ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

Γ΄ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΤΩ ΤΩΝ 15 1/2 ΕΤΩΝ

«Ευκλείδης»

Ημερομηνία: 28/05/2012 Ώρα εξέτασης: 09:00-13:30

ΟΔΗΓΙΕΣ:

1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας.

2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι. (Τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι)

3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού . 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής.

Προτεινόμενες Λύσεις

Πρόβλημα 1 : Αν είναι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει , να

αποδείξετε ότι:

Λύση

Από την δεδομένη σχέση παίρνουμε

( )

( ) ( ) (1).

Από την προφανή σχέση ( ) ( ) ( ) παίρνουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Επομένως η (1) γίνεται:

( ) ( )

Πρόβλημα 2 : Έστω θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Αν ο αριθμός είναι

πολλαπλάσιο του , να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι οπωσδήποτε

πολλαπλάσιο του Λύση

Πρώτα παρατηρούμε ότι αν ο ένας από τους αριθμούς είναι περιττός τότε και οι αριθμοί

είναι επίσης περιττοί και επομένως και ο , είναι επίσης

περιττός που είναι άτοπο αφού είναι πολλαπλάσιο του Άρα, οι αριθμοί είναι και οι δύο άρτιοι.

Αν ο ένας , έστω ο είναι πολλαπλάσιο του και ο δεν είναι πολλαπλάσιο του , τότε θα

έχουμε ότι οι αριθμοί είναι πολλαπλάσια του ενώ ο και

επομένως ο , άτοπο.

Υποθέτουμε ότι ούτε ο αλλά ούτε και ο είναι πολλαπλάσια του . Τότε το τελευταίο ψηφίο

των αριθμών θα είναι αφού οι είναι και οι δύο άρτιοι, ενώ το γινόμενο

δεν μπορεί να τελειώνει σε Άρα ο ένας από τους τελειώνει σε και ο άλλος σε

τότε ο , άτοπο.

Επομένως και οι δύο οι θα έχουν τελευταίο ψηφίο ή και οι δύο ή και οι δύο , τότε

όμως και ο θα έχει τελευταίο ψηφίο ή , και άρα ο . Η μόνη δυνατότητα λοιπόν για τα είναι να είναι πολλαπλάσια του , και άρα ο αριθμός

είναι οπωσδήποτε πολλαπλάσιο του

Πρόβλημα 3 : Μέσα σε ένα ορθογώνιο με εμβαδόν παίρνουμε πολύγωνα που το κάθε ένα

έχει εμβαδόν Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο από αυτά τα πολύγωνα που έχουν

κοινό μέρος, με το εμβαδόν του κοινού τους μέρους να μην είναι μικρότερο από

.

Λύση

Έστω τα πολύγωνα που έχουν εμβαδόν Υποθέτουμε ,για να καταλήξουμε σε

άτοπο , ότι οποιαδήποτε δύο από τα πολύγωνα έχουν κοινό μέρος που το

εμβαδόν του είναι μικρότερο από το

Τότε το εμβαδόν του πολυγώνου που δεν είναι μέσα

στο είναι μεγαλύτερο από

Επιπλέον, το εμβαδόν του πολυγώνου που δεν είναι καλυμμένο από τα πολύγωνα

Είναι μεγαλύτερο από

Με την ίδια λογική βρίσκουμε στο τέλος ότι το εμβαδόν του το οποίο δεν περικλείεται στην

ένωση των είναι τουλάχιστον

Επομένως το εμβαδόν που καλύπτεται από τα πολύγωνα είναι τουλάχιστον

άρα είναι μεγαλύτερο από το εμβαδόν του ορθογωνίου που περιέχει τα

πολύγωνα, το οποίο είναι άτοπο.

Πρόβλημα 4 : α)Δίνεται παραλληλόγραμμο τέτοιο ώστε οι διχοτόμοι των γωνιών του να

τέμνονται στα σημεία Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο

είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

β)Αν το εμβαδόν του είναι το

του εμβαδού του παραλληλόγραμμου να

υπολογίσετε τον λόγο

Λύση 1.

(α) Επειδή και διχοτόμοι των

γωνιών θα έχουμε:

Άρα Όμοια όλες οι γωνίες του

τετραπλεύρου είναι ορθές, άρα είναι ορθογώνιο

παραλληλόγραμμο.

(β)Ας ονομάσουμε με το εμβαδόν του

παραλληλογράμμου , το εμβαδόν του

ορθογωνίου , το εμβαδόν των ίσων τριγώνων και το εμβαδόν το

μέρος των ίσων ορθογωνίων τριγώνων που βρίσκεται εκτός του

ορθογωνίου Τότε έχουμε τις εξής ισότητες:

και

( )

Επίσης

( )

( )

και

( )

Επομένως η ( ) γίνεται: ( )

( )

( ) ( )

( )

Επειδή οι κορυφή βρίσκεται πάνω στις διχοτόμους των γωνιών ισαπέχει από τις

πλευρές του παραλληλογράμμου και επομένως έχουμε

( )

( )

Όμοια παίρνουμε

( ), και η ( ) γίνεται:

( )

( ) ( )

( )

και θέτοντας

στην τελευταία εξίσωση, έχουμε

√

√

Λύση 2.

(β)

Αρχικά θα βρούμε το λόγο ( )

( ) :

φφ

Ρ

Τ

Ζ

Η

Θ

Ε

Σ

Β

ΔΓ

Α

( )

( )

, αφού το τρίγωνο ΔΓΣ είναι ισοσκελές.

( ) , όπου ( ) και ( ) .

Άρα ( )

( )

( )

( ) : (1)

Το ΔΤΒΡ είναι παραλληλόγραμμο και | |, αφού . ( )

( ) (

)

(

)

(

)

και λόγω της (1) είναι

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

(

)

από όπου

√

√

.