |H(ω)| y ([(ω)]
se puede aproximar fácilmente por tramos lineales.
Análisis de Estabilidad utilizando
el Diagrama de Bode
Vídeo Explicativo
Estabilidad según Bode
Las trazas de Bode de una función de transferencia son una herramienta
gráfica de suma utilidad para el análisis y diseño de sistemas de control
lineales.
Ventajas:
En ausencia de un ordenador, las trazas de Bode se pueden bosquejar por la
aproximación de magnitud y fase con segmentos de línea recta. 2. El cruce de
ganancia, el cruce de fase, el margen de ganancia y el margen de fase se
determinan más fácilmente en las trazas de Bode que en la traza de Nyquist. 3.
Para propósitos de diseño, los efectos de añadir controladores y sus
parámetros se visualizan con mayor facilidad sobre las trazas de Bode que
sobre la traza de Nyquist.
Desventaja
La estabilidad absoluta y relativa a sistemas de fase mínima se puede
determinar desde las trazas de Bode, pero no así los de fase no mínima. Por
ejemplo, no hay forma de decir que el ángulo de 11 para el criterio de Nyquist
esté sobre las trazas de Bode.